Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady)

Transkrypt

1 Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjy (wykłady) Wykład r 12: Fukcja wykładicza cd. Ciągłość fukcji. Pochoda fukcji Semestr zimowy 2018/2019

2 Fukcja wykładicza (cd.) propozycja Podobie jak w przykładach przytoczoych ostatio istote jest wprowadzeie potęgi liczby dodatiej z dowolym wykładikiem. Prześledźmy jeszcze raz etapy tego wprowadzeia (zakładamy, że a > 1, rozumowaie dla 0 < a < 1 jest idetycze): a x dla x = 1, 2, (umowa: a 1 = a) a x = 1 dla x = 0 a x dla x = 1, 2, (a x = 1/a x ) a x dla x = 1/2, 1/3, (przypomiamy ucziom procedurę obliczaia rozwiięcia dziesiętego liczb typu p. 2) a x dla x Q 0, m N {0}, Z {0}: a m = a 1 a 1 ) m razy a x dla (a x = lim a a, przy czym (a ) jest mootoiczym ciągiem liczb wymierych zbieżym do x)

3 Fukcja wykładicza (cd.) propozycja Defiiowaie fukcji wykładiczej f x = a x zostało zakończoe. Warto przytoczyć kilka podstawowych własości tej fukcji (zakładamy, że a 1); warto, aby ucziowie uzasadili te własości chociaż w ajprostszych przypadkach. Dziedzią fukcji wykładiczej jest zbiór liczb rzeczywistych. Zbiorem wartości fukcji wykładiczej jest zbiór liczb rzeczywistych dodatich. a x a y = a x+y dla dowolych liczb rzeczywistych x, y a x /a y = a x y dla dowolych liczb rzeczywistych x, y (a x ) y = a xy dla dowolych liczb rzeczywistych x, y a x = 1 x = 0

4 Fukcja wykładicza (cd.) propozycja Fukcja f x = a x jest różowartościowa. (Do dowodu wystarczy zastosować poprzedią własość.) lim x 0 a x = 1 Fukcja wykładicza jest ciągła. Fukcja wykładicza f x = a x jest dla a > 1 ściśle rosąca, atomiast dla a < 1 ściśle malejąca.

5 Ciągłość fukcji (ze słowika PWN) ciągły 1. <<dziejący się, odbywający się, trwający stale, ieustaie; bezustay, ustawiczy; stale powtarzający się, stały>>: Dźwięki ciągłe. Praca, produkcja ciągła. Ciągły ruch. Ciągłe podróże, zabawy. Ciągły ogień artyleryjski. Działaie, fukcjoowaie ciągłe jakiegoś urządzeia. Żyć w ciągłym strachu. 2. <<ciągący się ieprzerwaie w przestrzei, ie mający luk, odstępów>>: Liia ciągła. Zabudowa ciągła. fiz. Widmo ciągłe <<widmo optycze mające postać zespołu barw przechodzących płyie jeda w drugą, od ultrafioletu do podczerwiei (p. tęcza)>> mat. Fukcja ciągła <<fukcja, której wykresem jest liia ciągła>>.

6 Graice ciągów liczbowych w podstawie programowej Zakres rozszerzoy. Uczeń spełia wymagaia określoe dla zakresu podstawowego, a poadto: oblicza graice ciągów, korzystając z graic ciągów typu 1/, a, oraz twierdzeń o graicach sumy, różicy, iloczyu i ilorazu ciągów zbieżych, a także twierdzeia o trzech ciągach; rozpozaje zbieże szeregi geometrycze i oblicza ich sumę.

7 Graice ciągów liczbowych w podręczikach szkolych

8 Graice ciągów liczbowych w podręczikach szkolych

9 Graice ciągów liczbowych uwagi przekształceie ierówości a g < ε g ε < a < g + ε zazaczeie a osi przedziału (g ε, g + ε) dla daego ciągu (a ) i graicy g zmieiaie, obserwując, które wyrazy ciągu wpadają do przedziału wizualizacje k k k

10 Graice ciągów liczbowych uwagi Na czuja : si

11 Graice fukcji w ieskończoości y x

12 Graica fukcji w pukcie

13 Ciągłość fukcji defiicja potocza defiicja poglądowa defiicja formala Fukcja f jest ciągła w x 0, jeśli graica tej fukcji w x 0 jest rówa wartości fukcji w tym pukcie.

14 Defiiowaie pochodej fukcji defiicja potocza defiicja poglądowa Pochoda fukcji w jakimś pukcie mierzy szybkość zmia tej fukcji w okolicach tego puktu. defiicja formala

15 Pochoda fukcji w auczaiu matematyki PPM (PR) Uczeń: stosuje defiicję pochodej fukcji, podaje iterpretację geometryczą i fizyczą pochodej; oblicza pochodą fukcji potęgowej o wykładiku rzeczywistym oraz oblicza pochodą korzystając z twierdzeń o pochodej sumy, różicy, iloczyu, ilorazu i fukcji złożoej; stosuje pochodą do badaia mootoiczości fukcji; rozwiązuje zadaia optymalizacyje z zastosowaiem pochodej.

16 Pochoda w podręczikach szkolych Doprecyzowaie pojęcia styczej: stycza do wykresu fukcji w pukcie ależącym do tego wykresu to graicze położeie sieczych przechodzących przez te pukt. Po ieformalym obliczeiu rówaia wybraej styczej do wykresu kokretej fukcji w daej pukcie podaa zostaje formala defiicja pochodej fukcji f w pukcie x 0 :

17 Przykład 2 (Podręczik Matematyka się liczy, WSiP, 2003)

18 Przykład z amerykańskiego podręczika Przyjrzyj się temu wykresowi i spróbuj: opisać tempo przyrostu liczby muszek ucziowie uzupełiają tekst: W okresie badaia liczba muszek W pierwszych 25 diach tempo przyrostu było coraz Między 25 a 30 diem tempro przyrostu było Między 30 a 50 diem tempo przyrostu było coraz obliczyć średie tempo przyrostu w okresach: pierwsze 25 di, między 25 a 30 diem, między 30 a 50 diem; a oko arysować stycze do wykresu w puktach o odciętych 10, 20, 30 i 40; obliczyć chwilowe tempo przyrostu liczby muszek w 10, 20, 30 i 40 diu.

19 Waże przekształceie f x 0 + h f(x 0 ) lim h 0 = f (x h 0 ) Stąd f x 0 + h = f(x 0 )+f (x 0 )h + g x 0, h h. Wioski: f x 0 + h f(x 0 )+f (x 0 )h; różiczkowalość pociąga ciągłość; badaie mootoiczości za pomocą pochodej.

20 Jeszcze raz o iterpretacji geometryczej pochodej