Zadanie 1.6. Niech n N, a R + \ N, a 2 = n. Wykazać, że a / Q. Zadanie 1.7. Wykazać następujące twierdzenia za pomocą indukcji matematycznej.
|
|
- Weronika Olejniczak
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 . Liczby wymiere zasada idukcji matematyczej przekroje Dedekida Zadaie.. Niech A Q. Wykazać że jeśli istieje mi A odp. max A) to istieje if A odp. sup A) oraz if A = mi A odp. sup A = max A). Zadaie.. Wykazać że zbiór A := {a Q : a > 0 a < } ie ma kresu górego w Q. Zadaie.3. Niech [A B] będzie przekrojem Dedekida. Wykazać że ) dowoly elemet zbioru A jest mioratą zboru B a dowoly elemet zbioru B jest majoratą zbioru A; ) zbiory A i B są ieskończoe; 3) istieje liczba k N taka że k A k B; 4) jeśli istieje max A to ie istieje mi B; 5) jeśli istieje mi B to mi B = sup A oraz mi B = maxa {mi B}); 6) jeśli istieje mi B oraz A := A {mi B} B := B \ {mi B} to [A B ] jest przekrojem Dedekida oraz ie istieje mi B. Zadaie.4. Niech a r Q r > 0. Wykazać że istieją p q Q takie że q p = r oraz p < a < q. Zadaie.5. Wykazać że Q+Q Q Q Q Q R\Q)+R\Q) R\Q) R\Q) R\Q) R\Q). Zadaie.6. Niech N a R + \ N a =. Wykazać że a / Q. Zadaie.7. Wykazać astępujące twierdzeia za pomocą idukcji matematyczej ) ) a + b) = a k b k a b R N. k k=0 ) + x) > + x 0 x > N >. 3) > N >. k k= 4) Jeśli x x... x > 0 x x x = to x + x + + x N przy czym rówość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy x = x = = x =. 5) k= /a k= a k a k k k= gdzie a k R >0 k =... N przy czym rówości zachodzą wtedy i tylko wtedy gdy a = a = = a. 6) k + k + + k = W k+ ) N k N gdzie W k jest wielomiaem stopia k o współczyikach wymierych. Zaleźć W k+ przyajmiej dla k = 3 4. Zadaie.8. Niech a b c d R b d > 0. Wykazać że a b < c d = a b < a + c b + d < c d. Zadaie.9. Korzystając z ierówości między średimi wykazać że N. Zadaie.0. Wykazać że jeśli a a... a R N spełiają waruek a + a + + a = to a + a + + a. Zadaie.. Niech N a... a b... b R {a... a } = {b... b }. Wykazać że a + + a. b b Zadaie.. Czy Q?
2 . Kresy liczby zespoloe Zadaie.. Niech A B R będą iepustymi zbiorami ograiczoymi z góry λ 0. Sprawdzić czy a) supa + B) = sup A + sup B b) supλ A) = λ sup A c) sup A = if A). Zadaie.. Wykazać że zbiory A := { k+ k : k N } { B := k+ k : k N k < } są ograiczoe oraz wyzaczyć ich kresy góry i doly. Zadaie.3. Daa iech będzie rodzia A ) N iepustych i ograiczoych od góry podzbiorów R A := N A B := {sup A : N}. Załóżmy że A. Wykazać że a) zbiór A jest ograiczoy od góry b) zbiór B jest ograiczoy od dołu c) sup A if B d) awet przy dodatkowym założeiu A + A N ie musi zachodzić rówość sup A = if B. Zadaie.4. W R wprowadzamy relację x < y : x y R x < y) x = y R {+ }) x R { } y = + ). Wykazać że jest to relacja spója i przechodia. Zadaie.5. Wykazać że odwzorowaie ϕ : R [ ] dae wzorem gdy x = x ϕx) := + x gdy x R gdy x = + jest ściśle rosącą bijekcją. Zadaie.6. Wykazać że trójka C + ) jest ciałem przy czym 0 0) jest elemetem eutralym dla dodawaia x y) = x y) 0) jest elemetem eutralym dla możeia oraz x y) = x/x + y ) y/x + y )) dla x y) 0 0). Zadaie.7. Niech w z C a := max{ Re z Im z }. Wykazać że a) z = z b) z = z z = Re z c) Re z = z + z)/ d) Im z = z z)/i) e) z = z f) z = zz g) w + z = w + z h) wz = wz i) /z = /z dla z 0 j) /z = / z dla z 0 k) wz = w z l) a z a m) z x + y ) w z w + z w + z o) w + z = w + z t 0 : w = tz.
3 3. Fukcje elemetare Zadaie 3.. Rozłożyć a czyiki ad R) i ad C wielomiay ) px) = x 5 x x 64 ) px) = x 4 x + 9 3) px) = x Zadaie 3.. Rozłożyć a ułamki proste fukcje wymiere ad R) ) rx) = x4 3x x 4 4 ) rx) = x5 4x 4 x Zadaie 3.3. Zbadać ijektywość i surjektywość fukcji 0 ) x x + [3/ + ) R x x + {x} R x gdzie x := max{k Z : k x} {x} := x x dla x R. Zadaie 3.4. Niech fx) := x + x x R. Wyzaczyć fr) wykazać że f : R fr) jest bijekcją i wyzaczyć f. Zadaie 3.5. Wykazać że fukcja f : R R daa wzorem { x+ fx) := x+ gdy x gdy x = jest bijekcją i wyzaczyć f. Zadaie 3.6. Wykazać że każdą fukcję R R moża przedstawić jako sumę fukcji parzystej i ieparzystej. Zadaie 3.7. Niech f : R R będzie fukcją ieparzystą i okresową o okresie s. Wykazać że fks/) = 0 k Z. Zadaie 3.8. Wykorzystując tożsamości si x + cos x = six + y) = si x cos y + cos x si y x y R wykazać wzory ) six y) = si x cos y cos x si y x y R ) si x = si x cos x x R 3) cosx ± y) = cos x cos y si x si y x y R 4) cos x = cos x si x = cos x = si x x R 5) tg x ctg x = x R \ {kπ/ : k Z} tg x ± tg y { π } 6) tgx ± y) = tg x tg y x y x + y R \ + kπ : k Z 7) tg x = tg x { π } tg x x x R \ + kπ : k Z 8) ctgx ± y) = ctg x ctg y ctg x ± ctg y 9) ctg x = ctg x ctg x x R \ { k π : k Z }. Zadaie 3.9. Wykazać astępujące związki ) arc si x + arc cos x = π x [ ]; ) arc cos x) + arc cos x = π x [ ]; 3) arc tg x + arc ctg x = π x R; 4) arc ctg x = arc tg x x > 0; x y x + y R \ {kπ : k Z} 5) arc ctg x = π + arc tg x x < 0; 6) arc tg + arc tg + arc tg 3 = π. 3
4 Zadaie 3.0. Fukcję sih : R R odp. cosh : R R) daą wzorem sih x := ex e x x R odp. cosh x := ex + e x x R) azywamy siusem hiperboliczym odp. cosiusem hiperboliczym). Fukcję tgh : R R odp. ctgh : R R) daą wzorem tgh x := sih x cosh x x R odp. ctgh x := cosh x sih x x R ) azywamy tagesem hiperboliczym odp. cotagesem hiperboliczym). Fukcje sih cosh tgh i ctgh azywamy fukcjami hiperboliczymi. ) Wykazać że fukcje sih tgh i ctgh są ieparzyste a fukcja cosh jest parzysta. ) Wykazać wzory a) cosh x sih x = b) sihx ± y) = sih x cosh y ± cosh x sih y w szczególości sih x = sih x cosh x) c) coshx ± y) = cosh x cosh y ± sih x sih y w szczególości cosh x = sih x + cosh x = sih x + = cosh x ). 3) Zbadać ijektywość i surjektywość fukcji hiperboliczych. 4) Wykazać że fukcje sih : R R cosh R+ : R + [ + ) tgh : R ) ctgh : R ) + ) są bijekcjami. Zadaie 3.. Fukcję odwrotą do fukcji sih : R R odp. cosh R+ : R + [ + )) ozaczamy ar sih : R R odp. ar cosh : [ + ) R + ) i azywamy area siusem hiperboliczym odp. area cosiusem hiperboliczym). Fukcję odwrotą do fukcji tgh : R ) odp. ctgh : R ) + )) ozaczamy ar tgh : ) R odp. ar ctgh : ) + ) R ) i azywamy area tagesem hiperboliczym odp. area cotagesem hiperboliczym). Fukcje ar sih ar cosh ar tgh i ar ctgh azywamy fukcjami area lub fukcjami polowymi. Wyrazić fukcje area za pomocą sumy różicy iloczyu ilorazu i złożeia fukcji potęgowych wykładiczych i logarytmiczych. Zadaie 3.. Narysować wykresy fukcji ) R x log x ) [ ] x siarc si x) 3) R x arc sisi x) 4) R x arc sicos x) 5) [ ] x cosarc si x) 6) R x tgarc tg x) 7) R \ {π/ + kπ : k Z} x arc tgtg x). 4
5 4. Ciągi liczbowe Zadaie 4.. Niech a ) = R będzie ciągiem takim że a =. Wykazać że pewie wyraz tego ciągu jest kresem dolym zbioru jego wyrazów. Zadaie 4.. Niech a ) = R będzie ciągiem ograiczoym. Wykazać że ciągi sup{a k : k }) = if{a k : k }) = są zbieże. Zadaie 4.3. Niech a b c d R będą takie że ad bc 0 c + d 0 dla dowolego N i iech a = a + b c + d N. Wykazać że istieje liczba 0 = 0 a b c d) N taka że ciąg a ) = 0 jest mootoiczy. Zadaie 4.4. Wykazać że ciąg a ) N gdzie a := a a := b > a a + := a + a + N jest ograiczoy ciąg a + ) N jest rosący ciąg a ) N jest malejący oraz że a = λ a + λ )b λ = ) ) N. 3 Zadaie 4.5. Naszkicować wykres fukcji fx) = x + 3 x x + x 3 x. + Zadaie 4.6. Wykazać że ze zbieżości ciągu a ) N C wyika zbieżość a ) N. Czy prawdziwa jest implikacja odwrota? Zadaie 4.7. Wykazać że ciąg a ) N C jest zbieży do a C wtedy i tylko wtedy gdy Re a ) N jest zbieży do Re a i Im a ) N jest zbieży do Im a. Zadaie 4.8. Ciąg a ) N R ma tę własość że jego podciągi a ) N a + ) N oraz a 3 ) N są zbieże. Wykazać zbieżość ciągu a ) N. Zadaie 4.9. Niech t [0 ] i iech x = y := t x + := t + x ) y + := t y ) N. Zbadać zbieżość ciągów x ) N i y ) N. Zadaie 4.0. Niech ciąg a ) N R będzie zbieży do a R \ Z. Wykazać że + a + a + + a ) = a. Zadaie 4.. Wykazać zbieżość ciągu a ) N oraz zaleźć jego graicę jeśli a = a + = + a N. Zadaie 4.. Niech a k R a > k > 0. Wykazać że Zadaie 4.3. Obliczyć a) b) c) ) ) 3 + ) k a = 0. d) + x + x 4 x R )! e)! + k. Zadaie 4.4. Niech a ozacza liczbę zer a końcu liczby!. Wykazać że a = 4. k= 5
6 Zadaie 5.. Niech 5. Liczba e. Graice góra i dola a := + ) + N. Wykazać że ciąg a ) N jest malejący i ograiczoy od dołu oraz a = e. Zadaie 5.. Dla jakiego liczba e = daje przybliżeie e z błędem miejszym iż 0 00? Zadaie 5.3. Wykazać ierówości Zadaie 5.4. Niech A m := e ) <! < e + ) ) N. { + ) k : m + k m} B := m i iech α := mi B β := max B N. Zbadać zbieżość ciągów α ) N β ) N oraz wyzaczyć ich ewetuale graice. Zadaie 5.5. Obliczyć ke. Zadaie 5.6. Wyzaczyć graice górą i dolą ciągu x ) N jeśli k= m= a) x = ) + ) cos π 4 b) x = ) ) ). Zadaie 5.7. Zaleźć graice górą i dolą dla ciągu a ) N określoego wzorami Zadaie 5.8. Niech a ) N R. Wykazać że a := 0 a := a a + := + a N. if a = sup if a k) k N k A m sup a = if sup a k ). N Zadaie 5.9. Niech a ) N b ) N R spełiają waruek a b N. Wykazać że if a if b sup Zadaie 5.0. Niech a ) N b ) N R. Wykazać że a sup b. if a + if b if a + b ) if a + sup b if a + sup b sup a + b ) sup a + sup o ile żada suma ie jest postaci. Skostruować przykłady w których powyższe ierówości ie są rówościami. Zadaie 5.. Niech ciąg ograiczoy a = a ) N R spełia waruek a + a ) = 0. Wykazać że zbiór Sa) jest sigletoem lub przedziałem domkiętym. Zadaie 5.. Niech ciąg a ) N R spełia waruek Wykazać zbieżość ciągu a ) N. 0 a +m a a m m N. b 6
7 6. Przestrzeie metrycze Zadaie 6.. Zbadać które z poiższych fukcji są metrykami a R: d x y) := x y) d x y) := x y d 3 x y) := x y x y R. + x y Zadaie 6.. Wykazać że każdy otwarty podzbiór R jest sumą co ajwyżej przeliczalej rodziy parami rozłączych przedziałów otwartych. Zadaie 6.3. Czy zbiór Q jest otwarty odp. domkięty) w R? Zaleźć it Q Q itr \ Q) oraz R \ Q. Zadaie 6.4. Niech X będzie przestrzeią metryczą E X. Wykazać że X \ it E = X \ E. Czy itit E) = it E? Czy it E = E? Zadaie 6.5. Skostruować ograiczoy podzbiór R posiadający dokładie trzy pukty skupieia. Zadaie 6.6. Czy każdy pukt dowolego zbioru otwartego E R jest jego puktem skupieia? Odpowiedzieć a to samo pytaie dla domkiętych podzbiorów R. Zadaie 6.7. Niech X będzie przestrzeią metryczą E X. Wykazać że E = E E. Zadaie 6.8. Niech X będzie przestrzeią metryczą i iech E X. Wykazać że E jest domkięty oraz że E = E). Czy E = E )? Zadaie 6.9. Niech E będzie zbiorem wszystkich liczb x [0 ] dla których istieją rozwiięcia dziesięte zawierające tylko cyfry 4 i 7. Czy zbiór E jest gęsty w [0 ] domkięty doskoały? Zadaie 6.0. Czy istieje w R iepusty zbiór doskoały rozłączy z Q? Zadaie 6.. Wykazać że klasyczy zbiór Catora jest zbiorem doskoałym całkowicie iespójym. Zadaie 6.. Wykazać że z dowolego pokrycia otwartego zbioru {0} {/ : N } moża wybrać podpokrycie skończoe. Zadaie 6.3. Podać przykład otwartego pokrycia odcika 0 ) które ie posiada skończoego podpokrycia. Zadaie 6.4. Rozważmy zbiór Q jako przestrzeń metryczą z metryką euklidesową. Niech E := {p Q : < p < 3}. Wykazać że zbiór E jest domkięty i ograiczoy ale ie jest zwarty w Q. Czy E jest otwarty w Q? Zadaie 6.5. Niech X d) będzie przestrzeią metryczą. Zbiory E F X azywamy oddzieloymi jeśli E F = E F =. ) Wykazać że dwa dowole iepuste rozłącze zbiory domkięte w X są oddzieloe. ) Wykazać że dwa dowole iepuste rozłącze zbiory otwarte w X są oddzieloe. 3) Niech p X δ > 0. Wykazać że zbiory Bp δ) X \ Bp δ) są oddzieloe. 4) Wykazać że przestrzeń X jest spója wtedy i tylko wtedy gdy ie jest sumą dwóch iepustych zbiorów oddzieloych. Zadaie 6.6. Niech zbiory U i V tworzą rozbicie przestrzei metryczej X tz. X = U V gdzie U i V są rozłączymi iepustymi zbiorami otwartymi) i iech E X będzie zbiorem spójym. Wykazać że E U lub E V. Zadaie 6.7. Niech X będzie przestrzeią metryczą i iech A będzie rodzią spójych podzbiorów X taką że A. Wykazać że zbiór A jest spójy. Zadaie 6.8. Niech X będzie przestrzeią metryczą i iech zbiór E X będzie spójy. Wykazać że jeśli E F E to zbiór F jest spójy. Zadaie 6.9. Czy domkięcia oraz wętrza zbiorów spójych są spóje? Zadaie 6.0. Niech X iech Y d) będzie przestrzeią metryczą. Wykazać że δf g) := sup{dfx) gx)) : x X} f g BX Y ) jest metryką a BX Y ). Poadto jeśli d jest metryką zupełą a Y to δ jest metryką zupełą a BX Y ). Zadaie 6.. Wykazać że przestrzeń metrycza X d) zupeła i całkowicie ograiczoa tz. dla dowolej liczby ε > 0 istieje skończoy zbiór S X taki że X s S Bs ε)) jest zwarta. 7
8 7. Fukcje ciągłe Zadaie 7.. Niech X Y będą przestrzeiami metryczymi f CX Y ) E X. Wykazać że fe) fe). Pokazać a przykładzie że ikluzja może być właściwa. Zadaie 7.. Niech X Y będą przestrzeiami metryczymi f g CX Y ) i iech E będzie zbiorem gęstym w X. Wykazać że fe) jest zbiorem gęstym w fx). Wykazać że jeśli f E = g E to f = g. Zadaie 7.3. Niech E R będzie zbiorem domkiętym f CE). Wykazać że istieje fukcja g CR) taka że f = g E. Pokazać a przykładzie że założeie o domkiętości zbioru E jest istote. Zadaie 7.4. Wykazać że fukcja Riemaa f : R [0 ] daa wzorem { 0 gdy x R \ Q fx) := gdy x Q x = m m Z N m ) = jest ciągła w puktach zbioru R \ Q ale ie jest ciągła w żadym pukcie zbioru Q. Zadaie 7.5. Zbadać ciągłość fukcji a) fx) = { x x x R x 3 gdy x Q b) fx) =. W R rozwiązać rówaie ffx)) =. x + gdy x R \ Q Zadaie 7.6. Obliczyć graice m N ) 9 + x 5 x m a) x 8 3 c) x x/ x x x 9 + x 5 d) b) 3 x arc si x x x/ x Zadaie 7.7. Wykazać że ie istieją graice a) si x b) x + e) x 0 cos x x f) x siπx) siπx 3 ) x 0 cos π x c) x + g) x cos x d) + si x x 0 ) x+ x x + 3 h) x 0 l cos x x. x + /x. Zadaie 7.8. Niech f x) := x+ + )x + x ) x < N i iech a := x f x) N fx) := f x). Obliczyć a i x fx). Zadaie 7.9. Niech f będzie fukcją jedostajie ciągłą a ograiczoym zbiorze E R. Wykazać że fukcja f jest ograiczoa. Pokazać a przykładzie że teza ie musi zachodzić jeśli zbiór E ie jest ograiczoy. Zadaie 7.0. Wyzaczyć asymptoty fukcji a) fx) = x + /x b) fx) = + x c) fx) = x + cos πx + x. Zadaie 7.. Wykazać że róża od stałej fukcja okresowa f CR) posiada okres podstawowy. Czy założeie o ciągłości fukcji jest istote? Zadaie 7.. Niech f g : R R będą fukcjami ciągłymi i okresowymi. Wykazać że jeśli to f = g. fx) gx)) = 0 x Zadaie 7.3. Wykazać że każda fukcja f CR) spełiająca rówaie jest postaci fx) = ax dla pewego a R. fx + y) = fx) + fy) x y R Zadaie 7.4. Niech f : R R będzie fukcją ciągłą w 0 i dodatkowo spełiającą waruek Wykazać że f jest fukcją stałą. fx) = f x ) x R. 8
9 8. Odwzorowaia jedostajie ciągłe lipschitzowskie hölderowskie Zadaie 8.. Zaleźć przykład odwzorowaia ciągłego które ie jest jedostajie ciągłe. Zadaie 8.. Zaleźć przykład odwzorowaia jedostajie ciągłego które ie jest lipschitzowskie. Zadaie 8.3. Niech X d X ) Y d Y ) będą przestrzeiami metryczymi i iech f : X Y. Wykazać że odwzorowaie f spełia waruek Höldera z wykładikiem α wtedy i tylko wtedy gdy { } dy fx) fy)) sup d X x y)) α : x y X x y < +. Zadaie 8.4. Zaleźć przykład odwzorowaia które spełia waruek Höldera z pewym wykładikiem α 0 ) ale ie jest lipschitzowskie. Zadaie 8.5. Wykazać że odwzorowaie hölderowskie jest jedostajie ciągłe. Zadaie 8.6. Zaleźć przykład odwzorowaia jedostajie ciągłego które dla dowolego α > 0 ie spełia waruku Höldera z wykładikiem α. Zadaie 8.7. Niech X Y będą przestrzeiami metryczymi X jest zwarta f : X Y. Wykazać że f CX Y ) wtedy i tylko wtedy gdy wykres fukcji f jest zwarty w X Y. Zadaie 8.8. Wykazać że ciągłe i otwarte odwzorowaie f : R R jest fukcją mootoiczą. Zadaie 8.9. Niech X d) będzie przestrzeią metryczą K F X K F = K jest zwarty F jest domkięty. Wykazać że istieje liczba δ > 0 taka że dp q) > δ dla p K q F. Pokazać a przykładzie że teza ie musi zachodzić dla dwóch rozłączych zbiorów domkiętych z których żade ie jest zwarty. Zadaie 8.0. Niech X d) będzie przestrzeią metryczą. Dla E X iech ϱ E x) := dx E) x X. Wykazać że a) ϱ E x) = 0 wtedy i tylko wtedy gdy x E b) ϱ E jest jedostajie ciągła a X. Zadaie 8.. Niech X d) będzie przestrzeią metryczą A B X iech będą dwoma iepustymi rozłączymi zbiorami domkiętymi i iech fx) := ϱ A x) ϱ A x) + ϱ B x) x X. Wykazać że a) f CX [0 ]) b) fx) = 0 wtedy i tylko wtedy gdy x A c) fx) = wtedy i tylko wtedy gdy x B d) V := f [0 /)) W := f / ]) są otwarte rozłącze i A V B W. Zadaie 8.. Niech f C[0 ] [0 ]). Wykazać że istieje pukt x [0 ] taki że fx) = x. Zadaie 8.3. Niech f CR) spełia waruek f0) = f00) = 08. Wykazać że istieje pukt a R taki że fa) = a. Zadaie 8.4. Niech f CR) i iech dla każdej liczby x R istieje liczba N taka że Wykazać że f) =. f x) := f f)x) =. }{{} Zadaie 8.5. Czy istieje ieciągła fukcja f : R R taka że dla dowolego przedziału P fukcja f P ma własość Darboux? 9
10 9. Pochode twierdzeia o wartości średiej ekstrema lokale Zadaie 9.. Sprawdzić różiczkowalość i obliczyć pochode fukcji cyklometryczych. Zadaie 9.. Wykazać różiczkowalość i obliczyć pochode fukcji hiperboliczych i area tz. odwrotych do hiperboliczych). Zadaie 9.3. Niech P będzie dowolym iepustym przedziałem otwartym i iech f DP R >0 ) g DP ). Wykazać że f g DP ) oraz obliczyć jej pochodą i pochodą fukcji fx) = x xx x > 0. Zadaie 9.4. Dla jakich wartości parametru a R fukcja { a gdy x Q fx) := x + ax + a gdy x R \ Q jest różiczkowala w przyajmiej jedym pukcie? Zadaie 9.5. Wykazać że dla asteroidy x /3 + y /3 = a /3 a > 0 długość odcika styczej zawartego pomiędzy osiami układu współrzędych jest stała. Zadaie 9.6. Wykazać że jeśli A R oraz f : A R ma pochode jedostroe w pukcie a A to f jest ciągła w pukcie a. Zadaie 9.7. Niech P R będzie przedziałem i iech f : P R. Wykazać że jeśli odwzorowaie f spełia waruek Höldera z wykładikiem α > to jest stałe. Zadaie 9.8. Wykazać że jeśli liczby a 0 a... a R spełiają rówość a 0 + a + a a + = 0 to rówaie a 0 + a x + + a x = 0 ma co ajmiej jedo rozwiązaie x 0 ). Zadaie 9.9. Dae iech będą liczby a 0 < a < < a. Wykazać że rówaie = 0 x a j ma dokładie rozwiązań rzeczywistych. j=0 Zadaie 9.0. Niech f DR >0 ). Sprawdzić czy zachodzą implikacje i)= ii) ii)= i) jeśli i) fx) = + ii) f x) = +. x x Zadaie 9.. Niech a b R a < b f g C[a b]) Da b)). Wykazać że istieje pukt ξ a b) taki że fb) fa))g ξ) = gb) ga))f ξ). Zadaie 9.. Niech f DR) fx)f x) 0 x R. Wykazać że fukcja f jest mootoicza. Zadaie 9.3. Niech f C R) x f x)f x) =. Wykazać że fukcja f przyjmuje wartość ajwiększą lub wartość ajmiejszą. Zadaie 9.4. Niech f CR + ) DR >0 ) f0) = 0 f jest silie rosąca. Wykazać że fukcja gx) := x fx) x R >0 jest silie rosąca. Zadaie 9.5. Wyzaczyć przedziały mootoiczości fukcji fx) = l + x 4 ) l + x ). Zadaie 9.6. Wykazać że a) cos x x x 0 π ) b) p xp + q yq xy x y > 0 p q > 0 p + q = c) x arc tg x + > πx x R. Zadaie 9.7. Wyzaczyć wartości parametrów rzeczywistych a i b jeśli wiadomo że fukcja ax + b fx) = x R \ { 4} x )x 4) osiąga w pukcie x = ekstremum lokale rówe. Rozstrzygąć czy jest to maksimum czy miimum. 0
11 0. Szeregi liczbowe bezwzględie zbieże Zadaie 0.. Zapisać w postaci ułamka zwykłego liczby 0 9) 45) i 099). Zadaie 0.. Zbadać zbieżość szeregów i wyzaczyć sumę szeregów zbieżych a ) = R będzie ciągiem arytmetyczym o iezerowej różicy) a) b) = = c) d) a a + l + ) = = e) f) = l ) + ). Zadaie 0.3. Wyzaczyć szereg oraz jego sumę jeśli jego -ta suma częściowa ma postać ) s = + ) s = 3) s = ) 4) s = arc tg. Zadaie 0.4. Wykazać rozbieżość szeregu Zadaie 0.5. Podać przykład szeregu zbieżego odp. rozbieżego) którego zbieżość odp. rozbieżość) wyika z kryterium Cauchy ego a jedocześie kryterium d Alemberta ie rozstrzyga o tym czy day szereg jest zbieży czy ie. Zadaie 0.6. Zbadać zbieżość szeregów k N p q R >0 a 0 ) x R z C) a) b) c) d) e) tg = = = π si π 3 = + = f) g) h) i) j) + ) = = + ) = = =!) k k)! k) l) m) ) o) l cos p q p l q a = = = = = 3 + ) ) 3 t) = p) q) r) s)!) )! 4)! ) +)!!! + + x ) x x z k. = = = = = k= Zadaie 0.7. Niech z C Re z 0. Wykazać że jeśli szeregi = z = z są zbieże to zbieże są także szeregi = z = z /. Zadaie 0.8. Niech a := a := + N. Wyzaczyć sup a + /a oraz zbadać zbieżość i ewetualie podać sumę) szeregu = a. Zadaie 0.9. Niech a ) = R. Wykazać że przyajmiej jede z szeregów = si a = cos a jest rozbieży. Zadaie 0.0. Niech a > 0 s = a + + a i iech szereg = a jest rozbieży. a) Wykazać że szereg = a / + a ) jest rozbieży. b) Wykazać że 0.) a a +k s k N s + s +k s +k i wywioskować stąd że szereg = a /s jest rozbieży. c) Wykazać że 0.) a s s s N i wywioskować stąd że szereg = a /s jest zbieży. d) Co moża powiedzieć o zbieżości szeregów = a / + a ) i = a / + a )?
ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. II. ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE.
ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. 1. Niech (X, ρ) będzie przestrzeią metryczą zaś a liczbą rzeczywistą dodatią. Wykaż, że fukcja σ: X X R określoa wzorem σ(x, y) = mi {ρ(x, y), a} jest metryką
Bardziej szczegółowoMateriały do ćwiczeń z Analizy Matematycznej I
Materiały do ćwiczeń z Aalizy Matematyczej I 08/09 Maria Frotczak Ludwika Kaczmarek Katarzya Klimczak Maria Michalska Beata Osińska-Ulrych Tomasz Rodak Adam Różycki Grzegorz Skalski Staisław Spodzieja
Bardziej szczegółowox 2 5x + 6, (i) lim 9 + 2x 5 lim x + 3 ( ) 9 Zadanie 1.4. Czy funkcjom, (c) h(x) =, (b) g(x) = x x, (c) h(x) = x + x.
Zadaie.. Obliczyć graice x 2 + 2x 3 (a) x x x2 + x2 + 25 5 (d) x 0. Graica i ciągłość fukcji x 2 5x + 6 (b) x x 2 x 6 4x (e) x 0si 2x (g) x 0 cos x x 2 (h) x 8 Zadaie.2. Obliczyć graice (a) (d) (g) x (x3
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!
Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,
Bardziej szczegółowoI. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R
Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe
Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych
Bardziej szczegółowoWektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wektory Fukcje rzeczywiste wielu zmieych rzeczywistych Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 2008/2009 R. Łochowski Wektory pukty w przestrzei R Przestrzeń R to zbiór uporządkowaych -ek liczb
Bardziej szczegółowoa 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.
Aaliza matematycza I. Pula jawych zadań a kolokwia. Wydział MIiM UW, 23/4 ostatie poprawki: 6 listopada 23 Szaowi Państwo, zgodie z zapowiedzią, a każdym kolokwium w pierwszym semestrze co ajmiej 2 zadaia
Bardziej szczegółowoWykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy
Wyład 7 Przestrzeie metrycze zwarte Defiicja 8 (przestrzei zwartej i zbioru zwartego Przestrzeń metryczą ( ρ X azywamy zwartą jeśli ażdy ciąg elemetów tej przestrzei posiada podciąg zbieży (do putu tej
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.
Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.
Aaliza matematycza I. Pula jawych zadań a kolokwia. Wydział MIiM UW, 25/6 ostatie poprawki: 8 styczia 26 Szaowi Państwo, zgodie z zapowiedzią, a każdym kolokwium w pierwszym semestrze co ajmiej jeda trzecia
Bardziej szczegółowo+ ln = + ln n + 1 ln(n)
"Łatwo z domu rzeczywistości zajśd do lasu matematyki, ale ieliczi tylko umieją wrócid." Hugo Dyoizy Steihaus Niech (a ) będzie ieskooczoym ciągiem rzeczywistym. Def. Szeregiem = a azywamy parę ciągów
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Bardziej szczegółowoTwierdzenia o funkcjach ciągłych
Automatya i Robotya Aaliza Wyład 5 dr Adam Ćmiel cmiel@aghedupl Twierdzeia o ucjach ciągłych Tw (Weierstrassa Jeżeli ucja : R [ R jest ciągła a [, to ograiczoa i : ( sup ( i ( i ( [, Dowód Ograiczoość
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoOperatory zwarte Lemat. Jeśli T jest odwzorowaniem całkowym na przestrzeni Hilberta X = L 2 (Ω) z jądrem k L 2 (M M)
Operatory zwarte Niech X będzie przestrzeią Baacha. Odwzorowaie liiowe T azywa się zwarte, jeśli obraz kuli jedostkowej T (B) jest zbiorem warukowo zwartym. Przestrzeń wszystkich operatorów zwartych a
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć
Bardziej szczegółowoZadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4
Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium
Bardziej szczegółowoZestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki. Katarzyna Lubnauer Hanna Podsędkowska
Zestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki Katarzya Lubauer Haa Podsędkowska Ciała σ - ciała. Zbadaj czy rodzia A jest ciałem w przestrzei X=[0] a) A = X 0 b) A = X 0 3 3 c) A = { X { }{}{ 0}{ 0 }
Bardziej szczegółowodna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że
KILKA ZADAŃ O SZEREGACH Zbadać zbieżość i zbieżość bezwzgle da = a, jeśli a = a!! ; a + + ; c + ; ć! ; d +/ + 3 ; e! e 3 3+ ; f ; + g 000+ ; h ; + i! ; j k ; l 5 + l + 7 0 +3 6 0 + ; +3 ; ; m 3 + 3 ; +a
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2 (LUX), lato 2017/18. a n n = 10.
Czy istieje ciąg (a ) taki, że (podać przykład lub dowieść, że ie istieje) : 576. a > 1 dla ieskończeie wielu, a > 0, szereg a jest zbieży. N 577. a = 1 2 dla ieskończeie wielu, a = 10. 578. a 2 = 1 N,
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony
Wymagaia edukacyje a poszczególe ocey z matematyki w klasie III poziom rozszerzoy Na oceę dopuszczającą, uczeń: zazacza kąt w układzie współrzędych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyzacza wartości
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoMateriały do wykładu Matematyka Stosowana 1. Dariusz Chrobak
Materiały do wykładu Matematyka Stosowaa Dariusz Chrobak 7 styczia 207 Spis treści Zbiory liczbowe i fukcje 2. Zbiór liczb wymierych Q...................... 2.2 Liczby iewymiere.........................
Bardziej szczegółowozadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12
Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a
Bardziej szczegółowoSZEREGI LICZBOWE. s n = a 1 + a a n = a k. k=1. aq n = 1 qn+1 1 q. a k = s n + a k, k=n+1. s n = 0. a k lim n
SZEREGI LICZBOWE Z ciągu liczb a, a 2,... utwórzmy owy ciąg Przyjmijmy ozaczeia s = a + a 2 +... a = a k. k= k= a k = a + a 2 +... = s. Gdy graica k= a k jest liczbą, to mówimy, że szereg k= a k jest sumowaly
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU WIMiR Semestr zimowy 2017/18
dr Aa Barbaszewska-Wiśiowska ZAGADNIENIA Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU WIMiR Semestr zimowy 17/18 1 Elemety logiki matematyczej Zdaia i formy zdaiowe fuktory zdaiotwórcze Tautologie Wartości logicze
Bardziej szczegółowoSzkic notatek do wykładu Analiza Funkcjonalna MAP9907
Szkic otatek do wykładu Aaliza Fukcjoala MAP9907 Prowadzący: prof dr hab Tomasz Dowarowicz Sporządził: Paweł Szołtysek Spis treści I Wstęp do Aalizy Fukcjoalej 0 Przestrzeie Metryka Kula 3 Zbiory otwarte
Bardziej szczegółowoSzereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:
Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań
Aaliza Matematycza I dla Iżyierii Biomedyczej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 205/6 Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)), 2. = (p
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości
Bardziej szczegółowoDamian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Bardziej szczegółowo2. Nieskończone ciągi liczbowe
Ciągiem liczbowym azywamy fukcję 2. Nieskończoe ciągi liczbowe a: N R. Wartości tej fukcji ozaczamy przez a) = a i azywamy wyrazami ciągu. Często ciąg ozaczamy przez {a } = lub po prostu przez {a }. Prostymi
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji
http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta
Fukcje trygoometrycze Moduł - dział -temat Fukcje trygoometry cze dowolego kąta 1 kąt w układzie współrzędych fukcje trygoometrycze dowolego kąta zaki trygoometryczych wartości trygoometryczych iektórych
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna - 1.1
Ekoomia matematycza - 1.1 Elemety teorii kosumeta 1. Pole preferecji Ozaczmy R x x 1,...,x : x j 0 x x, x j1 j. R rozpatrujemy z ormą x j 2. Dla x x 1,...,x,p p 1,...,p Ip x, p x j p j x 1 p 1 x 2 p 2...x
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowo8. Jednostajność. sin x sin y = 2 sin x y 2
8. Jedostajość Mówimy, że fukcja f : I R spełia waruek Lipschitza ze stałą C > 0, jeśli fx) fy) C x y, x, y I. 8.. Przykład. a) Taką fukcją jest p. si : R [, ]. Rzeczywiście, si x si y = 2 si x y 2 cos
Bardziej szczegółowoPodróże po Imperium Liczb
Podróże po Imperium Liczb Część 15. Liczby, Fukcje, Ciągi, Zbiory, Geometria Rozdział 12 12. Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych Adrzej Nowicki 16 kwietia 2013, http://www.mat.ui.toru.pl/~aow Spis
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
Bardziej szczegółowo3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.
3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N
Bardziej szczegółowoMetody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków
Aaliza matematycza dla iformatyków Sprawdziay do Wykładów dla pierwszego roku iformatyki a Wydziale Matematyki, Iformatyki i Mechaiki Uiwersytetu Warszawskiego w latach 2007/8, 2008/9, 2009/0, 20/2, 202/3,
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2016/17
Kolokwiu r 5: piątek 8..06, godz. 8:5-9:00, ateriał zad. 40, 50-585. Kolokwiu r 53: piątek 5..06, godz. 8:5-9:00, ateriał zad. 50, 50-59. Kolokwiu r 54: piątek..06, godz. 8:5-9:00, ateriał zad. 83, 50-64.
Bardziej szczegółowoAnaliza I.1, zima globalna lista zadań
Aaliza I., zima 207 - globala lista zadań Marci Kotowsi 8 styczia 208 Podstawy Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczby 7 2 + oraz 7 2 dzielą się przez 6. Zadaie 2. Rozstrzygij, czy poiższe liczby
Bardziej szczegółowoCiągi i szeregi liczbowe. Ciągi nieskończone.
Ciągi i szeregi liczbowe W zbiorze liczb X jest określoa pewa fukcja f, jeŝeli kaŝdej liczbie x ze zbioru X jest przporządkowaa dokładie jeda liczba pewego zbioru liczb Y Przporządkowaie to zapisujem w
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19
47. W każdym z zadań 47.-47.5 podaj wzór a fukcję różiczkowalą f :D f R o podaym wzorze a pochodą oraz o podaej wartości w podaym pukcie. 47.. f x 4x 5 54 f D f R 4x 555 fx + 47.. f x x+ f D f, + fx 9
Bardziej szczegółowoWzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wzór Taylora Szeregi potęgowe Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 8/9 R. Łochowski Graica fukcji w pukcie Niech f: R D R, R oraz istieje ciąg puktów D, Fukcja f ma w pukcie graicę dowolego
Bardziej szczegółowo(x 1 y 1 ) (x n y n ) 2. 1<j<m x i y i. x2 y 2 gdy x 1 = y 1 x 2 y 2 + x 1 + y 1 gdy x 1 = y 1. gdy x, y, 0 nie są współliniowe
. Metrka Zadaie.. Pokazać, że metrka jest fukcją ieujemą. Zadaie.2. Odowodić, że poiższe wzor defiiuja metrki. a) (metrka euklidesowa) X = R. d e (, ) := ( ) 2 +... + ( ) 2 b) (metrka taksówkowa) X = R
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I dla Fizyki na WPPT Lista zadań
Aaliza Matematycza I dla Fizyki a WPPT Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT, PWr, 208/9 Zadaia ozaczoe * są ieco trudiejsze od zadań bez gwiazdki. Zadaia ozaczoe ** są jeszcze trudiejsze. Wstęp. Logika, zbiory
Bardziej szczegółowoIII seria zadań domowych - Analiza I
III seria zadań domowych - Aaliza I Różiczkowalość fukcji Zadaie Dla jakich wartości parametrów abc R fukcje a + gdy π si + b gdy > π a + b gdy 0 gdy > c a + b gdy c są różiczkowale. a + b gdy a 0 / arcsi
Bardziej szczegółowoĆWICZENIA NR 1 Z MATEMATYKI (Finanse i Rachunkowość, studia zaoczne, I rok) Zad. 1. Wyznaczyć dziedziny funkcji: 1 = 1, b) ( x) , c) h ( x) x x
ĆWICZENIA NR Z MATEMATYKI (Fiase i Rachukowość studia zaocze I rok) Zad Wyzaczyć dziedziy fukcji: a) f ( ) b) ( ) + + 6 f c) f ( ) + + d) f ( ) + e) ( ) f l f) f ( ) l( + ) + l( ) g) f ( ) l( si ) h) f
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone
Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C
Bardziej szczegółowoEgzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania
zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Techikum Nr 2 im. ge. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekoomiczych w Kaliszu Wymagaia edukacyje iezbęde do uzyskaia poszczególych śródroczych i roczych oce klasyfikacyjych z obowiązkowych zajęć
Bardziej szczegółowo7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,
7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochroa radiologicza Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11 Całka ozaczoa podstawowe pojęcia Defiicja podziału odcika Podziałem P odcika < a, b > a części azywamy zbiór
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna II Lista zadań
Aaliza Matematycza II Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 07/8 Zadaia ozaczoe dwoma lub więcej gwiazdkami są przezaczoe do samodzielego rozwiązaia. chcecie uzyskać wskazówki lub podyskutowac o ich rozwiązaiu,
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2004/2005
Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,
Bardziej szczegółowoKrzysztof Rykaczewski. Analiza matematyczna I Zbiór zadań
Krzysztof Rykaczewski Aaliza matematycza I Zbiór zadań Motto: Powiedz mi a zapomę Pokaż mi a zapamiętam Pozwól mi zrobić a zrozumiem. Cofucius : Zbiór zadań z aalizy matematyczej Uiwersytet Mikołaja Koperika
Bardziej szczegółowoFunkcja wykładnicza i logarytm
Rozdział 3 Fukcja wykładicza i logarytm Potrafimy już defiiować potęgi liczb dodatich o wykładiku wymierym: jeśli a > 0 i x = p/q Q dla p, q N, to aturalie jest przyjąć a x = a 1/q) p = a 1/q } {{... a
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochode wyższych rzędów 1.1 Defiicja i przykłady Def. Drugą pochodą fukcji f azywamy pochodą pochodej tej fukcji. Trzecia pochoda jest pochodą drugiej pochodej; itd. Ogólie, -ta pochoda fukcji jest pochodą
Bardziej szczegółowox 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Bardziej szczegółowoc 2 + d2 c 2 + d i, 2
3. Wykład 3: Ciało liczb zespoloych. Twierdzeie 3.1. Niech C R. W zbiorze C określamy dodawaie: oraz możeie: a, b) + c, d) a + c, b + d) a, b) c, d) ac bd, ad + bc). Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków
Aaliza matematycza dla iformatyków Sprawdziay do Wykładów dla pierwszego roku iformatyki a Wydziale Matematyki, Iformatyki i Mechaiki Uiwersytetu Warszawskiego w latach 2007/8, 2008/9, 2009/0, 20/2, 202/3,
Bardziej szczegółowoDydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady)
Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjy (wykłady) Wykład r 12: Fukcja wykładicza cd. Ciągłość fukcji. Pochoda fukcji Semestr zimowy 2018/2019 Fukcja wykładicza (cd.) propozycja Podobie jak w przykładach
Bardziej szczegółowof '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n
Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby
Bardziej szczegółowoFraktale - ciąg g dalszy
Fraktale - ciąg g dalszy Koleja próba defiicji fraktala Jak Madelbrot zdefiiował fraktal? Co to jest wymiar fraktaly zbioru? Układy odwzorowań iterowaych (IFS Przykład kostrukcji pewego zbioru. Elemety
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
Bardziej szczegółowo1. Granica funkcji w punkcie
Graica ukcji w pukcie Deiicja Sąsiedztwem o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r ( a a Deiicja Sąsiedztwem lewostroym o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r Deiicja Sąsiedztwem
Bardziej szczegółowo201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.
Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowo1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
Bardziej szczegółowoCAŁKA NIEOZNACZONA. F (x) = f(x) dx.
CAŁKA NIEOZNACZONA Mówimy, że fukcja F () jest fukcją pierwotą dla fukcji f() w pewym ustaloym przedziale - gdy w kadym pukcie zachodzi F () = f(). Fukcję pierwotą często azywamy całką ieozaczoą i zapisujemy
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2013/14
Wykład: zad. 35-43 Kowersatoriu 8..03: zad. 44-6 Ćwiczeia 9..03: zad. 6-340 Kolokwiu r 6 5..03 (poiedziałek, 3:5-4:00: ateriał z zad. -384 Kresy zbiorów. Defiicja: Zbiór Z R azyway ograiczoy z góry, jeżeli
Bardziej szczegółowoPoziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń:
PIOTR LUDWIKOWSKI Materiał z wykładu z aalizy dla uczestików koerecji Podstawa programowa z kometarzami Tom 6 Edukacja matematycza i techicza w szkole podstawowej, gimazjum i liceum matematyka, zajęcia
Bardziej szczegółowoWykład 19. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ grudnia 2011
Wykład 9 Matematyka 3, semestr zimowy 0/0 3 grudia 0 Zajmiemy się teraz rozwiięciem fukcji holomorficzej w szereg Taylora. Przypomijmy podstawowe fakty związae z szeregami potęgowymi o wyrazach rzeczywistych.
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe
Metody probabilistycze i statystyka Wykład 1 Zdarzeia losowe, defiicja prawdopodobieństwa, zmiee losowe Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowo3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach.
WYKŁAD 6 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 31 Ciągi liczbowe - ogriczoość, mootoiczość, zbieżość ciągu Liczb e Twierdzeie o trzech ciągch 3A+B1 (Defiicj: ieskończoość) Symbole,,
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. 15 stycznia 2012
Szeregi liczbowe 5 styczia 0 Szeregi o wyrazach dodatich. Waruek koieczy zbieżości szeregu Defiicja.Abyszereg a < byłzbieżyciąga musizbiegaćdo0. Jest to waruek koieczy ale ie dostateczy. Jak wiecie z wykładu(i
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
Katarzya Borkowska, Wykłady dla EIT, UTP Układy rówań liiowych Defiicja.. Układem U m rówań liiowych o iewiadomych azywamy układ postaci: U: a x + a 2 x 2 +... + a x =b, a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2 x =b
Bardziej szczegółowoZauważone błędy bardzo proszę zgłaszać mailem lub na ćwiczeniach. Z góry dziękuję :-)
Odpowiedzi do zadań z szeregów, cz I. Zauważoe błędy bardzo proszę zgłaszać mailem lub a ćwiczeiach. Z góry dziękuję :-. a +, wsk. skorzystać z rówości a b a b, astępie a+b wyciągąć ajwyższe potęgi z liczika
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna - 2.1
Ekoomia matematycza - 2.1 Przestrzeń produkcyja Zakładamy,że w gospodarce występuje towarów, każdy jako akład ( surowiec ) lub wyik ( produkt ) w procesach produkcji. Kokrety proces produkcji jest reprezetoway
Bardziej szczegółowoKatalog wymagań programowych z matematyki od absolwenta II klasy (poziom rozszerzony).
Katalog wymagań programowych z matematyki od absolweta II klasy (poziom rozszerzoy). LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koieczych lub podstawowych a oceę dopuszczającą () lub dostateczą (3) uczeń wykorzystać
Bardziej szczegółowoAM1.1 zadania 8 Przypomn. e kilka dosyć ważnych granic, które już pojawiły się na zajeciach. 1. lim. = 0, lim. = 0 dla każdego a R, lim (
AM11 zadaia 8 Przypom e kilka dosyć ważyh grai, które już pojawiły się a zajeiah e 1 lim 1 l(1+) (1+) 1, lim 1, lim a 1 si a, lim 1 0 0 0 0 l 2 lim 0, lim a 0 dla każdego a R, lim (1 + 1 e ) e, lim 1/
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoZadania domowe z Analizy Matematycznej III - czȩść 2 (funkcje wielu zmiennych)
Zadaia domowe z AM III dla grup E7 (semestr zimow 07/08) Czȩść Zadaia domowe z Aaliz Matematczej III - czȩść (fukcje wielu zmiech) Zadaie. Obliczć graice lub wkazać że ie istiej a: (a) () (00) (b) + ()
Bardziej szczegółowo