P π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny

Transkrypt

1 Rówaie ogóle płaszczyzy w E 3. ae: P π i π o =[A,B,C] P (,y,z ) Wówczas: P P=[-,y-y,z-z ] P π <=> PP<=> PP= o o Rówaie () azywamy rówaiem ogólym płaszczyzy A(- )+B(y-y )+C(z-z )= ( ) A+By+Cz+= Przykład E 3 y= jest to rówaie płaszczyzy π w E 3 π: -y= v = [,,] Rówaie parametrycze prostej w przestrzei. ae: i P π π o u=[a,b,c] l P P l l: P=P +tu,t R l: (,y,z)=(,y,z )+t[a,b,c],t R = + at l : y = y + bt z = z + ct Powyższe postacie rówaia prostej w przestrzei E 3 są rówoważe. Ie postacie rówaia prostej i płaszczyzy. - rówaie odcikowe płaszczyzy π: A+By+Cz+= założeie: A, B, C, Wykład dr Magdaley Sękowskiej stroa z Część 5 Euklid. przest. afiicza

2 Wówczas rówaie ma postać: y z + + = A B C Przyjmujemy: Czyli: y z + + a b c = a =, b =, c = (*) A B C c z (*) Postać tą azywamy rówaiem odcikowym płaszczyzy a b y - rówaie krawędziowe prostej: π : A +B y+c z+ = π : A +B y+c z+ = Jeśli: π π to mamy rówaie krawędziowe prostej. (Prosta jest wyzaczoa przez krawędź przecięcia dwóch ierówoległych płaszczyz) Wiosek: π = [A,B,C ] π l v = = [A, B,C ] Aby zaleźć rówaie prostej l ależy (przyjmując dowolie jedą z iewiadomych) rozwiązać układ rówań: π π - postać kaoicza rówaia prostej: y y z z = = a b c Aby przejść do rówaia parametryczego ależy przyrówać koleje składiki do parametru i wyzaczyć, y, z. ef. Pęk płaszczyz. π π pękiem płaszczyz azywamy zbiór wszystkich płaszczyz rówoległych do π (π ). Wykład dr Magdaley Sękowskiej stroa z Część 5 Euklid. przest. afiicza

3 π π. pękiem płaszczyz azywamy zbiór wszystkich płaszczyz przechodzących przez wspólą krawędź π i π. Uwaga la pęku płaszczyz zachodzi: Jeśli: π : A +b y+c z+ = π : A +B y+c z+ = k,k R: k (A +b y+c z+ )+k (A +B y+c z+ )= Odległość puktu od płaszczyzy w E 3.. P(,y,z ) P aa jest płaszczyza o rówaiu ogólym: π: A+By+Cz+= Wówczas odległość puktu P od płaszczyzy π daa jest wzorem: A + By + Cz + d(p, π ) = A + B + C Wzajeme położeie prostych w przestrzei E 3. Prosa l daa jest rówaiem l : (,y,z)=(,y,z ) + t[a,b,c ] l : P = P + tv Prosta l daa jest rówaiem: l : (,y,z)=(,y,z ) + t[a,b,c ] l : P = P + tv I. proste są rówoległe l l v v II. proste przeciają się l l l {P } l = Warukiem aby proste przeciały się jest. v v ) ( l. układ rówań ma dokładie jedo rozwiązaie l Wykład dr Magdaley Sękowskiej stroa 3 z Część 5 Euklid. przest. afiicza

4 Iterpretacja geometrycza: P l P v v l Waruek, aby proste się przeciały ma postać: ( v ) P P III. Proste są skośe Waruek, aby proste były skośe ma postać:. v v ) ( l. układ rówań jest sprzeczy l v = Geometryczie waruek te ma postać: v v ) P P ( Odległość prostych w przestrzei E 3. ae są proste l,l. Jeśli l l to odległość prostych l i l jest rówa odległości dowolego puktu z jedej prostej od drugiej.. Jeśli proste są skośe to odległość między imi jest rówa długości ajkrótszego odcika łączącego obie proste. d(l,l ) = (v v ) P P v v Przykład Badamy wzajeme położeie prostych. = 9 + 4t = s l : y = 3t l : y = 7 9s z = t z = + s P =(9,-,) P =(-,-7,) l v = [4, 3,] l v = [,9,] czyli v v Wykład dr Magdaley Sękowskiej stroa 4 z Część 5 Euklid. przest. afiicza

5 Rozwiązujemy układ rówań: = 9 + 4t y = 3t s = 9 + 4t z = t 7 9s = 3t(**) = s y = 7 9s + s = t z = + s 7 s = 4 t = Sprawdzamy, czy ta para spełia rówaie (**) -7-9s --3t Wiosek: Proste są skośe. s = 9 + 4t + s = t Teraz zajdziemy rówaie płaszczyzy π, która zawiera prostą l i do której prosta l jest rówoległa. π: l π l π P l P π P =(9,-,) π π i j k = v v = 4 3 = 5i j + 3k 9 = [ 5,,3] π: -5(-9) (y+) + 3(z-) = π: -3 - y + 6z + 3 = Wzajeme położeie płaszczyz w przestrzei E 3. ae są trzy płaszczyzy π,π,π 3.. płaszczyzy przeciają się wzdłuż wspólej prostej π układ π a ieskończeie wiele rozwiązań zależych od jedego π3 parametru. płaszczyzy przeciają się w jedym pukcie układ π π ma π3 dokładie jedo rozwiązaie. Powierzchie stopia drugiego w E 3 Rówaie postaci: Wykład dr Magdaley Sękowskiej stroa 5 z Część 5 Euklid. przest. afiicza

6 a + a y + a 33z + ay + a3z + a 3yz + b + by + b3z + c = jest rówaiem powierzchi stopia drugiego (właściwej lub iewłaściwej). Postacie kaoicze krzywych drugiego stopia różych rodzajów. I. rodzaj: powierzchia elipsoidala. y z + + = a b c elipsoida obrotowa II. rodzaj: powierzchia hiperboloidala a y + b z c = hiperboloida jedopowłokowa stożek eliptyczy hiperboloida dwupowłokowa hiperboloida jedopowłokowa Wykład dr Magdaley Sękowskiej stroa 6 z Część 5 Euklid. przest. afiicza

7 stożek eliptyczy hiperboloida dwupowłokowa III. rodzaj: płaszczyza paraboliczo eliptycza a y + b z = paraboloida eliptycza walec eliptyczy Wykład dr Magdaley Sękowskiej stroa 7 z Część 5 Euklid. przest. afiicza

8 paraboloida eliptycza IV. rodzaj: paraboloidalo hiperboliczy walec eliptyczy a y b z = ± paraboloida hiperbolicza walec hiperboliczy paraboloida hiperboloidala Wykład dr Magdaley Sękowskiej stroa 8 z Część 5 Euklid. przest. afiicza

9 walec hiperboliczy V. rodzaj: powierzchia paraboloidala y = p walec paraboliczy walec paraboliczy Uwaga Rówaia postaci kaoiczych są wyzaczoe tak, że osią symetrii jest oś OZ a (jeśli istieje) środkiem geometryczym puktu (,,) FORMY KWARATOWE ef. Formą kwadratową zmieych azywamy odwzorowaie g, takie że: g: R R g (,,..., ) = a iji j i, j= a ij = a ji Macierzą formy kwadratowej azywamy macierz A, taką że: Wykład dr Magdaley Sękowskiej stroa 9 z Część 5 Euklid. przest. afiicza

10 a a A = a a Z waruku a ij = a ji wyika, że macierz A jest macierzą symetryczą, tz. A T =A. Przykład g(,, 3 )= A = Postać kaoicza formy kwadratowej. ef. Postać formy kwadratowej: g (', ',..., ' ) = a i(' i ), gdzie = i= ' i α azywamy postacią kaoiczą formy kwadrwtowej.] i= Sprowadzaie formy kwadratowej do postaci kaoiczej metodą Lagrage a. Założeia g (,,..., ) = a iji j i, j= a ii Schemat metody jest astępujący:. grupujemy wyrazy zawierające i. uzupełiamy do kwadratu i i Wykład dr Magdaley Sękowskiej stroa z Część 5 Euklid. przest. afiicza