Analiza Matematyczna I dla Fizyki na WPPT Lista zadań

Transkrypt

1 Aaliza Matematycza I dla Fizyki a WPPT Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT, PWr, 06/7 Zadaia ozaczoe * są ieco trudiejsze od zadań bez gwiazdki. Zadaia ozaczoe ** są jeszcze trochę trudiejsze. Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)),. = (p p)), 3. = ((p q) r) (p (q r)) (łączość spójików ) 4. = ((p (q r)) ((p q) (p r)), 5. = ((p (q r)) ((p q) (p r)), 6. = (p q) ( p q) (prawo elimiacji implikacji), 7. = ( (p q)) (p q). Podaj iterpretację dwóch pierwszych tautologii. Uwaga: = φ ozacza, że φ jest tautologią. Zadaie Pokaż, że jeśli Ja umie fizykę i Ja ie umie fizyki, to Ja umie biologię.. Sformułuj odpowiedią tautologię.. Podaj ie przykłady zastosowaia tej tautologii. Zadaie 3 Niech φ ψ ozacza, że = (φ ψ). Pokaż, że dla dowolych zdań φ, ψ, η mamy. φ φ (zwrotość). Jeśli φ ψ to ψ φ (symetria) 3. Jeśli φ ψ oraz ψ η to φ η (przechodiość). Zadaie 4 Pokaż, że spójiki,, możesz zdefiiować za pomocą spójików oraz. Pokaż rówież, że spójiki,, możesz zdefiiować za pomocą spójików oraz. Zadaie 5 Niech p q = (p q) ( p q). Spójik te azywamy alteratywa wykluczajac a. Niech 0 ozacza zdaie zawsze fałszywe (p. r r).. Pokaż, że spójik logiczy jest przemiey.. Pokaż, że spójik jest łączy. Wskazówka: Zastosuj metodę tabelkową. 3. Oblicz p Oblicz p p. 5. Oblicz (p q) q Zadaie 6 Niech (p q) = ( p) ( q). Pokaż, że za pomocą spójika możesz zdefiiować wszystkie pozostałe stadardowe spójiki logicze. Wskazówka: Zaczij od obliczeia (p p). Następie oblicz ((p p) (q q)). Zadaie 7 Zapisz, stosując otację matematyczą, astępujące zdaia i formuły:

2 . p jest liczbą pierwszą,. istieje ajmiejsza liczba aturala, 3. ie istieje ajwiększa liczba aturala, 4. ie istieje ajmiejsza liczba rzeczywista dodatia. Zastosuj zae prawa logiki do uproszczeia tych wyrażeń. Zadaie 8 Podaj iterpretację astępujących zdań. ( (0, ))( N)( < ),. ( R)( 0), 3. (, y R)( < y = y > y). 4. ( a N)(,, 3, 4 N)(a = ) Zadaie 9 Niech R(, y) ozacza, że " jest rodzicem y". Niech K() ozacza, że " jest kobietą". Zdefiiuj, korzystając z otacji matematyczej oraz predykatów R i K, astępujące predykaty:." jest dziadkiem y",." jest siostrą y", 3." jest bratem y", 4." jest ciotką y". Zadaie 0 Niech A = [0, ] oraz B = [, 3). Wyzacz zbiory A B, A B, A \ B oraz B \ A. Zadaie Niech A = {(, y) R : + y } oraz B = {(, y) R : <, y < 3 }. Wyzacz zbiory A B, A B, A \ B oraz B \ A. Zadaie Odcikiem azywamy dowoly podzbiór A R taki, że Spróbuj opisać rodzię wszystkich odcików. ( a, b, c) (((a < b < c) (a A) (c A)) b a). Zadaie 3 Niech A, B Ω oraz iech X c ozacza dopełieie zbioru X Ω do przestrzei Ω. Udowodij prawa de Morgaa dla zbiorów A i B, czyli pokaż, że. (A B) c = A c B c. (A B) c = A c B c Pokaż rówież, że 3. (A c ) c = A Zadaie 4 Wymień wszystkie pozae do tej pory wariaty praw de Morgaa. Zadaie 5 Niech A i B będą zbiorami. Pokaż, że astępujące zdaia są rówoważe:. A B. A B = B 3. A B = B. * Zadaie 6 Niech I(p, q) = (p, q), U(p, q) = (p q, q) oraz D(p, q) = (p, p q).. Oblicz U U oraz D D. Oblicz U D U. 3. Zastosuj otrzymay wyik do apisaia w języku C fukcji służącej do zamiay dwóch liczb typu it. Wskazówka: Spójik, czyli alteratywa wykluczająca, azywa się w iformatyce spójikiem XOR. ** Zadaie 7 Pokaż, że ie istieje zbiór wszystkich zbiorów. Wskazówka: Załóż, że Ω jest zbiorem wszystkich zbiorów. Rozważ zbiór X = { Ω : / }. Zbadaj zdaie X X.

3 Podstawowe zbiory liczbowe Zadaie 8 Uprość astępujące wyrażeia: , + 3. ( 4 ), (4 ) + 5, + 5 Zadaie 9 Niech a, b, c > 0 i a. Udowodij astępujące własości fukcji logarytmiczych:. log a (b c) = log a (b) + log a (c). log a (b k ) = k log a (b) dla dowolego k R 3. log a () = log b () log b (a) dla b. Zadaie 0 Uprość astępujące wyrażeia:. log 0 (0 5 4 ), 4 log (5), log 3 (7 3). log 4 +3 log 8 3, 9 log 3 5 Zadaie Przypomij sobie dowód tego, że / Q. Pokaż, że jeśli p jest liczbą pierwszą, to p jest liczbą iewymierą. * Zadaie Pokaż, że jeśli N jest taką liczbą aturalą, że Q to istieje liczba aturala k taka, że = k. Zadaie 3 Pokaż, że jeśli q Q, to + q / Q. Dla jakich liczb wymierych q Q mamy q Q? Zadaie 4 Niech a = Dla N defiiujemy liczby a = a 0 0. Wyzacz pierwsze 0 wyrazów tego ciągu, tz. oblicz liczby a 0, a,..., a 9. Uwaga: ozacza część całkowitą liczby.. Zadaie 5 Pokaż, że dla dowolych liczb rzeczywistych oraz y mamy. ( + y)( y) = y. ( + y) = + y + y 3. ( + y) 3 = y + 3y + y 3 4. Z jakich własości liczb rzeczywistych korzystałaś/korzystałeś podczas dowodzeia tych wzorów? Zadaie 6 Dla jakich par liczb rzeczywistych i y zachodzi rówość ( + y) = + y? Zadaie 7 Pokaż, że zbiór liczb wymierych jest zamkięty a dodawaie, odejmowaie, możeie i dzieleie przez liczbę różą od 0. Zadaie 8 Pokaż metodą idukcji matematyczej, że = ( + ). Uwaga: Musisz rówież zać proste wyprowadzeie tego wzoru = 6( + )( + ) ( ) = (+) 4. ( N)( < ) 5. ( 4)( < ) 6. ( 4)( <!) 7. ( )(6 ( 3 ) Zadaie 9 Pokaż, korzystając z poprzediego zadaia, że ( + ) = ( + ). Podaj iterpretację geometryczą teo faktu. 3

4 Zadaie 30 Załóżmy, że 0 < < <... jest ieskończoym ciągiem liczb aturalych. Pokaż, że ( k N)(k k ). Zadaie 3 Pokaż, że ie istieje ieskończoy ciąg liczb aturalych ( k ) taki, że ( k)( l > k+ ). Zadaie 3 Rozważmy astępującą pętlę: FOR I= TO N DO FOR J=I+ TO N DO OP(I,J); OD OD Ile razy wykouje się istrukcja OP? Zadaie 33 Wyzacz samodzielie sześć pierwszych wierszy trójkąta Pascala. Wypisz wzory a ( + y) dla = 0,,,..., 5. ( k ). Jak moża tę obserwację wykorzystać do wyza- Zadaie 34 Pokaż, że jeśli 0 < k, to ( k czaia wartości ( k)? ) = k * Zadaie 35 Symbolem X ozaczamy liczbę elemetów skończoego zbioru X. Niech X będzie - elemetowym zbiorem. Dla k określamy [X] k = {Y X : Y = k}.. Pokaż, że [X] k = ( k).. Korzystając z poprzediego wyiku podaj kombiatorycze wyprowadzeie tożsamości Pascala ( ( k+ ) = ( + k+). 3. Symbolem P (X) ozaczamy zbiór wszystkich podzbiorów zbioru X. Pokaż, że jeśli X = to P (X) =. Zadaie 36 Korzystając ze wzoru dwumiaowego Newtoa pokaż, że.. k=0 k=0 (a + b) = k=0 ( ) a k b k k ( ) k = i podaj iterpretację kombiatorycza tego faktu ( ) k ( ) k = 0. Zadaie 37 Narysuj wykres wartości ( ) 0 k dla k = 0,..., 0. Która z tych liczb jest ajwiększa? Uogólij to spostrzeżeie dla ciągu liczb ( ( k) )k=,..., dla dowolego. Wskazówka: Możesz, p., skorzystać z fukcji KOMBINACJE programu Ecel. Zadaie 38 Pokaż, że ( ) a+b k ( k = a b l=0 l)( k=l). Zadaie 39 Za pomocą wyszukiwarki Google arysuj wykresy różych fukcji kwadratowych (p. wprowadź w pasku zapytań wyrażeie 5 + ). Zapozaj się z likami umieszczoymi a stroie ki.pwr.edu.pl/studeciolietools.php. Spróbuj arysować wykresy fukcji kwadratowych za pomocą serwisu Wolfram Alpha. Zadaie 40 Wyzacz astępujące zbiory:. A = { R : 3 + > 0},. B = { R : }, 3. C = { R : }, 4. D = { R : > 0}. k) + 4

5 * Zadaie 4 Sformułuj samodzielie pojęcie kresu dolego podzbioru A zbioru liczb rzeczywistych - ozaczmy go przez if(a). Pokaż, że if(a) = sup( A), gdzie A = { a : a A}. Wywioskuj z tego, że każdy ograiczoy z dołu podzbiór R ma kres doly. Zadaie 4 Wyzacz kresy dole i góre astępujących zbiorów:. { + : N}. (0, ) (3, 4] 3. (0, ] Q 4. [0, ] \ Q 5. N 6. Z * Zadaie 43 Niech A = { 0 : < }. Pokaż, że sup(a) = (czyli, że sup(a) = ). Zadaie 44 Korzystając z tego, że si () + cos () = pokaż, że si() + cos() 5 dla każdego R. Wskazówka: Skorzystaj z ierówości Cauchy ego. Zadaie 45 Pokaż, że dla dowolego ciągu liczb a,... a zachodzi ierówość a a a a. 3 Ciagi Zadaie 46 Pokaż, że ciąg ( ) jest ograiczoy. Zadaie 47 Oblicz graice astępujących ciągów: a = 3+ +, b = + +3, c = , d = , e = , f = , g = , h = Zadaie 48 Dlaczego ciąg a = ( ) + ie jest zbieży? Zadaie 49 Dlaczego ciąg a = ( ) ie jest zbieży? + + Zadaie 50 Bezpośredio z defiicji graicy ciągu pokaż, że lim =, lim ) =. = 0 oraz lim ( Zadaie 5 Oblicz graice lim oraz lim Zadaie 5 Oblicz graice ciągów. a = +( ) +,. b = +, 3. c = +. Zadaie 53 Pokaż, że ze zbieżości ciągu (a ) wyika zbieżość ciągu ( a ). Czy prawdziwe jest twierdzeie odwrote? Zadaie 54 Ustalmy liczbę a. Wyzacz graicę ciągu a = a. Zadaie 55 Pokaż, że jeśli a < to lim ( + a a ) = a. Wskazówka: Skorzystaj ze wzoru a + q + q q. Zadaie 56 Niech a 0 = oraz a + = 3 + a.. Pokaż, stosując metodę idukcji matematyczej, że a a < 6 dla każdego. 5

6 . Pokaż, że ciąg (a ) jest rosący 3. Wyzacz graicę tego ciągu. Zadaie 57 Ustalmy liczbę a > 0. Niech 0 = a oraz + = ( + a ). Pokaż, że lim = a. Zastosuj te wyiki dla a =. Który wyraz tak zbudowaego ciągu rożi się od o miej iż 0 3? Uwaga: Tu był błąd; podae uprzedio było, że 0 = 0. Zadaie 58 Niech a 0 = oraz a + = (a + 4). Pokaż, że ciąg (a ) jest rosący i ograiczoy oraz zajdź jego graicę. Zadaie 59 Oblicz graicę lim ( + ). Wskazówka: Skorzystaj ze wzoru (a + b)(a b) = a b.. Zadaie 60 Oblicz graicę astępujących ciągów. a = ( + )3+,. b = ( )+, 3. c = ( + ), 4. d = ( + )+, 5. e = ( + ). Zadaie 6 Oblicz astępujące graice: lim 5 +, lim 3 +. Zadaie 6 Załóżmy, że 0 a b. Wyzacz graicę ciągu a + b. Zadaie 63 Załóżmy, że lim a = 0. Pokaż, że wtedy lim a = 0. Zadaie 64 Oblicz lim ( + ). Wskazówka: Skorzystaj ze wzoru a b = (a b )/(a + b). Zadaie 65 Korzystając z twierdzeia o trzech ciągach wyzacz graice astępujących ciągów:. a = b = + 3. c = Zadaie 66 Niech H = Pokaż, że lim H =. Wskazówka: Pokaż ajpierw, że ciąg (H ) jest rosący. Przyjrzyj się astępie takiemu pogrupowaiu: H 8 = + + ( ) + ( ). Zapisz w podoby sposób H 6. Spróbuj oszacować od dołu każdy z pogrupowaych składików. Zadaie 67 Ustalmy dodatią liczbę aturalą C. Niech a = ( mod C) +. Wyzacz pukty skupieia ciągu (a ). Zadaie 68 Podaj przykład ciągu, który ma ieskończeie wiele puktów skupieia. * Zadaie 69 Podaj przykład ciągu, którego zbiorem puktów skupieia jest odciek [0, ]. ** Zadaie 70 Czy istieje ciąg, którego zbiorem puktów skupieia jest zbiór [0, )? 4 Graice i ciagłość Zadaie 7 Wyzacz wartości fukcji si, cos, ta i cot dla kątów α = 0, π 6, π 4, π 3, π. Zadaie 7 Pokaż, że si( + π ) = cos(), cos( + π ) = si() oraz ta( + π ) = cot(). 6

7 Zadaie 73 Korzystając ze wzorów si(+y) = si() cos(y)+si(y) cos() oraz cos(+y) = cos() cos(y) si() si(y) wyprowadź wzory a si(), si(3), cos(), cos(3). Zadaie 74 Narysuj, korzystając z przeglądarki Google, wykresy fukcji f() = (cos() + ) oraz g() = cos(). Wyjaśij zaobserwowae zjawisko. Zadaie 75 Naszkicuj wykresy fukcji. f () = si(),. f () = si(0), 3. f 3 () = si(00), 4. f 4 () = si(00). Zadaie 76 Naszkicuj a wspólym wykresie wykresy fukcji f() = + oraz g() =. Zadaie 77 Naszkicuj a wspólym wykresie wykresy fukcji f() = ( + ) cos (00) oraz g() = ( ) cos (00). Zadaie 78 Niech f() = 4.. Wyzacz astępujące graice: lim f(), lim f(), lim + f(), lim f(), lim + f(), lim f().. Naszkicuj wykres tej fukcji. Zadaie 79 Niech sg() = : < 0 0 : = 0 : > 0. Pokaż, że fukcja sg ie jest ciągła w pukcie 0.. Wyzacz pukty ciągłości fukcji sg. Zadaie 80 Wyzacz pukty ciągłości astępujących fukcji. f () = sg(si()),. f () = sg(cos()), 3. f 3 () = oraz 4. f 4 () =. Zadaie 8 Korzystając z Zadaia 54 pokaż, że dla dowolej liczby rzeczywistej a. istieje ciąg liczb wymierych (a ) taki, że lim a = a. istieje ciąg liczb iewymierych (b ) taki, że lim b = a Zadaie 8 Niech f() = Pokaż, że fukcja f ie jest ciągła w żadym pukcie. Wskazówka: Skorzystaj z zadaia 8. { : Q 0 : R \ Q Zadaie 83 Korzystając z defiicji Cauchy ego ciągłości fukcji pokaż, że suma dwóch fukcji ciągłych w pukcie 0 jest ciągła pukcie 0 Zadaie 84 Korzystając z defiicji Cauchy ego ciągłości fukcji pokaż, że fukcja f() = 3 jest ciągła. Zadaie 85 Załóżmy, że istieje η > 0 taka, że ( )( 0 < η f() = g()). Pokaż, że jeśli f jest ciągła w pukcie 0 to rówież g jest ciągła w pukcie 0. Dlaczego pokazaą własość fukcji ciągłych możemy wysłowić astępująco: ciagłość fukcji w pukcie jest pojęciem lokalym? 7

8 Zadaie 86 Narysuj wykresy fukcji zadaych wzorami y =, y =, y = si( ), y = si( ), y = si( ) oraz wyzacz ich graice w pukcie 0. Zadaie 87 Naszkicuj wykresy fukcji zadaych wzorami:. y =,. y =, 3. y =, 4. y = 3. Zadaie 88 Niech > 0. Naszkicuj wykres fukcji zadaej wzorem f() = ( ) ( ). Wskazówka: rozważ oddzielie przypadek parzystego i ieparzystego. Zadaie 89 Oblicz astępujące graice:. lim 0 si(a),. lim 3, 3. lim 3. Zadaie 90 Załóżmy, że fukcja f jest ciągła. Pokaż, że fukcja g() = f() jest rówież ciągła. Wskazówka: skorzystaj z tego, że złożeie fukcji ciągłych jest fukcją ciągłą. Zadaie 9 Oblicz graice wielomiau postaci w() = + a a + a 0 w ieskończoości oraz w mius ieskończoości. Wskazówka: Rozważ oddzielie przypadek parzystego oraz ieparzystego. Zadaie 9 Pokaż, że każdy wielomia stopia ieparzystego ma pierwiastek. Wskazówka: Skorzystaj z poprzediego zadaia oraz własości Darbou fukcji ciągłych. Zadaie 93 Załóżmy, że fukcje f i g są ciągłe. Niech h() = ma{f(), g()}. Pokaż, że h jest fukcją ciągłą. Zadaie 94 Załóżmy, że f : [0, ] [0, ] jest fukcją ciągłą. Pokaż, że istieje takie [0, ], że f() =. Wskazówka: Przyjrzyj się fukcji g() = f(). Zadaie 95 Niech f, q : R R będą fukcjami rosącymi. Pokaż, że złożeie f g jest fukcją rosącą. Zadaie 96 Naszkicuj wykresy fukcji f () = ( ), f () =, f 3 () =, f 4 () = e oraz f 5 () = 3. Zadaie 97 Naszkicuj wykresy fukcji f () = log (), f 3() = log (), f 4 () = log e () oraz f 5 () = log 3 (). Zadaie 98 Pokaż, że każda fukcja f : R R jest sumą fukcji parzystej i ieparzystej. Wskazówka: Rozważ fukcje h() = (f() + f( )) oraz g() = (f() f( )). Zadaie 99 Niech f() = si() oraz g() =.. Naszkicuj wykres fukcji f g.. Naszkicuj wykres fukcji g f. Zadaie 00 Naszkicuj wykres fukcji f() = +. Sprawdź, że + = ( )( + ) +. Korzystając z tego wzoru przedstaw fukcję f jako sumę fukcji liiowej oraz pewej prostej fukcji wymierej.. Korzystając z poprzediego puktu aszkicuj poowie wykres fukcji f. 3. Zapozaj się z pojęciem asymptoty ukośej. 8

9 Zadaie 0 Podaj przykład ciągłej fukcji f : [0, ) [0, ] która ie osiąga wartości maksymalej. Zadaie 0 Pokaż przykład takiej fukcji ciągłej f : (0, ) R która ie jest ograiczoa z góry ai z dołu. Zadaie 03 Załóżmy, że f : R [0, ) jest ciągła, oraz, że lim f() = lim f() = 0. Pokaż, że istieje 0 R takie, że f( 0 ) = sup{f() : R}. * Zadaie 04 Niech f : R R będzie taką fukcją ciągłą, że (, y R)(f( + y) = f() + f(y)). Pokaż, że f() = a dla a = f(). Wskazówka: Zaczij od pokazaia, że dla każdego N mamy f() = a. Pokaż astępie, że f( ) = f(). Potem się zajmij liczbami wymierymi. A a końcu skorzystaj z ciągłości. 5 Pochode Zadaie 05 Oblicz pochode astępujących fukcji:. f() = , g() = f() = f() =, g() = +, h() = 4. f() = ( + + )( ) f() = ( + )/( ), g() = f() = e, g() = e, h() = 3 e. Wskazówka: (e ) = e. Zadaie 06 W jakich puktach fukcja f() = + + jest różiczkowala? Zadaie 07 Zajdź przykład ciągłej fukcji f : R R, która ie różiczkowala w ieskończoej liczbie puktów. Zadaie 08 W jakich przedziałach fukcje y = ( ), y = e, y = e są rosące? Zadaie 09 Zbadaj wykresy fukcji y = e, y = +, y = ( )( ). Zadaie 0 Zajdź ekstrema fukcji y = (a ), y = (a ). Zadaie Pokaż, że jeśli fukcje f, g i h są różiczkowale w pukcie, to (f() g() h()) = f () g() h() + f() g () h() + f() g() h (). Zadaie Zajdź pole ajwiększego prostokąta o bokach rówoległych do osi układu współrzędych wpisaego w elipsę o rówaiu a + y b =. Zadaie 3 Pokaż, że ze wszystkich prostokątów o ustaloym obwodzie kwadrat ma ajwiększą powierzchię. Zadaie 4 Pokaż, że ze wszystkich trójkątów o ustaloym obwodzie i o ustaloej podstawie trójkąt róworamiey ma ajwiększą powierzchię. Zadaie 5 Pokaż, że ze wszystkich trójkątów o ustaloym obwodzie trójkąt rówoboczy ma ajwiększą powierzchię. Wskazówka: Skorzystaj z poprzediego zadaia. Zadaie 6 Niech f a,b () = { a + b : < : Zajdź takie parametry a i b aby fukcja f a,b była różiczkowala w każdym pukcie. 9

10 Zadaie 7 Oblicz pochode astępujących fukcji:. y = 3 3 +,. y = si( ), 3. y = e, (, 4. y = e + ) 5. y = si(), 6. y = ta (), 7. y = l( + ), y = log ta()) 8. y = l +, 9. y = arcsi(e ), y = arccos( ) 0. y = arcta( + ), y = arcta(e ) Zadaie 8 Zbadaj przebieg zmieości astępujących fukcji:. f() = 3 e.. f() = 3 3. f() = l() 4. f() = l ( + ) + Zadaie 9 Dlaczego fukcja y = l jest ciągła? Podaj możliwie prosty argumet. Zadaie 0 Napisz rówaia styczych do podaych fukcji w podaych puktach:. f() = l( + e ), P = (0, f(0),. f() = +, P = (, f()). Zadaie Zbadaj przebieg zmieości astępujących fukcji:. y = e,. y = +, 3. y = ( )( ). Zadaie Który z puktów paraboli y = leży ajbliżej prostej y 5 = 0? Wskazówka: Odległość puktu P = ( 0, y 0 ) od prostej o rówaiu a + by + c = 0 wyraża się wzorem. a 0 + by 0 + c a + b Zadaie 3 Zajdź pole ajwiększego prostokąta o bokach rówoległych do osi układu współrzędych wpisaego w elipsę o rówaiu a + y b =. Zadaie 4 Oblicz pierwsze i drugie pochode fukcji f(t) = r si(ωt) i g(t) = r cos(ωt). Zadaie 5 Oblicz pochode astępujących fukcji:. si(si()), si(si(si())). si(cos(si())) Zadaie 6 Załóżmy, że f (t) = f(t) dla każdego t R. Pokaż, że istieje taka stała C, że f(t) = C e t. Wskazówka: Oblicz pochodą fukcji g(t) = f(t) e. Uwaga: Rozwiązaliśmy w te sposób rówaie różiczkowe t (t) = (t). Zadaie 7 Pokaż, że dla każdego > 0 mamy + < l( + ) <. Zadaie 8 Korzystając z reguł de l Hospitala oblicz astępujące graice:. lim 0 e cos(3) 0

11 . lim l 3. lim (l ) 3 4. lim 0 (l( cos()) l( )) 5. lim ( 3 ) 6. lim 0 7. lim (e + ) 8. lim 0+ 3 l 9. lim 0 arcta() 0. lim (l ). lim 0 l(cos(). lim l(e +), 3. lim 0+ l(), 4. lim 0+. Wskazówka: skorzystaj z tego, że t = e l t dla dowolego t > 0, oraz, że fukcja f() = e jest ciągła. 5. lim l Zadaie 9 Wyzacz, dla dowolego ustaloego aturalego k, graice lim (l()) k, lim k. Zadaie 30 Niech f() = + +. Zastosuj wzór Taylora rzędu 3 dla fukcji f w puktach = 0 oraz =. Zadaie 3 Wyzacz wielomiay Taylora rzędu 0 astępujących fukcji f() = e, g() = si(), h() = cos(), j() = si() + cos(). Zadaie 3 Za pomocą wzoru Taylora oblicz si(0.) z dokładością do 0?0. * Zadaie 33 Rozważmy astępującą fukcję { ep( f(t) = t ) t > 0 0 t 0. Pokaż, że fukcja f jest ciągła.. Pokaż, że dla każdego 0 istieje taki wielomia w(), że f () (t) = w( t ) ep( t ). 3. Pokaż, że dla każdego > 0 mamy lim t 0+ ep( t ) t a = 0 4. Pokaż, że dla każdego 0 istieje pochoda f () (0) i jest rówa 0 5. Zastosuj wzór Taylora dla fukcji f w pukcie 0. Zadaie 34 Pokaż, że. arcsi + = arccos +. arcta = arcta Wskazówka: Oblicz pochode obu stro. 6 Całki Zadaie 35 Oblicz astępujące całki: ( ) d, 0 ( + ) d, 0 π ( si() + si()) d. 0

12 Zadaie 36 Wyzacz, bez wykoywaia żadych obliczeń, astępujące całki: π/ π/ si() d. 3 d, ( + 5 )d, Zadaie 37 Niech G(c) = c d.. Zakładając, że c > wyzacz G(c). Oblicz lim G(c) 3. Podaj iterpretację geometryczą otrzymaego wyiku. Zadaie 38 Wyzacz, stosując metodę całkowaia przez części, astępujące całki ieozaczoe:. cos() d, cos() d, 3 cos() d. si() d, si() d, 3 si() d 3. e d, e d, 3 e d 4. l d, l d, 3 l d Spróbuj samodzielie uogólić powyższe obliczeia. Zadaie 39 Wyzacz, stosując metodę całkowaia przez podstawieie, astępujące całki ieozaczoe:. si(3 + ) d, + d, + d (podstaw t = + ),. + d, d, 3 3. e d 4. si(l ) d (podstaw u = l, zastosuj dwukrotie całkowaie przez części) 5. ta d Zadaie 40 Wyzacz pole astępujących obszarów:. A = {(, y) R : 0 y }. B = {(, y) R : 0 π y si }, 3. C = {(, y) R : y < e }. 4. Obszar ograiczoy parabolą o rówaiu y = 6 i osią OX Zadaie 4 Wyzacz pole elipsy zadaej rówaiem: a + y b =. Zadaie 4 Załóżmy, że f jest fukcją różiczkowala oraz, że g jest fukcją ciągłą. Niech H() = f() a g(t) dt. Wyzacz H (). Wskazówka: Niech F () = g(t) dt. Zauważ, że H() = F (f()). a Zadaie 43 Oblicz astępujące całki ieozaczoe z fukcji wymierych: d. ( )(+5) d ( )(+5) d 4. ( ) d 5. ( ) d. Wskazówka: Wyzacz takie liczby A, B i C, że ( ) = A + 6. (+ ) d. Wskazówka: Zastosuj podstawieie = ta(u). B + C ( ).

13 d, (+ ) d Zadaie 44 Rozważamy fukcję f() = a odciku [0, ]. Rozważamy sumę dolą { s (f, 0, ) = if f() : k k + }. k=0. Korzystając ze wzoru = 6 (+)(+) wyzacz zwartą postać wzoru a s (f, 0, ). Oblicz lim s (f, 0, ) 3. Oblicz 0 d za pomocą całki ieozaczoej : ) Zadaie 45 Oblicz objętość torusa powstałego przez obrót koła + (y a) r. 7 Szeregi Zadaie 46 Pokaż, że jeśli szeregi a i b są zbieże oraz a i b są ustaloymi liczbami rzeczywistymi, to szereg (a a + b b ) jest zbieży oraz (a a + b b ) = a a + b b. =0 =0 =0 Zadaie 47 Oblicz sumy ( ), 5 ( ) k= k Zadaie 48 Oblicz sumy A + B +. (+), (+3). Wskazówka: Zajdź liczby A i B takie, że (+) = Zadaie 49 Zbadaj zbieżość astępujących szeregów:, 3,. Zadaie 50 Zastosuj kryterium zbieżości d Alamberta do zbadaia zbieżości szeregów + 3 +, (!) ()!. Zadaie 5 Wyzacz promieie zbieżości astępujących szeregów potęgowych: ( ) (!) k (k)! (dla ustaloego aturalego k > 0) Zadaie 5 Rozwiń astępujące fukcje w szereg Maclauria i wyzacz ich promieie zbieżości:. f() = si(). g() = cos() 3. f() = l 4. f() = l + (!), 3

14 c.d.. Powodzeia, Jacek Cichoń 4