Materiały do ćwiczeń z Analizy Matematycznej I

Transkrypt

1 Materiały do ćwiczeń z Aalizy Matematyczej I 08/09 Maria Frotczak Ludwika Kaczmarek Katarzya Klimczak Maria Michalska Beata Osińska-Ulrych Tomasz Rodak Adam Różycki Grzegorz Skalski Staisław Spodzieja Teoria podaa przed ćwiczeiami pochodzi z pozycji [Sp] Alfabet grecki A α alfa B β beta Γ γ gamma δ delta E ε epsilo Z ζ dzeta H η eta Θ θ theta I ι jota K κ kappa Λ λ lambda M µ mi N ν i Ξ ξ ksi O o omikro Π π pi P ϱ ro Σ σ sigma T τ tau Y υ ypsilo Φ ϕ fi X χ chi Ψ ψ psi Ω ω omega Liczby rzeczywiste i ich podzbiory Ozaczeia R - zbiór liczb rzeczywistych N - zbiór liczb aturalych Z - zbiór liczb całkowitych Q - zbiór liczb wymierych R \ Q - zbiór liczb iewymierych Liczby rzeczywiste aturale całkowite wymiere. Moduł. Idukcja matematycza Defiicja. Wartością bezwzględą lub modułem liczby R przy ozaczeiu azywamy liczbę rzeczywistą określoą astępująco: gdy 0 = gdy < 0. Własość. Dla dowolego R. Własość. Dla dowolego a R:. < a wtedy i tylko wtedy gdy a < < a. > a wtedy i tylko wtedy gdy < a lub > a. Własość 3. Dla dowolego a R:. a wtedy i tylko wtedy gdy a a. a wtedy i tylko wtedy gdy a lub a.

2 Własość 4. Dla dowolych y R. + y + y. y y. Twierdzeie. zasada Archimedesa) Dla każdego R istieje N takie że >. Twierdzeie. zasada idukcji) Jeśli zbiór X N spełia waruki: i) X ii) jeśli X to + X to X = N. Twierdzeie 3. zasada idukcji o iym początku) Niech 0 N oraz Jeśli zbiór X N 0 spełia waruki: i) 0 X ii) jeśli X to + X to X = N 0. N 0 = N : 0 }. Własość 5. ierowość Beroulliego) Dla każdego R oraz N zachodzi + ) +. Własość 6. N k + k ) = ) ) + gdzie 0! = k k ) = k! k)!k!. Własość 7. ) N 0 k N. k Własość 8.. ab R N a + b) = k=0 k) a k b k.. ab R N a b = a b) k=0 a k b k. Ćwiczeie.. Rozwiązać rówaia. 5 = = = = = = = = = 3 4. = 8. + = =. Ćwiczeie.. Rozwiązać ierówości. 5 > < + 5. < < < > < 4. 3 > <

3 Ćwiczeie.3. Stosując twierdzeie o idukcji matematyczej wykazać że. N = +). N ) = + 3. N = +)+) 6 4. N = ) 5. N = N liczba 0 4 jest podziela przez 6 7. N liczba jest podziela przez 0 8. N liczba 3 4 jest podziela przez 5 9. N liczba 3 jest podziela przez 6 0. N liczba 3 + jest podziela przez 3. Ćwiczeie.4. Stosując twierdzeie o idukcji matematyczej wykazać że. N. N > > 6. N )! <!) 7.!) < )! + 8. N! 9. N ) 4 0.! 4. N 3 4 ) < +. 3 N ) N 4 3 ) > 5. N > > + ). Kresy I Defiicja. Niech E R. Mówimy że zbiór E jest ograiczoy z góry gdy istieje liczba M R taka że dla każdego E zachodzi M. Każdą taką liczbę M azywamy ograiczeiem górym zbioru E. Zbiór E który ie jest ograiczoy z góry azywamy ieograiczoym z góry. Mówimy że zbiór E jest ograiczoy z dołu gdy istieje liczba m R taka że dla każdego E zachodzi m. Każdą taką liczbę m azywamy ograiczeiem dolym zbioru E. Zbiór E który ie jest ograiczoy z dołu azywamy ieograiczoym z dołu. Zbiór E azywamy ograiczoym gdy E jest ograiczoy z góry i z dołu. W przeciwym przypadku zbiór E azywamy ieograiczoym. Defiicja 3. Niech E R. Liczbę M R spełiającą waruki: ) E M tz. M jest ograiczeiem górym zbioru E) ) M <M E > M tz. M jest ajmiejszym ograiczeiem górym zbioru E) azywamy kresem górym zbioru E i ozaczamy sup E. Liczbę m R spełiającą waruki: ) E m tz. m jest ograiczeiem dolym zbioru E) ) m >m E < m tz. m jest ajwiększym ograiczeiem dolym zbioru E) azywamy kresem dolym zbioru E i ozaczamy if E. Defiicja 4. Niech E R. Elemet 0 E taki że dla każdego E zachodzi 0 azywamy elemetem maksymalym zbioru E lub maksimum zbioru E lub elemetem ajwiększym zbioru E i ozaczamy ma E. Elemet 0 E taki że dla każdego E zachodzi 0 azywamy elemetem miimalym zbioru E lub miimum zbioru E lub elemetem ajmiejszym zbioru E i ozaczamy mi E. 3

4 Twierdzeie 4. o istieiu kresu górego) Jeśli E R jest zbiorem iepustym i ograiczoym z góry to istieje kres góry zbioru E. Twierdzeie 5. o istieiu kresu dolego) Jeśli E R jest zbiorem iepustym i ograiczoym z dołu to istieje kres doly zbioru E. Ćwiczeie.. Niech E = R : > 3}. Czy zbiór E jest ograiczoy z dołu czy jest o ograiczoy z góry? Ćwiczeie.. Udowodić że jeżeli zbiór E R posiada maksimum to rówież posiada kres góry i wtedy sup E = ma E. Ćwiczeie.3. Udowodić że jeżeli zbiór E R posiada miimum to rówież posiada kres doly i wtedy if E = mi E. Ćwiczeie.4. Podać przykłady zbiorów E R takich że. if E = i sup E = 5. if E = sup E. Ćwiczeie.5. Zbadać czy zbiór pusty posiada kresy. Ćwiczeie.6. Wykazać że dla przedziału a b mamy maa b = supa b = b ifa b = a oraz że ie istieje mia b. Ćwiczeie.7. Udowodić że. Jeżeli zbiór E R jest iepusty i ograiczoy z góry i k > 0 to zbiór A = ka : a E} posiada kres góry i sup A = k sup E.. Jeżeli zbiór E R jest iepusty i ograiczoy z góry i k < 0 to zbiór B = ka : a E} posiada kres doly i if B = k sup E. 3. Jeżeli zbiór E R jest iepusty i ograiczoy z dołu i k R to zbiór C = k a : a E} posiada kres góry i sup C = k if E. Ćwiczeie.8. Wyzaczyć o ile istieją kresy astępujących zbiorów. A = R : 0 < }. B = R : < 3} 3. C = R : 5 < 3} 4. D = R : < + } 5. E = 5 6. F = 4 + ) 7. G = ) 8. H = : 3 3)} 9. I = + : } 0. J = 3 : )}. K = : N}. 3 Kresy II Ćwiczeie 3.. Wyzaczyć o ile istieją kresy astępujących zbiorów. A = : N}. B = + : N} 3. C = + : N} 4. D = : N} 5. E = k ++k : k N} 6. F = +k : k N} 7. G = k : k N k < } 8. H = + k : k N} 9. I = k : k N} 0. J = 4 3k +5k : k N } 4. K = k +k : k N}. L = +3k 4+k : k N } 3. P = ) Q 4. R = ) R \ Q).

5 Ćwiczeie 3.. Wykazać że 4 3k } + 5k : k N = 3 ) 5 Q. Ćwiczeie 3.3. Wyzaczyć o ile istieją kresy astępujących zbiorów. A =! : N}. B = : N} 3. C = : N} 4. D = + ) : N} 5. E = ) : N} 6. F =!k! +!+k! : k N} 7. G = + k : k N}. Ćwiczeie 3.4. Udowodić że w R istieją kresy sup i if i że zachodzi ierówość sup if. Fukcje elemetare 4 Fukcje elemetare. Fukcja odwrota Defiicja 5. Niech f : X Y. Zbiorem wartości fukcji f azywamy zbiór y Y : X y = f)}. Defiicja 6. Niech f : X Y. Jeśli zbiór wartości fukcji f jest rówy przeciwdziedziie Y to fukcję f azywamy surjekcją lub fukcją "a". Defiicja 7. Mówimy że fukcja f : X Y jest różowartościowa lub jest ijekcją gdy dla każdych a b X a b zachodzi fa) fb). Defiicja 8. Fukcję f azywamy bijekcją gdy jest ijekcją i surjekcją tz. jest różowartościowa i "a"). Defiicja 9. Niech X R X oraz f : X R. Mówimy że fukcja f jest parzysta gdy dla każdego X zachodzi X oraz f ) = f). Mówimy że fukcja f jest ieparzysta gdy dla każdego X zachodzi X oraz f ) = f). Defiicja 0. Niech X R X oraz f : X R. Fukcję f azywamy okresową gdy istieje T R T 0 takie że dla każdego X zachodzi +T X T X oraz f+t ) = f). Każdą taką liczbę T azywamy okresem fukcji f. Najmiejszy dodati okres fukcji azywamy okresem podstawowym tej fukcji. Defiicja. Niech R. Całością lub etier z liczby azywamy maa Z : a } i ozaczamy []. Własość 9. Dla każdego R mamy [] Z oraz [] < []+. W szczególości 0 [] <. Twierdzeie 6. Niech a R. Jeśli a > 0 a i > 0 to istieje dokładie jedo y R takie że a y =. Defiicja. Niech a R oraz > 0 i a > 0 a. Logarytmem przy podstawie a z liczby azywamy taką liczbę y R że a y = i ozaczamy log a. Dla a = 0 piszemy log zamiast log 0. Uwaga. Niech a R > 0 a > 0 a. Z twierdzeia 6 dostajemy że log a istieje i jest określoy jedozaczie. Poadto y = a y log a dla y R oraz y = log a wtedy i tylko wtedy gdy a y =. W szczególości log a a = oraz log a = 0 wtedy i tylko wtedy gdy =. Defiicja 3. Jeśli f : X Y oraz g : Z W są fukcjami oraz fx) Z to fukcję h : X W określoą wzorem h) = gf)) dla X azywamy złożeiem fukcji f i g i ozaczamy g f. Wtedy fukcję f azywamy wewętrzą fukcję g zaś zewętrzą złożeia g f. 5

6 Defiicja 4. Niech f : X Y g : Y X będą fukcjami. Mówimy że fukcja g jest fukcją odwrotą do fukcji f gdy dla każdego y) X Y zachodzi y = f) = gy). Fukcję odwrotą do fukcji f ozaczamy f. Mówimy że fukcja f : X Y jest odwracala gdy istieje fukcja g : Y X odwrota do f. Defiicja 5. Fukcję id A : A A określoą wzorem id A ) = dla A azywamy idetyczością a zbiorze A Twierdzeie 7. Fukcja jest odwracala wtedy i tylko wtedy gdy jest bijekcją. Twierdzeie 8. Fukcja f : X Y jest odwracala wtedy i tylko wtedy gdy istieje fukcja g : Y X taka że g f = id X oraz f g = id Y. Ćwiczeie 4.. Podać zbiór wartości astępujących fukcji. Zbadać które z ich są różowartościowe oraz sporządzić ich wykresy. f) = R. f) = R \ 0} 3. f) = R N 4. f) = 0 + ) N 5. f) = R 6. f) = log 0 + ) 7. f) = [] R 8. f) = dla Q 0 dla R \ Q. 9. f) = log 0 + ) 0. f) = ) R. Ćwiczeie 4.. Podać wykresy oraz wyzaczyć zbiór wartości astępujących fukcji. f) = [ ] 0. f) = [log 3 ] 3 ) gdzie symbol [a] ozacza część całkowitą z liczby a. Ćwiczeie 4.3. Zbadać parzystość i okresowość fukcji f) = [] R. Ćwiczeie 4.4. Zbadać okresowość fukcji Dirichleta dla Q f) = 0 dla R \ Q Ćwiczeie 4.5. Podać wykresy fukcji. f) = [] R. f) = [] R 3. f) = [] + [] R 4. f) = [] R. Ćwiczeie 4.6. Udowodić że. log a y) = log a + log a y dla a > 0 a y > 0. log a y ) = y log a dla a > 0 a > 0 3. log a b = log b a dla a > 0 a b > 0 b 4. log a = log b log b a dla a > 0 a b > 0 b > 0. 6

7 Ćwiczeie 4.7. Dla podaych par fukcji f : X Y g : Y X sporządzić ich wykresy oraz zbadać czy fukcja g jest fukcją odwrotą do fukcji f. f) = 3 R gy) = y 3 y R. f) = + y gy) = log y 4 3. f) = ) gy) = y + 3 y 3 4. f) = ) gy) = 3 y y 3 5. f) = 9 4 gy) = y + 9 y 8 7). Ciągi liczbowe 5 Podstawowe własości ciągów liczbowych Defiicja 6. Niech X będzie iepustym zbiorem. Fukcję a : N X azywamy ciągiem ieskończoym lub ciągiem. Parę uporządkowaą a)) gdzie N azywamy tym wyrazem ciągu wskaźikiem tego wyrazu a) wartością tego wyrazu. Piszemy a zamiast a). Ciąg a : N X zapisujemy rówież a a...) lub a ) = lub a ) N lub krótko a ) piszemy rówież a =... Jeśli wszystkie wartości ciągu a ) N ależą do R to ciąg te azywamy liczbowym. Twierdzeie 9. Niech a ) będzie ieskończoym ciągiem liczbowym. a) Ciąg a ) jest rosący wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego N zachodzi a a +. b) Ciąg a ) jest ściśle rosący wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego N zachodzi a < a +. c) Ciąg a ) jest malejący wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego N zachodzi a a +. d) Ciąg a ) jest ściśle malejący wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego N zachodzi a > a +. Twierdzeie 0. Niech a ) będzie ieskończoym ciągiem liczbowym. a) Ciąg a ) jest ograiczoy z góry gdy istieje liczba M R taka że dla każdego N zachodzi a M. b) Ciąg a ) jest ograiczoy z dołu gdy istieje liczba m R taka że dla każdego N zachodzi a m. c) Ciąg a ) jest ograiczoy gdy istieje liczba M R taka że dla każdego N zachodzi a M. Uwaga. Będziemy mówić że prawie wszystkie wyrazy ciągu mają określoą własość gdy własość tę mają wszystkie wyrazy ciągu z wyjątkiem skończoej ich ilości. Mówimy że dla dostateczie dużych liczb aturalych zachodzi określoa własość gdy istieje N R że własość ta zachodzi dla wszystkich liczb aturalych większych od N. W szczególości: prawie wszystkie wyrazy ciągu mają określoą własość wtedy i tylko wtedy gdy mają tę własość dla dostateczie dużych wskaźików. Ćwiczeie 5.. Zbadać mootoiczość ciągów. a = + +. a = 4 3. a = 9 4. a =! 5. a = log + 6. a = log + ) 7. a = log 3 + ) a = + 9. a = ) 3 0. a = 5. a = 3

8 . a = + 3. a =!)! 3)! 4. a = ) 5. a = a =! +! + +! + +)!. Ćwiczeie 5.. Zbadać czy astępujące ciągi są mootoicze ograiczoe czy posiadają kresy oraz elemety ajwiększe i ajmiejsze. a = a = + 3. b = ) 4. c = + 5. d = 3 6. g = log ) log )+5. Ćwiczeie 5.3. Zbadać czy astępujące ciągi są mootoicze i czy są ograiczoe. a = a + = + a N 3. e = + ). a = 3 a + = 3 a + 6 N 4. f = + ) +. Ćwiczeie 5.4. Podać wzór a ciąg Fiboacciego. Wskazówka: Ciąg Fiboacciego określoy jest warukami idukcyjymi: a = a = a = a + a = Wykazać że 6 Graice ciągów I a = [ + 5 ) 5 ) ]. 5 Defiicja 7. Niech a ) N będzie ciągiem liczbowym ieskończoym oraz g R. Mówimy że liczba g jest graicą tego ciągu gdy dla każdego ε > 0 istieje N R takie że dla każdego N spełiającego waruek > N zachodzi a g < ε. Fakt te zapisujemy lim a = g lub lim a = g lub a g lub a g. Ciąg a ) N azywamy zbieżym do g gdy ma graicę rówą g. Ciąg azywamy zbieżym gdy ma graicę w przeciwym przypadku ciąg azywamy rozbieżym. Uwaga 3. Niech a ) N będzie ciągiem liczbowym oraz iech g R. Wówczas a także lim a = g ε>0 N R N>N a g < ε lim a = g ε>0 N N N>N a g < ε. Własość 0. Każdy ciąg liczbowy zbieży jest ograiczoy. Twierdzeie. Każdy ciąg mootoiczy i ograiczoy jest zbieży. Własość. Jeśli a ) N jest ciągiem liczbowymi to lim a = 0 wtedy i tylko wtedy gdy lim a = 0. Własość. Jeśli a ) N jest ciągiem ograiczoym oraz b ) N ciągiem zbieżym do zera to a b ) N jest ciągiem zbieżym do zera. Twierdzeie. o działaiach a graicach ciągów) Niech a ) N b ) N będą ciągami liczbowymi zbieżymi oraz iech lim a = a lim b = b gdzie a b R. Wówczas: a) lim a + b ) = a + b. b) lim a b ) = a b. c) Jeśli c R to lim ca ) = ca. d) lim a b ) = ab. e) Jeśli b 0 oraz b 0 dla N to lim a /b ) = a/b. 8

9 Własość 3. a) Jeśli α R α > 0 to lim / α = 0. b) lim =. c) Jeśli a > 0 to lim a =. Własość 4. Niech a ) N b ) N będą ciągami liczbowymi oraz iech a R. Jeśli istieje k N takie że a = b +k dla prawie wszystkich N to lim a = a wtedy i tylko wtedy gdy lim b = a. Twierdzeie 3. Niech a ) N b ) N będą ciągami liczbowymi zbieżymi oraz iech lim a = a lim b = b gdzie a b R. a) Jeśli a > 0 oraz a > 0 dla N to lim a b = a b. b) Jeśli a = 0 b > 0 oraz a > 0 dla N to lim a b = 0. Twierdzeie 4. Niech a b R a b > 0 oraz a. Jeśli b ) N jest ciągiem takim że b > 0 dla N oraz lim b = b to lim log a b = log a b. Ćwiczeie 6.. Korzystając z defiicji graicy ciągu wykazać że. lim 5 + =. lim = 3. lim 3+5 = 3 4. lim 4 + = 5. lim = 0 6. lim +5 4 = 4. Ćwiczeie 6.. Wykazać że jeżeli a 0 i lim a = a to lim a = a. Ćwiczeie 6.3. Obliczyć o ile istieją graice ciągów. lim ) +). lim +)!! +)!+! 3. lim + ) 4. lim ) 5. lim 3 + ) ) + 6. lim ) 7. lim ) 8. lim ++ + ) lim lim ) lim lim lim log 4 +) log 5 +) 3 4. lim 5. lim log. Ćwiczeie 6.4. Wykazać że ciąg a =!) )! jest mootoiczy i ograiczoy. Obliczyć graicę tego ciągu. Ćwiczeie 6.5. Obliczyć graice ciągów określoych idukcyjie. a = a + = + a N. a = 3 a + = 3 a + 6 N 3. a = a + = 3+a 4 N 4. a = a + = a +a N 5. a = a + = a + a ) N 6. a = 0 a + = a a ) N 0 0 ). Ćwiczeie 6.6. Niech a > b > 0. Udowodić że dla ciągów określoych idukcyjie: a := a b := b a + := a+b b + := a b mamy lim a = lim b. 9

10 Ćwiczeie 6.7. Niech E będzie iepustym i ograiczoym z góry zbiorem w R. Udowodić że liczba M jest kresem górym E wtedy i tylko wtedy gdy. M dla każdego E.. Istieje ciąg a ) a E że lim a = M. Ćwiczeie 6.8. Niech a ) będzie dowolym ciągiem. Udowodić że a. Jeśli lim a = g to lim +a +...+a = g. a. Jeśli lim a + a ) = g to lim = g. Wskazówka: zob. [Ki] str. 35 Ćwiczeie 6.9. Niech a ) będzie dowolym ciągiem takim że a > 0 dla N. Udowodić że. Jeśli lim a = g to lim a a a = g. a. Jeśli lim + a = g to lim a = g. Wskazówka: zob. [Ki] str Graice ciągów II. Podciągi. Ciągi Cauchy ego Defiicja 8. Niech a ) N będzie ciągiem liczbowym. Mówimy że ciąg a ) N ma graicę iewłaściwą + lub dąży do + gdy dla każdego A R istieje N R że dla każdego > N zachodzi a > A. Fakt te zapisujemy lim a = + lub lim a = + lub a +. Mówimy że ciąg a ) N ma graicę iewłaściwą lub dąży do gdy dla każdego A R istieje N R że dla każdego > N zachodzi a < A. Fakt te zapisujemy lim a = lub lim a = lub a. Defiicja 9. Niech a ) N będzie dowolym ciągiem i iech k ) k N będzie ściśle rosącym ciągiem liczb aturalych. Ciąg a k ) k N będący złożeiem ciągów k ) k N i a ) N azywamy podciągiem lub ciągiem częściowym ciągu a ) N. Własość 5. Niech a ) N będzie ciągiem liczbowym a k ) k N jego podciągiem oraz g R. Jeśli lim a = g to lim k a k = g. Własość 6. Niech a ) N będzie ciągiem liczbowym oraz iech g R. Jeśli lim a = g i lim a + = g to lim a = g. Własość 7. Ciąg liczbowy a ) N ie ma graicy wtedy i tylko wtedy gdy istieją dwa jego podciągi które mają róże graice. Twierdzeie 5. o trzech ciągach) Niech a ) N b ) N c ) N będą ciągami liczbowymi takimi że a b c dla prawie wszystkich N. Jeśli g R oraz lim a = g i lim c = g to lim b = g. Własość 8. Jeśli lim a = + oraz a b dla prawie wszystkich to lim b = +. Defiicja 0. Ciąg liczbowy a ) N azywamy ciągiem Cauchy ego gdy dla każdego ε > 0 istieje N R takie że dla każdych k N takich że k > N zachodzi a k a < ε. Własość 9. Każdy zbieży ciąg liczbowy jest ciągiem Cauchy ego. Twierdzeie 6. Cauchy ego) Każdy liczbowy ciąg Cauchy ego jest zbieży. Ćwiczeie 7.. Podać przykład ciągów a ) b ) takich że a b 0 oraz. a b 0 3. a b +. a b 4. a b ie posiada graicy. 0

11 Ćwiczeie 7.. Podać przykład ciągów rozbieżych a ) i b ) takich że ciągi a + b oraz a b zbieże. Ćwiczeie 7.3. Wykazać że ie istieje graica ciągu a = + ). Ćwiczeie 7.4. Podać przykład ciągu. zbieżego do są. posiadającego dwa podciągi zbieże do różych graic 3. posiadającego trzy podciągi zbieże do różych graic 4. posiadającego ieskończeie wiele podciągów zbieżych do różych graic. Ćwiczeie 7.5. Czy zbieży jest ciąg. a = + ) ). a = [ ] 3. a = + + ) 4. a = ) + Ćwiczeie 7.6. Obliczyć o ile istieją graice ciągów. lim ) ) 0. lim +. lim lim lim lim lim lim lim lim lim log +) log 4 +). lim 3+ ) 5+ Ćwiczeie 7.7. Podać przykłady ciągów a b + takich że 5. a = + ) ) ) 6. a = ) +) )? 3. lim ) 4. lim +)! + +)! + + )! ) 5. lim lim [] R ) 7. lim [ + ] gdzie symbol [] ozacza część całkowitą z liczby. a b. a b + 3. a b 4. a b 0. Ćwiczeie 7.8. Obliczyć o ile istieją graice ciągów. lim ). lim 4 + ) ) 3. lim ) 4. lim lim + 3 ) 6. lim ) 7. lim +)3 +) 8. lim [ 3 ] [ +] część całkowitą z liczby gdzie symbol [] ozacza Ćwiczeie 7.9. Udowodić że jeśli a ) jest ciągiem Cauchy ego to a + a ) 0 gdy. Ćwiczeie 7.0. Podać przykład ciągu a ) ie będącego ciągiem Cauchy ego i takiego że a + a 0. Ćwiczeie 7.. Wykazać zbieżość ciągu a =

12 8 Liczba e. Graica dola i góra. Pukty skupieia Twierdzeie 7. Ciąg e ) N określoy wzorem e = + ) N. jest zbieży. Poadto < lim e < 3. Defiicja. Liczbę e R określamy wzorem e = lim +. ) Własość 0. Niech a ) N będzie ciągiem liczbowym takim że a 0 dla każdego N. Jeśli lim a = 0 to lim + a ) a = e. Defiicja. Niech R > 0. Logarytmem aturalym z liczby azywamy logarytm przy podstawie e z tej liczby i ozaczamy l. Logarytmem aturalym azywamy fukcję określoą wzorem f) = l > 0. Defiicja 3. Niech a ) N będzie dowolym ciągiem liczbowym. Mówimy że elemet a R jest graicą częściową ciągu a ) N gdy istieje jego podciąg a k ) k N taki że lim k a k = a. Defiicja 4. Niech a ) N będzie ciągiem liczbowym i iech E R będzie zbiorem wszystkich graic częściowych tego ciągu. Graicą dolą ciągu a ) N azywamy if E i ozaczamy lim if a. Graicą górą ciągu a ) N azywamy sup E i ozaczamy lim sup a. Własość. Dla każdego ciągu liczbowego a ) N zachodzi lim if a lim sup a. Własość. Niech a ) N będzie ciągiem liczbowym oraz g R. Wówczas lim a = g wtedy i tylko wtedy gdy lim if a = lim sup a = g. Defiicja 5. Niech X będzie iepustym zbiorem. Fukcję d : X X R spełiającą waruki: d y) > 0 gdy y oraz d ) = 0 d y) = dy ) 3 d y) d z) + dz y) azywamy metryką w X. Liczbę d y) azywamy odległością puktów y. Defiicja 6. Przestrzeń X w której istieje metryka d azywamy przestrzeią metryczą. Wtedy mówimy że przestrzeń X jest wyposażoa w metrykę d. Defiicja 7. Niech X będzie przestrzeią metryczą z metryką d oraz iech a X. Każdy zbiór postaci U = X : d a) < ε} gdzie ε > 0 azywamy otoczeiem puktu a. Każdy zbiór postaci W = X : 0 < d a) < ε} gdzie ε > 0 azywamy sąsiedztwem puktu a. Uwaga 4. Otoczeiem puktu a R jest każdy przedział postaci a ε a+ε) gdzie ε > 0. Sąsiedztwem puktu a jest każdy zbiór postaci a ε a) a a + ε) gdzie ε > 0. Defiicja 8. Niech R. Otoczeiem prawostroym puktu azywamy każdy przedział [ y) gdzie < y. Otoczeiem lewostroym puktu azywamy każdy przedział y ] gdzie y <. Sąsiedztwem prawostroym puktu azywamy każdy przedział y) gdzie < y. Sąsiedztwem lewostroym puktu azywamy każdy przedział y ) gdzie y <. Defiicja 9. Niech X R. Mówimy że y R jest puktem skupieia zbioru X gdy dla każdego sąsiedztwa W puktu y zbiór X W jest iepusty. Pukt y X który ie jest puktem skupieia zbioru X azywamy puktem izolowaym tego zbioru. Własość 3. Niech X R oraz y R. Wówczas pukt y jest puktem skupieia zbioru X wtedy i tylko wtedy gdy istieje ciąg ) N X \ y} taki że lim = y. Ćwiczeie 8.. Wykazać że dla każdego N ) ) <! < e. e

13 Ćwiczeie 8.. Obliczyć o ile istieją graice ciągów. lim +3 +) +5 ). lim lim 4 ) lim ) + ) 5. lim 5 ) lim 5 +3) 4 7. lim + +3) 6 8. lim 4+) 9. lim +) +4 +) + 0. lim l+) l ). Ćwiczeie 8.3. Obliczyć o ile istieją graice ciągów. lim!. lim!. Ćwiczeie 8.4. Obliczyć graicę górą i dolą astępujących ciągów. a = + ) ) ) ). a = + ) [ ] 3. a = 3 3 [ ] 4. a = a = + ) 6. a = [ ] 7 a = r [r] r Q 8 a = r [r] r R \ Q. Ćwiczeie 8.5. Zbadać który z puktów 0 0 3} jest puktem skupieia przedziału 0 ). Ćwiczeie 8.6. Zaleźć pukty skupieia zbioru E = R : < }. Ćwiczeie 8.7. Wykazać że. jest puktem skupieia zbioru E = ) Q. jest puktem skupieia zbioru E = ) R \ Q). Szeregi liczbowe 9 Szeregi liczbowe podstawowe własości kryterium d Alemberta Defiicja 30. Niech a ) = będzie ciągiem liczbowym. Ciąg s ) = określoy wzorem s = j= a j N azywamy ciągiem sum częściowych ciągu a ) =. Defiicja 3. Niech a ) = będzie ciągiem liczbowym oraz iech s ) = będzie ciągiem sum częściowych ciągu a ) =. Szeregiem liczbowym o wyrazach a =... lub krótko szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) = s ) = ) i ozaczamy = a lub a. Ciąg s ) = azywamy rówież ciągiem sum częściowych szeregu = a. Defiicja 3. Niech = a będzie szeregiem liczbowym. Szereg te azywamy zbieżym gdy zbieży jest jego ciąg sum częściowych s ) =. Jeśli lim s = s gdzie s R to mówimy że szereg jest zbieży do s i piszemy = a = s. Wtedy liczbę s azywamy sumą tego szeregu. Szereg który ie jest zbieży azywamy rozbieżym. Jeśli ciąg sum częściowych szeregu = a ma graicę + to szereg azywamy rozbieżym do + i piszemy = a = +. Jeśli ciąg sum częściowych szeregu = a ma graicę to mówimy że szereg te jest rozbieży do i piszemy = a =. Twierdzeie 8. waruek koieczy zbieżości szeregu) Jeśli szereg liczbowy = a jest zbieży to lim a = 0. Defiicja 33. Mówimy że szereg = a jest zbieży bezwzględie gdy zbieży jest szereg = a. 3

14 Własość 4. Jeśli szereg = a jest zbieży bezwzględie to jest zbieży. Poadto = a = a. Twierdzeie 9. kryterium d Alemberta) Niech = a będzie szeregiem liczbowym takim że a 0 dla N. a a) Jeśli lim sup + a < to szereg = a jest zbieży bezwzględie. b) Jeśli istieje N N że dla N to szereg = a jest rozbieży. a + a Wiosek. kryterium d Alemberta) Niech = a będzie szeregiem liczbowym takim że a 0 a dla N oraz iech istieje graica g = lim +. a a) Jeśli g < to szereg = a jest zbieży bezwzględie. b) Jeśli g > to szereg = a jest rozbieży. Ćwiczeie 9.. Udowodić że przykładami szeregów rozbieżych lecz spełiających waruek koieczy zbieżości szeregów są l + ) i. = = Ćwiczeie 9.. Zaleźć o ile istieją sumy astępujących szeregów. =. = = 4. = +) +)+) 5. = ++ +) 6. = ) +) 7. = = ) 9. = + ) 0. = +) + +). = ). Ćwiczeie 9.3. Zamieić ułamek okresowy 37) a ułamek zwykły. Ćwiczeie 9.4. Zbadać zbieżość astępujących szeregów. )! =!). =! 3. 3 ) = 3!. Ćwiczeie 9.5. Niech a ) będzie dowolym ciągiem takim że a > 0 dla N i iech a lim + a = g. Udowodić że. jeśli g < to lim a = 0. jeśli g > to lim a = 0. Ćwiczeie 9.6. Obliczyć graice ciągów. lim )!. lim!) )!. 3. lim lim 3! 0 Kryteria zbieżości szeregów porówawcze graicze Cauchy ego d Alemberta Leibiza) Defiicja 34. Szereg = α azywamy harmoiczym rzędu α. Wiosek. Szereg = α jest zbieży dla α > i rozbieży dla α. 4

15 Twierdzeie 0. kryterium porówawcze zbieżości szeregów) Niech = a = b będą szeregami liczbowymi oraz iech N N będzie takie że 0 a b dla N. a) Jeśli szereg = b jest zbieży to zbieży jest szereg = a. b) Jeśli szereg = a jest rozbieży to rozbieży jest szereg = b. Twierdzeie. kryterium graicze) Niech = a = b będą takimi szeregami że a 0 b > 0 dla N. Załóżmy że istieje graica a K = lim. b a) Jeśli K < + i szereg = b jest zbieży to szereg = a jest zbieży. b) Jeśli K > 0 i szereg = b jest rozbieży to szereg = a jest rozbieży. Wiosek 3. Niech = a = b będą szeregami takimi że a 0 b > 0 dla N. Jeśli istieje graica a K = lim przy czym 0 < K < + b to oba szeregi są jedocześie zbieże lub są jedocześie rozbieże. Twierdzeie. kryterium o zagęszczaiu) Niech a ) = będzie ciągiem malejącym o wyrazach ieujemych. Wówczas szereg = a jest zbieży wtedy i tylko wtedy gdy zbieży jest szereg = a. Twierdzeie 3. kryterium Cauchy ego) Niech = a będzie szeregiem liczbowym oraz iech g = lim sup a. a) Jeśli g < to szereg = a jest zbieży bezwzględie. b) Jeśli g > to szereg = a jest rozbieży. Poadto jeśli a dla ieskończeie wielu N to szereg jest rozbieży. Wiosek 4. kryterium Cauchy ego) Niech = a będzie szeregiem liczbowym oraz iech istieje graica g = lim a. a) Jeśli g < to szereg = a jest zbieży bezwzględie. b) Jeśli g > to szereg = a jest rozbieży. Twierdzeie 4. waruek Cauchy ego zbieżości szeregu liczbowego) Niech = a będzie szeregiem liczbowym. Wówczas szereg = a jest zbieży wtedy i tylko wtedy gdy spełia o waruek Cauchy ego: m ε>0 N R ml Nm l N a < ε Twierdzeie 5. kryterium Leibiza) Jeśli ciąg b ) = jest mootoiczy i lim b = 0 to szereg = ) b jest zbieży. Twierdzeie 6. kryterium Abela) Jeśli szereg = a jest zbieży a ciąg b ) = jest mootoiczy i ograiczoy to szereg = a b jest zbieży. Twierdzeie 7. kryterium Dirichleta) Niech a ) = b ) = będą ciągami liczbowymi. Jeśli i) ciąg sum częściowych ciągu a ) = jest ograiczoy ii) ciąg b ) = jest mootoiczy iii) lim b = 0 to szereg = a b jest zbieży. =l 5

16 Ćwiczeie 0.. Podać trzy ie dowody rozbieżości szeregu harmoiczego korzystając z astępujących wskazówek:. Korzystając z ierówości + ) < e uzasadić że l + ) < dla N i skorzystać z ćwiczeia 9... Zauważyć że lim l+ ) =. = 3. Przypuścić że szereg harmoiczy jest zbieży do A i rozważyć wtedy szeregi i = rówież wtedy zbieże do pewych liczb B i C. Wykazać że wtedy A = B + C i B = A co daje B = C. Następie wykazać że ostatia rówość jest iemożliwa. Ćwiczeie 0.. Zbadać zbieżość astępujących szeregów. = = 3. = = = + l ) 6. = l + ) 7. = = + 9. = l 3 0. = l α α > 0. = 3!. )! = 3. = + ) 4. ) = e 5. = = + ) 7. = )+) 8. = 9. = 0. =. =. = l ) l l ) p 3. = a+b a b s > 0. s Wskazówka. Do przykładu 5. oraz 6. skorzystać z ierówości + < l + ) <. Do przykładu 0. skorzystać z ierówości l < k k gdzie > 0 k N. Ćwiczeie 0.3. Zbadać zbieżość astępujących szeregów. = ). = 4. = 3 5. = 7 4) + 7. = > = ) l. 3. = +) ) 6.!) = )! 8. = +)! Ćwiczeie 0.4. Wykazać że dla szeregu = ) kryterium d Alemberta ie rozstrzyga zbieżości zaś kryterium Cauchy ego rozstrzyga. Ćwiczeie 0.5. Zbadać zbieżość astępujących szeregów. = ) ). ) + = 3. ) + = +) 4. ) = 3 5. ) = e 6. = 7. = ) l +) ) + l +) 8. + = ) 9. ) ) = 3 0. = ) 3 ). l = ). = ) + ) 3. = ) + ) 4. = ) ) 5. = ) + ) 6. ) + =! 7. = ) +) + 8. = a! a R 9. = α α α 0 6 = )[log ] 7 ) [ ] =. 6

17 ) ) Wskazówka. Do przykładu 5. skorzystać z ierówości e <! < e Możeie szeregów. Szeregi potęgowe Defiicja 35. Niech =0 a =0 b będą szeregami liczbowymi. Iloczyem w sesie Cauchy ego tych szeregów azywamy szereg =0 c gdzie c = a j b j = 0... j=0 Twierdzeie 8. Mertesa) Jeśli szeregi =0 a =0 b są zbieże i jeśli przyajmiej jede z tych szeregów jest zbieży bezwzględie to iloczy w sesie Cauchy ego =0 c tych szeregów jest zbieży oraz c = b. =0 a =0 =0 Jeśli szeregi =0 a =0 b są bezwzględie zbieże to szereg =0 c jest bezwzględie zbieży. Defiicja 36. Niech a ) =0 będzie ciągiem liczbowym oraz iech 0 R. Szereg postaci =0 a 0 ) gdzie R azywamy szeregiem potęgowym o środku 0 lub szeregiem Taylora o środku 0. Przyjmujemy tutaj 0 0 =. Liczby a = 0... azywamy współczyikami szeregu potęgowego. Defiicja 37. Niech day będzie szereg potęgowy =0 a 0 ). Elemet R R + } taki że powyższy szereg potęgowy jest zbieży dla R takich że 0 < R oraz rozbieży dla 0 > R azywamy promieiem zbieżości tego szeregu potęgowego. Zbiór R : 0 < R} azywamy przedziałem zbieżości szeregu potęgowego. Twierdzeie 9. Cauchy ego-hadamarda) Niech a ) =0 będzie ciągiem liczbowym iech ϱ = lim sup a oraz iech 0 dla ϱ = + R = /ϱ dla 0 < ϱ < + + dla ϱ = 0. Wówczas szereg potęgowy =0 a 0 ) o środku 0 R jest zbieży bezwzględie dla R takich że 0 < R oraz rozbieży dla R takich że 0 > R. Wiosek 5. Niech a ) =0 będzie ciągiem liczbowym takim że a 0 dla Z 0 oraz iech a istieje graica η = lim +. a Wówczas promień zbieżości szeregu potęgowego =0 a 0 ) wyraża się wzorem 0 dla η = + R = /η dla 0 < η < + + dla η = 0. Twierdzeie 30. Dla każdego R zachodzi e = =0!. Ćwiczeie.. Obliczyć iloczy Cauchy ego szeregów =0! i y =0!. Ćwiczeie.. Określić promień i przedział zbieżości astępujących szeregów potęgowych. W szczególości zbadać ich zachowaie a krańcach przedziału zbieżości. 7

18 . =!. =! 3. = ) 4. = p R p 5. = + ) 3 6. = + ) 7.!) = )! 8. ) =! e ) = = +3. =!. = 0 3. = +) 4. = + ) 5. = 0 + 4) 6. = = 4 + ) 8. = ). Wskazówka: Do przykładu 8. skorzystać ze wzoru Stirliga:! = π e ) e θ 0 < θ <! lim π ) = [F] p.406) e Ćwiczeie.3. Korzystając z teorii szeregów potęgowych podać zbiory w których podae szeregi są zbieże. = 3) + 0). = 6 3) 3. =0 ) 4. =. Fukcje trygoometrycze Własość 5. Dla każdego R szeregi są zbieże bezwzględie. =0 Defiicja 38. Dla R kładziemy si = =0 ) + )! + =0 ) )! ) + )! + oraz cos = =0 ) )! i azywamy odpowiedio siusem oraz cosiusem. Fukcje si oraz cos azywamy odpowiedio fukcją sius i fukcją cosius i odpowiedio ozaczamy si cos. Twierdzeie 3. Niech y R. Wówczas mamy a) cos 0 = si 0 = 0 b) cos ) = cos si ) = si c) cos + y) = cos cos y si si y cos y) = cos cos y + si si y d) si + y) = si cos y + cos si y si y) = si cos y cos si y e) si + cos =. Wiosek 6. Niech y R. Wówczas a) si cos b) si = si cos cos = cos si c) cos + cos y = cos +y d) si + si y = si +y cos y cos y Twierdzeie 3. Zachodzą astępujące ierówości a) 3 6 < si < dla 0 ] b) cos < si dla 0 ] y cos cos y = si si +y y si si y = si cos +y. c) 0 < cos 0 < si dla 0 ] oraz cos < 0. 8

19 Wiosek 7. Jeśli ciąg a ) N jest zbieży do a R to a) lim si a = si a b) lim cos a = cos a c) lim si a a = gdy a 0 dla N oraz a = 0. Defiicja 39. Niech R. Liczbę si cos gdy cos 0 azywamy tagesem i ozaczamy tg. gdy si 0 azywamy cotagesem i ozaczamy ctg. Liczbę cos si Fukcję tg określoą w zbiorze R : cos 0} azywamy fukcją tages i ozaczamy tg. Fukcję ctg określoą w zbiorze R : si 0} azywamy fukcją cotages i ozaczamy ctg. Wiosek 8. Niech ciąg a ) N będzie zbieży do a R. a) Jeśli cos a 0 dla N oraz cos a 0 to lim tg a = tg a b) Jeśli si a 0 dla N oraz si a 0 to lim ctg a = ctg a. Ćwiczeie.. Obliczyć o ile istieją astępujące graice. lim si. lim si 3. lim si lim cos ) 5. lim + si 3 ) 5 lim + ) cos π 6 lim cosπ ) 7. lim si + si 8. lim 5 cos+) 9. lim + cos si Ćwiczeie.. Wykazać zbieżość ciągu a = si + si + + si. Ćwiczeie.3. Zbadać zbieżość astępujących szeregów 0. lim cos. lim si 5. lim si 7 si 3. lim cos.. + = cos +. = cos si ) 3. = si 4. si 4 = 4 5. = si 0 ) 6. = si cos 7. = tg 8. = tg 9. = si 0. si ) =. = cos!. +cos! = 3. = cos 4. = si 5. = si 6. = si + 4+ ) ) Wskazówka: Do dwóch ostatich przykładów skorzystać ze wzorów: si k = k= si + si si cos k = k= cos + si si o ile si 0. Ćwiczeie.4. Udowodić że jeśli szereg = a jest zbieży to szereg = cos a jest rozbieży. Ćwiczeie.5. Udowodić że jeśli szereg = a o wyrazach dodatich jest zbieży to szeregi = si a = si 3a oraz = tg a są zbieże. Ćwiczeie.6. Udowodić że jeśli szereg = a o wyrazach dodatich jest zbieży to szereg = sia ) ie musi być zbieży. Ćwiczeie.7. Udowodić że fukcja f) := lim lim k cos!π) k ) R jest fukcją Dirichleta. 9

20 Ćwiczeie.8.. Udowodić że ciąg si ) N ie ma graicy.. Udowodić że ciąg si ) N ie ma graicy dla kπ k Z. Wskazówka: zob. [B] 3 I kolokwium odbędzie się w diach Fukcje ciągłe 4 Graica fukcji I Defiicja 40. Niech f : X R gdzie X R i iech 0 R będzie puktem skupieia zbioru X. Mówimy że liczba a R jest graicą w sesie Cauchy ego fukcji f w pukcie 0 gdy dla każdej liczby ε > 0 istieje liczba δ > 0 że dla każdego X takiego że 0 < 0 < δ zachodzi f) a < ε. Wtedy piszemy lim 0 f) = a lub f) a gdy 0. Defiicję Cauchy ego graicy fukcji w pukcie 0 moża zapisać astępująco: lim f) = a ε>0 δ>0 X 0 < 0 < δ f) a < ε). 0 Defiicja 4. Niech f : X R gdzie X R i iech 0 R będzie puktem skupieia zbioru X. Mówimy że liczba a R jest graicą w sesie Heiego fukcji f w pukcie 0 gdy dla każdego ciągu ) N X takiego że 0 dla N oraz lim = 0 zachodzi lim f ) = a. Defiicja 4. Niech X R f : X R oraz iech a 0 R. Mówimy że liczba a jest graicą lewostroą fukcji f w pukcie 0 gdy 0 jest puktem skupieia zbioru X 0 ) oraz liczba a jest graicą fukcji f X 0 ) w pukcie 0. Wtedy piszemy a = lim f). 0 Mówimy że liczba a jest graicą prawostroą fukcji f w pukcie 0 gdy 0 jest puktem skupieia zbioru X 0 + ) oraz liczba a jest graicą fukcji f X 0 + ) w pukcie 0. Wtedy piszemy a = lim + f). 0 Twierdzeie 33. Niech X R f : X R oraz 0 a R. a) Niech 0 będzie puktem skupieia zbioru X 0 ). Liczba a R jest graicą lewostroą w sesie Cauchy ego fukcji f w pukcie 0 gdy ε>0 δ>0 X < 0 0 < δ f) a < ε) lub rówoważie liczba a R jest graicą lewostroą w sesie Heiego fukcji f w pukcie 0 : lim f) = a ) N X 0 ) lim = 0 lim f ) = a). 0 b) Niech 0 będzie puktem skupieia zbioru X 0 + ). Liczba a R jest graicą prawostroą w sesie Cauchy ego fukcji f w pukcie 0 gdy ε>0 δ>0 X 0 < 0 < δ f) a < ε) lub rówoważie liczba a R jest graicą prawostroą w sesie Heiego fukcji f w pukcie 0 : lim f) = a ) + N X 0 + ) lim = 0 lim f ) = a). 0 Twierdzeie 34. związek graicy fukcji z graicami jedostroymi) Niech f : X R gdzie X R iech 0 R będzie puktem skupieia zbiorów X 0 ) i X 0 + ) i iech a R. Wówczas astępujące waruki są rówoważe: a) lim 0 f) = a b) lim 0 f) = a oraz lim + 0 f) = a. 0

21 Defiicja 43. Niech f : X R X R oraz 0 R będzie puktem skupieia zbioru X. Wówczas wprowadza się astępujace defiicje w sesie Cauchy ego graicy iewłaściwej fukcji w pukcie: lim f) = + A>0 δ>0 X 0 < 0 < δ f) > A) 0 lim f) = A<0 δ>0 X 0 < 0 < δ f) < A). 0 Defiicja 44. Niech f : X R gdzie X R iech 0 będzie puktem skupieia zbioru X oraz iech a + }. Wówczas astępujące waruki są rówoważe: a) a jest graicą fukcji f w pukcie 0 b) dla każdego ciągu ) N X takiego że 0 dla N oraz lim = 0 zachodzi lim f ) = a. Defiicja 45. Niech f : X R gdzie X R oraz iech a R. Mówimy że liczba a jest graicą fukcji f w + gdy zbiór X jest ieograiczoy z góry i dla każdego ε > 0 istieje δ R że dla każdego X > δ zachodzi f) a < ε. Wtedy piszemy lim + f) = a. Mówimy że liczba a jest graicą fukcji f w gdy zbiór X jest ieograiczoy z dołu i dla każdego ε > 0 istieje δ R że dla każdego X < δ zachodzi f) a < ε. Wtedy piszemy lim f) = a. Defiicja 46. Niech X R i f : X R. Mówimy że + jest graicą fukcji f w + gdy zbiór X jest ieograiczoy z góry i dla każdego A R istieje δ R że dla każdego X > δ zachodzi f) > A. Wtedy piszemy lim + f) = +. Mówimy że jest graicą fukcji f w + gdy zbiór X jest ieograiczoy z góry i dla każdego A R istieje δ R że dla każdego X > δ zachodzi f) < A. Wtedy piszemy lim + f) =. Mówimy że + jest graicą fukcji f w gdy zbiór X jest ieograiczoy z dołu i dla każdego A R istieje δ R że dla każdego X < δ zachodzi f) > A. Wtedy piszemy lim f) = +. Mówimy że jest graicą fukcji f w gdy zbiór X jest ieograiczoy z dołu i dla każdego A R istieje δ R że dla każdego X < δ zachodzi f) < A. Wtedy piszemy lim f) =. Ćwiczeie 4.. Korzystając z defiicji graicy fukcji w sesie Cauchy ego wykazać że. lim 3 = 6. lim 3 + 5) = 3. lim 3 = 9 4. lim 4 3 = lim = 6 6. lim 3 + = 4 7. lim +5 + = 8. lim 4 = 4 9. lim +3 5 = 7. Ćwiczeie 4.. Korzystając z defiicji graicy fukcji w sesie Heiego wykazać że. lim 3 5. lim Ćwiczeie 4.3. Podać przykład fukcji f : R R takiej że. lim 0 f) = 3. lim f) = 3. lim 3 f) = 4. lim 3 f) = + 5. lim f) = 6. lim f) = + 7. lim f) = 8. lim + f) = 3 9. lim + f) = 3 4.

22 Ćwiczeie 4.4. Podać przykład fukcji f : R R takiej że. lim f) = +. lim f) = 3. lim + f) = 4. lim + f) = + Ćwiczeie 4.5. Udowodić że jeśli f : a b) R jest fukcją rosącą i ograiczoą z góry to istieje lim b f). Ćwiczeie 4.6. Obliczyć o ile istieją astępujące graice fukcji. lim 0 si. lim a si a R 3. lim + si. Ćwiczeie 4.7. Korzystając z defiicji graicy iewłaściwej w sesie Cauchy ego wykazać że ). lim 0 = + 6. lim 0 l + = +. lim 0 e = + 3. lim + +5 = + 4. lim +5 = 5. lim = + 5 Graica fukcji II Wiosek 9. Zachodzą astępujące: a) lim 0 + ) = e si b) lim 0 =. 7. lim = lim cos = 9. lim = +. Wiosek 0. o trzech fukcjach) Niech f g h : X R gdzie X R iech 0 R będzie puktem skupieia zbioru X oraz a R. Jeśli lim 0 f) = a lim 0 h) = a oraz f) g) h) dla X \ 0 } to lim 0 g) = a. Wiosek. Niech f g : X R gdzie X R i iech 0 będzie puktem skupieia zbioru X. Jeśli g jest fukcją ograiczoą oraz lim 0 f) = 0 to lim 0 f)g)) = 0. Ćwiczeie 5.. Obliczyć graice fukcji o ile istieją):. lim 0 si 3. lim 0 tg 5 3. lim si +) 4. lim 0 si 4 5. lim 0 si 3 si 7 si 4 si 6 6. lim π 4 cos si cos 7. lim π ) cos + ctg 8. lim π cos π 9. lim 0 cos 0. lim 0 cos si ). lim 0 si cos. lim + +si cos 3. lim 0 si 5 4. lim 0 si 5 si 7 5. lim + si + ) 6. lim π si )ctg ) 7. lim 3 8. lim lim 0 3 +m m R 0. lim 3. lim 0 + )

23 . lim lim 0 e 6 e 4. lim 0 + e 5. lim e 6. lim e 7. lim + e 8. lim 9. lim 0 l+) 30. lim 0 e 3. lim 3. lim 0 e tg 33. lim 0 log lim 8 log [log ]) 35. lim + l+e ) 36. lim + l+e 3 ) l3+e ) 37. lim 0 +) N 38. lim N +)+) +) 39. lim 0 N [ ] ) 40. lim 0 ] 4. lim 0 [ 4. lim + [3] [] 43. lim 0 + si ) 44. lim 0 cos ) 45. lim 0 cos ) 46. lim + ) 47. lim + 3) 48. lim ) 49. lim + + ) 50. lim + + ) 5. lim lim + si 53. lim 0 si 54. lim 0 si 55. lim cos 56. lim + si + 3) 57. lim + cos 58. lim π ctg ) lim lim + + ) 6. lim ) 3 6. lim ) gdzie w przykładach symbol [a] ozacza część całkowitą z liczby a. 6 Ciągłość fukcji w sesie Cauchy ego i Heiego. Rodzaje ieciągłości Defiicja 47. Niech f : X R gdzie X R oraz iech 0 X. Mówimy że fukcja f : X R gdzie X R jest ciągła w pukcie 0 w sesie Cauchy ego gdy dla każdego ε > 0 istieje δ > 0 że dla każdego X takiego że 0 < δ zachodzi f) f 0 ) < ε. Defiicja 48. Mówimy że fukcja f : X R gdzie X R jest ciągła gdy jest ciągła w każdym pukcie zbioru X. Twierdzeie 35. związek ciągłości z graicą) Niech f : X R X R oraz 0 X. a) Jeśli 0 jest puktem izolowaym zbioru X to f jest fukcją ciągłą w pukcie 0. b) Jeśli 0 jest puktem skupieia zbioru X to fukcja f jest ciągła w pukcie 0 wtedy i tylko wtedy gdy lim 0 f) = f 0 ). Defiicja 49. Niech f : a b) R. Mówimy że fukcja f jest lewostroie ciągła w pukcie 0 a b) gdy lim f) = f 0 ). Mówimy że fukcja f jest lewostroie ciągła gdy jest lewostroie 0 3

24 ciągła w każdym pukcie zbioru a b). Mówimy że fukcja f jest prawostroie ciągła w pukcie 0 a b) gdy lim + f) = f 0 ). Mówimy że fukcja f jest prawostroie ciągła gdy jest 0 prawostroie ciągła w każdym pukcie zbioru a b). Twierdzeie 36. waruek Heiego ciągłości fukcji w pukcie) Niech f : X R X R oraz 0 X. Wówczas astępujące waruki są rówoważe: a) f jest fukcją ciągłą w pukcie 0. b) dla każdego ciągu ) = X takiego że lim = 0 zachodzi lim f ) = f 0 ). Wiosek. działaia a fukcjach ciągłych) Niech f g : X R X R oraz 0 X. a) Jeśli f i g są fukcjami ciągłymi w pukcie 0 to f +g f g fg oraz f g przy założeiu g) 0 dla X są fukcjami ciągłymi w pukcie 0. b) Jeśli f i g są fukcjami ciągłymi to f + g f g fg oraz f g przy założeiu g) 0 dla X są fukcjami ciągłymi. Wiosek 3. o złożeiu fukcji ciągłych) Niech f = g h : X R gdzie h : X R g : Y R X Y R oraz hx) Y. Niech 0 X. a) Jeśli h jest fukcją ciągłą w pukcie 0 fukcja g jest zaś ciągła w pukcie y 0 = h 0 ) to fukcja f jest ciągła w pukcie 0. b) Jeśli h i g są fukcjami ciągłymi to f jest fukcją ciągłą. Defiicja 50. Niech X R. Pukt 0 X w którym fukcja f : X R ie jest ciągła azywamy puktem ieciągłości fukcji f. Defiicja 5. Niech f : a b) R będzie fukcją i 0 a b) będzie puktem ieciągłości fukcji f. Mówimy że fukcja f ma w pukcie 0 ieciągłość pierwszego rodzaju gdy fukcja f ma w pukcie 0 skończoe graice jedostroe. W przeciwym razie mówimy że fukcja f ma w pukcie 0 ieciągłość drugiego rodzaju. Iaczej fukcja f ma w pukcie 0 ieciągłość drugiego rodzaju gdy 0 jest puktem ieciągłości fukcji f oraz co ajmiej jeda z graic jedostroych fukcji f w pukcie 0 ie istieje lub jest ieskończoa. Ćwiczeie 6.. Udowodić że fukcja wartość bezwzględa : R R jest ciągła. Ćwiczeie 6.. Zbadać ciągłość astępujących fukcji w każdym pukcie dziedziy:. f) = 0 5}. f) = 0 0 = 0. Ćwiczeie 6.3. Korzystając z defiicji ciągłości w sesie Heiego zbadać czy astępujące fukcje są ciągłe w pukcie 0 :. f) = 0 = si 3. f) = 0 0 = 0 0 = 0. f) = = 0 = 4. f) = si 0 0 = 0 0 = 0. Ćwiczeie 6.4. Wykazać że fukcja Dirichleta ie jest ciągła w żadym pukcie R. Ćwiczeie 6.5. Zbadać ciągłość astępujących fukcji w każdym pukcie dziedziy: 3 Q 3. f) = sgsi ) R. f) = 0 R \ Q 4. f) = [] si π R 0. f) = < 5. f) = lim + + ). 4

25 Ćwiczeie 6.6. Podać przykład fukcji f : R R ieciągłej w puktach. 0 =. = = 3. k = k k N. Ćwiczeie 6.7. Podać przykład fukcji f : R R która jest ciągła tylko. w jedym pukcie. w dwóch puktach 3. w puktach k = k k Z. Ćwiczeie 6.8. Udowodić że fukcja f) = [] R jest prawostroie ciągła w R ale ie jest lewostroie ciągła w puktach zbioru Z. Ćwiczeie 6.9. Czy moża dobrać wartości parametrów a b c tak aby fukcja f : R R daa wzorem była ciągła? cos π si a. f) = < 0 a > 3 0 < 3. f) = + c = + e < 0. f) = si a 3 > 0 b = 0 4. f) = +b ) b > 3 +8 a = Ćwiczeie 6.0. Wykazać że jedyymi fukcjami ciągłymi f : R R spełiającymi waruek f+ y) = f) + fy) dla y R są fukcje liiowe postaci f) = a gdzie a R. Ćwiczeie 6.. Udowodić że fukcja f : [0 ] R określoa wzorem 0 gdy jest liczbą iewymierą f) = q gdy = p q p Z q N i ułamek p q ie jest skracaly jest ciągła w każdym pukcie iewymierym i ieciągła w każdym pukcie wymierym przedziału [0 ]. Ćwiczeie 6.. Zbadać rodzaj ieciągłości fukcji f w pukcie 0. f) = [] 0 Z. f) = 3. f) = e 0 = si 0 0 = 0 0 = 0 = 0 4. f) = 5. f) = 6. f) = l +) 0 = = cos 0 0 = 0 0 = 0 3) si π 0 0 = 0 0 = 0. 7 Waruek Lipschitza. Jedostaja ciągłość Defiicja 5. Niech f : X R gdzie X R. Mówimy że fukcja f spełia waruek Lipschitza gdy istieje stała M R taka że dla każdych X zachodzi f) f ) M. Wtedy mówimy że fukcja f spełia waruek Lipschitza ze stałą M. Defiicja 53. Mówimy że fukcja f : X R gdzie X R jest jedostajie ciągła gdy dla każdego ε > 0 istieje δ > 0 że dla dowolych X takich że < δ zachodzi f ) f ) < ε. 5

26 Twierdzeie 37. waruek Heiego ciągłości jedostajej) Niech f : X R gdzie X R. Wówczas astępujące waruki są rówoważe: a) f jest fukcją jedostajie ciągłą b) dla dowolych ciągów ) = ) = X takich że lim ) = 0 zachodzi lim f ) f )) = 0. Własość 6. Każda fukcja jedostajie ciągła jest ciągła. Twierdzeie 38. o fukcji ciągłej a zbiorze zwartym) Jeśli fukcja f : X R gdzie X R jest ciągła i X jest zbiorem zwartym to fukcja f jest jedostajie ciągła. Własość 7. Jeśli fukcja f : X R gdzie X R spełia waruek Lipschitza to f jest fukcją jedostajie ciągłą. Własość 8. Dla dowolych y R mamy si si y y oraz cos cos y y. Własość 9.. Jeśli f : [a + ) R jest fukcją ciągłą posiadającą skończoą graicę w + to f jest fukcją jedostajie ciągłą.. Jeśli f : a] R jest fukcją ciągłą posiadającą skończoą graicę w to f jest fukcją jedostajie ciągłą. 3. Jeśli f : R R jest fukcją ciągłą posiadającą skończoą graicę w i w + to f jest fukcją jedostajie ciągłą. Własość 30. Jeśli fukcja f : A R gdzie A R jest jedostajie ciągła i zbiór A jest ograiczoy to fukcja f jest ograiczoa. Defiicja 54. Symbolem π ozaczamy liczbę dodatią taką że: cos π = 0 oraz cos 0 dla [0 π ). Ćwiczeie 7.. Zbadać czy fukcja f : A R spełia a zbiorze A waruek Lipschitza. f) = 3 A = [ 5]. f) = 3 + A = [ 3] 3. f) = 3 A = 0) 4. f) = 3 A = 0 + ) 5. f) = + A = [ + ) 6. f) = A = [ε + ) ε > 0 7. f) = A = 0 ε) ε > 0 8. f) = + A = R 9. f) = 3 + A = R 0. f) = 4 A = [ 5] +. f) = + A = R. f) = A = [ 5] + 3. f) = si3 + 5) + 7 A = R 4. f) = 3 + cos7 + ) A = R 5. f) = + cos 3 A = [ + ) 6. f) = + A = [ 3 ). Ćwiczeie 7.. Wykazać że fukcja jedostajie ciągła ie musi spełiać waruku Lipschitza. Wskazówka: Rozważyć fukcję f) = [0 ]. Ćwiczeie 7.3. Zbadać czy fukcja f : A R jest jedostajie ciągła a zbiorze A. f) = si A = R. f) = 3 + cos 5 A = R 3. f) = cos 5) A = R 4. f) = sisi ) A = R 5. f) = + si A = R 6. f) = + si 5 A = [ + ) 6

27 7. f) = si π A = 0 ) 8. f) = si A = [0 + ) 9. f) = tg A = π π ) 0. f) = A = 0 ]. f) = 4 A = ). f) = 3 A = 5) 3. f) = a A = [0 + ) a 0 ) 4. f) = A = [0 + ) 5. f) = A = 0 ) 6. f) = 3 A = [ + ) 7. f) = l A = 0 ) A = [ + ) 8. f) = A = [a + ) a > 0 9. f) = A = R 0. f) = + A = R. f) = si si ) A = R. f) = si A = R 3. f) = si A = [ + ); A = 0 ] 4 f) = l A = 0 ]. Ćwiczeie 7.4. Czy suma i iloczy fukcji jedostajie ciągłych jest fukcją jedostajie ciągłą? 8 Własość Darbou. Fukcje cyklometrycze Wiosek 4. własość Darbou) Niech P będzie przedziałem oraz f : P R fukcją ciągłą. Niech a b P a < b oraz c R. a) Jeśli fa) < c < fb) to istieje P taki że a < < b oraz f) = c. b) Jeśli fb) < c < fa) to istieje P taki że a < < b oraz f) = c. Wiosek 5. Jeśli f : [a b] R jest fukcją ciągłą taką że fa) < 0 < fb) lub fa) > 0 > fb) to istieje 0 a b) że f 0 ) = 0. Defiicja 55. Arcusem siusem azywamy fukcję odwrotą do fukcji f : [ π π ] [ ] określoej wzorem f) = si i ozaczamy arcsi. Arcusem cosiusem azywamy fukcję odwrotą do fukcji g : [0 π] [ ] określoej wzorem g) = cos i ozaczamy arccos. Arcusem tagesem azywamy fukcję odwrotą do fukcji u : π π ) R określoej wzorem u) = tg i ozaczamy arctg. Arcusem cotagesem azywamy fukcję odwrotą do fukcji v : 0 π) R określoej wzorem v) = ctg i ozaczamy arcctg. Fukcje arcus sius arcus cosius arcus tages i arcus cotages azywamy fukcjami cyklometryczymi. Uwaga 5. Wprost z określeia fukcji odwrotej dostajemy: a) Dziedzią fukcji arcsi jest [ ] zbiorem wartości zaś [ π π ]. b) Dziedzią fukcji arccos jest [ ] zbiorem wartości zaś [0 π]. c) Dziedzią fukcji arctg jest R zbiorem wartości zaś π π ). d) Dziedzią fukcji arcctg jest R zbiorem wartości zaś 0 π). Ćwiczeie 8.. Udowodić że fukcja si f) = gdy 0 ] 0 gdy = 0 ie jest ciągła w przedziale [0 ] ale ma tam własość Darbou. Ćwiczeie 8.. Udowodić że jeśli fukcja f : P R P dowoly przedział skończoy lub ieskończoy) jest fukcją ciągłą oraz m = if P f) M = sup P f) kresy obliczoe w rozszerzoym zbiorze liczb rzeczywistych) to m M) fp ). Ćwiczeie 8.3. Udowodić że jeśli fukcja f : [a b] R jest fukcją różowartościową i ma własość Darbou to jest ciągła. 7

28 Ćwiczeie 8.4. Pokazać że każde z rówań. l + cos π + = 0. ) = 3. si + ) = 0 posiada co ajmiej jedo rozwiązaie. Ćwiczeie 8.5. Udowodić że jeśli fukcja f : [a b] [a b] gdzie a < b jest ciągła to istieje 0 [a b] że f 0 ) = 0. Ćwiczeie 8.6. Podać przykład fukcji mającej własość Darbou i ieciągłej w żadym pukcie. Ćwiczeie 8.7. Niech f : R R będzie fukcją spełiającą waruek ff)) = R. Wykazać że f ie może być fukcją ciągłą. Ćwiczeie 8.8. Podać przykład fukcji ciągłej f : R R przyjmującej każdą swoją wartość dokładie trzy razy. Czy istieje fukcja ciągła f : R R przyjmująca każdą swoją wartość dokładie dwa razy? Ćwiczeie 8.9. Niech f : R [0 + ) będzie fukcją różowartościową przekształcającą R a [0 + ). Wykazać że f ma ieskończeie wiele puktów ieciągłości. Ćwiczeie 8.0. Wykazać że wykresy fukcji f) = g) = 6) mają przyajmiej jede pukt wspóly. Ćwiczeie 8.. Wykazać że wykresy fukcji f) = log i g) = 6 6) posiadają przyajmiej trzy pukty wspóle. Wskazówka: Obliczyć wartości fukcji f i g dla = oraz = 4. Ćwiczeie 8.. Podać zbiory określoości oraz wykresy astępujących fukcji. f) = arcsi + ). f) = arcsi 3. f) = siarcsi ) 4. f) = arcsisi ) 5. f) = [si ]. Ćwiczeie 8.3. Wykazać że 4 arctg 5 arctg 39 = π 4. Ćwiczeie 8.4. Rozwiązać rówaie arcsi + arcsi = π. Ćwiczeie 8.5. Rozwiązać rówaia. si = 7. cos = 3 3. tg = 4. ctg = 5. Ćwiczeie 8.6. Udowodić że. arcsi + arccos = π/ [ ]. arcsi = arctg ) ). Ćwiczeie 8.7. Obliczyć o ile istieją astępujące graice. lim 0 arccos e. lim + ) arctg 3. lim 0 arcsi 3 ) 4. lim π arcctg π 5. lim 0 arctg. 8

29 Fukcje różiczkowale 9 Pochoda fukcji w pukcie. Obliczaie pochodych Defiicja 56. Niech f : X R gdzie X R i iech 0 X będzie puktem skupieia zbioru X. Liczbę rzeczywistą ozaczaą symbolem f 0 ) określoą wzorem f 0 ) = lim 0 f) f 0 ) 0 azywamy pochodą fukcji f w pukcie 0 jeśli powyższa graica istieje i jest skończoa. Jeśli fukcja f ma pochodą w pukcie 0 to mówimy że fukcja f jest różiczkowala w pukcie 0. Defiicja 57. Fukcję ϕ : X \ 0 } R określoą wzorem ϕ) = f) f 0) 0 X \ 0 } azywamy ilorazem różicowym fukcji f w pukcie 0. W szczególości fukcja f jest różiczkowala w pukcie 0 gdy istieje skończoa graica ilorazu różicowego fukcji f w pukcie 0. Defiicja 58. Niech f : P R gdzie P R jest przedziałem. Mówimy że fukcja f ma w pukcie 0 P pochodą prawostroą gdy istieje skończoa graica prawostroa ilorazu różicowego fukcji f w pukcie 0. Wtedy wartość tej graicy ozaczamy f + 0 ) i azywamy pochodą prawostroą fukcji f w pukcie 0. Mówimy że fukcja f ma w pukcie 0 P pochodą lewostroą gdy istieje skończoa graica lewostroa ilorazu różicowego fukcji f w pukcie 0. Wtedy wartość tej graicy ozaczamy f 0 ) i azywamy pochodą lewostroą fukcji f w pukcie 0. Twierdzeie 39. Fukcja f ma pochodą w pukcie 0 wtedy i tylko wtedy gdy istieją pochode prawo i lewostroe w pukcie 0 i są rówe tz. f 0 ) = f + 0 ) = f 0 ). Wiosek 6. waruek koieczy różiczkowalości fukcji w pukcie) Jeśli fukcja f : X R jest różiczkowala w pukcie 0 X to f jest ciągła w pukcie 0. Twierdzeie 40. o działaiach a pochodej fukcji w pukcie) Niech f g : X R będą fukcjami różiczkowalymi w pukcie 0 X. Wówczas f + g f g fg oraz f g przy założeiu że g) 0 dla X) są różiczkowale w pukcie 0 przy czym: a) f + g) 0 ) = f 0 ) + g 0 ) f g) 0 ) = f 0 ) g 0 ) ) b) fg) 0 ) = f 0 )g 0 ) + f 0 )g 0 ) f g 0 ) = f 0 )g 0 ) f 0 )g 0 ) g 0. )) Twierdzeie 4. o pochodej w pukcie fukcji złożoej) Niech f = g h : X R gdzie h : X R g : Y R X Y R oraz hx) Y. Jeśli fukcja h jest różiczkowala w pukcie 0 X fukcja g jest zaś różiczkowala w pukcie y 0 = h 0 ) to fukcja f jest różiczkowala w pukcie 0 oraz f 0 ) = g y 0 )h 0 ). Twierdzeie 4. o pochodej w pukcie fukcji odwrotej) Niech f : X Y gdzie X Y R będzie bijekcją. Jeśli fukcja f ma w pukcie 0 X pochodą różą od zera oraz fukcja f : Y X jest ciągła w pukcie y 0 = f 0 ) to fukcja odwrota f ma pochodą w pukcie y 0 oraz f ) y 0 ) = f 0 ). Defiicja 59. Niech f : X R gdzie X R. Ozaczmy przez D f zbiór wszystkich puktów zbioru X w których fukcja f ma pochodą. Jeśli D f to fukcję D f f ) R azywamy pochodą fukcji f i ozaczamy f. Jeśli E D f E mówimy że f jest fukcją różiczkowalą w zbiorze E. Wtedy fukcję E f ) R azywamy pochodą fukcji w zbiorze E. Jeśli fukcja f jest różiczkowala w zbiorze X to zaczy X = D f ) to mówimy że f jest fukcją różiczkowalą. Uwaga 6. Dla pochodej fukcji zachodzą aalogicze twierdzeia jak dla pochodej fukcji w pukcie. 9