Analiza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.

Transkrypt

1 Aaliza matematycza I. Pula jawych zadań a kolokwia. Wydział MIiM UW, 23/4 ostatie poprawki: 6 listopada 23 Szaowi Państwo, zgodie z zapowiedzią, a każdym kolokwium w pierwszym semestrze co ajmiej 2 zadaia zostaą wybrae z poiższej jawej puli. Wśród zamieszczoych iżej zadań są łatwiejsze i trudiejsze. Podkreślamy: proszę się ie zrażać, jeśli ie będą Państwo umieli zrobić wszystkich od razu. Materiał jest obszery i dla większości z Państwa trudiejszy, iż w szkole, szczególie a samym początku studiów. Poadto, w matematyce jest rzeczą ormalą, że człowiek pewych rzeczy ie potrafi zrobić. Skutecza auka wymaga czasu, regularego treigu i cierpliwości, a także bieżącego kotaktu z materiałem z wykładu. Taka iwestycja przyosi praktyczie zawsze pozytywe skutki. Liczby rzeczywiste. Kresy zbiorów. Idukcja.. Udowodić, że dla wszystkich x zachodzi ierówość x 3 5x 2 + 4x Udowodić, że liczba jest iewymiera. 3. Wykazać, że rówaie x/ = ( x)/x a liczbę złotego podziału x (, ) ie ma pierwiastków wymierych. 4. Niech a i b będą liczbami dodatimi takimi, że a 2 + b 2 2. Udowodić, że a + b Płaszczyzę parametrów a, b R podzielić a podzbiory odpowiadające stałej liczbie pierwiastków rówaia abx 2 + (a + b)x + =. 6. Rozstrzygąć, czy liczba jest wymiera. Wskazówka. Zbadać sumę i iloczy liczb ± 5 2.

2 7. Niech A R będzie zbiorem ograiczoym i λ R. Zbiór λa określamy wzorem λa := {λa: a A}. Ozaczmy sup A = M i if A = m. Wyzaczyć kresy zbioru λa. 8. Udowodić, że dla każdego N zachodzi ierówość Udowodić, że dla każdego N zachodzi ierówość Udowodić, że dla dowolej liczby aturalej > zachodzą ierówości 2 < <.. Wykazać, że dla każdego aturalego liczba 3 7 jest podziela przez Wykazać, że jeśli jest liczbą aturalą parzystą, to liczba dzieli się przez 48 (= ). 3. Udowodić, że dla liczb całkowitych k < l /2 mamy ( k ) < ( l ). 4. Czy zbiór A = {2 /3 k, gdzie k, aturale i k } jest ograiczoy z góry? A z dołu? Proszę uzasadić obie odpowiedzi. Jeśli któraś z ich jest twierdząca, wyzaczyć odpowiedi kres zbioru A. 5. Dae są liczby a [, ], gdzie =, 2,.... Udowodić, że zbiór { a } A = : =, 2,... jest ograiczoy i if A =. 6. Udowodić, że (!) 2 + dla Udowodić, że zbiór { } : =, 2,... (!) 2 jest ograiczoy. Wyzaczyć jego kresy. 8. Wyzaczyć kresy zbiorów A = { x + x + : x R oraz x < 2}, B = { x x + : x R}. 2

3 9. Zaleźć if A i sup A, gdzie A = {x + y + z : x, y, z >, xyz = }. 2. Zbiór iepusty A R ma tę własość, że dla każdego a A istieje elemet b A taki, że b a +. Wykazać, że if A Wyzaczyć kres góry i doly zbioru {(x + y)(x + y ) x, y > }. 22. Wyzaczyć kres góry i doly zbioru { } k 2 A = 2 + k :, k N Wyzaczyć kres góry i doly zbioru { 2 m m2 > m, m N } 24. Wyzaczyć kres góry i doly zbioru { } m 2 :, m N, m >. m Zaleźć kresy zbioru A, jego elemet ajwiększy lub wykazać, że takowy ie istieje oraz elemet ajmiejszy lub wykazać, że takowy ie istieje, jeśli { } 23 + k A = :, k Z,, k. + 23k 26. Zbiór iepusty A (, ) ma tę własość, że jeśli a A, to a jeśli A jest ograiczoy z góry, to if A sup A =. A. Wykazać, że 27. Ciąg (a ) jest określoy rekurecyjie: a = 2, a 2 = 7, a +2 = 7a + a dla,2,... Udowodić, że a = dla wszystkich N. 28. Wykazać, że dla każdego N zachodzi ierówość Zaleźć wzór a i udowodić go. ( ) k k k= 3

4 3. Udowodić, że jeśli 4 jest liczbą aturalą, to ( ) Udowodić, że prawdziwy jest astępujący wzór: ( ) ( ) ( ) ( ) [/2] = Wykazać, że ( ) ( ) ( ) ( ) = ( + ) Wskazówka. Zauważyć, że k 2 = k(k ) + k i obliczyć dwie sumy. 33. Załóżmy, że (s k ) jest ciągiem liczb rzeczywistych ieujemych, s, i dla każdego k spełioa jest ierówość s k+ 2k + 3 k s j. j= Wykazać, że s k < 7 k dla wszystkich k aturalych. Wskazówka. 2k < + 2k ( + 2) k a mocy ierówości Beroulli ego. 34. Niech będzie liczbą całkowitą dodatią. Udowodić ierówość ( + ) + > ( + 2). 35. Zaleźć kres góry zbioru { a 22 + b 22 + c 22 a + b + c =, a, b, c > }. 36. Niech (a ) będzie ciągiem ściśle rosącym o wyrazach aturalych (w zadaiu przyjmujemy, że / N). Wykazać, że a) dla dowolego m N ciąg b := a + a m a m 2 a b) if jest malejący, { a + a m a m 2 a, m N } =, { a + a m } c) sup, m N = 2 a. a m 2 a 4

5 2 Ciągi i graice. 37. Czy któryś z poiższych ciągów jest mootoiczy? Mootoiczy dla dostateczie dużych? Odpowiedź oczywiście ależy uzasadić. a = 2 + 2, b = Obliczyć graice astępujących ciągów: a = , b = 39. Obliczyć graice astępujących ciągów: a = 4. Obliczyć graicę (7 + 2) ( ) [ 3 ] (3 )( 2)(2 3)( 4)(4 5) + 2, b = ( ( ) + ) ( ) Dla każdego z poiższych ciągów zbadaj, czy ma o graicę, a jeżeli tak, to oblicz jej wartość. a = ( ) 5 (,, b = 2 k ( + ) k, ) 2 c = 2, d = Załóżmy, że liczby a, b, c R mają tę własość, że dla każdego N istieje trójkąt o bokach a, b, c. Wykazać, że wśród liczb a, b, c przyajmiej dwie są sobie rówe. 43. Obliczyć graice astępujących ciągów: k= 44. Zaleźć graicę ciągu a = 2 7, b = 3 2. a = ( + )

6 45. Obliczyć graicę ( ) Obliczyć graicę 47. Niech, dla wszystkich k aturalych, Wykazać, że / /2 + 2 s k = 2k =k 2. s k = (2k + 2)2k 4k 2 2 2k dla k N i obliczyć graicę ciągu (s k ). 48. Niech, dla wszystkich k aturalych, Wykazać, że k ( ) 4 s k =. 3 = s k = 2 + (3k 2) i obliczyć graicę ciągu c k = s k /2 k/2. ( ) k 4 dla k N Niech a będzie ciągiem zadaym rekurecyjie: a jest pewą liczbą rzeczywistą, a poadto a + = a 2 dla =, 2,... Udowodić, że gdy a ( + 5)/2, to ciąg (a ) jest ograiczoy, a gdy a > ( + 5)/2, to ciąg (a ) jest rozbieży (do +.) 5. Udowodić, że ciąg jest zbieży i zaleźć jego graicę. a = 3, a 2 = 3 2 3,..., a = 3 2 a,... 6

7 5. Day jest ciąg (a ) taki, że a = a 2 = oraz 2a +2 = 2a + +a dla =, 2, Wykazać, że a = [( + 3 ) ( 3 ) ] Obliczyć a. 52. Niech (F ) będzie ciągiem spełiającym waruki F =, F =, F +2 = F + + F,. Udowodij, że dla 2 prawdziwa jest rówość 53. Obliczyć graicę 54. Obliczyć graicę 55. Obliczyć graicę 56. Obliczyć graicę 57. Obliczyć graicę 58. Obliczyć graicę gdzie b = ( + ) 2. F 4 = + F 2 F F + F +2. (!). 2 l( ) l( ). ( l ). ( l( 2 + ) 2(l ) ) l. ( ) l Ciąg (a ) jest określoy rekurecyjie: ( ) b, + a = 2, a 2 =, a = 2 a + a 2 dla 3. Wykazać, że ciąg (a ) jest rosący i ograiczoy, a astępie zaleźć jego graicę. 6. Ciąg (x ) jest określoy rekurecyjie: x = 2, x + = f(f(x )) dla =, 2,..., gdzie + x. Wykazać, że x jest mootoiczy i ograiczoy i obliczyć jego graicę. 7

8 6. Ciąg {a } ma wyrazy dodatie i jest ograiczoy. Wykazać, że jeśli ciąg (c ) ma graicę rówą, to ciąg day wzorem b := c l( + a ) l( + a 2 )... l( + a ) też ma graicę rówą. Wskazówka. Wykorzystać ierówość l( + x) x dla x >. 62. Obliczyć graicę ( + 2 ) l. 63. Wykazać, że jeśli ciąg liczb rzeczywistych (a ) spełia jedocześie dwa waruki: a poadto (a + a ) =, ε> N N,m>N a 3m a 3 ε, to (a ) jest zbieży. Podać przykłady świadczące o tym, że żade z powyższych waruków z osoba ie jest warukiem wystarczającym zbieżości ciągu a. 64. Wykazać, że jeśli A = {a : N} jest zbiorem wyrazów zbieżego ciągu liczb rzeczywistych (a ), to sup A A lub if A A. Podać przykład takiego ograiczoego ciągu rozbieżego (b ), dla którego ai sup B, ai if B ie są elemetami zbioru B wszystkich wyrazów ciągu (b ). 65. Obliczyć graicę (3 + ) (3 + 2). Wskazówka: przydate mogą być (ale ie muszą) róże własości logarytmu aturalego. 66. Niech x >. Defiiujemy ciąg (a ) wzorem (a) Wyzaczyć a. (b) Zbadać mootoiczość ciągu a. x + x x Załóżmy, że ciąg (a 2) jest zbieży do graicy skończoej, poadto wyrazy ciągu (a ) spełiają waruek ε> N N takie, że m>n >N takie, że a m a 2 < ε. Czy wyika stąd zbieżość ciągu (a )? 8

9 68 (trudiejsze). Niech x, x 2,..., x będą rzeczywiste i dodatie. Przyjmijmy x + = x. Proszę udowodić, że x 3 i x 2 i. x i+ i= x 2 i+ i= 3 Szeregi liczbowe i okolice Uwaga: wszędzie w tym podrozdziale symbol x ozacza część całkowitą (tz. etier) liczby rzeczywistej x, iaczej podłogę x, a symbol x tzw. sufit liczby x, tz. x = x dla x Z oraz x = x + dla x R \ Z. 69. Zbadać zbieżość szeregów a) 7. Zbadać zbieżość szeregów ( ) 2 2, b) + a) 7. Zbadać zbieżość szeregu l l b) =2 (!) 3 (3)!, c) (l l ) l. 2 ( 2) 72. Zaleźć wszystkie wartości parametru a R, dla których szereg jest zbieży. a ε, gdzie ε = 2, 73. Zaleźć wszystkie wartości parametru p R, dla których szereg ( p!) 2!. jest zbieży. 74. Niech a będzie dowolym szeregiem zbieżym o wyrazach dodatich. Czy szeregi: 4 a) a 5, b) a si a są zbieże? Uzasadić odpowiedź, podając dowód lub kotrprzykład. 9

10 75. Niech a będzie dowolym szeregiem zbieżym o wyrazach dodatich. Czy szereg a l (a ) jest zbieży? Uzasadić odpowiedź. 76. Zbadać zbieżość szeregu =2 77. Zbadać zbieżość szeregu l 5 ( ) + si() l 6 ( ) l(l( + ( ) )). ( ) +si2 5 =2 78. Zbadać zbieżość szeregu =2 79. Zbadać zbieżość szeregu 8. Zbadać zbieżość szeregu 8. Zbadać zbieżość szeregu 82. Niech ( ) ( + ) (cos cos ) + 3. =2 =2 exp exp( ) l 2. ( + )!( + ) 2. ( ) =2 S k := k = l. ( ) l. Czy ciąg S (2k) 2 jest zbieży? Czy ciąg S k jest zbieży? Obie odpowiedzi proszę uzasadić.

11 83. Day jest ciąg (a ) o wyrazach zespoloych taki, że szereg a jest zbieży. Niech σ : N N będzie bijekcją, o której wiadomo, że istieje takie M N, że dla każdego N zachodzi ierówość σ() M. Wykazać, że wówczas szereg jest zbieży. 84. Zbadać zbieżość szeregu 85. Zbadać zbieżość szeregu 86. Czy szereg a σ() ( ) (l( + ) l ). ( ) 3 l l(l ). 3 jest zbieży? Uzasadić odpowiedź. l 2 (2 + )π si Day jest zbieży szereg a. Czy wyika stąd, że szereg a / jest a) zbieży, b) bezwzględie zbieży? Odpowiedź uzasadić, podając dowód lub kotrprzykład. 88. Szereg ( i) a, gdzie a > jest zbieży. Czy jest zbieży szereg ( ) a? Odpowiedź uzasadić, podając dowód lub kotrprzykład. 89. Zbadać zbieżość szeregów a) b) Wykazać, że iloczy Cauchy ego szeregów ( ) 4 3 i ( ) 4 jest rozbieży. Czy odpowiedź zmiei się, gdy pierwszy szereg szereg zamieimy a ( ) 5/4?

12 9. Wykazać tożsamość =2 92. Zbadać zbieżość szeregu 93. Udowodić tożsamość 2 ( 3 )3 = =2 ( ) 3 + ( ) (+)/2. 3. cos 2π 5 + cos 4π 5 + cos 6π 5 + cos 8π 5 =. 94. Udowodić, że liczby zespoloe z, w C są rówe wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi astępujący waruek: ( ) exp z = exp w i dla pewego α C\R spełioa jest rówość exp(α z) = exp(α w). 95. Wykazać, że każda liczba zespoloa w C ależy do zbioru wartości fukcji cos: C C. 96. Dla ε > połóżmy S ε := {z = x + iy C: εy > x, z < ε} C. Niech f(z) = exp(/z) dla z. Wykazać, że f : S ε C \ {} jest surjekcją. 97. Szereg a o wyrazach zespoloych jest zbieży. Udowodić, że istieje ciąg ieograiczoy (b ) liczb dodatich taki, że szereg a b też jest zbieży. 4 Graica i ciągłość fukcji Uwaga: w rozwiązaiach zadań o graicach proszę posługiwać się wyłączie faktami zaymi z wykładu. 98. Obliczyć graicę 99. Obliczyć graicę. Obliczyć graicę x π 4 x cos 2x cos x si x. l(cos 2x) x si(si x). ( x si x2 + 3 ) x x 2

13 . Obliczyć graicę 2. Obliczyć graicę 3. Obliczyć graicę 4. Obliczyć graicę 5. Obliczyć graicę x x 7 x x x. x /π x x. /e ( x 2 + x + x 2x + 3 cos x x 2. ) /(x 2 ). x x x Obliczyć ( ) /x cos x. x Wskazówka: Moża wykorzystać wzór cos x = x 2 /2 + x 4 /24..., a także jedą z wersji lematu o potęgach ciągów szybko zbieżych do. 7. Obliczyć dla m, N. x m x x 8. Dla jakich parametrów a, b, c R fukcja { x2 + a 2 dla x >, ax 2 + bx + c dla x jest ciągła a R? 9. Niech P (x) i Q(x) będą wielomiaami takimi, że P () = Q() =. Jakie możliwe wartości (włączając + i ) może przyjąć wyrażeie P (x) x Q(x)? Scharakteryzować te pary (P, Q), dla których powyższa graica istieje i jest róża od i ±. 3

14 . Niech l( x 2 ), x <. Naszkicować wykres tej fukcji i scharakteryzować wszystkie wielomiay Q, dla których graica istieje i jest liczbą rzeczywistą. Q(x) x f(x). Podać przykład fukcji f : R R, która ma graicę tylko w puktach i. 2. Wyzaczyć stałe rzeczywiste a, c tak, by fukcja { ( ) a exp(tg x)/ + exp(tg x) dla x < π/2, exp(c x) 2 dla x π/2 była ciągła a prostej R. 3. Niech {, x < ;, x i iech g(x) = x 2 dla x R. Zbadać ciągłość fukcji f g oraz g f a całej prostej rzeczywistej. 4. Wyzaczyć stałe dodatie A, B, C, dla których istieje fukcja ciągła f : (, ) R taka, że A x B x 2 4 l(cx) x 2 5. Dla jakich stałych rzeczywistych A fukcja dla x > 2, dla < x < 2. [x] cos(ax), x R, gdzie [x] ozacza część całkowitą liczby x, jest ciągła a R? 6. Zbadać, czy istieje taka liczba a R, dla której fukcja { e x (cos x a), x, x ( π, π) si x, x = jest ciągła a przedziale ( π, π). 7. Fukcja f jest ciągła a przedziale [/(2 2), 2 2] i spełia waruek f(2 2) f ( /(2 2) ) = 3. Wykazać, że dla pewej liczby x zachodzi rówość f(2x). 4

15 8. Fukcja f jest ciągła a [, ] i spełia zależość f(x + /3) + f(x + 2/3) x x =. Udowodić, że istieje pukt x [, ] taki, że f(x ) =. 9. Bez pomocy kalkulatora wyzaczyć rzeczywisty pierwiastek wielomiau x 3 + x 2 + 2x + z dokładością co ajmiej Fukcja f jest ciągła a przedziale [a, b]. Określamy g(x) = sup f(t). t [a,x] Dowieść, że g jest ciągła a przedziale [a, b]. 2. Fukcja f jest ciągła a (, ]. Dla x (, ] określamy g(x) = f(x ). Udowodić, że g jest fukcją ciągłą wtedy i tylko wtedy, gdy f() = f(). 22. Niech [x] ozacza część całkowitą liczby x. Obliczyć graicę [ ] x. x x 23. Wykazać, że ( k ( ) ) 2k cos(!πx = {, x Q;, x Q. 5 Rachuek różiczkowy 24. Fukcja różiczkowala f : R R spełia rówaie f (x) dla każdego x R. Poadto f() = a. Wykazać, że ae x. 25. Wielomia W (x) ma różych pierwiastków rzeczywistych. Wykazać, że dla dowolej liczby α R wielomia αw (x) + W (x) ma co ajmiej różych pierwiastków rzeczywistych. 26. Czy fukcja { x exp( / x ) x, x, x = jest w pukcie x = ciagła? różiczkowala? Odpowiedzi proszę uzasadić. Obliczyć kres góry i kres doly f a zbiorze R. 5

16 27. Zaleźć wszystkie ekstrema lokale fukcji f : R R daej wzorem 3 x + 5 x 2 2x Zaleźć wszystkie ekstrema lokale fukcji f : R R daej wzorem 29. Zaleźć kresy zbioru 5 x 2 9 x 7. A = { N}. 3. Niech si l x dla x >. Proszę wyzaczyć: (a) wszystkie a >, dla których f jest jedostajie ciągła a (, a]; (b) wszystkie b >, dla których f jest jedostajie ciągła a [b, ), (c) wszystkie c >, dla których f jest lipschitzowska a [c, ), (d) wszystkie d >, dla których f jest lipschitzowska a (, d]. 3. Zaleźć ekstrema i zbadać wypukłość fukcji f : (, e 2 ) R daej wzorem 2 l(x) 2. Czy istieje takie N, że fukcja g(x) = (f(x)) jest wypukła a przedziale (, e 2 )? Odpowiedź uzasadić. 32. Niech f (x) = exp(x) : [, ] R. Czy istieje takie N, że f jest wklęsła a przedziale [, ]? Odpowiedź uzasadić. 33. Niech f : [a, b] R będzie ciągła, wypukła i ściśle rosąca oraz f(a) = c i f(b) = d. Wykazać, że fukcja odwrota f : [c, d] [a, b] jest wklęsła. 34. Niech f : [a, b] R będzie fukcją wypukłą. Wiadomo, że istieje pukt x (a, b) taki, że dla każdego y [a, b] zachodzi f(x) f(y). Udowodić, że f jest fukcją stałą. 35. Niech f, g : (a, b) R będą fukcjami ciągłymi i wypukłymi. Wykazać, że fukcja h : (a, b) R daa wzorem też jest wypukła. h(x) = max{f(x), g(x)} 6

17 36. Niech f : [a, b] R będzie fukcją wypukłą i ciągłą. Wykazać, że fukcja m : [a, b] R daa wzorem m(x) = max{f(y) : y [a, x]} też jest wypukła. 37. Zaleźć wszystkie pary liczb rzeczywistych a i b, dla których fukcja a(x + ) + si(bx) dla x cos x x si x dla x ( π, ) jest różiczkowala a przedziale ( π, ). 38. Wyzaczyć kresy zbioru wartości fukcji x2 + x 2 +x Wykazać, że rówaie ma co ajwyżej dwa rozwiązaia w R. (x 2) l(x 2) + (x + 2) l(x + 2) = 2x 4. Zaleźć miimum objętości stożków opisaych a kuli o promieiu r. 4. Spośród wszystkich deltoidów o obwodzie l wskazać te o ajwiększym polu. 42. Wśród wszystkich trójkątów o obwodzie rówym 3 zaleźć trójkąt o ajwiększym polu. 43. Obliczyć kres doly a przedziale (, ) fukcji l(e x ) + 2 x x. 44. Niech ( tg x ) si 2x dla x (, π). Wykazać, że f osiąga swój kres doly a 2 przedziale (, π) w dokładie jedym pukcie u (, π ) oraz osiąga swój kres góry 2 2 w dokładie jedym pukcie v tego przedziału. Obliczyć u + v. 45. Daa jest fukcja e 2x+ (x 2 + 2x + 3). (a) wyzaczyć przedziały mootoiczości f; (b) wskazać przedziały, a których f jest wypukła; (c) rozstrzygąć, czy f jest jedostajie ciągła a R. 46. Wykorzystując wzór Taylora dla = 3, wyzaczyć przybliżoą wartość 3 e. Oszacować błąd przybliżeia. 7

18 47. Niech ( 3 x ) x 8 x 6 x dla x >. Dowieść, że jeśli a, b, c > i a + b + c = 3, to f(a) + f(b) + f(c) 2. Wskazówka. Sprawdzić, a jakich przedziałach f jest wypukła. 48. Wykazać, że + exp a + b + c + d 4 dla wszystkich a, b, c, d R. 4 ( + e a ) ( + e b) ( + e c) ( + e d) 49. Wykazać, że dla x < błąd przybliżeia ie przekracza 72. cos x x2 2 + x Udowodić, że dla wszystkich x > spełioa jest ierówość l( + x) > arc tg x + x. 5. Wykazać, że dla dowolych liczb dodatich x i y zachodzi ierówość ( ) x+y x + y x x y y Niech h: R R będzie fukcją wypukłą. Załóżmy, że h () istieje i jest liczbą większą od, a h(). Wykazać, że h(x) > x dla x >. 53. Zbadać przebieg zmieości fukcji (2 + x) exp(/x). 54. Wykazać, że dla x (, π 2 ) zachodzi ierówość 55. Wykazać, że jeśli e < y < x, to 2 l(cos x) x 2 < x Niech x e x dla x > i iech M(t) = x y < y x. Wyzaczyć kres doly fukcji M : (, ) R. sup f(x), t >. x [t,t+] 8

19 57. Obliczyć -tą pochodą fukcji x e x w zerze. 58. Zaleźć rozwiięcie Taylora wokół x = 2 fukcji x 5 + x 4 + 2x Zaleźć piąty wyraz rozwiięcia Taylora fukcji si(tg x) wokół x =. 6. Wyzaczyć trzeci wyraz rozwiięcia Taylora wokół x = fukcji 6. Niech ( + x) 4 ( + 2x) 3 ( 2x) 2. { si(/x) exp( /x 2 ) dla x dla x =. Czy f () istieje? Czy x = jest puktem przegięcia f? Odpowiedzi proszę uzasadić. 62. Posługując się tylko wzorem Taylora, obliczyć l 3 l 2 z dokładością do trzech miejsc po przeciku. 63. Wyzaczyć wszystkie pary liczb a, b R, dla których graica jest skończoa. x (a + b cos x) si x x x Obliczyć graicę 3/2( arc tg ( + ) arc tg ). 65. Obliczyć graicę 66. Obliczyć graicę 67. Obliczyć graicę x ( arc tg x x ) x 2. e tg x e x x tg x x. π arc tg x 2 x l( + ). x 68. Obliczyć graicę ciągu ( ( a = + ) 2 ( ) ( + ) ) 2 9

20 69. Obliczyć graicę gdzie x ϕ(x) = ( si x + ϕ(x) ) ( si x + ψ(x) ), ( + x) x, ψ(x) = x x dla x >. Wskazówka: wykorzystać twierdzeie Lagrage a o wartości średiej dla fukcji / si(/x). 7. Udowodić, że jeśli fukcja różiczkowala f : R R spełia waruek f (x) = g R, x ± to f jest jedostajie ciągła a całej prostej R. Wskazówka. Czy f spełia waruek Lipschitza a przedziale [a, ), gdy liczba a jest dostateczie duża? 7. Obliczyć graicę ( ) x x si x tg(x si x) x 2 si 2 x 72. Niech 2 2 cos x x si(si x) i iech a = f( ) dla N. Wyzaczyć wszystkie wykładiki w >, dla których szereg a w jest zbieży Obliczyć graicę 74. Obliczyć graicę x arc si (x) x tg(2x) 2 l( + x) x 2. 2 si( cos(x)) tg 2 (si(x)). x (cos(x) ) Obliczyć graicę 76. Obliczyć graicę tg(si(l(arc tg (exp(x) ) si(x) + ))). x (arc si (x) si(x)) 2/3 x cos(x) tg(x) 3arc tg 2 (x) si(x) 2. arc tg 3 (si x) 2

21 6 Zbieżość jedostaja i szeregi potęgowe 77. Wykazać, że jeśli a jest ciągiem mootoiczie zbieżym do a, zaś f : R R fukcją ciągłą i mootoiczą, to ciąg fukcji f (x) := f(x + a ) jest zbieży jedostajie a każdym przedziale [ M, M] R. 78. Podać przykład ciągu fukcji f : R R takiego, że szereg f jest zbieży jedostajie, ale szereg orm f jest rozbieży. 79. Wykazać, że graica puktowa ciągu fukcji wypukłych jest fukcją wypukłą. 8. Zbadać zbieżość jedostają szeregu =2 8. Zbadać zbieżość jedostają szeregu a przedziale [, + ). si(x) ( + x 2 ) l 2. ( ) x Zaleźć zbiór X R puktów zbieżości szeregu fukcyjego ( si( ) cos( 2+3 ) ) x +x Zaleźć zbiór X R puktów zbieżości szeregu fukcyjego ( x ) x si. + 2 x 2 Czy szereg te jest zbieży jedostajie a zbiorze X? Odpowiedź proszę uzasadić. 84. Niech f : R R będzie ciągiem fukcyjym, zbieżym jedostajie a R do fukcji f : R R. Dla N kładziemy g (x) = exp( (f (x)) 2 ), g(x) = exp( (f(x)) 2 ), h (x) = (f (x)) 2, h(x) = (f(x)) 2. Czy ciag g zbiega jedostajie a R do fukcji g? A czy ciag h zbiega jedostajie a R do fukcji h? Obie odpowiedzi proszę uzasadić. 2

22 85. Zbadać, czy suma szeregu si(x) x cos x jest ciągła a zbiorze (, π). 86. Zbadać zbieżość jedostają i puktową ciągu f (x) = 2 cos ( ) x x a zbiorach (, + ) i (, a], gdzie a >. 87. Zbadać zbieżość jedostają i puktową ciągu fukcyjego ( f (x) = exp x + ) ( ) x + cos ( ) l + a prostej rzeczywistej R. 88. Zbadać zbieżość jedostają i puktową ciągu fukcyjego a odciku [, ]. f (x) = 3 x exp( x 2 ), =, 2, Rozważmy fukcję x exp(2x). Defiiujemy ciąg fukcyjy (f ) przez wielokrote składaie fukcji f: f (x) := f (x) = f f... f(x). Zbadać zbieżość jedostają tego ciągu a zbiorze x. 9. Wykazać, że fukcja jest dobrze określoa i klasy C a [, + ). 9. Wykazać, że fukcja x 3 x exp( 2 x) jest dobrze określoa i klasy C a (, + ). 22

23 92. Fukcja aalitycza = a x (szereg ma promień zbieżości R > ) spełia w przedziale ( R, R) rówaie i poadto f() = π. Wyzaczyć a 6. f (x) = x 2 f(x) 93. Wyzaczyć promieie zbieżości astępujących szeregów potęgowych: a) b) c) d) x23, (3 + ( ) 2) 2 x 2+( ), (5 + ( ) ) x 2, = 8 x Szereg potęgowy =3 a x ma skończoy promień zbieżości R >. Proszę wyzaczyć promień zbieżości szeregu =3 a x Czy szereg ( + (x ) 2 ) jest zbieży jedostajie a (, + )? Odpowiedź proszę uzasadić. 96. Szereg potęgowy =3 a x ma skończoy promień zbieżości R >. Proszę wyzaczyć promień zbieżości szeregu =3 3 a x Rozwiąć w szereg Taylora Maclauria fukcję si(x 2 ) cos(x 2 ). 98. Rozwiąć szereg Taylora Maclauria fukcję si x cos x arc tg x 2. Obliczyć promień zbieżości tego szeregu. 99. Zbadać zbieżość jedostają i iemal jedostają szeregu f (x) a przedziale (, ), gdzie dla x, f (x) = dla x >. 23

24 2. Wykazać, że fukcja = x, x (, ) + spełia tożsamość x Wskazówka. /( + ) = Czy suma szeregu S(x) = x + l( x), x (, ). x ( x ( + x ) ( l + x ) ) jest fukcją dobrze określoą i różiczkowalą a (, + )? Odpowiedzi proszę uzasadić. 22. Udowodić, że fukcja si x jest ciągła a (, ). Zbadać jej różiczkowalość a tym przedziale. 23. Załóżmy, że a <. Zbadać ciągłość i różiczkowalość fukcji a arc tg x, x R. 24. Zbadać ciągłość i różiczkowalość fukcji 25. Wykazać, że fukcja ( arc tg x π ), x >. 2 x, 3 < x < 3, 3 2 jest różiczkowala i wyrazić jej pochodą jawym, prostym wzorem. 26. Obliczyć sumę szeregu /2 /5 + /8 / +. Wskazówka. Rozważyć fukcję F (x) = x 2 /2 x 5 / Załóżmy, że f C([, )) ie jest fukcją stałą. Udowodić, że rodzia f (t) := f(t), N, ie jest rówociągła a [, ]. 24

25 28. Udowodić, że x x 2 arc tg x + 2 x 2 = π Dla x R i N połóżmy f (x) := x 2 + si x. Udowodić, że ciąg f jest zbieży jedostajie a całej prostej R, ale ie jest rodzią rówociągłą a R, tz. ie jest prawdą, że dla każdego ε > istieje δ > takie, że ierówość f (x) f (y) < ε zachodzi dla wszystkich N i wszystkich x, y R, x y < δ. 2 (z gwiazdką, tylko dla zaiteresowaych). Fukcja f : R R jest klasy C i okresowa z okresem T =. Poadto f() = i f a całej prostej R. Dla N kładziemy f (x) = f(2 x) ( 2 ) oraz F (x) = f (x).. Niech k, N, θ (, ). Połóżmy x = k oraz y = x + θ. Wykazać, że istieje stała C, iezależa od k, i θ, taka że = F (x) F (y) C 2 /2. 2. Wywioskować z poprzediego puktu, że F spełia waruek Höldera z wykładikiem 2, tz. istieje taka stała C 2, że F (x) F (y) C 2 x y /2 dla wszystkich x, y R. 3. Zbadać różiczkowalość F. 2. Sumę szeregu potęgowego = x przedstawić wyraźym, kokretym wzorem jako fukcję zmieej x. Na jakim przedziale słuszy jest otrzymay wzór? 7 Rachuek całkowy 22. Rozłożyć a ułamki proste fukcję wymierą x 3 + 4x 2 2x + 6 x 4 2x 3 + 3x 2 4x Obliczyć całkę ieozaczoą (2x 3 + x) (arc tg x) 2 dx. 25

26 24. Obliczyć całkę ieozaczoą 25. Obliczyć całkę ieozaczoą exp(2x) cos 3 (x) dx. cos x si x cos x dx 26. Obliczyć całkę ieozaczoą si 2 x ctg x ( + si 2 x) cos 2 x dx 27. Zaleźć fukcję pierwotą fukcji x 2 4 x Fukcja f(x) daa jest wzorem Obliczyć f (x). x 2 + x si(t 2 ) dt. 29. Zaleźć kres doly i góry fukcji a przedziale [, ]. 22. Obliczyć graicę 22. Obliczyć graicę 222. Obliczyć graicę 223. Obliczyć graicę F (x) = x x 5t + 3 t 3 7t 2 + 6t 2 dt si x tg x 2 k= k= tg x dx. si x dx ( ) 2 k k k k ( + ) + ( + 2) (2)

27 224. Obliczyć graicę k= 5 ( 2 + k 2 ) Skostruować przykład ciągu fukcji ciągłych f : [, ] R takiego, że f (x) = dla każdego x [, ], ale 226. Wykazać, że ależy do przedziału [2e /4, 2e 2 ]. 2 f (x) dx = +. e x2 x dx 227. Wykazać, że dla = 3, 4, 5,... prawdziwa jest rówość π/2 cos x dx = π/2 cos 2 x dx Niech f będzie fukcją dodatią, ciągłą i rosącą a przedziale [a, b] i iech a = f(a), b = f(b). Wykazać, że b a f(x)dx + b a f (y)dy = bb aa, gdzie f ozacza fukcję odwrotą do f. Wskazówka: Wykorzystać geometryczą iterpretację całek Niech f : [, + ) R będzie fukcją ciągłą o wartościach dodatich. Wykazać, że dla każdego x > prawdziwa jest ierówość x x ( x 2 t 2 f(t) dt f(t) dt tf(t) dt). Wskazówka: zróżiczkować badae wyrażeie względem x. 23. Niech f : R R będzie fukcją ciągłą okresową, o okresie T = i całce ozaczoej f (x) dx =. Dla N defiiujemy f (x) = f (5 x), 2 oraz F (x) = x f (x) f(t) dt. Wykazać, że szereg f (x) jest zbieży jedostajie a całej prostej R i F (x) = x f (t) dt 27

28 23. Obliczyć graicę F (x) x x, gdzie F jest fukcją z poprzediego zadaia Fukcja f, ciągła i ieujema a przedziale [a, b], ma a tym przedziale kres góry M. Dowieść, że ciąg ( b ) / f(x) dx ma graicę rówą M. a 233. Obliczyć całkę fukcji x exp( x) po maksymalym przedziale półosi dodatiej, a którym ta fukcja jest wklęsła Wyzaczyć liczbę dodatią x, dla której wartość całki jest ajwiększa. x si (2πt/(t + 2)) dt 235. Wykazać, że jeśli fukcja f jest ciągła a przedziale [a, b], to b ( x ( b ) f(x) f(y)dy) dx = f(x)dx a a dla każdej liczby aturalej. a 236. Pukt A zajduje się w środku układu współrzędych w R 2. Prosta l przechodzi przez A. W chwili t = pukt A zaczya się poruszać po prostej l ze stałą prędkością m/s, a jedocześie prosta l zaczya się obracać ze stałą prędkością kątową radiaa a sekudę. Obliczyć długość krzywej, jaką pukt A zakreśli, poruszając się od t = do t = s Zbadać zbieżość całki iewłaściwej ( ) a si x gdzie a, b, c R. π 238. Zbadać zbieżość całki iewłaściwej x b + ( π x ) c dx, x a si x b exp(x 2 ) dx, gdzie (wariat ) a, b >, (wariat 2, trudiejszy) a, b R. 28

29 239. Niech f C((, ]) będzie taka, że f(x) dx jest zbieża. Niech α (, ) będzie dowolą liczbą. Wykazać, że r + r α r f(x) α dx =. Wskazówka: Zastosować ierówość Höldera z wykładikiem p = /α. 24. Niech α (, ). Obliczyć graicę r + r l r α r l x α exp( x 2 ) dx. Poszczególe kroki w obliczeiach proszę staraie uzasadić. Wskazówka: Moża zastosować ierówość Höldera z wykładikiem p = /α, a astępie spróbować wykorzystać twierdzeie o 3 fukcjach i mootoiczość logarytmu. 24. Niech f C(R) i iech M >. Udowodić, że ciąg fukcyjy f (z) = 2 jest zbieży do f jedostajie a [ M, M]. z+ z f(y) dy 242. Załóżmy, że f : [, 2π] R spełia waruek Lipschitza. Wykazać, że istieje stała C > taka, że dla każdego k =, 2,... jest 2π f(x) si(kx) dx C k. 29