Analiza Matematyczna część 3

Transkrypt

1 [wersj z 5 III 7] Aliz Mtemtycz część 3 Kospekt wykłdu dl studetów fizyki/iformtyki Akdemi Świętokrzysk 6/7 Wojciech Broiowski

2 Różiczkowlość

3 Pochod fukcji jedej zmieej Pochod f : (, b) R w pukcie (, b) f f( +Δ) f( ) f( ) f( ) '( ) = lim = lim Δ Δ Δ Δ przyrost rgumetu fukcji Δ f = f( + Δ) f ( ) przyrost wrtosci fukcji df ( ) I otcj: f '( ) = d df ( ) różiczk f odpowidjąc przyrostowi rgumetu d Fukcj o ( ) jest mlą wyższego rzędu iż w sąsiedztwie = o ( ) jeżeli lim = f( +Δ) f( ) = f '( ) Δ+ o( Δ) 3

4 Tw. f różiczkowl w jest cigl w D: f( ) = f( +Δ ) = f( ) + f '( ) Δ + o( Δ) lim f( ) = lim f( +Δ ) = lim( f( ) + f '( ) Δ + o( Δ )) = f( ) Δ Δ 3, ciągle w =, ie różiczkowle Iterpretcj geometrycz pochodej stycz w pukcie m chyleie α 4

5 o młe, O duże,... [ f ( ) >, g( ) > ] f( ) = O( g( )) C > > : Cg( ) f( ) f( ) =Ω( g( )) c > > : f( ) cg( ) f( ) = Θ( g( )) c > C > > : Cg( ) f( ) cg( ) f( ) f( ) = og ( ( )) w otoczeiu lim = g ( ) f( ) f( ) ~ g( ) w otoczeiu lim = c, ( c >, u iektórych c = ) g ( ) 5

6 f ( ) = Og ( ( )) f( ) =Ω ( g ( )) f( ) = Θ( g ( )) [ C =, c = ] 6

7 Obliczie pochodych ( cf )'( ) = cf '( ), ( f + g)'( ) = f '( ) + g '( ) ( fig)'( ) = f '( ) g( ) + f( ) g'( ) f '( ) g( ) f( ) g'( ) ( f / g)'( ) = ( g ( )) ( f g)'( ) = f '( g( )) g'( ) ( f )'( y) = f '( ) 7

8 Wyprowdzei: f( ) g( ) f( ) g( ) = ( f( ) f( )) g( ) + f( )( g( ) g( )) ( f( ) f( )) g( ) f( )( g( ) g( )) ( fig)'( ) lim lim = + = = f '( ) g( ) + f( ) g'( ) f( ) f( ) f( ) f( ) f '( ) '( ) lim lim f = = = f( ) f( )( ) f ( ) f( g( )) f( g( )) f( g( )) f( g( )) g( ) g( ) ( f g)'( ) = lim = lim g ( ) g ( ) f( y) f( y ) g ( ) g ( ) = = lim lim f '( g( ) ) g y y y y '( ) ( f )' ( y ) = lim y y ( y) = lim = = y y f ( ) f ( ) f '( ) f '( f ( y )) f ( y) f 8

9 + si cos si si si + (si )' = lim = lim = lim cos = cos + si si cos cos (cos )' = lim = lim = si (l +Δ l Δ = = = + = + = Δ Δ l( ) l Δ +Δ Δ Δ )' lim lim lim l lim l Δ Δ Δ Δ = + = = ' = = Δ l lim Δ l e Δ l (log )' l l ( )' = = = y l = l (log y)' y l ( )' e = e 9

10 (rcsi ) ' = = = =, y (, ) (rccos π π (si y) ' cos y si y ) ' = l = = (rc tg ) ' = = cos y = = (tg y)' + tg y + (rc ctg ) ' = = si y = = ( )' ( e = (cos y ) ' ( ctg y) ' + ctg y + ) ' e ( l )' = = l

11 Przykłdy: Od wewątrz do zewątrz si(tg( )) ' = cos(tg( )) ( ) ( ) ( l ) cos l ' = e ' = e ( l ) ' = (l + ) Od zewątrz do wewątrz = + + = ' + ' ' = y y yy y y y + Różiczkowie po obu stroch

12 Stycz do krzywej + y =, A= (, ) 3 + yy' = y ' = = = 3 y y = + b b y = = = + b Zjdź styczą do okręgu w pkt. A Różiczkowie po obu stroch Wrtość pochodej Rówie styczej z prmetrem b Wyzczeie b pkt. A leży do styczej Rówie styczej

13 Kąt przecięci krzywych tgβ tgα tgγ = tg( β α) = = + tgαtgβ g'( ) f '( ) = + g'( ) f '( ) Krzyw prmetrycz t (), yt () wspólrzęde zleże od czsu dy d dy d dy dt y = yt (( )) = = dt = d dt d d dt 3

14 Fukcj pochod f :(, b) R f ':(, b) R f '( ) Fukcj pochod przyporządkowuje puktowi z przedziłu otwrtego (,b) wrtość pochodej fukcji w tym pukcie 4

15 f( ) = si f () = f '( ) = si cos, dl si f '() = lim =, dl = Pochod istieje, le jest ieciągl w = Fukcje klsy C C,C,C,...,C przedzile [,b] mją -tą pochod ciąglą. 5

16 Pochode wyższych rzędów Jeśli fukcj f jest różiczkowl, to możemy zdefiiowć jej pochodą, itd. f ''( ) = ( f '( ))' f '''( ) = ( f ''( ))' ( ) = ( ( ))' ( ) ( ) f f fukcje klsy C - -t pochod ciągl C - m wszystkie pochode ( k ) kπ (si ) = si( + ) ( k ) kπ = + ( k) (cos ) cos( ) ( e ) = e f () ( ) = f ( ) ( ) ( w( )) =! 4 (4) 3 (3) () ( ) (4 ) (4 3 ) (4 3 )' 4! = = = = 6

17 Wzór Leibiz ( fg)'( ) = f '( ) g( ) + f ( ) g '( ) ( fg)''( ) = f ''( ) g( ) + f '( ) g'( ) + f( ) g''( ) (3) (3) () () () ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( )... fg = f g + f g + + () () () ( 3) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) ( k) ( k) ( fg) ( ) f ( g ) ( g = k= k + f g ) = + + = ( e ) ( ) e e e = e + e+ ( ) e 7

18 Tw. o ekstremch Jeżeli f :( b, ) Rjest różiczkowl w c ( b, ) i m m w tym pukcie ekstremum lokle, to f '( c) = D (mksimum): δ > : ( c-δ, c+ δ) f( ) f( c) f( )- f( c) f( )- f( c) dl < c f ' ( c) = lim -c c -c f( )- f( c) podobie f ' + ( c) = lim. + c - c Poiewż f '( c) = f ' ( c) = f ' ( c), f '( c) =. + 8

19 Tw. Rolle f : [, b] R cigl i różiczkowl w (, b) orz f( ) = f( b) c (, b): f '( c) = D: Jeżeli f = cost. to f'(c)=. W przeciwym rzie c (, b) dl którego f osiąg ekstremum lokle f '( c) = Kotrprzykłdy: fukcj ieciągł i ieróżiczkowl 9

20 Tw. Cuchy ego, :[, ], różiczkowle w (, ) f g C b R b c (, b) :( f( b) f( )) g'( c) = ( g( b) g( )) f '( c) D: h ( ) = ( f( b) f( )) g ( ) ( gb ( ) g ( )) f( ) + tw. Rolle' Tw. Lgrge f C :[, b] R, różiczkowl w (, b) f( b) f( ) c (, b): f '( c) = b D: tw. Cuchy'ego z g ( ) = (prędkość średi i chwilow)

21 Przykłd (tw. Lgrge ): f( ) = l, f '( ) = l b l l b l = < < b c b b b b b < l < b

22 Tw. Tylor : [, ], -krotie różiczkowl w (, ) f C + h R + h c (, + h): f( + h) = S ( h) + R ( h) S R f '( ) f ''( ) f ( ) ( h) = f( ) + h+ h h!! ( )! ( ) ( ) f ( c) ( h) = h (reszt w postci Lgrge')! D: = + h, k( ) = ( - ) f f g ( ) = f( ) f( )...! ( )! ( ) '( )( ) ( )( )

23 Z tw. Cuchy'ego: (, ) : g( ) g( ) g '( c) k( ) k( ) k'( c) c = S( h) f( ) f ( c) f ( c) = = ( h)!( c )! ( ) f ( c) f( ) = S( h) + h! ( ) ( ) ( ) Zczeie tw. Tylor: dość łtwe przybliżie fukcji -krotie różiczkowlych wielomiem stopi -. Dl regulrych fukcji reszt jest mł i metod jest tym dokłdiejsz, im większe jest. 3

24 (RR) Przybliżie fukcji ep(-) z pomocą wzoru Tylor dl kolejych 4

25 f()=si() = =5 = = 5

26 Szereg (rozwiięcie) Tylor ( ) f ( ) f C :[, + h] R. Jeżeli ciąg fukcji r ( ) = h jest! zbieży jedostjie do przedzile [, + h], to f ( ) w ostjie do f. ( k ) k ( ) = ( ) jest zbieży jed k = k! Tw: Jeżeli fukcj m dym przedzile wszystkie pochode ( ) ogriczoe, ( ), to m w tym przedzile rozwiięcie Tylor. f M 6

27 Przykłd fukcji mjącej wszystkie pochode i ie posidjącej rozwiięci Tylor wokół =: ep(-/ ). Pochode ie są ogriczoe! Wszystkie pochode w = zikją. f () f () f () 7

28 e 3 4 k = =!! 3! 4! k! k= 3 4 k k l( + ) = = ( ), (,] 3 4 k k= k= k = 4 6 k k cos = +... = ( )! 4! 6! ( k)! 3 5 k+ k si = +... = ( )! 3! 5! (k + )! iz e = cos z+ isi z cos z = e iz + e e e, siz = i iz iz iz 8

29 Fukcje hiperbolicze 4 6 k cosh = ch = =! 4! 6! ( k)! k= k = (krzyw lńcuchow) 3 5 k + sih = sh = =! 3! 5! (k + )! z z e = cosh z+ sih z, e = cosh z sih z, z z z e + e e e cosh z =, sih z = cosh z sih z = z (cosh z)' = sih z, (sih z)' = cosh z, 9

30 cosh sih th=sih/cosh 3

31 Tw. o ekstremch sile mksimum lokle w δ > : S(, δ ) f( ) > f( ) sile miimum lokle w δ > : S(, δ) f( ) < f( ) Tw. f '( ) =, f '' cigl w. f ''( ) < (sile) mksimum f ''( ) > (sile) miimum D: Z tw. Tylor dl = f( ) = f( ) + f '( )( ) + f ''( )( ) f '( ) =, z ciąglosci r > : K(, r) f ''( ) jest tego smego zku, co f ''( ), skąd wyik tez. Przykld: f( ) = 3 3 = = f '( ) 3 = 3 ( ) 3 f ''( ) = 6 f ''() = (miimum) f ''( ) = (mksimum) 3

32 Tw. f różiczkowl w ( b, ) f '( ) > dl (, b) f( ) (silie) rosąc f '( ) < dl (, b) f( ) (silie) mlejąc D:, (, b), < Z tw. Lgrge' c (, b) : f( ) f( ) = f '( c)( ) Tw. f różiczkowl w ( b, ), ( b, ) f '( ) > dl (, ) i f '( ) < dl (, b) (sile) mksimum w f '( ) < dl (, ) i f '( ) > dl (, b) (sile) miimum w f 6 ( ) = + f 5 '( ) = 6, = f f 4 ''( ) = 3, ''( ) = f '( ) < > > '( ) < f mi w 3

33 Wypukłość Fukcj różiczkowl f : (, b) R jest wypukl (wklęs l), jeżeli y (, b) (, b), y: f( ) > ( < ) f( y) + f '( y)( y) - d (pod) styczą Tw. Fukcj dwukrotie różiczkowl w (,b) jest wypukl w tym przedzile, jeżeli f ''( ) >, wklęsl jeżeli f ''( ) <. D: Z tw. Tylor dl =. Jeżeli dl < wypukl, dl > wklęsl (lub odwrót), to puktem przegięci. zywmy 33

34 Reguł de L Hospitl f, g - różiczkowle (, b), g'( ), ) lim f( ) = lim g( ) =, f '( ) f( ) r { R,, }: lim = r lim = r + + g'( ) g( ) + + D: Uzupelijmy f( ) = g( ) =. Wtedy z tw. Cuchy'ego c (,) : f( ) f( )- f( ) f '( c) =. Gdy + + = rówież c, ztem g ( ) g ( )- g ( ) g'( c) f( ) f '( c) lim = lim = r + g ( ) c + g'( c) si cos lim = lim = cos si cos lim = lim = lim = 34

35 f '( ) f( ) ) lim f( ) = lim g ( ) =, r { R,, }: lim = r lim = r g'( ) g( ) D: φ( ) = f( ), γ( ) = g( ), y = f( y) f( ) ( ) '( ) '( )( ) φ φ f lim = lim = lim = lim = lim y g( y) g( ) ( ) γ + γ '( ) g'( )( ) f '( ) f '( y) = lim = lim + g'( ) y g'( y) = f '( ) f( ) 3) lim f( ) = lim g( ) =, r { R,, }: lim = r lim = r g'( ) g( ) ' g '( ) f( ) ( ) g ( ) g D: lim lim lim g ( ) g'( ) f( ) = = = lim = lim lim ' + + g ( ) f '( ) f '( ) + g( ) f( ) f( ) f( ) g ( ) g'( ) f( ) f'( ) lim = lim lim = lim f( ) f '( ) g( ) g'( ) 35

36 4) = = 5) = = = f( ) g( ) = g ( ) f( ) f( ) g( ) l lim l = lim = lim = lim = si cos lim lim lim + = = + + si si si + cos si tg = lim = lim = + + cos si tg = 6),, f( ) g( ) l lim l lim lim = lim e = e e = e = = g( )l f ( ) = e 36

37 Bdie fukcji ) Dziedzi ) Miejsc zerowe ) Przystość, ieprzystość, okresowość 3) Ciągłość, grice w puktch ieciągłości i krńcch przedziłów określoości 4) Asymptoty 5) Różiczkowlość 6) Mootoiczość i ekstrem 7) Drug pochod, wypukłość, pukty przegięci 8) Tbel przebiegu fukcji 9) Szkic wykresu ) Przeciwdziedzi (kolejość dowol!) 37

38 4 4 f( ) = 3 38

39 Cłkowie 39

40 Cłk ieozczo (fukcj pierwot) f :(, b) R, F różiczkowl w (,b). Jeżeli F'( ) = f( ) dl (, b), to F jest fukcją pierwotą fukcji f. Fukcj pierwot określo jest z dokłdością do stłej, tz. jeśli F() jest fukcją piewrotą, to F()+C jest rówież fukcją pierwotą, poiewż (F()+C) =F ()=f(). Cłkowie: opercj odwrot do różiczkowi f ( d ) = f ( d ) ( f( ) + g( )) d = = f ( d ) + g( d ) 4

41 d = l + C, bo ( l )' = ' = sg( ) = d = d + + = + l + C + d = d = + C = + C + + 4

42 Cłkowie przez części Wyprowdzeie: ( fg)'( d ) = f ( ) g( ) ( f '( ) g( ) + f ( ) g '( )) d = f ( ) g( ) f'( gd ) ( ) = f( g ) ( ) f( g ) '( d ) f( ) =, g( ) = l l d= ' l d= l (l ) ' d= = l d = l d = l + C d cos = d ( si )' = si dsi = si + cos + C ( ) Sprwdzeie: si + cos + C ' = si + cos si = cos 4

43 Cłkowie przez podstwieie f :( b, ) R, g:( st, ) ( b, ) różiczkowl, F- pierwot dl f F g jest pierwot dl f( g( )) g'( ), tj. f( g( )) g'( ) d = f ( y) dy = F( g( ) ), y = g( ) D: Z tw. o pochodej fukcji zlożoej [ F( g( ))]' = F'( g( )) g'( ) = f( g( )) g'( ) I = d, f( y) =, y = g( ) = 3+, g'( ) = 3 3+ y 3 g '( ) I = d = d = dy = l y + C = l C g( ) 3 y 3 43

44 dy Prostszy zpis: dyf ( y) = d f ( y( )) d dy dg( ) bo dy = d, lub dg( ) = d d d dy I = d y = + y = d d = I, 4, d dy = = y + C = + 8 y 8 8 I = d + y = l l ( ),, I = 8 8( ) y dy = y + C = + + C f '( ) Tw. d = l f( ) + C f( ) cos( ) d = l si( ) si( ) +C dy = d 44

45 Wzory rekurecyje d 3 I =, I = + I,, I ( + ) ( + ) = J = dsi, J = cos si + J,, J = K = dcos, K = si cos + K,, K = (użytecze w wielu obliczeich) 45

46 Cłkowie fukcji wymierych Ulmki proste Ad ( ) ( A B+ C i ) ( + + q) p Al, = = A ( )( ), > B + C B + p Bp d d = d + C + p+ q + p+ q + p+ q + p dy d y p q ( + p+ q) Δ = p 4q< y ( ) ( ) ( ). =, = + +, p Δ Δ p Δ Δ. + p + q = + = ( t + ), + = t, d = dt / d Δ dt = + p+ q 4 + t ( ) ( ) 46

47 Rozkłd fukcji wymierej ułmki proste P ( ) Fukcj wymier m postć f( ) =, gdzie P i Q są wielomimi. Q ( ) Jeżeli stopień P jest wyższy lub rówy stopiowi k km l m Q, to wykoujemy dzieleie, otrzymując P ( ) = W ( ) Q ( ) + R ( ), gdzie stopień R jest iższy od Q. Mmy R ( ) f( ) = W( ) +. Q ( ) Wielomi W( ) clkujemy trywilie. Q( ) m rozkld l Q ( ) = c ( - )...( - ) ( + p+ q)...( + p + q ), tomist dl częsci iewymierej mmy stępujący rozkld ulmki proste: R ( ) A B + C Q ( ) ( ) p q) m ki li ik, jl, jl, = + k i= k= i j= l= ( + j + j co clkujemy z pomocą wczesiejszych wzorów. l, 47

48 Metod : ik, jl, jl, Sprowdzmy prwą stroę do wspólego miowik i porówujemy wspólczyiki przy tych smych potęgch, co dje ukld rówń liiowych A, B, C. Metod (prostsz): f ( ) w potędze co jwyżej s -. Wtedy ki ( ki m) O im, [ ( )( - i) ] /( A = + r ( ), gdzie miowik r ( ) zwier ( - ) s ( - ) gólie A = f k m)!, m =,..., k Dl przypdku gdzie z = -p+ i -Δ B + C f( ) = + r( ) rozkldmy l ( + p+ q), wtedy i s s f( )( - ) = A+ r( )( - ) = A. = = f + p+ q = Bz + C f + p + q = Bz + C ( )( ), ( )( ), = z = z skąd wyzczmy B i C. Metod 3: Symbolicze mipulcje z pomocą komputer (Mthemtic, Mple, MtLb, Form,...) i + + = ( z)( z), p q 48

49 . Cłkowie fukcji iewymierych Ry (, ) fukcj wymier dwóch zmieych (ilorz wielomiów dwóch zmieych) + b + b R, d, d bc, t = c + d c + d ( ). R,, >, ( - ) + b+ c d t = + b + c b Δ <, (+ ) = t b c, = cosh t, +, = siht t t 3. R( si,cos ) d, t = tg, si = = d = + + t + t ) Ruv (, ) = R( uv, ), t= cos b) R( u, v) = R( u, v), t = si prostsze podstwiei c) Ruv (, ) = R( u, v), t= tg podstwiei Euler, cos, t ( t ) 49

50 f :[ b, ] R, m = if{ f( ), [, b]}, M = sup{ f( ), [, b]} Dzielimy [ b, ] częsci: = < < <... < < i=,..., Π= {,..., }, Δ =, i =,..., m i i i i i = if{ f( ) : [ i Cłk ozczo Riem = b δ = m Δ sredic podzilu Π i= i=, ]}, M = sup{ f( ) : [, ]} s i = Δ m i i i sum dol, S = ΔM sum gór i i Z kostrukcji mb ( - ) s S M( b- ) i i 5

51 Rozwżmy ormly ciąg podzilów ( Π ), tj. tki, że limδ =. s i S ozczją sumę dolą i górą dl podzilu Π. Tw. f :[, b] R ogriczo dl dowolego ormlego ciągu ( Π ) istieją grice lim s i lim S, orz ie zleżą od wyboru podzilów. b lim s = f( ) d clk dol, lim S = f( ) d clk gór b Fukcj jest clkowl w sesie Riem jeżeli clk gór rów się dolej. b b b f ( d ) = f( d ) = f( d ) clk ozczo (Riem) 5

52 Tw. Fukcj ciągl w [ b, ] jest clkowl w sesie Riem Tw. Fukcj mootoicz w [ b, ] jest clkowl w sesie Riem b b b b b ( f + g)( ) = f( ) + g( ), cf( ) = c f( ) f, g clkowle iloczy fg clkowly b c c b f( ) + f( ) = f( ), f( ) = f( ), f( ) = b b f( ) g( ), [, b] f( ) g( ) b b f( ) f( ) b b 5

53 Tw. f i g - ciągle w [, b], f( ) g( ), : f( ) < g ( b f ( d ) < gd ( ) Tw. f- clkowl w sesie Riem w [, b], [, b] df( ) F( ) = f( t) dt F ciągl, orz = f( ) d b dl, w których f jest ciągl. Tw. (podstwowe twierdzeie rchuku clkowego) f- ciągl posid fukcję pierwotą F, orz b f( ) d = F( b) F( ), zpis: f( ) d = F( ) Tw. (o wrtosci srediej) f - ciągl w [, b] b b = : f ( ) ) = f( ) d b b 53

54 Zstosowi cłek Geometri: pole figury, objętość bryły, długość krzywej Mir Jord (fiz.) zbioru (tu: -wymirowego): ) otczmy zbiór ogriczoy A prostokątem S o bokch,b ) dzielimy S miejszych prostokątów jk rysuku (pole kżdego prostokąt wyosi b/ 3) zliczmy wszystkie prostokąty zwrte w A i ozczmy ich pole jko s 4) zliczmy wszystkie prostokąty, które zwierją jkiś pukt zbioru A i ozczmy ich pole jko S 6) Jeżeli s*=s*=p, to A jest mierzly w mir dol: s* = sup s sesie Jord, P zywmy jego N polem mir gór: S* = if S s S s* S* N Uwg: mir Jord brzegu, S*-s*, wyosi dl zbioru mierzlego 54

55 Przykłdy zbiorów iemierzlych w sesie Jord (przejście gricze z liczbą wierzchołków przed pomirem w sesie Jord) Ie: trójkąt Sierpińskiego, frktle 55

56 Uwgi: W trzech wymirch kostrukcj miry Jord jest logicz używmy prostopdłościów. W większej liczbie wymirów używmy hiperkostek. W jedym wymirze (do pomiru zbioru leżącego prostej) używmy odcików. Przy zmiie skli długości, L, pole zmiei się jk L, objętość jk L 3, hiperobjętość jk L d, gdzie d jest liczbą wymirów przestrzei 56

57 Pole figury płskiej Tw. f :[ b, ] Rciągl i ieujem pole figury utworzoej przez krzywą y = f( ) orz odciki AB, AC, BD, gdzie A= (,), B = ( b,), C = (, f( )), D = ( b, f( b)) wyosi P b = f( ) d (mówimy: pole obszru pod wykresem f( )) Dowód wyik tychmist z logii kostrukcji miry Jord i cłki Riem Tw. f, g:[, b] R ciągle, f( ) g( ) pole obszru między wykresmi y = f( ) i y = g( y) wyosi b P = ( g( ) f( ) ) d 57

58 58

59 Przykld: pole kol g ( ) = r, f( ) = r r r P = ( g( ) f( )) d = r d = rcos t, d = rsi t dt π P r r cos t rsi t dt r si t dt = r ( t sit cost) = π r + π r π si π tdt + π = co s tdt = π [sredi wrtosć si t i cos t w ich okresie: r = = + π + π si tdt cos tdt ] π = = π = 59

60 Objętość bryły obrotowej b V = π f ( k ) Δ, = π ( k= Przykld: objętosć kuli r ( ) r d π ( r ) V= π = d = r r = π r = 3 V f ) d πr 3 r 6

61 Pole poboczicy bryły obrotowej Δf( ) P = π f( ) ( Δ ) + ( Δf( )) = π f( ) + Δ k= k= Δ b P = π ( ) + ( '( )) f f d Przykld: pole sfery f( ) = r, f '( ) = r r π 4π r r P = π r + d = r d = r r r 6

62 Długość krzywej Krzyw d jest rówiem prmetryczym = (), t y = y(), t t ( t, t ) t y t dt Δt ( k) Δyt ( k) L = ( ( tk) ( tk )) + ( y( tk) y( tk )) = + Δt k= k= Δt Δt t L = ( '( )) + ( '( )) t Przykld: dlugosć okręgu () t = cos t, y( t) = si( t), t =, t = π π π L= si t+ cos tdt = dt = π 6

63 Cłki iewłściwe f :[ b, ) R, b R b=, β ( b, ) I β f( ) d Clk prwostroie iewlsciw: f( d ) = lim I Alogiczie defiiujemy clkę lewostroie iewlsciwą: f :( c, ] R, c R c =, γ ( c, ) γ = β I = f( d ), f( d ) = γ c lim I γ c γ b β b b b Clk obustroie iewlsciw: f( ) d = f( ) d+ f ( ) d c c β 63

64 3 β β γ γ γ d = lim = lim + = β d + log d d d = lim = lim π = rctg = = lim( log ) γ = lim = p p α p p α p β p β γ γ π = π β d = lim = p p = lim( γ log γ) = γ dl p < dl p dl p > dl p 64

65 Kryterium cłkowe zbieżości szeregu Podstwow ide: 65

66 Jesli f : [, ) R, cigl, ieujem, ierosąc, to = f( ) zbieży f( ) d zbież + Dowód: Ozczmy = f( ) d, wtedy f( ) orz (ptrz rysuek)... f() + f() + f() f() + + f( ) d f( k) f() + f( d ) f() + f( d ) k= f() + f() f( ) f() , czyli ) Jeżeli istieje clk, to ciąg sum częsciowych jest ogriczoy, podto jest rosący, bo f( k), ztem szereg jest zbieży. ) W gricy mmy f( ) d f( k), ztem jesli clk jest rozbież, to szereg też jest rozbieży k= 66

67 Wiosek: mmy góre i dole ogriczei f( ) d f ( k) f () + f( ) d k= Dl sumowi od k = m mmy m f( ) d f( k) f( m) + f ( d ) k= m m Przykld: m tę smą wlsosć zbieżosci p l co d p l = = p p l du u, p > = = p p ( u = l ) u p l l, p 67

68 Stł Euler-Mscheroiego d γ = lim = lim log k k = = k= k Nie widomo, czy jest liczbą wymierą czy iewymierą! Występuje w wielu cłkch i szeregch, p. d e log = γ 68

69 Gric pod cłką Tw. f clkowle [, b], ( f ) zbieży jedostjie do f. b b b Wtedy lim f ( ) d = lim f ( ) = f( ) i zbieżosć jest jedostj [moż zmieić kolejosć gricy i clkowi] Wiosek: Poiewż szereg jest gricą ciągu sum częciowych, to jeżeli s ( ) = f( ) i zbieżosć jest jedostj, to b b = ds( ) = d f ( ) i zbiezosć jest jedostj = [moż clkowć wyrz po wyrzie] 69

70 = = = ( ) t = zb. jedostjie w kole zbieżosci t < + t y ( ) dt t = dt zb. jedostjie dl y t < + t ( ) y + + y = l( + y) zb. jedostjie dl y < y y y y l( + y) = y Wruek jedostjej zbieżosci jest koieczy. Kotrprzykld: f = f = f = ( ) ep( ), ( ) lim ( ) ( ) = ep( ) = ( ep( )) d f lim d f ( ) = d f ( ) = 7

71 Różiczkowie po prmetrze Tw. f (, p) cigl dl zmieej [, b] orz dl prmetru p [ r, s], f podto m ciągl pochodą przy ustloym. Ozczmy p b I( p) = df(, p). Przykld: Uogólieie: y I( p) = y d Wtedy e b( p) b( p) ( p) ( p) - p = py di( p) - p e ( + py) = d (-) e dp = p [moż kotyuowć róziczkowie] b di(p) f(, p) = d. dp p e p py d f(, p) f (, p) d d b'( p) f ( b( p), p) '( p) f ( ( p), p). dp = + p Brdzo użytecz sztuczk! 7

72 Cłkowie fukcji oscylujących f( ) mootoicz [, ), lim f( ) = f( )si( + φ) d zbież cos( ) 3 4 d = Γ 4 π si( ) d cos( ) d clki Frese = = l 7