ZAGADNIENIA Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU WIMiR Semestr zimowy 2017/18

Transkrypt

1 dr Aa Barbaszewska-Wiśiowska ZAGADNIENIA Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU WIMiR Semestr zimowy 17/18 1 Elemety logiki matematyczej Zdaia i formy zdaiowe fuktory zdaiotwórcze Tautologie Wartości logicze zdań złożoych Podstawowe prawa rachuku zdań oraz kwatyfikatorów w szczególości prawa zaprzeczeń Przykłady (co ajmiej cztery) defiicji lub twierdzeń z użyciem kilku kwatyfikatorów 3 Twierdzeia zwae warukami koieczymi (WK) Wypowiedzi sposoby korzystaia (prawo kotrapozycji) i zastosowaia 4 Twierdzeia zwae warukami wystarczającymi (WW) 5 Algebra zbiorów Defiicje ikluzji zbiorów rówości zbiorów sumy oraz iloczyu uogólioego dowolej rodziy zbiorów Iloczy kartezjański zbiorów - przykłady Ilość wszystkich podzbiorów zbioru skończoego (-elemetowego) ilość podzbiorów k-elemetowych ilość elemetów iloczyu kartezjańskiego 6 Elipsa hiperbola parabola prosta jako podzbiory R P(X ) 7 Fukcja Iterpretacja geometrycza Dziedzia aturala zbiór wartości restrykcje fukcji Defiicja rówości fukcji zastosowaie do wyzaczaia stałych w rozkładzie a ułamki proste (kwatyfikator) Fukcja odwracala fukcja odwrota Przykłady 8 Własości fukcji Defiicje i sposoby badaia p 1 Defiicja fukcji rosącej (malejącej) mootoiczość złożeń oraz fukcji wzajemie odwrotych sposób wyzaczaia przedziałów mootoiczości z zastosowaiem Defiicja fukcji parzystej iterpretacja geometrycza sposób badaia geeza azwy 3 Defiicja wypukłości fukcji w pukcie i w przedziale i odpow twierdzeia z pochodymi II rzędu 4 Defiicja fukcji ieparzystej geeza azwy iterpretacja geometrycza 5 Rozkład fukcji a sumę części parzystej i ieparzystej 9 Odwzorowaia bijektywe iiektywe suriektywe Składaie odwzorowań Rozkład fukcji złożoej a fukcje składowe Przykłady 1 Fukcja odwrota sposoby zajdowaia fukcji odwrotej złożeie fukcji wzajemie odwrotych wzory ogóle oraz szczególe przypadki dla fukcji logarytmiczych wykładiczych trygoometryczych cyklometryczych 11 Fukcje wielomiaowe i wymiere Rozkład fukcji wymierej a ułamki proste f

2 1 Fukcja arkus sius Defiicja wykres własości graice ciągłość pochoda (zastosowaie twierdzeia o pochodej fukcji odwrotej) uzasadieie związku z pochodą fukcji arkus kosius całka (zastosowaie całkowaia przez części) 13 Fukcja arkus kosius Defiicja wykres własości graice ciągłość pochoda uzasadieie związku z pochodą fukcji arkus sius całka (zastosowaie całkowaia przez części) 14 Fukcja arkus tages Defiicja wykres własości graice (związek z asymptotami) ciągłość pochoda (zastosowaie twierdzeia o fukcji odwrotej) całka (zastosowaie całkowaia przez części) 15 Fukcja arkus kotages Defiicja wykres własości graice (związek z asymptotami) ciągłość pochoda związek z pochodą fukcji arkus tages całka 16 Fukcja wykładicza o podstawie a Fukcja Ep() Wykresy własości graice (związek z asymptotami) ciągłość pochoda obliczeie z defiicji pochodej fukcji w zerze oraz p w pukcie e 5 17 Defiicja logarytmu Własości Fukcja logarytmicza o dowolej podstawie Fukcje l log wykresy własości graice (związek z asymptotami) ciągłość pochoda całka (zastosowaie twierdzeia o całkowaiu przez części) 18 Przekształcaie wykresów Jak z wykresu fukcji f () otrzymujemy wykresy f ( a); f ( ) a; f ( ); f ( ) f 19 Wartość bezwzględa liczby rzeczywistej fukcja jako przykład fukcji ieróżiczkowalej Rozwiązywaie rówań i ierówości z wartością bezwzględą (w szczególości metodą odległościową ) Otoczeie puktu a osi liczbowej Graice ciągu właściwe i iewłaściwe Wyjaśieie defiicji a przykładowych rysukach Przykłady ciągu ograiczoego który ie ma graicy Przykłady ciągu ograiczoego który ma graicę 1 Twierdzeie o trzech ciągach Zastosowaia Twierdzeie o działaiach arytmetyczych a graicach 3 Wzór dwumiaowy Newtoa Zastosowaia i skojarzeia p do wprowadzeia liczby e do obliczeia graicy do obliczeia z defiicji pochodej 4 Defiicja stałej Eulera (e) Graice typu e Techika obliczaia Związek z odpowiedim symbolem ieozaczoym

3 5 Pewe graice typu : si arcsi tg arctg e 1 l( 1) lim ; lim ; lim ; lim ; lim ; lim l( 1) Iterpretacja geometrycza (Zastosowaie lupy ) Graica lim (obliczeie) i związek z graicą lim e 1 6 Twierdzeie o zachowaiu ierówości w graicy Zastosowaie 7 Graice ciągów a a 1 1 Szersze omówieie jedego z przykładów 8 Defiicja ciągłości fukcji w pukcie i w przedziale Ciągłość fukcji w dowolym zbiorze zawartym w dziedziie Własości fukcji ciągłej Własość Darbou 9 Zastosowaie twierdzeia Darbou (wioski) do przybliżoego wyzaczaia pierwiastków rówań 3 Asymptoty pioowe i ukośe Wzory i sposób rysowaia wykresu 31 Pochoda fukcji w pukcie Defiicje Iterpretacja geometrycza i kiematycza Stycza ormala siecza 3 Twierdzeie o waruku koieczym istieia pochodej fukcji w pukcie Przykład zastosowaia do zbadaia różiczkowalości fukcji p 1 arctg f ( ) arcctg 5 33 Twierdzeia o działaiach arytmetyczych a pochodych fukcji (pochode sumy różicy iloczyu ilorazu fukcji) Zastosowaie defiicji pochodej fukcji w pukcie do wyprowadzeia wzorów a pochodą sumy i iloczyu fukcji 34 Twierdzeie o pochodej fukcji złożoej Zastosowaie p do obliczeia 35 Podstawowe wzory a pochode Umiejętość uzasadieia si ; cos ; ctg ; e " "lupa ; 36 Twierdzeie Rolle a Iterpretacja geometrycza Zastosowaie tg

4 37 Twierdzeie Lagrage'a o wartości średiej Iterpretacja geometrycza Zastosowaie 38 Sposób badaia mootoiczości fukcji jako wiosek z twierdzeia Lagrage'a Uzasadieie dla fukcji rosącej 39 Symbole ieozaczoe Reguła de L'Hospitala Sposób stosowaia w przypadkach różych symboli ieozaczoych 4 Defiicja pochodej drugiego rzędu Obliczyć f'() f''() a przykład dla fukcji 1 f ( ) 1 41 Defiicja pochodej rzędu m Wzór a "m-tą" pochodą wielomiau stopia m ; cos (m) (m) si 4 Twierdzeia o wzorze Taylora z resztą Lagrage'a Wyprowadzeie wzoru Maclauria a przykład dla fukcji e si cos 43 Wypukłość i wklęsłość fukcji w pukcie i przedziale Defiicje Iterpretacja geometrycza Wzajeme położeie styczej do wykresu fukcji oraz tego wykresu w otoczeiu puktu wypukłości (wklęsłości) Sposoby badaia waruki wystarczające 44 Zastosowaie wzoru Taylora w celu uzasadieia waruku wystarczającego wypukłości (wklęsłości) w pukcie dla fukcji dwukrotie różiczkowalej (klasy ) 45 Defiicja puktu przegięcia Przykłady Położeie styczej w pukcie przegięcia 46 Twierdzeia o pukcie przegięcia Waruek koieczy i waruek wystarczający 47 Ekstrema fukcji Defiicje Waruek koieczy i waruki wystarczające dla fukcji różiczkowalej dwukrotie różiczkowalej -krotie różiczkowalej 48 II waruek wystarczający istieia ekstremum fukcji dwukrotie różiczkowalej jako wiosek ze wzoru Taylora 49 III waruek wystarczający istieia ekstremum fukcji -krotie różiczkowalej jako wiosek ze wzoru Taylora 5 Całka ieozaczoa defiicja Własości 51 Podstawowe wzory całkowaia Umiejętość uzasadieia 5 Twierdzeie o całkowaiu przez części dla całki ieozaczoej Przykłady C ;

5 53 Twierdzeie o całkowaiu przez podstawieie dla całki ieozaczoej Zastosowaie mechaicze i logicze Szczególe przypadki Przykłady 54 Algorytm całkowaia fukcji wymierych całki z ułamków prostych 55 Podstawieie trygoometrycze elemetare Zastosowaie do całek z fukcji trygoometryczych 56 Pojęcie całki ozaczoej Iterpretacja geometrycza Twierdzeie Newtoa-Leibiza 57 Własości całki ozaczoej 58 Twierdzeie o wartości średiej dla całki ozaczoej Iterpretacja geometrycza Średia całkowa 59 Całki iewłaściwe I i II rodzaju Pojecie zbieżości i rozbieżości Iterpretacja geometrycza