III seria zadań domowych - Analiza I

Transkrypt

1 III seria zadań domowych - Aaliza I Różiczkowalość fukcji Zadaie Dla jakich wartości parametrów abc R fukcje a + gdy π si + b gdy > π a + b gdy 0 gdy > c a + b gdy c są różiczkowale. a + b gdy a 0 / arcsi gdy 0 < < + a gdy > a + b + c gdy Zadaie Zbadać różiczkowalość fukcji w R daych wzorem arcctg gdy 0 0 gdy = 0 Zadaie 3 Sprawdzić różiczkowalość fukcji w podaych puktach: f 3 := f := 3 4 gdy 0 0 gdy = 0 3 cos gdy 0 0 gdy = 0 f := + 3 gdy < log + 7 gdy 3 + f 4 := π siπ gdy 5 + gdy >. Obliczaie pochodych Zadaie 4 Obliczyć pochode y = lltg y = 3 tg4 +5 y = arccos y = y = l + tg arcta y = l Zadaie 5 Obliczyć pochode 3l + y = arcctg 3 y = + cos y = e e + y = arccos y = cos y = l +. + y = ctg 3 y = arcsi y = l y = cos arctg y = si tg. Zadaie 6 Obliczyć dziesi ata pochod a fukcji a f = e b f = 3 c 3 log5 +..

2 Zadaie 7 Udowodić że [fg] = Wskazówka: skorzystać z zasady idukcji. Zadaie 8 Zajdź -t a pochod a fukcji: k=0 k f k g k. f = l + f = l Zadaie 9 Obliczyć lewostro a i prawostro a graicȩ fukcji w podaych puktach af = e / = 0 bf = Zadaie 0 Wyzaczyć graice: + e = cf = = 0. + e lim lim e lim + si lim + e k lim π cos3 cos lim a m a m a lim 0 cosa cosb lim + si +si Zadaie Wyzaczyć graice: Zadaie Wyzaczyć graice: lim 0 ctg lim 3 +0 log lim π/ ta sec lim log lim 0 si cosa lim 0 cosb lim 0 cos3tg5 lim lim +0 e lim 0 ctg Zadaie 3 Wyzaczyć graice: lim π 4 lim + log lim + + e lim + a log

3 Zadaie 4 Obliczyć graice przy 0 astȩpuj acych fukcji: a f = si b f = tg c f = tah. Zadaie 5 Narysować wykres fukcji Przebieg fukcji f = arctg + arctg. Zadaie 6 Zbadać przebieg fukcji f : R\]0 ] R określoej wzorem f = 3. Zadaie 7 Dowiesć że + p + p dla ]+ [ oraz p ] 0] [+ [. Zadaie 8 Wyzaczyć przedziały mootoiczości astȩpuj acych fukcji a f = f = f = log. Zadaie 9 Zbadaj przebieg zmieości i aszkicuj wykres fukcji: f = f = lsi f = Zadaie 0 Zaleźć ekstrema astȩpuj acych fukcji a f = f = l. Szeregi Taylora Zadaie Rozwi ać w szereg Taylora wokół podaego puktu astȩpuj ace fukcje: af = + ++ = 0 bf = si cos = 0 cf = = 3 df = = ef = si π 4 = ff = cos = π Zadaie Napisać wzór Taylora w 0 = 0 dla fukcji f = l[ + l + ] f = + tgh π f = si e. Zadaie 3 Policzyć za pomocą wzoru Taylora graicę lim

4 Zastosowaia pochodych Zadaie 4 Jak z trzech jedakowych desek zrobić ryȩ o ajwiȩkszym przekroju poprzeczym? Zadaie 5 Wybrać takie miejsce a budowȩ mostu przez rzekȩ aby długość drogi ł acz acej dwa obiekty leż ace po różych stroach rzeki była jak ajmiejsza. Zadaie 6 Jakie wymiary musi mieć prostok at utworzoy z kawałka drutu o długości l aby jego pole było ajwiȩksze? Zadaie 7 Od kaału o szerokości a odchodzi pod k atem prostym kaał o szerokości b. Jak a ajdłuż sz a drewia a belk a moża spławić z jedego kaału do drugiego. Zadaie 8 Korzystaj ac z rozwiiȩć odpowiedich fukcji oblicz e z dokładości a do 0.00 posługuj ac siȩ rozwiiȩciem e. Szeregi Zadaie 9 Zajdź szereg oraz jego sumę lim N + S N jeśli N-ty wyraz ciągu S N } N sum częściowych ma postać i N + N ii N N iii N N Zadaie 30 Udowodij tożsamość arctg = + = π rozważając ciąg sum częściowych arctgn. Wskazówka: wykorzystaj tożsamość tgα + β = tgα + tgβ tgαtgβ Zadaie 3 Oblicz graicę ciągu sum częściowych szeregu którego N-ty wyraz ma postać. 4 = = + + = log N log = + + = + = + = p p N = = si + cos 3 + Zadaie 3 Niech } N będzie ciągiem malejącym o wyrazach dodatich. Udowodij rówoważość stwierdzeń: i Szereg o N-tej sumie częściowej N = jest zbieży. ii Szereg o N-tej sumie częściowej N = jest zbieży. 4

5 Zadaie 33 Zbadaj zbieżość szeregu którego N-ta suma częściowa ma postać cos = = = = = = + 5 a log +b e c log +d abcd R = = log cos =! = = p! = p R S N = tg π = + = log cos π 3 = = loga = b ab > ! Zadaie 34 Niech } N będzie ciągiem o wyrazach dodatich rozbieżym do +. Czy szereg jest zbieży? = log Zadaie 35 Zajdź zbiór złożoy z puktów zbieżości poiższych szeregów =! + = + + = = = = 3 log = log log log!! tg = + = 5 log 5