Analiza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.

Transkrypt

1 Aaliza matematycza I. Pula jawych zadań a kolokwia. Wydział MIiM UW, 25/6 ostatie poprawki: 8 styczia 26 Szaowi Państwo, zgodie z zapowiedzią, a każdym kolokwium w pierwszym semestrze co ajmiej jeda trzecia zadań będzie pochodziła wprost z tego zestawu, bądź będzie iewielką modyfikacją poiższych zadań. Wśród zamieszczoych iżej zadań są łatwiejsze i trudiejsze. Podkreślamy: proszę się ie zrażać, jeśli ie będą Państwo umieli zrobić wszystkich od razu. Materiał jest obszery i dla większości z Państwa trudiejszy, iż w szkole, szczególie a samym początku studiów. Poadto, w matematyce jest rzeczą ormalą, że człowiek pewych rzeczy ie potrafi zrobić. Skutecza auka wymaga czasu, regularego treigu i cierpliwości, a także bieżącego kotaktu z materiałem z wykładu. Taka iwestycja przyosi praktyczie zawsze pozytywe skutki. Liczby rzeczywiste. Kresy zbiorów. Idukcja.. Udowodić, że dla wszystkich x zachodzi ierówość x 3 5x 2 + 4x Udowodić, że liczba jest iewymiera. 3. Wykazać, że rówaie x/ = ( x)/x a liczbę wyrażającą stosuek złotego podziału x (, ) ie ma pierwiastków wymierych. Uwaga. Liczbą złotą azywa się liczbę /x, gdzie x to dodati pierwiastek rówaia w zadaiu. 4. Niech a i b będą liczbami dodatimi takimi, że a 2 + b 2 2. Udowodić, że a + b Płaszczyzę parametrów a, b R podzielić a podzbiory odpowiadające stałej liczbie pierwiastków rówaia abx 2 + (a + b)x + =.

2 6. Wykazać, że dla dowolych ieujemych liczb rzeczywistych a, b, c zachodzi ierówość (a + b + c)(ab + bc + ac) 9abc. 7. Wykazać, że dla dowolych ieujemych liczb rzeczywistych a, b, c zachodzi ierówość (a + b + c)( a + b + c) 9 abc. 8. Wykazać, że liczba 7/3 + 3/7 jest iewymiera. 9. Rozstrzygąć, czy liczba jest wymiera. Wskazówka. Zbadać sumę i iloczy liczb ± Niech A R będzie zbiorem ograiczoym i λ R. Zbiór λa określamy wzorem λa := {λa: a A}. Ozaczmy sup A = M i if A = m. Wyzaczyć kresy zbioru λa.. Udowodić, że dla każdego N zachodzi ierówość Udowodić, że dla każdego N zachodzi ierówość Udowodić, że dla każdego N zachodzi ierówość Wskazówka. Średia harmoicza i arytmetycza. 4. Udowodić, że dla dowolej liczby aturalej > zachodzą ierówości 2 < <. 5. Wykazać, że dla dowolego N zachodzi ierówość 3 k 2 +, k= przy czym dla > ierówość jest ostra. 2

3 6 ( ). Wykazać, że dla dowolego N zachodzi ierówość 5 k k , k= przy czym dla > ierówość jest ostra. 7. Wykazać, że dla każdego aturalego liczba 3 7 jest podziela przez Wykazać, że jeśli jest liczbą aturalą parzystą, to liczba dzieli się przez 48 (= ). 9. Udowodić, że dla liczb całkowitych k < l /2 mamy ( k ) < ( l ). 2. Udowodić, że jeśli 4 jest liczbą aturalą, to ( ) Wykazać, że dla dowolego N zachodzi ierówość ( ) ( ). Wykazać, że dla dowolego N zachodzi ierówość 4 ( 3 ) Czy zbiór A = {2 /3 k, gdzie k, aturale i k } jest ograiczoy z góry? A z dołu? Proszę uzasadić obie odpowiedzi. Jeśli któraś z ich jest twierdząca, wyzaczyć odpowiedi kres zbioru A. 24. Dae są liczby a [, ], gdzie =, 2,.... Udowodić, że zbiór { a } A = : =, 2,... jest ograiczoy i if A =. 25. Wyzaczyć kresy góre i dole zbiorów { A = k 3 } m : k, m N, B = { 2 k + 3 m 4 } : k, m, N. Czy te kresy są osiągae? 3

4 26. Zbadać istieie i w przypadku istieia wyzaczyć wartości kresów zbiorów { } { } m + m + A = m + + : m, N, B = m : m, N. Czy zalezioe kresy są osiągae? 27. Udowodić, że (!) 2 + dla Udowodić, że zbiór { } : =, 2,... (!) 2 jest ograiczoy. Wyzaczyć jego kresy. 29. Wyzaczyć kresy zbiorów A = { x + x + : x R oraz x < 2}, B = { x x + : x R}. 3. Zaleźć if A i sup A, gdzie 3. Zaleźć { } a) if : N, { } b) sup : N, c) if { } : N. A = {x + y + z : x, y, z >, xyz = }. 32. Zbiór iepusty i ograiczoy z dołu A R ma tę własość, że dla każdej liczby a A istieje liczba b A taka, że b a/2 +. Wykazać, że if A Wyzaczyć kres góry i doly zbioru {(x + y)(x + y ) x, y > }. 34. Wyzaczyć kres góry i doly zbioru { } k 2 A = 2 + k :, k N Wyzaczyć kres góry i doly zbioru { 2 m m2 > m }, m N 4

5 36. Wyzaczyć kres góry i doly zbioru { } m 2 :, m N, m >. m Zaleźć kresy zbioru A, jego elemet ajwiększy lub wykazać, że takowy ie istieje oraz elemet ajmiejszy lub wykazać, że takowy ie istieje, jeśli { } 23 + k A = :, k Z,, k. + 23k 38. Zbiór iepusty A (, ) ma tę własość, że jeśli a A, to A. Wykazać, że a jeśli A jest ograiczoy z góry, to if A sup A =. 39. Wykazać, że dla dowolej liczby aturalej > zachodzą ierówości < < Wykazać, że dla każdego N zachodzi ierówość 4. Zaleźć wzór a i udowodić go ( ) k k 42. Udowodić, że prawdziwy jest astępujący wzór: ( ) ( ) ( ) ( ) [/2] k= = Wykazać, że ( ) ( ) ( ) ( ) = ( + ) Wskazówka. Zauważyć, że k 2 = k(k ) + k i obliczyć dwie sumy. 44. Załóżmy, że (s k ) jest ciągiem liczb rzeczywistych ieujemych, s, i dla każdego k spełioa jest ierówość s k+ 2k + 3 k s j. Wykazać, że s k < 7 k dla wszystkich k aturalych. Wskazówka. 2k < + 2k ( + 2) k a mocy ierówości Beroulli ego. 5 j=

6 45. Niech będzie liczbą całkowitą dodatią. Udowodić ierówość ( + ) + > ( + 2). 46. Zaleźć kres góry zbioru { a 22 + b 22 + c 22 a + b + c =, a, b, c > }. 47. Niech (a ) będzie ciągiem ściśle rosącym o wyrazach aturalych (w zadaiu przyjmujemy, że / N). Wykazać, że a) dla dowolego m N ciąg b := a + a m a m 2 a b) if jest malejący, { a + a m a m 2 a, m N } =, { a + a m } c) sup, m N = 2 a. a m 2 a 2 Ciągi i graice. 48. Czy któryś z poiższych ciągów jest mootoiczy? Mootoiczy dla dostateczie dużych? Odpowiedź oczywiście ależy uzasadić. a = 2 + 2, b = Obliczyć graice astępujących ciągów: a = , b = 5. Ciąg (a ) jest określoy rekurecyjie: (7 + 2) 2. a = 2, a 2 = 7, a +2 = 7a + a dla,2,... Udowodić, że a = dla wszystkich N. 5. Dla jakich liczb rzeczywistych p > ciąg ( p + + p + ) jest ograiczoy? 52. Obliczyć graice astępujących ciągów: a = 3 + ( ) [ 3 ] (3 )( 2)(2 3)( 4)(4 5) + 2, b = ( ( ) + ) 2. 6

7 53. Obliczyć graicę ( ) Dla każdego z poiższych ciągów zbadać, czy ma o graicę, a jeżeli tak, to obliczyć jej wartość. a = ( ) 5 (,, b = 2 k ( + ) k, ) 2 c = 2, d = Dla każdego z poiższych ciągów zbadać, czy ma o graicę, a jeżeli tak, to obliczyć jej wartość. a = 3 + (2, 999), b = c = k= , ( ) (, ) +3 (, d =, ) +7( ) 56. Rozstrzygąć, czy ciąg zdefiioway poiższym wzorem jest zbieży: a = 2+7 k=+2 k, b = 57. Załóżmy, że liczby a, b, c R mają tę własość, że dla każdego N istieje trójkąt o bokach długości a, b, c. Wykazać, że wśród liczb a, b, c przyajmiej dwie są sobie rówe. 58. Obliczyć graice astępujących ciągów: 2 + k Zaleźć graicę ciągu a = 2 7, b = 3 2. a = ( + ) Obliczyć graicę ( )

8 6. Obliczyć graicę 62. Niech, dla wszystkich k aturalych, Wykazać, że / /2 + 2 s k = 2k =k 2. s k = (2k + 2)2k 4k 2 2 2k dla k N i obliczyć graicę ciągu (s k ). 63. Niech, dla wszystkich k aturalych, Wykazać, że k ( ) 4 s k =. 3 = s k = 2 + (3k 2) i obliczyć graicę ciągu c k = s k /2 k/2. ( ) k 4 dla k N Niech a będzie ciągiem zadaym rekurecyjie: a jest pewą liczbą rzeczywistą, a poadto a + = a 2 dla =, 2,... Udowodić, że gdy a ( + 5)/2, to ciąg (a ) jest ograiczoy, a gdy a > ( + 5)/2, to ciąg (a ) jest rozbieży (do +.) 65. Udowodić, że ciąg jest zbieży i zaleźć jego graicę. a = 3, a 2 = 3 2 3,..., a = 3 2 a, Day jest ciąg (a ) taki, że a = a 2 = oraz 2a +2 = 2a + +a dla =, 2, Wykazać, że a = [( + 3 ) ( 3 ) ] Obliczyć a. 8

9 67. Niech (F ) będzie ciągiem zdefiiowaym tak: F =, F 2 =, F +2 = F + +F dla. Udowodić, że dla m i 2 prawdziwa jest rówość F m+ = F m F + F m+ F. 68. Dla ciągu (F ) z poprzediego zadaia udowodić, że dla 2 prawdziwa jest rówość F 2 = (F + ) 2 (F ) Obliczyć graicę 7. Obliczyć graicę 7. Obliczyć graicę 72. Obliczyć graicę (!). 2 l( ) l( ). ( l ). ( l( 2 + ) 2(l ) ) l. 73. Niech b będzie liczbą rzeczywistą różą od zera, zaś c dowolą liczbą rzeczywistą. Wyzaczyć (lub wykazać, że ie istieje) graicę b + b 2 4 c Udowodić, że jeżeli dla ciągu (a ) liczb dodatich istieje skończoa graica to ciąg (a ) jest zbieży do zera. 75. Obliczyć graicę 76. Obliczyć graicę ( + a ), ( ) ( ) l

10 77. Obliczyć graicę gdzie b = ( + ) 2. ( ) b, Ciąg (a ) jest określoy rekurecyjie: a = 2, a 2 =, a = 2 a + a 2 dla 3. Wykazać, że ciąg (a ) jest rosący i ograiczoy, a astępie zaleźć jego graicę. 79. Ciąg (x ) jest określoy rekurecyjie: x = 2, x + = f(f(x )) dla =, 2,..., gdzie f(x) = + x. Wykazać, że x jest mootoiczy i ograiczoy i obliczyć jego graicę. 8. Ciąg {a } ma wyrazy dodatie i jest ograiczoy. Wykazać, że jeśli ciąg (c ) ma graicę rówą, to ciąg day wzorem b := c l( + a ) l( + a 2 )... l( + a ) też ma graicę rówą. Wskazówka. Wykorzystać ierówość l( + x) < x dla x >. 8. Obliczyć graicę ( + 2 ) l. 82. Wykazać, że jeśli ciąg liczb rzeczywistych (a ) spełia jedocześie dwa waruki: a poadto (a + a ) =, ε> N N,m>N a 3m a 3 ε, to (a ) jest zbieży. Podać przykłady świadczące o tym, że żade z powyższych waruków z osoba ie jest warukiem wystarczającym zbieżości ciągu (a ). 83. Wykazać, że jeśli A = {a : N} jest zbiorem wyrazów zbieżego ciągu liczb rzeczywistych (a ), to sup A A lub if A A. Podać przykład takiego ograiczoego ciągu rozbieżego (b ), dla którego ai sup B, ai if B ie są elemetami zbioru B wszystkich wyrazów ciągu (b ).

11 84. Obliczyć graicę (3 + ) (3 + 2). Wskazówka: przydate mogą być (ale ie muszą) róże własości logarytmu aturalego. 85. Załóżmy, że ciąg (a 2) jest zbieży do graicy skończoej, poadto wyrazy ciągu (a ) spełiają waruek ε> N N takie, że m>n >N takie, że a m a 2 < ε. Czy wyika stąd zbieżość ciągu (a )? 3 Szeregi liczbowe i okolice Uwaga: wszędzie w tym podrozdziale symbol x ozacza część całkowitą (tz. etier) liczby rzeczywistej x, iaczej podłogę x, a symbol x tzw. sufit liczby x, tz. x = x dla x Z oraz x = x + dla x R \ Z. 86. Zaleźć sumę szeregu lub wykazać, że szereg te sumy ie posiada: 87. Zbadać zbieżość poiższych szeregów: ( ) ( ) l( ) 88. W zależości od wartości parametru a R zbadać zbieżość, bezwzględą zbieżość, [tylko] warukową zbieżość szeregów:

12 =2 a + 25 a + l ( 2 + ) 89. Dla jakich wartości parametru a R zbieży jest szereg 9. Zbadać zbieżość szeregów a) 9. Zbadać zbieżość szeregów + =2 ( ) 2 2, b) + a) 92. Zbadać zbieżość szeregu a l (!) (!) 3 (3)!, c) l, b) 2 ( 2). l =2 (l l ) l. 93. Zaleźć wszystkie wartości parametru a >, dla których szereg jest zbieży. a ε, gdzie ε = 2, 94. Zaleźć wszystkie wartości parametru p R, dla których szereg ( p!) 2!. jest zbieży. 95. Niech a będzie dowolym szeregiem zbieżym o wyrazach dodatich. Czy szeregi: 4 a) a 5, b) a si a są zawsze zbieże? Uzasadić odpowiedź, podając dowód lub kotrprzykład. 2

13 96. Niech a będzie dowolym szeregiem zbieżym o wyrazach dodatich. Czy szereg a l (a ) jest zbieży? Uzasadić odpowiedź. 97. Zbadać zbieżość szeregu =2 l 5 ( ) + si() l 6 ( ) l(l( + ( ) )). 98. Zbadać zbieżość szeregu (cos cos ) + 3. =2 99. Zbadać zbieżość szeregu. Zbadać zbieżość szeregu. Zbadać zbieżość szeregu 2. Niech =2 =2 exp exp( ) l 2. ( + )!( + ) 2. ( ) =2 S k := k = l. ( ) l. Czy ciąg S (2k) 2 jest zbieży? Czy ciąg S k jest zbieży? Obie odpowiedzi proszę uzasadić. 3. Day jest ciąg (a ) o wyrazach zespoloych taki, że szereg a jest zbieży. Niech σ : N N będzie bijekcją, o której wiadomo, że istieje takie M N, że dla każdego N zachodzi ierówość σ() M. Wykazać, że wówczas szereg jest zbieży. a σ() 3

14 4. Zbadać zbieżość szeregu 5. Zbadać zbieżość szeregu 6. Czy szereg ( ) (l( + ) l ). ( ) 3 l l(l ). 3 jest zbieży? Uzasadić odpowiedź. l 2 (2 + )π si Day jest zbieży szereg a. Czy wyika stąd, że szereg a / jest a) zbieży, b) bezwzględie zbieży? Odpowiedź uzasadić, podając dowód lub kotrprzykład. 8. Szereg ( i) a, gdzie wszystkie a >, jest zbieży. Czy zbieży jest szereg ( ) a? Odpowiedź uzasadić, podając dowód lub kotrprzykład. 9. Zbadać zbieżość szeregów a) b) Wykazać, że iloczy Cauchy ego szeregów ( ) 4 3 i ( ) 4 jest rozbieży. Czy odpowiedź zmiei się, gdy pierwszy szereg zamieimy a ( ) 5/4?. Niech (a ) będzie takim ciągiem liczb ieujemych, że iloczy Cauchy ego szeregów = ( ) oraz = ( ) a jest zbieży. Obliczyć sumę szeregu = a. 2. Obliczyć sumy astępujących szeregów Bez istotego utrudieia zadaia moża w tym miejscu założyć, że (a ) jest ciągiem liczb zespoloych. 4

15 ( + ) 2 (4 2 ) ( + ) ( + + ) ! + 2 3! + 3 4! + 4 5! + = ( ) 2! 3. Wykazać tożsamość =2 2 ( 3 )3 = Zbadać zbieżość szeregu w zależości od parametru α > : ( ) α, b gdzie b > jest ustaloą liczbą, ( ) α, 5

16 ( ) =2 (l )l α, ( ( e + ) ) α. Wskazówka ! + + (! + ) ( < e + ) ( < + ) + ( +. ) 5. Zbadać, w zależości od wartości parametru α R, zbieżość szeregu 6. Zbadać zbieżość szeregów 3 + α 2 α ( ) + l, ( ( ) l + l ), ( ) (+) 2 +, ( + a ) l, gdzie a to reszta z dzieleia liczby przez Zbadać zbieżość szeregu =2 ( ) 3 + ( ) (+)/2. 8. Udowodić tożsamość cos 2π 5 + cos 4π 5 + cos 6π 5 + cos 8π 5 =. 9. Udowodić, że liczby zespoloe z, w C są rówe wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi astępujący waruek: 6

17 ( ) exp z = exp w i dla pewego α C\R spełioa jest rówość exp(α z) = exp(α w). 2 ( ). Wykazać, że każda liczba zespoloa w C ależy do zbioru wartości fukcji cos: C C. 2. Szereg a o wyrazach zespoloych jest zbieży. Udowodić, że istieje ciąg ieograiczoy (b ) liczb dodatich taki, że szereg a b też jest zbieży. 4 Graica i ciągłość fukcji Uwaga: w rozwiązaiach zadań o graicach proszę posługiwać się wyłączie faktami zaymi z wykładu. 22. Obliczyć graicę 23. Obliczyć graicę 24. Obliczyć graicę 25. Obliczyć graicę 26. Obliczyć graicę 27. Obliczyć graicę 28. Obliczyć graicę 29. Obliczyć graicę x π 4 x cos 2x cos x si x. l(cos 2x) x si(si x). ( x si x2 + 3 ) x x x x 7 x x. x + x /π x x. /e ( x 2 + x + x 2x + 3 cos x x 2. ) /(x 2 ). x x x

18 3. Obliczyć ( ) /x cos x. x + Wskazówka: cos x = x 2 /2 + x 4 /24...; poadto wiadomo (z wykładów), że gdy a, wtedy ( + a ). 3. Obliczyć dla m, N. x m x x 32. Dla jakich parametrów a, b, c R fukcja { x2 + a f(x) = 2 dla x >, ax 2 + bx + c dla x jest ciągła a R? 33. Niech P (x) i Q(x) będą wielomiaami takimi, że P () = Q() =. Jakie możliwe wartości (włączając + i ) może przyjąć wyrażeie P (x) x Q(x)? Scharakteryzować te pary (P, Q), dla których powyższa graica istieje i jest róża od i ±. 34. Niech f(x) = l( x 2 ), x <. Naszkicować wykres tej fukcji i scharakteryzować wszystkie wielomiay Q, dla których graica istieje i jest liczbą rzeczywistą. Q(x) x f(x) 35. Podać przykład fukcji f : R R, która ma graicę tylko w puktach i. 36. Wyzaczyć stałe rzeczywiste a, c tak, by fukcja { ( ) a exp(tg x)/ + exp(tg x) dla x < π/2, f(x) = exp(c x) 2 dla x π/2 była ciągła a prostej R. 37. Niech f(x) = {, x < ;, x i iech g(x) = x 2 dla x R. Zbadać ciągłość fukcji f g oraz g f a całej prostej rzeczywistej. 8

19 38. Wyzaczyć stałe dodatie A, B, C, dla których istieje fukcja ciągła f : (, ) R taka, że f(x) = A x B x 2 4 f(x) = l(cx) x 2 dla x > 2, dla < x < Dla jakich stałych rzeczywistych A fukcja jest ciągła a R? f(x) = x cos(a x), x R, 4. Zbadać, czy istieje taka liczba a R, dla której fukcja e x (cos x a), x, x ( π, π) f(x) = si x, x = jest ciągła a przedziale ( π, π). 4. Fukcja f jest ciągła a przedziale [/(2 2), 2 2] i spełia waruek f(2 2) f ( /(2 2) ) = 3. Wykazać, że dla pewej liczby rzeczywistej x zachodzi rówość f(2x) f(x) =. 42. Wykazać, że jeśli f jest fukcją ciągłą a przedziale [, 2] i f() = f(2), to istieją pukty x i x 2 w [, 2] takie, że x 2 x = oraz. f(x 2 ) f(x ) = f(2) f() Fukcja f : [, ] (, ] jest ciągła. Udowodić, że rówaie f(x) = x 4 posiada co ajmiej dwa rozwiązaia. 44. Dobrać parametry a, b R tak, by fukcja g, była ciągła a całym R. g(x) = { a arc tg x, x b, x = 9

20 45. Czy dla każdej liczby rzeczywistej b < moża dobrać liczby rzeczywiste a i c takie, że fukcja f, + x b/x, x < f(x) = c, x = si 2 (ax) l( + x 2 ), x > jest ciągła w całej swojej dziedziie R? 46. W zależości od parametrów α R i N zbadać ciągłość fukcji f : R R daej wzorem (x 5) ( + e /(x 5) ), x < 5 f(x) = α, x = 5 l ((x 4) α+ ) + 5 x, x > 5. x Fukcja f jest ciągła a [, ] i spełia zależość f(x + /3) + f(x + 2/3) x x =. Udowodić, że istieje pukt x [, ] taki, że f(x ) =. 48. Bez pomocy kalkulatora wyzaczyć rzeczywisty pierwiastek wielomiau x 3 + x 2 + 2x + z dokładością co ajmiej / Fukcja f jest ciągła a przedziale [a, b]. Określamy g(x) = sup f(t). t [a, x] Dowieść, że g jest ciągła a przedziale [a, b]. 5. Fukcja f jest ciągła a (, ]. Dla x (, ] określamy g(x) = f(x ). Udowodić, że g jest fukcją ciągłą wtedy i tylko wtedy, gdy f() = f(). 5. Obliczyć graicę 52. Wykazać, że ( k x. x x ( ) ) 2k cos(!πx = {, x Q;, x Q. 2

21 5 Rachuek różiczkowy 53. Fukcja różiczkowala f : R R spełia rówaie f(x) = f (x) dla każdego x R. Poadto f() = a. Wykazać, że f(x) = ae x. 54. Wielomia W (x) ma różych pierwiastków rzeczywistych. Wykazać, że dla dowolej liczby α R wielomia αw (x) + W (x) ma co ajmiej różych pierwiastków rzeczywistych. 55. Czy fukcja { x exp( / x ) x, f(x) = x, x = jest w pukcie x = ciagła? różiczkowala? Odpowiedzi proszę uzasadić. Obliczyć kres góry i kres doly f a zbiorze R. 56. Zaleźć wszystkie ekstrema lokale fukcji f : R R daej wzorem f(x) = 3 x + 5 x 2 2x Zaleźć wszystkie ekstrema lokale fukcji f : R R daej wzorem 58. Zaleźć kresy zbioru f(x) = 5 x 2 9 x 7. A = { N}. 59. Niech f(x) = si l x dla x >. Proszę wyzaczyć: (a) wszystkie a >, dla których f jest jedostajie ciągła a (, a]; (b) wszystkie b >, dla których f jest jedostajie ciągła a [b, ), (c) wszystkie c >, dla których f jest lipschitzowska a [c, ), (d) wszystkie d >, dla których f jest lipschitzowska a (, d]. 6. Zaleźć ekstrema i zbadać wypukłość fukcji f : (, e 2 ) R daej wzorem f(x) = 2 l(x) 2. Czy istieje takie N, że fukcja g(x) = (f(x)) jest wypukła a przedziale (, e 2 )? Odpowiedź uzasadić. 6. Niech f (x) = exp(x) : [, ] R. Czy istieje takie N, że f jest wklęsła a przedziale [, ]? Odpowiedź uzasadić. 2

22 62. Niech f : [a, b] R będzie ciągła, wypukła i ściśle rosąca oraz f(a) = c i f(b) = d. Wykazać, że fukcja odwrota f : [c, d] [a, b] jest wklęsła. 63. Niech f : [a, b] R będzie fukcją wypukłą. Wiadomo, że istieje pukt x (a, b) taki, że dla każdego y [a, b] zachodzi f(x) f(y). Udowodić, że f jest fukcją stałą. 64. Niech f, g : (a, b) R będą fukcjami ciągłymi i wypukłymi. Wykazać, że fukcja h : (a, b) R daa wzorem też jest wypukła. h(x) = max{f(x), g(x)} 65. Niech f : [a, b] R będzie fukcją wypukłą i ciągłą. Wykazać, że fukcja m : [a, b] R daa wzorem m(x) = max{f(y) : y [a, x]} też jest wypukła. 66. Zaleźć wszystkie pary liczb rzeczywistych a i b, dla których fukcja a(x + ) + si(bx) dla x f(x) = cos x x si x dla x ( π, ) jest różiczkowala a przedziale ( π, ). 67. Wyzaczyć kresy zbioru wartości fukcji f(x) = x2 + x 2 +x Wykazać, że rówaie ma co ajwyżej dwa rozwiązaia w R. (x 2) l(x 2) + (x + 2) l(x + 2) = 2x 69. Zaleźć miimum objętości stożków opisaych a kuli o promieiu r. 7. Spośród wszystkich deltoidów o obwodzie l wskazać te o ajwiększym polu. 7. Wśród wszystkich trójkątów o obwodzie rówym 3 zaleźć trójkąt o ajwiększym polu. 72. Obliczyć kres doly a przedziale (, ) fukcji f(x) = l(e x ) + 2 x x. 22

23 73. Niech f(x) = ( tg x ) si 2x dla x (, π). Wykazać, że f osiąga swój kres doly a 2 przedziale (, π) w dokładie jedym pukcie u (, π ) oraz osiąga swój kres góry 2 2 w dokładie jedym pukcie v tego przedziału. Obliczyć u + v. 74. Daa jest fukcja f(x) = e 2x+ (x 2 + 2x + 3). (a) wyzaczyć przedziały mootoiczości f; (b) wskazać przedziały, a których f jest wypukła; (c) rozstrzygąć, czy f jest jedostajie ciągła a R. 75. Wykorzystując wzór Taylora dla = 3, wyzaczyć przybliżoą wartość 3 e. Oszacować błąd przybliżeia. 76. Niech f(x) = ( 3 x ) x 8 x 6 x dla x >. Dowieść, że jeśli a, b, c > i a + b + c = 3, to f(a) + f(b) + f(c) 2. Wskazówka. Sprawdzić, a jakich przedziałach f jest wypukła. 77. Wykazać, że + exp a + b + c + d 4 dla wszystkich a, b, c, d R. 4 ( + e a ) ( + e b) ( + e c) ( + e d) 78. Wykazać, że dla x < błąd przybliżeia ie przekracza 72. cos x x2 2 + x Udowodić, że dla wszystkich x > spełioa jest ierówość l( + x) > arc tg x + x. 8. Wykazać, że dla dowolych liczb dodatich x i y zachodzi ierówość ( ) x+y x + y x x y y Niech h: R R będzie fukcją wypukłą. Załóżmy, że h () istieje i jest liczbą większą od, a h(). Wykazać, że h(x) > x dla x >. 82. Zbadać przebieg zmieości fukcji f(x) = (2 + x) exp(/x). 23

24 83. Wykazać, że dla x (, π 2 ) zachodzi ierówość 84. Wykazać, że jeśli e < y < x, to 2 l(cos x) x 2 < x Niech f(x) = x e x dla x > i iech M(t) = x y < y x. Wyzaczyć kres doly fukcji M : (, ) R. sup f(x), t >. x [t,t+] 86. Obliczyć -tą pochodą fukcji x e x w zerze. 87. Zaleźć rozwiięcie Taylora wokół x = 2 fukcji f(x) = x 5 + x 4 + 2x Zaleźć piąty wyraz rozwiięcia Taylora fukcji si(tg x) wokół x =. 89. Wyzaczyć trzeci wyraz rozwiięcia Taylora wokół x = fukcji 9. Niech f(x) = f(x) = ( + x) 4 ( + 2x) 3 ( 2x) 2. { si(/x) exp( /x 2 ) dla x dla x =. Czy f () istieje? Czy x = jest puktem przegięcia f? Odpowiedzi proszę uzasadić. 9. Posługując się tylko wzorem Taylora, obliczyć l 3 l 2 z dokładością do trzech miejsc po przeciku. 92. Wyzaczyć wszystkie pary liczb a, b R, dla których graica jest skończoa. 93. Obliczyć graicę x (a + b cos x) si x x x 5 3/2( arc tg ( + ) arc tg ). 24

25 94. Obliczyć graicę 95. Obliczyć graicę 96. Obliczyć graicę x ( arc tg x x ) x 2. e tg x e x x tg x x. π arc tg x 2 x l( + ). x 97. Obliczyć graicę ciągu ( ( a = + ) 2 ( ) ( + ) ) Obliczyć graicę x ( si x + ϕ(x) ) ( si x + ψ(x) ), gdzie ϕ(x) = ( + x) x, ψ(x) = x x dla x >. Wskazówka: wykorzystać twierdzeie Lagrage a o wartości średiej dla fukcji / si(/x). 99. Udowodić, że jeśli fukcja różiczkowala f : R R spełia waruek f (x) = g R, x ± to f jest jedostajie ciągła a całej prostej R. Wskazówka. Czy f spełia waruek Lipschitza a przedziale [a, ), gdy liczba a jest dostateczie duża? 2. Obliczyć graicę ( ) x x si x tg(x si x) x 2 si 2 x. 2. Niech f(x) = 2 2 cos x x si(si x) i iech a = f( ) dla N. Wyzaczyć wszystkie wykładiki w >, dla których szereg a w jest zbieży. 25

26 22. Obliczyć graicę x arc si (x) x tg(2x) 2 l( + x) x Obliczyć graicę 2 si( cos(x)) tg 2 (si(x)). x (cos(x) ) Obliczyć graicę 25. Obliczyć graicę tg(si(l(arc tg (exp(x) ) si(x) + ))). x (arc si (x) si(x)) 2/3 x cos(x) tg(x) 3arc tg 2 (x) si(x) 2. arc tg 3 (si x) 6 Zbieżość jedostaja i szeregi potęgowe 26. Wykazać, że jeśli a jest ciągiem mootoiczie zbieżym do a, zaś f : R R fukcją ciągłą i mootoiczą, to ciąg fukcji f (x) := f(x + a ) jest zbieży jedostajie a każdym przedziale [ M, M] R. 27. Podać przykład ciągu fukcji f : R R takiego, że szereg f jest zbieży jedostajie, ale szereg orm f jest rozbieży. 28. Wykazać, że graica puktowa ciągu fukcji wypukłych jest fukcją wypukłą. 29. Zbadać zbieżość jedostają szeregu =2 2. Zbadać zbieżość jedostają szeregu a przedziale [, + ). si(x) ( + x 2 ) l 2. ( ) x + 26

27 2. Zaleźć zbiór X R puktów zbieżości szeregu fukcyjego ( si( ) cos( 2+3 ) ) x +x Zaleźć zbiór X R puktów zbieżości szeregu fukcyjego ( x ) x si. + 2 x 2 Czy szereg te jest zbieży jedostajie a zbiorze X? Odpowiedź proszę uzasadić. 23. Niech f : R R będzie ciągiem fukcyjym, zbieżym jedostajie a R do fukcji f : R R. Dla N kładziemy g (x) = exp( (f (x)) 2 ), g(x) = exp( (f(x)) 2 ), h (x) = (f (x)) 2, h(x) = (f(x)) 2. Czy ciag g zbiega jedostajie a R do fukcji g? A czy ciag h zbiega jedostajie a R do fukcji h? Obie odpowiedzi proszę uzasadić. 24. Zbadać, czy suma szeregu jest ciągła a zbiorze (, π). si(x) x cos x 25. Zbadać zbieżość jedostają i puktową ciągu f (x) = 2 cos ( ) x x a zbiorach (, + ) i (, a], gdzie a >. 26. Zbadać zbieżość jedostają i puktową ciągu fukcyjego ( f (x) = exp x + ) ( ) x + cos ( ) l + a prostej rzeczywistej R. 27. Zbadać zbieżość jedostają i puktową ciągu fukcyjego a odciku [, ]. f (x) = 3 x exp( x 2 ), =, 2,... 27

28 28. Rozważmy fukcję f(x) = x exp(2x). Defiiujemy ciąg fukcyjy (f ) przez wielokrote składaie fukcji f: f (x) := f (x) = f f... f(x). Zbadać zbieżość jedostają tego ciągu a zbiorze x. 29. Wykazać, że fukcja f(x) = jest dobrze określoa i klasy C a [, + ). 22. Wykazać, że fukcja f(x) = x 3 x exp( 2 x) jest dobrze określoa i klasy C a (, + ). 22. Fukcja aalitycza f(x) = = a x (szereg ma promień zbieżości R > ) spełia w przedziale ( R, R) rówaie i poadto f() = π. Wyzaczyć a 6. f (x) = x 2 f(x) 222. Wyzaczyć promieie zbieżości astępujących szeregów potęgowych: a) b) c) d) x23, (3 + ( ) 2) 2 x 2+( ), (5 + ( ) ) x 2, = 8 x Szereg potęgowy =3 a x ma skończoy promień zbieżości R >. Proszę wyzaczyć promień zbieżości szeregu =3 a x Czy szereg ( + (x ) 2 ) jest zbieży jedostajie a (, + )? Odpowiedź proszę uzasadić. 28

29 225. Szereg potęgowy =3 a x ma skończoy promień zbieżości R >. Proszę wyzaczyć promień zbieżości szeregu =3 3 a x Rozwiąć w szereg Taylora Maclauria fukcję f(x) = si(x 2 ) cos(x 2 ) Rozwiąć szereg Taylora Maclauria fukcję f(x) = si x cos x arc tg x 2. Obliczyć promień zbieżości tego szeregu Zbadać zbieżość jedostają i iemal jedostają szeregu f (x) a przedziale (, ), gdzie dla x, f (x) = dla x > Wykazać, że fukcja spełia tożsamość xf(x) = f(x) = Wskazówka. /( + ) = Czy suma szeregu S(x) = = x, x (, ) + x + l( x), x (, ). x ( x ( + x ) ( l + x ) ) jest fukcją dobrze określoą i różiczkowalą a (, + )? Odpowiedzi proszę uzasadić. 23. Udowodić, że fukcja f(x) = si x jest ciągła a (, ). Zbadać jej różiczkowalość a tym przedziale Załóżmy, że a <. Zbadać ciągłość i różiczkowalość fukcji f(x) = a arc tg x, x R Zbadać ciągłość i różiczkowalość fukcji f(x) = ( arc tg x π ), x >. 2 29

30 234. Wykazać, że fukcja x, 3 < x < 3, 3 2 jest różiczkowala i wyrazić jej pochodą jawym, prostym wzorem Obliczyć sumę szeregu /2 /5 + /8 / +. Wskazówka. Rozważyć fukcję F (x) = x 2 /2 x 5 / Załóżmy, że f C([, )) ie jest fukcją stałą. Udowodić, że rodzia f (t) := f(t), N, ie jest rówociągła a [, ] Udowodić, że x x 2 arc tg x + 2 x 2 = π Dla x R i N połóżmy f (x) := x 2 + si x. Udowodić, że ciąg f jest zbieży jedostajie a całej prostej R, ale ie jest rodzią rówociągłą a R, tz. ie jest prawdą, że dla każdego ε > istieje δ > takie, że ierówość f (x) f (y) < ε zachodzi dla wszystkich N i wszystkich x, y R, x y < δ. 239 (z gwiazdką, tylko dla zaiteresowaych). Fukcja f : R R jest klasy C i okresowa z okresem T =. Poadto f() = i f a całej prostej R. Dla N kładziemy f (x) = f(2 x) ( 2 ) oraz F (x) = f (x).. Niech k, N, θ (, ). Połóżmy x = k oraz y = x + θ. Wykazać, że istieje stała C, iezależa od k, i θ, taka że = F (x) F (y) C 2 /2. 2. Wywioskować z poprzediego puktu, że F spełia waruek Höldera z wykładikiem 2, tz. istieje taka stała C 2, że F (x) F (y) C 2 x y /2 dla wszystkich x, y R. 3. Zbadać różiczkowalość F. 24. Sumę szeregu potęgowego = x przedstawić wyraźym, kokretym wzorem jako fukcję zmieej x. Na jakim przedziale słuszy jest otrzymay wzór? 3

31 7 Rachuek całkowy 24. Rozłożyć a ułamki proste fukcję wymierą f(x) = x 3 + 4x 2 2x + 6 x 4 2x 3 + 3x 2 4x Obliczyć całkę ieozaczoą (2x 3 + x) (arc tg x) 2 dx Obliczyć całkę ieozaczoą exp(2x) cos 3 (x) dx Obliczyć całkę ieozaczoą cos x si x cos x dx 245. Obliczyć całkę ieozaczoą si 2 x ctg x ( + si 2 x) cos 2 x dx 246. Zaleźć fukcję pierwotą fukcji f(x) = x 2 4 x Fukcja f(x) daa jest wzorem Obliczyć f (x). f(x) = 248. Zaleźć kres doly i góry fukcji a przedziale [, ]. F (x) = x x 2 + x si(t 2 ) dt. 5t + 3 t 3 7t 2 + 6t 2 dt 249. Obliczyć graicę x si x tg x tg x dx. si x dx 3

32 25. Obliczyć graicę 25. Obliczyć graicę 252. Obliczyć graicę 2 k= k= ( ) 2 k k k k Obliczyć graicę 2 ( + ) + ( + 2) (2) k= 5 ( 2 + k 2 ) Skostruować przykład ciągu fukcji ciągłych f : [, ] R takiego, że f (x) = dla każdego x [, ], ale f (x) dx = Wykazać, że ależy do przedziału [2e /4, 2e 2 ]. 2 e x2 x dx 256. Wykazać, że dla = 3, 4, 5,... prawdziwa jest rówość π/2 cos x dx = π/2 cos 2 x dx Niech f będzie fukcją dodatią, ciągłą i rosącą a przedziale [a, b] i iech a = f(a), b = f(b). Wykazać, że b a f(x)dx + b gdzie f ozacza fukcję odwrotą do f. a f (y)dy = bb aa, Wskazówka: Wykorzystać geometryczą iterpretację całek. 32

33 258. Niech f : [, + ) R będzie fukcją ciągłą o wartościach dodatich. Wykazać, że dla każdego x > prawdziwa jest ierówość x x ( x 2 t 2 f(t) dt f(t) dt tf(t) dt). Wskazówka: zróżiczkować badae wyrażeie względem x Niech f : R R będzie fukcją ciągłą okresową, o okresie T = i całce ozaczoej f (x) dx =. Dla N defiiujemy f (x) = f (5 x), f(x) = 2 oraz F (x) = x f (x) f(t) dt. Wykazać, że szereg f(x) = f (x) jest zbieży jedostajie a całej prostej R i F (x) = x f (t) dt 26. Obliczyć graicę F (x) x x, gdzie F jest fukcją z poprzediego zadaia. 26. Fukcja f, ciągła i ieujema a przedziale [a, b], ma a tym przedziale kres góry M. Dowieść, że ciąg ( b ) / f(x) dx ma graicę rówą M. a 262. Obliczyć całkę fukcji f(x) = x exp( x) po maksymalym przedziale półosi dodatiej, a którym ta fukcja jest wklęsła Wyzaczyć liczbę dodatią x, dla której wartość całki jest ajwiększa. x si (2πt/(t + 2)) dt 264. Wykazać, że jeśli fukcja f jest ciągła a przedziale [a, b], to b ( x ( b ) f(x) f(y)dy) dx = f(x)dx a a a dla każdej liczby aturalej. 33

34 265. Pukt A zajduje się w środku układu współrzędych w R 2. Prosta l przechodzi przez A. W chwili t = pukt A zaczya się poruszać po prostej l ze stałą prędkością m/s, a jedocześie prosta l zaczya się obracać ze stałą prędkością kątową radiaa a sekudę. Obliczyć długość krzywej, jaką pukt A zakreśli, poruszając się od t = do t = s Zbadać zbieżość całki iewłaściwej ( ) a si x gdzie a, b, c R. π 267. Zbadać zbieżość całki iewłaściwej x b + ( π x ) c dx, x a si x b exp(x 2 ) dx, gdzie (wariat ) a, b >, (wariat 2, trudiejszy) a, b R Niech f C((, ]) będzie taka, że f(x) dx jest zbieża. Niech α (, ) będzie dowolą liczbą. Wykazać, że r + r α r f(x) α dx =. Wskazówka: Zastosować ierówość Höldera z wykładikiem p = /α Niech α (, ). Obliczyć graicę r + r l r α r l x α exp( x 2 ) dx. Poszczególe kroki w obliczeiach proszę staraie uzasadić. Wskazówka: Moża zastosować ierówość Höldera z wykładikiem p = /α, a astępie spróbować wykorzystać twierdzeie o 3 fukcjach i mootoiczość logarytmu. 27. Niech f C(R) i iech M >. Udowodić, że ciąg fukcyjy f (z) = 2 jest zbieży do f jedostajie a [ M, M]. z+ z f(y) dy 27. Załóżmy, że f : [, 2π] R spełia waruek Lipschitza. Wykazać, że istieje stała C > taka, że dla każdego k =, 2,... jest 2π f(x) si(kx) dx C k. 34