Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11

Transkrypt

1 Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochroa radiologicza Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11

2 Całka ozaczoa podstawowe pojęcia Defiicja podziału odcika Podziałem P odcika < a, b > a części azywamy zbiór odcików < x 0, x 1 >, < x 1, x 2 >,, < x 1, x >, gdzie a = x 0 < x 1 < x 2 < < x 1 < x = b ; długość k-tego przedziału, tj. liczbę x k x k 1, ozaczamy przez k. Największą spośród liczb k azywamy średicą podziału P i ozaczamy przez δ(p). Dla podziału P określa się także zbiór puktów pośredich: {x 1, x 2,, x }, przy czym x k < x k 1, x k >. Rysuek Pole trapezu krzywoliiowego Niech f będzie fukcją ciągłą i ieujemą określoą a przedziale < a, b >. Chcemy obliczyć pole trapezu krzywoliiowego, tj. pole pod wykresem fukcji. Rysuek Aby zaleźć pole trapezu krzywoliiowego ależy aproksymować te trapez prostokątami. Rysuek Zgode z ituicją to pole powio być rówe graicy lim δ(p) 0 k=1 D k = lim δ(p) 0 k=1 f(x k ) k Oczywiście δ(p) 0 ozacza, że ; ie mamy pewości, czy ta graica istieje, a obliczeie tej graicy w ogólym przypadku jest trude.

3 Przykład Rozpatrzmy fukcję f x przedziale < 0,1 >. = x określoą a Wybieramy rówomiery podział odcika < 0,1 >, tj. x 0 = 0, x 1 = 1,, x 1 = 1, x = 1, a pukty x 1, x 2,, x to środki kolejych przedziałów. Rysuek Obliczeia

4 cd. f(x k ) k k=1 = k=1 f k 1 +k 2 (( k 1 1 = ( k=1 2 )2 +1) 1 k=1 = k 2 k 1 +k ) 1 = k = 1 k=1 ( k=1 k 2 k ) = k=1 1 + (+1)(2+1) 6 3 (k 2 k) =

5 Defiicja całki ozaczoej Riemaa Niech fukcja f będzie ograiczoa a przedziale < a, b >. Całką z fukcji f a < a, b > azywamy liczbę, którą ozaczamy symbolem i defiiujemy wzorem a b f x dx b a f x dx = lim δ(p) 0 f x k k, k=1 o ile po prawej stroie zaku rówości graica istieje, tz. ie zależy od wyboru podziału P ai od sposobu wyboru puktów pośredich x 1, x 2,, x.

6 Twierdzeie Jeśli fukcja f jest ograiczoa a przedziale < a, b > i ma a tym przedziale skończoą liczbę puktów ieciągłości pierwszego rodzaju, to jest a im całkowala. Wyjaśieie pukt ieciągłości pierwszego rodzaju. Przykład fukcji, która ie jest całkowala w sesie Riemaa 1 dla x Q f x = 0 dla x Q

7 Twierdzeie (podstawowe twierdzeie rachuku całkowego) Jeśli fukcja f jest ciągła a przedziale < a, b >, to b f x dx = F b F a, a gdzie F jest fukcją pierwotą fukcji f a tym przedziale. Uwaga. Zamiast F b F a używa się także ozaczeń F x b a, [F x ] a b.

8 Przykład 1 0 x dx = 4/3. = x3 3 + x 1 0 =

9 Szkic dowodu podstawowego twierdzeia rachuku całkowego Lemat 1 Jeśli F jest różiczkowala a < a, b > oraz F jest całkowala w sesie Riemaa a < a, b >, to b a F x dx = F b F(a). Lemat 2 Jeśli fukcja f jest ciągła a przedziale < a, b > oraz x F x = f t dt dla x < a, b >, to F x = f x. a

10 Egzami Termi:?, godz.?, sala? 3 pytaia teoretycze 2 zadaia wybór pytań i wybór zadań (a podstawie obecości a wykładzie)

11 Lista zagadień teoretyczych Defiicja fukcji odwrotej; proste zadaie a wyzaczaie fukcji odwrotej. Defiicja ciągu liczbowego, ciągu ograiczoego, ciągu mootoiczego; proste zadaie a zbadaie ograiczoości lub mootoiczości ciągu. Co to zaczy, że szereg liczbowy jest zbieży? Kryteria zbieżości szeregów liczbowych. Defiicja Heiego ciągłości fukcji; proste zadaie a sprawdzeie ciągłości fukcji z defiicji. Własość Darboux z dowodem. Trzy iterpretacje pochodej fukcji. Proste zadaie a obliczeie pochodej z defiicji. Twierdzeia o pochodej fukcji z dowodami (wykład 6). Podstawowe twierdzeia rachuku różiczkowego (Fermata, Rolle a, Lagrage a) z dowodami. Defiicja miimum i maksimum lokalego fukcji, defiicja miimum i maksimum globalego fukcji. Opis metody szukaia ekstremów lokalych i ekstremów globalych. Sformułowaie twierdzeia Taylora; przykład rozwiięcia w szereg Taylora wybraej fukcji. Co to jest całka ieozaczoa? Twierdzeia o całkach ieozaczoych. Defiicja całki ozaczoej.

12 Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochroa radiologicza Semestr zimowy 2018/2019 Ćwiczeia 11: Kolokwium