Materiały dydaktyczne. Matematyka. Semestr II

Transkrypt

1 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego Materiał ddaktcze Matematka Semestr II Ćwiczeia Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci

2 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego Semestr Przedmiot: MATEMATYKA Kieruek: Mechatroika Specjalość: Elektroautomatka okrętowa Rozkład zajęć w czasie studiów Studia pierwszego stopia Liczba godzi Liczba godzi Liczba tgodi w tgodiu w semestrze w semestrze W Ć L S Σ W Ć L S II Związki z imi przedmiotami: fizka, mechaika techicza, wtrzmałość materiałów, podstaw kostrukcji masz, elektrotechika i elektroika, automatka i robotka, metrologia i sstem pomiarowe Zakres wiedz do opaowaia Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci Pukt kredtowe Po wsłuchaiu wkładów przewidwach programem oraz wkoaiu ćwiczeń studet powiie: Zać ) Defiicje i podstawowe twierdzeia dotczące zbioru liczb zespoloch, macierz, wzaczików i układów rówań liiowch ) Rachuek wektorow, rówaia płaszczz i prostej w przestrzei R ) Defiicje i podstawowe twierdzeia dotczące wszechstroego badaia przebiegu zmieości fukcji jedej zmieej rzeczwistej ) Podstawowe zagadieia dotczące rachuku różiczkowego fukcji wielu zmiech 5) Podstaw rachuku całkowego (całka ieozaczoa, całka ozaczoa, całki iewłaściwe, całki wielokrote i krzwoliiowe) 6) Krteria zbieżości szeregów liczbowch, podstawowe twierdzeia dotczące szeregów fukcjch 7) Sposob rozwiązwaia wbrach tpów rówań różiczkowch zwczajch pierwszego i drugiego rzędu 8) Elemet rachuku prawdopodobieństwa, podstaw statstki matematczej Umieć ) Wkować działaia a liczbach zespoloch i macierzach, obliczać wzacziki oraz rozwiązwać układ rówań liiowch metodą macierzową, za pomocą wzorów Cramera oraz w oparciu o twierdzeie Kroeckera-Capellego

3 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego ) Przeprowadzać wszechstroe badaie fukcji jedej zmieej rzeczwistej ) Wzaczać całki ieozaczoe, obliczać całki ozaczoe, podwóje, potróje i krzwoliiowe, stosować rachuek całkow w geometrii i przedmiotach techiczch ) Wzaczać ekstrema lokale i warukowe fukcji wielu zmiech, badać zbieżość szeregów liczbowch i fukcjch, rozwijać fukcje w szereg Talora 5) Rozwiązwać wbrae tp rówań różiczkowch zwczajch i cząstkowch pierwszego i drugiego rzędu 6) Obliczać prawdopodobieństwo zdarzeń losowch, wzaczać estmator i przedział ufości, stosować test statstcze do werfikacji hipotez statstczch Nr tematu Treść zajęć ddaktczch Temat i ich rozwiięcie Semestr II Rachuek całkow fukcji jedej zmieej rzeczwistej: wzaczaie całek ieozaczoch za pomocą metod całkowaia przez części i metodą zamia zmiech, wzaczaie całek fukcji wmierch, iewmierch i trgoometrczch; obliczaie całek ozaczoch w oparciu o twierdzeie Newtoa-Leibiza; obliczaie pól figur płaskich, objętości i pól powierzchi brł obrotowch, długości łuku krzwej płaskiej Rachuek różiczkow fukcji wielu zmiech: wzaczaie błędów wartości fukcji za pomocą różiczki zupełej, obliczaie przbliżoch wartości fukcji, rozwijaie fukcji dwóch zmiech według wzoru Talora, obliczaie ekstremów lokalch, globalch i warukowch fukcji dwóch zmiech Rachuek całkow fukcji wielu zmiech: obliczaie całek podwójch i potrójch w obszarach ormalch, obliczaie całek krzwoliiowch, obliczaie całek krzwoliiowch za pomocą wzoru Greea, obliczaie pól figur płaskich i objętości brł za pomocą całek wielokrotch Szeregi liczbowe i fukcje: badaie zbieżości szeregów liczbowch za pomocą krteriów d Alemberta, Cauch ego, Leibiza oraz krteriów porówawczego i całkowego, obliczaie promiei i przedziałów zbieżości szeregów potęgowch, obliczaie całek ieelemetarch za pomocą rozwiięcia fukcji podcałkowch w szereg Talora I Metod ddaktcze Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci Liczba godzi Razem W Ć L S Razem Przedmiot jest realizowa w formie wkładów i ćwiczeń rachukowch a I i II roku studiów Pomoce ddaktcze staowią: - literatura podstawowa i uzupełiająca do wkładów i ćwiczeń rachukowch, - dzieiczki studetów

4 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego II Forma i waruki zaliczeia przedmiotu II- Forma i waruki zaliczeia ćwiczeń rachukowch - obecość studeta a ćwiczeiach, - uzskaie poztwch oce z sprawdziaów pisemch w ciągu semestru przeprowadzoch w termiach uzgodioch ze studetami, - zaliczeie z oceą Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci

5 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego CII CAŁKA NIEOZNACZONA Metod całkowaia: - całkowaie przez części - całkowaie przez podstawiaie Całkowaie fukcji wmierch Całkowaie przed podstawieie (zamiaa zmiech) Przkład a) d ; b) e d Rozwiązaie [ g( t) ] f ( ) d f g' ( t) dt, gdzie g(t) a) Podstawiam t, stąd t oraz d tdt Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 5, czli d tdt t ( ) Otrzmujem d d t dt C t b) e d d dt e C t dt t t e dt e C e C dt d Całkowaie fukcji wmierch Fukcje wmiere całkujem stosując metodę podaą w [WII ] (rozkład a sumę ułamków prostch) Przkład a) ( )( ) Rozwiązaie d ; b) d a) Fukcję podcałkową rozkładam a sumę ułamków prostch A B C, ( )( ) ( )

6 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego stąd ( A B) ( 6A B C) 9A B C Porówujem współcziki prz odpowiedich potęgach : : A B : 6A B C : 9A B C Rozwiązując układ rówań mam: A, B, C, więc 8 8 d l l 8 d d d ( )( ) ( ) ( ) l 8 ( ) C C d I I d d ( )( ) Fukcję wmierą rozkładam a sumę ułamków prostch: ( )( ) A B, stąd po pomożeiu przez ( )( ) mam ( )( ) A( ) B( ), czli ( A B) A B Porówujem współcziki prz odpowiedich potęgach : : A B 7 stąd A, B, :A B d 7d 7 I d l l C ( )( ) ( ) ( ) b) I d d Ostateczie Zadaia 7 I l l C Zaleźć podae całki ieozaczoe (całkowaie przez części): a) e d ; b) l d ; c) si d Zaleźć podae całki ieozaczoe (metoda zamia zmiech): si a) d d ; b) l ; c) si cos d l Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 6

7 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego Zaleźć podae całki fukcji wmierch: d d ( ) d a) ; b) ; c) ( ) ( )( ) Odpowiedzi: a) e e C ; b) (l ) C ; c) cos si cos C 9 ( ) a) cos C ; b) si l l l C ; c) 8 a) l l l C ; b) l C ; c) arctg l ( ) C Literatura: Z Roz,,,, C Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 7

8 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego C II CAŁKOWANIE FUNKCJI NIEWYMIERNYCH I TRYGONOMETRYCZNYCH Całkowaie fukcji iewmierch Całkowaie fukcji trgoometrczch Całkowaie fukcji iewmierch Fukcje iewmiere całkujem w oparciu o metod podae w [WII ] Przkład Zaleźć podae całki ieozaczoe: d a) ; b) d ; c) d 5 Rozwiązaie d a) Korzstam ze wzoru l k C k Sprowadzam trójmia kwadratow do postaci kaoiczej: ( ) d d t dt t t C d dt l l t ( ) Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 8 ( ) b) Stosujem metodę współczików ieozaczoch d I d a 5 λ 5 5 Po zróżiczkowaiu obu stro otrzmujem a( ) λ, stąd a a λ, więc a, λ Zatem d d I l ( ) C 5 ( ) Ostateczie c) I 5 l 5 C sit d d costdt cost cos tdt dt si t costdt cos t costd si t cost costdt ( t) dt cos t C ( arcsi ) C

9 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego Całkowaie fukcji trgoometrczch Fukcje trgoometrcze całkujem w oparciu o metod podae w [WII ] Przkład Zaleźć podae całki ieozaczoe fukcji trgoometrczch: d a) si ; b) si cos d ; c) cos cos5d Rozwiązaie a) Stosujem podstawieie uiwersale [WII ] tg t dt d t dt si t l t C l tg C si t t t dt d t t b) Fukcja podcałkowa jest ieparzsta względem si, więc podstawiam cos t, si d dt si cos d si cos si d ( cos ) cos si d ( t ) t ( dt) 5 5 t t cos cos ( t t ) dt C C 5 5 α β α β c) Korzstam ze wzoru a sumę cosiusów: cosα cos β cos cos cos cos8 Mam coscos5, stąd si si8 cos cos5d ( cos cos8) d C 8 Zadaia Zaleźć podae całki fukcji iewmierch: d a) d ; b) ; c) d ; d) d Zaleźć podae całki fukcji trgoometrczch: si d a) d ; b) si si si 5d ; c) si d ; d) si Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 9

10 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego Odpowiedzi a) l C ; b) l l C ; c) l C ; d) ( ) l C a) tg C ; b) si8 si C ; c) cos cos C ; d) cos arctg tg C Literatura: Z Roz, 5, 6 Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci

11 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego CII CAŁKI NIEWŁAŚCIWE Całki iewłaściwe pierwszego rodzaju Całki iewłaściwe drugiego rodzaju Całki iewłaściwe obliczam a podstawie defiicji podach w [WII ] Całki iewłaściwe pierwszego rodzaju Przkład d d Obliczć całki iewłaściwe pierwszego rodzaju: a) ; b) l ( ) Rozwiązaie a) d d lim lim lim l ε l ε ε ε l l l lim, tak więc całka jest rozbieża ε l ε ε ( ) d t dt l C l d dt t t l C ( ε ), poieważ b) ε d d ε lim lim lim ε ε ε ( ) ε ( ) - całka jest rozbieża Całki iewłaściwe drugiego rodzaju Przkład Obliczć całki iewłaściwe drugiego rodzaju: a) Rozwiązaie d ; b) d 5 Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci

12 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego d d a) lim A, 5 5 d 5 ( ) A d t d dt arctg C d dt t arctgt C d lim 5 A A arctg czli całka jest zbieża limarctg A A arctg π π π, 8 b) d lim d lim [ l l( B ) ] rozbieża B B B, więc całka jest t dt d d dt t C C l l( ) dt t d B Zadaia, ( ) [ l l( B ) ] d l B Obliczć całki iewłaściwe pierwszego rodzaju: d a) ; b) l d ; c) d Obliczć całki iewłaściwe drugiego rodzaju: d a) ; b) ( ) d ; c) si d Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci

13 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego Odpowiedzi a) ; b) ; c) π a) l ; b) 9 Literatura: Z Roz IV, 9 π ; c) rozbieża Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci

14 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego CII ZASTOSOWANIA GEOMETRYCZNE CAŁKI OZNACZONEJ Pole figur płaskiej Długość łuku Objętość brł obrotowej Pole powierzchi brł obrotowej Pole figur płaskiej Przkład Obliczć pole obszaru ograiczoego liiami: e, l,, e Rozwiązaie Rs D e e e l l d e d e e e, e e e ( e ) d e d f '( ), f ( ) ( ) l, g' ( ) e e e e l d l l d g ele l ( e ) e e e Ostateczie D e e Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci

15 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego Zaleźć pole figur zawartej międz parabolą i stczmi do iej w puktach A(, ) i B(, ) Rozwiązaie Zajdujem pukt przecięcia paraboli z osiami i lub Parabola przecia oś w puktach B(, ) : ( ) oraz C(, ); : Parabola przecia oś w pukcie A(, ) Rs Zajdujem rówaia stczch do paraboli w puktach A, B f ( )( ) ( ) a) Rówaie stczej l A w pukcie A: f ( ) więc l A : b) Rówaie stczej l B w pukcie B: f ( ) więc lb : 6 Pole S daej figur jest sumą pól S i S (rs ) Stcza l A przecia oś w pukcie E,, poadto stcze l A i l B przeciają się w pukcie D, Pole S rówa się różic pól trapezu krzwoliiowego AC i trójkąta prostokątego AE S S S ( ) S d AE AE Pole S rówa się różic pól trójkata EDB i trapezu krzwoliiowego ograiczoego daą parabolą dla, S S EDB S EWB (rs ) ( ) 7 7 S d S S S [jkw] 9 Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 5

16 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego Długość łuku krzwej płaskiej Przkład Zaleźć długość łuku krzwej a( cost cost), a( si t si t) t <,π > (kardioida) Rozwiązaie, a > Krzwa Γ określoa jest w postaci parametrczej, ϕ( t) ψ( t) ( ) α, β, ϕ, ψ α, β C ( ) Korzstam z podaego wzoru β [ ] [ ψ ( )] Γ ϕ t t dt a( sit si t), ' a( cost cost ) ' ( ' ) a ( cos t cost cos t cos t), α, w przedziale, ( ' ) a ( si t si t si t si t), ( ' ) ( ' ) a [( si t cos t) ( si t si t cost cos t) (si t cos t) ] a [ cos( t t) ] a ( cost) 8a ( cost) 8a si 6a si t t Γ π 6a si t dt a π t si dt a π t t π si dt a cos 8a ( cosπ cos) 8 ( ) 6a Objętość brł obrotowej Przkład Obliczć objętość brł utworzoej przez obrót dokoła osi OX wkresu fukcji: f ( ) l przedziale <, e > ; Rozwiązaie Objętość V brł utworzoej przez obrót dokoła osi krzwej Γ określoej rówaiem f ( ) w przedziale a, b, f ( ), f C( a, b ) : π ( ) Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 6 b [ ] V f d a

17 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego V l t, e e t d e dt π l d π, t t e, t t t e dt π t t t ( t e te e ) π ( e ) t ( t) e, f ( t) ( t) t, g' ( t) t t f ' e, t t t t t t e dt t e te dt t e ( te e ) C g t t ( t) e, f ( t) ( t) t, g' ( t) t f ' e, C, g t t t t t te dt te e dt te e Pole powierzchi brł obrotowej Przkład Obliczć pole powierzchi kuli utworzoej przez obrót dookoła osi OX łuku okręgu R, R >, R Rozwiązaie Pole powierzchi P brł utworzoej przez obrót dokoła osi krzwej Γ określoej rówaiem f ( ) a, b, f, f C a, b R, stąd P π π R R R R R b w przedziale ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) P π f f d R a R dla R d πr d π R i <, R >, R R R R d πr πr ' [ j R ] R d Zadaia Obliczć pole figur zawartej międz osiami współrzędch a krzwą l w przedziale <, > Obliczć długość łuku paraboli półsześcieej o rówaiu w przedziale <,5 > : Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 7

18 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego Obliczć objętość beczki powstałej przez obrót dookoła osi OX łuku elips 9 dla <, > Obliczć pole powierzchi P pasa kulistego powstałego przez obrót dookoła osi OX łuku okręgu R dla < >, R < < < Odpowiedzi 5 ; 68 ; π ; π R ( ) 7 7, R Literatura: Z Roz IV, Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 8

19 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego CII 5 GRANICA FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH Defiicja graic fukcji dwóch zmiech (wg Heiego) ( ) ( ) ( ) lim f, g P, P P lim P P lim f P g Przkład Wkazać, że ie istieje graia fukcji lim Rozwiązaie Wkażem, że graica fukcji ie istieje a podstawie defiicji graic według Heiego Rozpatrzm ciąg puktów P, : lim P P (,), gdż lim Wówczas lim f ( P ) lim lim Następie rozpatrzm ciąg puktów P ',, lim P ', P (,), lim f ( P ') lim Poieważ dla dwóch różch ciągów puktów P i ' fukcji ( ) P f i ( ) P ' odpowiadające im ciągi wartości f dążą do dwóch różch graic, więc graica fukcji ie istieje P Przkład Wzaczć graice fukcji: a) lim ; b) Rozwiązaie lim a) Korzstam z defiicji Heiego Bierzem dowol ciąg puktów P (, )) taki, że P P o (,) i lim P Po ( Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 9

20 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci Stąd ( ) lim lim ) ( lim P f, zatem lim b) lim lim e, poieważ e α α α lim Zadaia Wzaczć graice fukcji: a) lim ; b) 5 lim ; c) )si lim( Odpowiedzi a) ; b) 7 ; c) Literatura: Z Roz VI, -

21 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci CII 6 POCHODNE CZĄSTKOWE Pochode cząstkowe pierwszego rzędu Przkład Na podstawie defiicji [WII6] wzaczć pochode cząstkowe fukcji f z ), ( w pukcie ( ), ), ( > R P Rozwiązaie ( ) ( ) ( ) lim lim lim lim ), ( f ( ) ( )( ( ( ) lim lim lim lim lim, f Wzaczć pochode cząstkowe fukcji: a) z ; b) z Rozwiązaie a) Wzaczając pochode cząstkowe traktujem fukcję z jako fukcję jedego argumetu (tego względem, którego wzaczam pochodą) z l, (pochoda fukcji wkładiczej), z (pochoda fukcji potęgowej) b) z z l l ' (ze wzoru a pochodą fukcji wkładiczej) Ab wzaczć pochodą cząstkową względem (pochoda logartmicza) logartmujem obie stro, a astępie różiczkujem względem z z l,l l l, z z l

22 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego Następie możm obustroie przez z i otrzmujem z z l l Pochode cząstkowe wższch rzędów Wzaczć pochode cząstkowe drugiego rzędu fukcji Rozwiązaie z z' z l, z' ( l ) l l,, z Ostateczie z' ( l ) z z z z" z z l l z z z" ( ), z z z" l ( l ) Oczwiście Zadaia ( ) ( l ) z " z" (twierdzeie Schwarza) Na podstawie defiicji wzaczć pochode cząstkowe pierwszego rzędu fukcji z f (, ) e w pukcie P, ) ( Wzaczć pochode cząstkowe pierwszego rzędu fukcji: arctg a) z ; b) z arcsi( ) ; c) z [ si( ) ] Wzaczć pochode cząstkowe drugiego rzędu fukcji: a) z si ( ) Odpowiedzi a) ; b) z' z e ; c) z l arctg, z' ; b) ( ) ( )( ) z', z' ; c) [ si( ) ], z' [ si( ) ] [ l( si( ) ) ctg( ) ] z' cos( ), Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci

23 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego a) z" 8cos ( ), z" cos ( ), z" cos ( ) b) l l l e, z" e, z" e ; c) z" l ( l ), z" ( l ), z" l z" ( l l ) Literatura: Z Roz VI,, 8 l Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci

24 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego CII 7 RÓŻNICZKA ZUPEŁNA RÓŻNICZKI ZUPEŁNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Różiczka zupeła fukcji dwóch zmiech Różiczkę zupełą wzaczam a podstawie defiicji podaej w [WII8] f f df (, ) (, ) d (, ) d, prz założeiu, że istieją pochode cząstkowe fukcji f w pukcie P, ) Przkład ( Obliczć różiczkę zupełą fukcji d,5 z f ) (, e w pukcie ) P (,, gd d,, Rozwiązaie Wzaczam fukcję różiczkę zupełą: dz df (, ) e d e d Stąd df (,) e, e,5, 5e Obliczć przbliżoą wartość liczb Rozwiązaie,98,9 P Przjmujem,,,9, 9,,98,, poadto Daa liczba jest wartością fukcji f (, ) w pukcie (,9;,98 ) f (, ) f (,) Wzaczam pochode cząstkowe fukcji ( ) w pukcie P (,) f f (, ), (, ) l, (,), (,),98,9 f (,), 6,9 f f, oraz ich wartości Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci

25 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego Zastosowaie różiczki zupełej w rachuku błędów Przkład Objętość V stożka jest fukcją długości promieia podstaw R i wsokości H Wzaczć błąd względ objętości δ V, jeżeli błęd względe δ R i δ H są dae Rozwiązaie Korzstam ze wzorów podach w [WII8] V π R H Maksmal błąd bezwzględ V objętości wosi: V V V R H, gdzie R, H ozaczają błęd bezwzględe wielkości R, H, R H V R π, więc V π RH R R H, H V Błąd względ objętości δ V, błęd względe wielkości R oraz H są rówe V odpowiedio δ R R, δ H H Stąd mam R H πrh πr H V R H δ V R δr δh V R H πr H πr H Różiczki zupełe wższch rzędów Różiczki zupełe wższch rzędów wzaczam w oparciu o wzor podae w [WII8] Przkład Wzaczć różiczkę zupełą drugiego rzędu fukcji f (, ) e Rozwiązaie d f f f f d dd d Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 5

26 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego Pochode cząstkowe II rzędu wzaczam a podstawie defiicji podach w [WII7] z z z' e, z' e, d z z' ' e, z z' ' z z'' e e e e, ( ) z z'' e e e Więc ( ) Zadaia ( ) f e d e dd e d Obliczć różiczkę zupełą fukcji d,, d, f (, ) w pukcie ) P (, przjmując Wzaczć różiczkę zupełą d f fukcji f (, ) l Objętość V ostrosłupa ściętego o wsokości H i podstawach, którch pola są rówe P i Q oblicza się ze wzoru V ( P PQ Q)H Oszacować błąd względ V objętości V 6, jeżeli błęd względe pomiarów P, Q, H woszą odpowiedio δ P, δq, δh Odpowiedzi, H ; d f dd d dv H Q H P δh δ P δq V P 6 Q 6 H Literatura: Z Roz VI, 6, 8 Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 6

27 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego CII 8 EKSTREMA FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH Ekstrema lokale Ekstrema lokale zajdujem korzstając z twierdzeia podaego w [WII9] Przkład Wzaczć ekstrema lokale fukcji f (, ) z 6 Rozwiązaie Wzaczam pukt stacjoare fukcji f z z 6, 6 6 z 6 czli z, stąd 6 6,,, Pukt stacjoare: P,), (,) ( P z z z 6, 6, 6, 6 W (, ) 6 6 Następie obliczam wartość wróżika W w puktach P,P 6 W ( P ) W (,) 6 <, więc fukcja f ie ma ekstremum w pukcie P 6 6 W ( P ) W (,) 6 >, więc w pukcie P (,) fukcja f ma ekstremum 6 6 lokale z z Z ierówości ( P ) (,) >, wika, że jest to miimum lokale,, z f (,) 8, P (,,8) mi mi mi mi 6 Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 7

28 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego Ekstrema globale (wartość ajmiejsza i wartość ajwiększa) Sposób zajdowaia ekstremów globalch pokazao w [WII9] Przkład Zaleźć ajmiejszą i ajwiększą wartość fukcji z si cos( ) π π D (, ) :, Rozwiązaie si w obszarze Rs Wzaczam pukt stacjoare leżące wewątrz obszaru D ' cos si( ), z' cos si( ) z z' z' cos si cos si ( ) ( ), stąd cos cos, więc dla (, ) D oraz cos si czli cos si cos, cos ( si ) ; cos lub si, puktem wewętrzm D), π (ie jest Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 8

29 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego π π, Jedm puktem stacjoarm wewętrzm ależącm do zbioru D jest 6 6 π π więc pukt P, Obliczam wartość fukcji z w pukcie P oraz w wierzchołkach 6 6 π π π kwadratu D tj w puktach (,), A,, B,, C, π : z ( O) z(,) π π π π π z ( P ) z, si si cos, π π π z ( A) z, si si cos, π π π π z ( B) z, si si cosπ, π π π z ( C) z, si si cos Następie wzaczam pukt, w którch fukcja z może mieć ekstrema zajdujące się a brzegu kwadratu D π OA : < <,, z si cos, ' cos si, z π z ' gd cos si stąd π Otrzmaliśm pukt P, Obliczam wartość fukcji z w pukcie P π z ( P ) z, π π π AB :, < <, z si cos ; stąd z si si (fukcja stała) π CB : < <, π π, z si cos, z si si (fukcja stała) OC :, z' π < <, z si cos, cos si, z ' gd cos si, stąd π π Otrzmaliśm pukt P, Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 9

30 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego π Obliczam wartość fukcji z w pukcie P z ( P ) z, Ostateczie fukcja przjmuje w kwadracie D wartość ajmiejszą rówą a boku AB oraz w wierzchołku C, atomiast wartość ajwiększą rówą w pukcie wewętrzm P Zadaia Wzaczć ekstrema lokale fukcji: a) f (, ) e ; b) f (, ) e ( ) Zaleźć ajmiejszą i ajwiększą wartość fukcji f (, ) w obszarze ograiczom elipsą Odpowiedzi P ma, ; b) Pmi,, e M w pukcie,, m w pukcie, a) (, e ) Literatura: Z Roz VI, Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci

31 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego CII 9 CAŁKI WIELOKROTNE Całka podwója Całka potrója Całka podwója Przkład Obliczć całki podwóje fukcji z f (, ) w obszarze ograiczom liiami: a) f (, ), c) ; b) f, ), f (, ) (,, ; Rozwiązaie a) Obszar D ograiczo dami krzwmi jest obszarem ormalm względem osi O D :, Zamieiam całkę podwóją a całkę iterowaą 8 dd d d d D 6 d ( ) d b) Rozwiązując układ rówań wzaczam współrzęde puktów B i C (rs ) Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci

32 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego Obszar całkowaia Rs D zawart międz łukiem paraboli ormal względem osi OY jest opisa ierówościami: D :, Zamieiam całkę podwóją a całkę iterowaą: dd dd d D ( 6 ) d 6 oraz odcikiem prostej d c) Dokoam zamia zmiech, zmiemi r, ϕ : r cosϕ, r si ϕ (, ϕ, ) r - współrzęde bieguowe puktu ( ) Jakobia przekształceia (, ) (, ϕ) D cosϕ r siϕ I ( r, ϕ) r D r siϕ r cosϕ Obszar D (koło o środku w początku układu współrzędch i promieiu ) jest obrazem prostokąta : r, ϕ π dd r cos ϕ r si ϕ rdrdϕ D π r rdr dϕ, r rdrdϕ r rdr r t, r rdr tdt t, t ( r ) dt C t C, Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci

33 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego ( r ) 8 r rdr, π 8 π 6π ϕ ϕ 8 d, więc dd D 6π Całka potrója Przkład Obliczć całki potróje: dddz a), Ω jest czworościaem ograiczom płaszczzami Ω ( ) z, z, z ; b) ( z ) V z, z > dddz, gdzie V jest obszarem ograiczom powierzchiami Rozwiązaie a) Obszar Ω jest obszarem ormalm względem płaszczz OXY (rs ) Ω : z Rs Zamieiam całkę potróją a całkę iterowaą: Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci

34 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) l 6 5 l 6 8 l 6 8 ) ( 8 8 ) ( ) ( [ 8 ] ) ( [ Ω d d z z dz d d z dz z dddz b) Zmiee z,, zastępujem zmiemi Θ,ϕ, r, gdzie Θ cos r cosϕ, si Θ r cosϕ, ϕ r si z, r, π ϕ π, π Θ Współrzęde Θ,ϕ, r azwam współrzędmi sferczmi puktu o współrzędch prostokątch z,, Jakobia przekształceia ( ) ( ) ( ) ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ cos ' ' ' ' ' ' ' ' ',,,,,, r z z z D r z D r I r r r Θ Θ Θ Θ Θ Obszar V (góra półkula) jest obrazem prostopadłościau Ω : Ω r, π ϕ, π Θ Poieważ r z, więc ( ) 5 5 si cos cos cos cos 5 π π π π ϕ π ϕ ϕ π ϕ π ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ π π π π Θ Θ Θ Ω r dr r dr r dr d r dr d r dr d d r d drd r r dddz z R V

35 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego Zadaia Obliczć całkę podwóją fukcji f w obszarze D ograiczom liiami: a) f (, ), D :, ; b) f (, ), D : Obliczć całki potróje: Ω :, Ω a) ( z)dddz, Ω b) zdddz, Odpowiedzi, z, Ω :,, z a) ; b) π ; a) 8 ; b) Literatura: Z Roz VII,, Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 5

36 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego CII CAŁKI KRZYWOLINIOWE Całka krzwoliiowa ieskierowaa Całka krzwoliiowa skierowaa Twierdzeie Greea Całka krzwoliiowa ieskierowaa Jeżeli fukcja z f ( ), jest ciągła a krzwej regularej ϕ( ) ψ( ) α β wówczas ( ) ( ) ( ) Γ: t, t, t,, Jeżeli fukcja z f ( ), jest ciągła a krzwej ( ) ( ) ( ) wówczas (, ), ( ) Γ: g, g C a, b, Γ Γ β [ ϕ ψ ] [ ϕ ( )] [ ψ ( )] f, ds f t, t t ' t dt α b [ ] [ ( )] f ds f g g d a Przkład Obliczć dae całki krzwoliiowe ieskierowae: a) ( ) ds, gdzie Γ jest okręgiem o rówaiu cost, si t, t π, Γ b) ds, gdzie Γ jest łukiem paraboli Γ, dla Rozwiązaie a) Korzstam ze wzoru a zamiaę całki krzwoliiowej a całkę ozaczoą ( t) cos t, ' ( t) si t, ( t) si t, '( t) cost Γ π ( (cos ) ds t si π t) (cos (si t si t cos t) si t) dt 8 t cos π tdt π dt 8t 6π Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 6

37 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego b) Zamieiam całkę krzwoliiową ieskierowaą a całkę ozaczoą Γ :, ',, ds Γ d Całka krzwoliiowa skierowaa Przkład d ( ) 5 5 (, ) (, ) { [ ϕ( ), ψ( )] ϕ ( ) [ ϕ( ), ψ( )] ψ ( )} L β P d Q d P t t t Q t t t dt α Obliczć dae całki krzwoliiowe skierowae: a) ( ) d d, gdzie Γ jest odcikiem łączącm pukt A (, ) i B (,) Γ b) ( ) l d 6 d, po okręgu ( ) ( ) skierowam dodatio L c) ( ) d ( ) d, gdzie Γ jest elipsą o rówaiach acost, bsi t, Γ t π Rozwiązaie a) Zamieiam całkę krzwoliiową a całkę ozaczoą Γ : ( t) t, ( t) t, t, d dt, d dt, ( ) d d ( t t ) dt t dt Γ Korzstam ze wzoru Greea (p) ( t t ' b) P(, ) l, Q(, ) 6, (, ) ( l ) P t ) dt t 6 ', (, ) 6 Q d 6 d 6 dd dd dd D L D D D gdż D jest kołem ( ) ( ) o promieiu, więc D π π, Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 7

38 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego c) Korzstam z twierdzeia Greea [WII] Q P P (, ) d Q(, ) d dd Γ D P Q P(, ),, Q (, ),, Γ ( ) d ( ) d dd D π ab, poieważ pole elips D πab Zadaia D Obliczć dae całki krzwoliiowe ieskierowae: Γ a) ds, gdzie Γ jest krzwą o rówaiach parametrczch: cos t t si t, si t t cos t, t π ; b) ( ) ds Γ, gdzie Γ jest okręgiem o rówaiu Obliczć dae całki krzwoliiowe skierowae: a) d d, gdzie Γ jest elipsą o rówaiu skierowaą ujemie względem g Γ swego wętrza; b) ( ) d ( cos ) d, gdzie Γ jest okręgiem o rówaiu Γ Odpowiedzi ( π ) π a) ; b) a) 6π ; b) 6 π Literatura: Z Roz VII,, Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 8

39 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego CII ZASTOSOWANIA GEOMETRYCZNE CAŁEK WIELOKROTNYCH I KRZYWOLINIOWYCH Obliczaie pola obszaru płaskiego i objętości brł za pomocą całki podwójej Obliczaie objętości brł za pomocą całki potrójej Obliczaie pola obszaru płaskiego za pomocą całki krzwoliiowej Całka podwója Objętość brł ograiczoej wkresem ieujemej i ciągłej fukcji f o podstawie D będącej obszarem regularm Przkład Obliczć objętość V brł V ograiczoej paraboloidą obrotową układu współrzędch i płaszczzą z, płaszczzami Rozwiązaie D : U ( Rs ( ) D ( ) ( ) dd ( 6 ( ( 8 8) [ j ] ) d) d ( 8) ) d ( 8) d Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 9

40 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego Pole obszaru płaskiego Całka dd dd przedstawia z defiicji pole obszaru D D D Przkład Obliczć za pomocą całki podwójej pole D obszaru D ograiczoego krzwmi (parabole, rs ) i D :, Rs Całka potrója D D ( ) d dd ( d) d ( [ j ) d ] Jeżeli fukcja (,, z) f w obszarze Ω to całka defiicji objętość V tego obszaru Przkład Za pomocą całki potrójej obliczć V brł V z przkładu Ω dddz dddz przedstawia z Ω Rozwiązaie V : z Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci

41 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego V [ dddz [ ( dz) d] d [ V ( ) d] d 8 [ j ] ( z ) d] d Całka krzwoliiowa skierowaa Jeżeli Γ jest brzegiem obszaru ormalego względem osi O, O D, skierowaego dodatio względem iego, to pole D tego obszaru wraża się wzorem D d d (a) Γ Przkład Obliczć pole elips o rówaiach parametrczch a >, b >, t π acost, bsi t, Rozwiązaie ' asit, ' bcost Całkę krzwoliiową (a) zamieiam a całkę ozaczoą i otrzmujem pole elips: π D [( bsit)( asit) acost bcost] dt ab (si t cos t) dt ab dt π abt ab π πab [ j ] π π Zadaia Za pomocą całki podwójej obliczć objętość brł ograiczoej powierzchiami: z,,,, z, > Za pomocą całki potrójej obliczć objętość brł ograiczoej powierzchiami:,, z, z 6 Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci

42 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego Za pomocą całki krzwoliiowej, skierowaej obliczć pole kardioid o rówaiach cost cost, sit si t, t, π Odpowiedzi 8 8 ; ; 6 π Literatura: Z Roz VII, - Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci

43 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci CII SZEREGI LICZBOWE Szeregi liczbowe o wrazach ieujemch Zbieżość szeregów o wrazach ieujemch badam a podstawie krteriów zbieżości podach w [WII ] Przkład Zbadać zbieżość szeregów: a)! ; b) ; c) 7 ; d) l Rozwiązaie a) Stosujem krterium d Alemberta ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim!! lim!! lim lim < e a a q więc szereg jest zbież b) Stosujem krterium Cauch ego lim lim lim < a q, więc szereg jest zbież c) stosujem krterium porówawcze ( ) ( ) ( ) 7 < < Poieważ jest zbież, więc rozpatrwa szereg jest zbież, czli < 7 d) Stosujem krterium całkowe

44 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego Zbadam zbieżość całki iewłaściwej d lim l A A l d Wzaczam całkę ieozaczoą t l C, więc l d dt t t l d dt C l A d lim lim A l A l A l Całka iewłaściwa jest zbieża, więc rówież da szereg jest zbież Szeregi o wrazach dowolch Przkład Zbadać zbieżość szeregów: a) ( ) Rozwiązaie, b) cosα ( ) a) Szereg jest szeregiem aprzemiem, więc do badaia jego zbieżości zastosujem krterium Leibiza [WII ] Ciąg jest malejąc oraz lim, więc szereg jest zbież Szereg wartości ( ) ( ) bezwzględch jest postaci Poieważ > ( ) ( ) ( ) oraz jest rozbież, więc a podstawie krterium porówawczego jest ( ) rówież rozbież Ostateczie ( ) jest zbież warukowo ( ) l Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci

45 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego b) Jest to szereg liczbow o wrazach dowolch Zbadam bezwzględą zbieżość tego szeregu Szereg wartości bezwzględej jest postaci cos α Do badaia zbieżości tego szeregu wgodie jest zastosować krterium porówawcze cos α, N jest szeregiem geometrczm zbieżm, więc szereg wartości bezwzględch jest rówież zbież Wika stąd, że da szereg jest bezwzględie zbież Zadaia Zbadać zbieżość szeregów o wrazach ieujemch: a)! ; b) Zbadać zbieżość szeregów: ; c) ; d) a) ( ) ; b) cos Odpowiedzi α ; c) ( ) a) rozbież; b) zbież; c) zbież; d) zbież a) zbież warukowo; b) zbież bezwzględie; c) rozbież Literatura: Z Roz V,, Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 5

46 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego CII SZEREGI FUNKCYJNE Zbieżości jedostaje szeregu fukcjego Szeregi potęgowe Promień zbieżości szeregu potęgowego Zbieżości jedostaje szeregu fukcjego Zbieżość jedostają szeregu fukcjego badam w oparciu o krterium Weierstraussa [WII ] Przkład Zbadać jedostają zbieżość szeregu Rozwiązaie cos( ) Korzstam z krterium Weierstrassa cos( ) Dla dowolego R i dowolego N zachodzi ierówość Majorata tego szeregu tj szereg liczbow jest zbież, więc da szereg fukcj jest zbież jedostajie dla każdego R Poieważ wraz tego szeregu są fukcjami ciągłmi, więc rówież jego suma jest fukcją ciągłą Szeregi potęgowe Promień zbieżości szeregu potęgowego Promień zbieżości szeregu potęgowego wzaczam stosując wzor podae w [WII ] Przkład Obliczć promień zbieżości szeregów potęgowch a) Rozwiązaie ; b) a) a g lim lim a lim ( ) ( ),więc r g Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 6

47 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego b) g lim a lim lim 8, więc r 8 g Wzaczć przedział zbieżości szeregu potęgowego l Rozwiązaie Wzaczam promień zbieżości szeregu a g lim a lim l l lim l ( ) l( ), poieważ l lim l ( ) [ l H gdż lim lim lim l( ) Promień zbieżości r, zatem szereg jest zbież w przedziale otwartm ; g oraz jest rozbież w zbiorze,, Zbadam zbieżość szeregu dla oraz Dla otrzmujem szereg liczbow aprzemie ( ) l l Poieważ ciąg jest malejąc oraz lim, więc a l l podstawie krterium Leibiza otrzma szereg aprzemie jest zbież, stąd da szereg jest zbież dla Dla otrzmujem szereg liczbow o wrazach dodatich l l Poieważ > dla oraz jest rozbież, więc a podstawie krterium l Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 7

48 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego porówawczego wioskujem, że l jest zbież w przedziale, Zadaia jest rozbież Ostateczie da szereg potęgow Obliczć promień zbieżości szeregu: a) ; b) 6 ; c)! ( ) ; d) Wzaczć przedział zbieżości szeregów potęgowch: a) ( ) ; b) ( ) Odpowiedzi a) ; b) ; c) ; d) ; a) (, > ; b), e Literatura: Z Roz V,, Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 8

49 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego CII SZEREG TAYLORA Szereg Talora Szereg Maclauria Rozwiięcie fukcji w szereg Talora W [WII 5] podao twierdzeie Talora oraz rozwiięcie w szereg Maclauria wbrach fukcji Poadto podao zastosowaie szeregu Talora do całkowaia fukcji Przkład Korzstam z rozwiięcia w szereg Maclauria fukcji ( α ) podaego w [WII 5]: α α( α ) α( α )( α ) ( ) α!! dla < < Poieważ ( ), więc mam f ( ) ( ) 5 5 8!!!! szereg jest zbież dla < < Zastosowaie szeregu Talora Przkład Obliczć całkę si d z dokładością do, Rozwiązaie si Całka ieozaczoa d jest całką ieelemetarą, więc ajpierw rozwiiem fukcję si podcałkową w szereg Maclauria, a astępie otrzma szereg będziem całkowali wraz po wrazie 5 7 Korzstam z rozwiięcia w szereg Maclauria fukcji si, R! 5! 7! Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 9

50 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego si Stąd! 5! 7!! 5! 7! si d! 5! 7! d! 5 5! 7 7!! 5 5! 7 7! Biorąc sumę trzech pierwszch składików popełiam błąd bezwzględ spełiając ierówość si < <,5, stąd 58 d,96 Obliczć wartość przbliżoą całki cos d biorąc wraz rozwiięcia fukcji podcałkowej w szereg i podać dokładość przbliżeia Rozwiązaie Korzstam z podaego rozwiięcia fukcji podstawiam za 6 cos!! 6! ( ) ( )! cos w szereg Maclauria a astępie 8, stąd cos!! 6! cos d 8!! 6! 5 9 d 5! 9! 5! 9! cos d,9 5! Błąd bezwzględ spełia ierówość <, 9! 6 Zadaia Rozwiąć w szereg Maclauria fukcje: a) f ( ) ; b) f ( ) Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 5

51 Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego Obliczć całkę e d z dokładością do, Odpowiedzi l l l a), R!! ( )! 5 b)!!!! Szereg zbież dla < <, 77 Literatura: Z Roz V, 6, 7 Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej w Szczeciie Akademia Morska w Szczeciie, ul Wał Chrobrego -, 7-5 Szczeci 5