[wersja z 5 X 2010] Wojciech Broniowski

Transkrypt

1 [wersja z 5 X ] Aaliza Matematycza część 3 Kospekt wykładu dla studetów fizyki/iformatyki Akademia Świętokrzyska / Wojciech Broiowski

2 Różiczkowalość

3 Pochoda fukcji jedej zmieej Pochoda f : ( a, b) R w pukcie x ( a, b) f f ( x + x) f ( x) f ( x) f ( x) '( x) = lim = lim x x x x x x przyrost argumetu fukcji f = f ( x + x) f ( x ) przyrost wartosci fukcji df ( x) Ia otacja: f '( x) = dx df ( x ) różiczka f odpowiadająca przyrostowi argumetu dx Fukcja o( x) jest malą wyższego rzędu iż x w sąsiedztwie x = o( x) jeżeli lim = x x f ( x + x) f ( x ) = f '( x ) x + o( x) 3

4 Tw. f różiczkowala w x jest ciagla w x D: f ( x) = f ( x + x) = f ( x ) + f '( x ) x + o( x) lim f ( x) = lim f ( x + x) = lim( f ( x ) + f '( x ) x + o( x)) = f ( x ) x x x x 3 x, x ciągle w x =, a ie różiczkowale Iterpretacja geometrycza pochodej stycza w pukcie x ma achyleie α 4

5 o małe, O duże,... [ f ( x) >, g( x) > ] f ( x) = O( g( x)) C > x x > x : Cg( x) f ( x) f ( x) = Ω( g( x)) c > x x > x : f ( x) cg( x) f ( x) = Θ( g( x)) c > C > x x > x : Cg( x) f ( x) cg( x) f ( x) f ( x) = o( g( x)) w otoczeiu x lim = x x g( x) f ( x) f ( x) ~ g( x) w otoczeiu x lim = c, ( c >, u iektórych c = ) x x g( x) 5

6 f ( x) = O( g( x)) f ( x) = Ω ( g( x)) f ( x) = Θ( g( x)) [ C =, c = ] 6

7 Obliczaie pochodych ( cf )'( x) = cf '( x), ( f + g)'( x) = f '( x) + g '( x) ( fig)'( x) = f '( x) g( x) + f ( x) g '( x) f '( x) g( x) f ( x) g '( x) ( f / g)'( x) = ( g( x)) ( f g)'( x) = f '( g( x)) g '( x) ( f )'( y) = f '( x) 7

8 Wyprowadzeia: f ( x) g( x) f ( x ) g( x ) = ( f ( x) f ( x )) g( x) + f ( x )( g( x) g( x )) ( f ( x) f ( x )) g( x) f ( x )( g( x) g( x )) ( fig)'( x ) lim lim = + = x x x x x x x x = f '( x ) g( x ) + f ( x ) g '( x ) f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) f '( x) '( x) lim lim f = = = x x x x x x f ( x) f ( x)( x x) f ( x) f ( g( x)) f ( g( x)) f ( g( x)) f ( g( x)) g( x) g( x) ( f g)'( x) = lim = lim x x g( x) g( x ) x x x x x x f ( y) f ( y ) g( x) g( x ) = = lim lim f '( g( x)) g '( x) y y y y x x x x ( f )'( y) = lim y y ( y) x x = = = y y f x f x f x f f y f ( y) f lim x x ( ) ( ) '( ) '( ( )) 8

9 x x x + x x x si cos si si x si x x + x (si x )' = lim = lim = lim cos = cos x x x x x x x x x x x x x si si cos x cos x = = = x x x x x x x x x (cos x )' lim lim si (l x x = + = = x x x + x x + x l x x x x x x x x = = = + = + = l( ) l x x + )' lim lim lim l lim l x x x x x x x x ' x = = x x x l lim x l e x x l (log a x)' l a x l a x x ( a )' = = = y l a = a l a (log a y)' y l a x ( e )' = e x x 9

10 (arcsi x )' = = = =, y ( π, π ) (arccos x a a l x ( )' ( )' (si y)' cos y si y x )' = = (cos y )' x (arc tg x )' = = cos y = = (tg y)' + tg y + x (arc ctg x )' = = si y = = (ctg y)' + ctg y + x x = e = e ( a l x )' = x a = ax x a l x a a

11 Przykłady: Od wewątrz do zewątrz si(tg( x )) ' = x cos(tg( x )) ( ) ( ) ( l ) cos x x e e x x x x x x x x l x x ' = ' = ( l )' = (l + ) Od zewątrz do wewątrz x y y yy y y = + + x = ' + ' ' = y x + Różiczkowaie po obu stroach

12 Stycza do krzywej x + y =, A = (, ) 3 x + yy ' = y ' x = = = 3 y y = x + b b y = = = x + b Zajdź styczą do okręgu w pkt. A Różiczkowaie po obu stroach Wartość pochodej Rówaie styczej z parametrem b Wyzaczeie b pkt. A ależy do styczej Rówaie styczej

13 Kąt przecięcia krzywych tgβ tgα tgγ = tg( β α) = = + tgαtgβ g '( x) f '( x) = + g '( x ) f '( x ) Krzywa parametrycza x( t), y( t) wspólrzęde zależe od czasu dy dy d dy dt y = y( t( x)) = = dt = dx dx dt dx dx x dt 3

14 Fukcja pochoda f : ( a, b) R f ' : ( a, b) R x f '( x) Fukcja pochoda przyporządkowuje puktowi z przedziału otwartego (a,b) wartość pochodej fukcji w tym pukcie 4

15 f x = x f () = ( ) si x f '( x) = x si cos, dla x x x x si x f '() = lim =, dla x = x x Pochoda istieje, ale jest ieciągla w x = Fukcje klasy C a przedziale [a,b] mają -tą pochoda ciąglą. C,C,C,...,C 5

16 Pochode wyższych rzędów Jeśli fukcja f jest różiczkowala, to możemy zdefiiować jej pochodą, itd. f ''( x) = ( f '( x))' f '''( x) = ( f ''( x))' ( ) ( ) f x f x ( ) = ( ( ))' fukcje klasy C - -ta pochoda ciągla C - ma wszystkie pochode ( k ) kπ (si x) = si( x + ) ( k ) kπ (cos x) = cos( x + ) ( e ) = e x ( k ) x ( ) ( ( )) =! w x a f () ( x) = f ( x) 4 (4) 3 (3) () ( x ) = (4 x ) = (4 3 x ) = (4 3 x)' = 4! 6

17 Wzór Leibiza ( fg)'( x) = f '( x) g( x) + f ( x) g '( x) ( fg)''( x) = f ''( x) g( x) + f '( x) g '( x) + f ( x) g ''( x) (3) (3) () () () ( fg) ( x) f ( x) g ( x) 3 f ( x) g ( x)... = () () () (3) 3 f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( ) ( k ) ( k ) ( fg) ( x) = f ( x) g ( x) k= k = + + = ( x e ) ( ) x x x x e x e x e = e x + e x + ( ) e x x x 7

18 Tw. o ekstremach Jeżeli f : ( a, b) R jest różiczkowala w c ( a, b) i ma ma w tym pukcie ekstremum lokale, to f '( c)= D (maksimum): δ > : x ( c - δ, c + δ ) f ( x) f ( c) f ( x) - f ( c) f ( x) - f ( c) dla x < c f ' ( c) = lim x - c x c x - c f ( x) - f ( c) podobie f ' + ( c) = lim. + x c x - c Poieważ f '( c) = f ' ( c) = f ' ( c), f '( c) =. + 8

19 Tw. Rolle a f : [ a, b] R ciagla i różiczkowala w ( a, b) oraz f ( a) = f ( b) c ( a, b) : f '( c) = D: Jeżeli f = cost. to f'(c)=. W przeciwym razie c ( a, b) dla którego f osiąga ekstremum lokale f '( c) = Kotrprzykłady: fukcja ieciągła i ieróżiczkowala 9

20 Tw. Cauchy ego f, g C : [ a, b] R, różiczkowale w ( a, b) c ( a, b) : ( f ( b) f ( a)) g '( c) = ( g( b) g( a)) f '( c) D: h( x) = ( f ( b) f ( a)) g( x) ( g( b) g( a)) f ( x) + tw. Rolle'a Tw. Lagrage a f C : [ a, b] R, różiczkowala w ( a, b) f ( b) f ( a) c ( a, b) : f '( c) = b a D: tw. Cauchy'ego z g( x) = x (prędkość średia i chwilowa)

21 Przykład (tw. Lagrage a): f ( x) = l x, f '( x) = x l b l a l b l a = < < b a c b b a a b a b b a < l < b a a

22 Tw. Taylora : [, ], -krotie różiczkowala w (, ) f C x x + h R x x + h c ( x, x + h) : f ( x + h) = S ( h) + R ( h) f '( x ) f ''( x ) f ( x ) S( h) = f ( x) + h + h h!! ( )! ( ) ( ) f ( c) R ( h) = h (reszta w postaci Lagrage'a)! D: x, ( ) ( - ) = x + h k x = x x f '( x)( x x) f ( x)( x x) g( x) = f ( x) f ( x)...! ( )! ( )

23 Z tw. Cauchy'ego: (, ) : g( x ) g( x ) g '( c) k( x ) k( x ) k '( c) c x x = S( h) f ( x ) f ( x c) f ( c) = = ( h)!( c x )! ( ) f ( c) f ( x) = S( h) + h! ( ) ( ) ( ) Zaczeie tw. Taylora: dość łatwe przybliżaie fukcji -krotie różiczkowalych wielomiaem stopia -. Dla regularych fukcji reszta jest mała i metoda jest tym dokładiejsza, im większe jest. 3

24 (RR) Przybliżaie fukcji exp(x-) z pomocą wzoru Taylora dla kolejych 4

25 f(x)=si(x) = =5 = = 5

26 Szereg (rozwiięcie) Taylora ( ) f ( x) f C : [ x, x + h] R. Jeżeli ciąg fukcji r ( x) = h jest! zbieży jedostajie do a przedziale [ x, x + h], to f ( x ) w x x x f ( k ) k ( ) = ( ) jest zbieży jedostajie do. k= k! Tw: Jeżeli fukcja ma a daym przedziale wszystkie pochode ( ) ograiczoe, f ( x) M, to ma w tym przedziale rozwiięcie Taylora. 6

27 Przykład fukcji mającej wszystkie pochode i ie posiadającej rozwiięcia Taylora wokół x=: exp(-/x ). Pochode ie są ograiczoe! Wszystkie pochode w x= zikają. f (x) f (x) f (x) 7

28 e x 3 4 k x x x x x = =!! 3! 4! k! k = 3 4 k x x x x k x l( + x) = = ( ), x (,] 3 4 k k = k= k = 4 6 k x x x k x cos x = +... = ( )! 4! 6! ( k)! 3 5 k + x x x k x si x = +... = ( )! 3! 5! (k + )! iz e = cos z + i si z cos z = e iz + e e e, siz = i iz iz iz 8

29 Fukcje hiperbolicze 4 6 k x x x x cosh x = ch x = =! 4! 6! ( k)! k = k= (krzywa lańcuchowa) 3 5 k + x x x x sih x = sh x = =! 3! 5! (k + )! z z e = cosh z + sih z, e = cosh z sih z, z z z e + e e e cosh z =, sih z = cosh z sih z = z (cosh z)' = sih z, (sih z)' = cosh z, 9

30 cosh sih tah=sih/cosh 3

31 Tw. o ekstremach sile maksimum lokale w x δ > : x S( x, δ ) f ( x ) > f ( x) sile miimum lokale w x δ > : x S( x, δ ) f ( x ) < f ( x) Tw. f '( x ) =, f '' ciagla w x. f ''( x ) < (sile) maksimum f D: Z tw. Taylora dla = ''( x ) > (sile) miimum f ( x) = f ( x ) + f '( x )( x x ) + f ''( x )( x x ) f '( x ) =, z ciąglosci r > : x K( x, r) f ''( x ) jest tego samego zaku, co f ''( x ), skąd wyika teza. Przyklad: f ( x) = x x 3 3 = = f '( x) x 3x = 3 x( x) 3 f ''( x) = 6x f ''() = (miimum) f ''( ) = (maksimum) 3

32 Tw. f różiczkowala w ( a, b) f '( x) > dla x ( a, b) f ( x) (silie) rosąca f '( x) < dla x ( a, b) f ( x) (silie) malejąca D: x, x ( a, b), x < x Z tw. Lagrage'a c ( a, b) : f ( x ) f ( x ) = f '( c)( x x ) Tw. f różiczkowala w ( a, b), x ( a, b) f '( x) > dla x ( a, x ) i f '( x) < dla x ( x, b) (sile) maksimum w x f '( x) < dla x ( a, x ) i f '( x) > dla x ( x, b) (sile) miimum w x 6 ( ) f x = x + 5 '( ) = 6, = f x x x 4 ''( ) = 3, ''( ) = f x x f x x x f '( x) < > > '( ) < x x f x mi w x 3

33 Wypukłość Fukcja różiczkowala f : ( a, b) R jest wypukla (wklęsla), jeżeli y ( a, b) x ( a, b), x y : f ( x) > ( < ) f ( y) + f '( y)( x y) - ad (pod) styczą Tw. Fukcja dwukrotie różiczkowala w (a,b) jest wypukla w tym przedziale, jeżeli f ''( x) >, a wklęsla jeżeli f ''( x) <. D: Z tw. Taylora dla =. Jeżeli dla x x wypukla, a dla x x wklęsla (lub a odwrót), to x azywamy puktem przegięcia. < > 33

34 Reguła de L Hospitala f, g - różiczkowale a ( a, b), g '( x), ) lim f ( x) = lim g( x) =, f '( x) f ( x) r { R,, }: lim = r lim = r + + x a g '( x) x a g( x) + + x a x a D: Uzupelijmy f ( a) = g( a) =. Wtedy z tw. Cauchy'ego c (a,x): f ( x) f ( x) - f ( a) f '( c) =. Gdy + + = x a rówież c a, zatem g( x) g( x) - g( a) g '( c) f ( x) f '( c) lim = lim = r x a + g( x) c a + g '( c) si x cos x lim = lim = x x x cos x si x cos x lim = lim = lim = x x x x x 34

35 f '( x) f ( x) ) lim f ( x) = lim g( x) =, r { R,, }: lim = r lim = r x x x g '( x) x g( x) D: φ( x) = f ( ), γ ( x) = g( ), y = x x x f ( y) f ( ) ( ) '( ) '( )( ) x φ x φ x f x x lim = lim = lim = lim = lim y g( y) x g( ) x ( ) x '( ) x x γ x + γ x + g '( x)( ) x f '( x ) f '( y) = lim = lim + x g '( ) y x g '( y) = f '( x) f ( x) 3) lim f ( x) = lim g( x) =, r { R,, }: lim = r lim = r x a x a x a g '( x) x a g( x) ' g '( x) f ( x) ( ) g( x) g x D: lim lim lim g( x) g '( x) f ( x) = = = lim = lim lim ' + + x a g( x) x a x a x a f '( x) x a f '( x) + x a g( x) f ( x) f ( x) f ( x) g( x) g '( x) f ( x) f '( x) lim = lim lim = lim x a f ( x) x a f '( x) x a g( x) x a g '( x) 35

36 4) = = l x = = lim x l x = lim = lim x = lim x = x x x x x x si x x cos x 5) = lim lim lim + = = + + x x si x x x si x x si x + x cos x g( x) f ( x) si x tg x f ( x) g( x) = = lim = lim = + + x cos x x si x x x tg x f ( x) g( x) = l x lim l x lim x x x x x x 6),, lim x = lim e = e = e = e = f ( x) g( x) g( x)l f ( x) = e x x 36

37 Badaie fukcji ) Dziedzia ) Miejsca zerowe ) Parzystość, ieparzystość, okresowość 3) Ciągłość, graice w puktach ieciągłości i a krańcach przedziałów określoości 4) Asymptoty 5) Różiczkowalość 6) Mootoiczość i ekstrema 7) Druga pochoda, wypukłość, pukty przegięcia 8) Tabela przebiegu fukcji 9) Szkic wykresu ) Zbiór wartości (kolejość dowola!) 37

38 4 x 4 f ( x) = 3 x 38

39 Całkowaie 39

40 Całka ieozaczoa (fukcja pierwota) f : ( a, b) R, F różiczkowala w (a,b). Jeżeli F '( x) = f ( x) dla x ( a, b), to F jest fukcją pierwotą fukcji f. Fukcja pierwota określoa jest z dokładością do stałej, tz. jeśli F(x) jest fukcją piewrotą, to F(x)+C jest rówież fukcją pierwotą, poieważ (F(x)+C) =F (x)=f(x). Całkowaie: operacja odwrota do różiczkowaia af ( x) dx = a f ( x) dx ( f ( x) + g( x)) dx = = f ( x) dx + g( x) dx 4

41 dx = l x + C, bo ( l x )' = x ' = sg( x) = x x x x 3 x + x + x dx = dx x l x C + + = + + x x x x + x dx x = dx x = + C = x x + C + + 4

42 Całkowaie przez części Wyprowadzeie: ( fg)'( x) dx = f ( x) g( x) ( f '( x) g( x) + f ( x) g '( x)) dx = f ( x) g( x) f '( x) g( x) dx = f ( x) g( x) f ( x) g '( x) dx f ( x) = x, g( x) = l x l x dx = x 'l x dx = x l x x(l x )' dx = = x l x x dx = x l x dx = x l x x + C x dx x cos x = dx x(si x)' = x si x dxsi x = xsi x + cos x + C ( ) Sprawdzeie: xsi x + cos x + C ' = si x + x cos x si x = x cos x 4

43 Całkowaie przez podstawieie f : ( a, b) R, g : ( s, t) ( a, b) różiczkowala, F - pierwota dla f F g jest pierwota dla f ( g( x)) g '( x), tj. f ( g( x)) g '( x) dx = f ( y) dy = F( g( x)), y = g( x) D: Z tw. o pochodej fukcji zlożoej [ F( g( x))]' = F '( g( x)) g '( x) = f ( g( x)) g '( x) I = dx, f ( y) =, y = g( x) = 3x +, g '( x) = 3 3x + y 3 g '( x) I = dx = dx = dy = l y + C = l 3 x + + C 3 3x + 3 g( x) 3 y 3 43

44 dy Prostszy zapis: dyf ( y) = dx f ( y( x)) dx dy dg( x) bo dy = dx, lub dg( x) = dx dx dx x dy I = dx, y = 4x +, dy = 8 x dx x dx = 4x + 8 dy I = = l y + C = l 4x + +C 8 y 8 8 I = dx + x x y = + x 3 ( ),, dy = x dx I = 8 8 ( ) y dy = y + C = + x + C f '( x) Tw. dx = l f ( x) + C f ( x) cos( x) dx = l si( x) si( x) 44

45 Wzory rekurecyje dx x 3 I =, I = + I,, I ( + x ) ( + x ) = x J = dxsi x, J = cos xsi x + J,, J = x K = dx cos x, K = si x cos x + K,, K = x (użytecze w wielu obliczeiach) 45

46 Całkowaie fukcji wymierych Ulamki proste A Bx + C i + + ( x a) ( x px q) Al x a, = Adx = A ( x a), > ( )( x a) Bx + C B x + p Bp dx dx = dx + C x + p dy = = + + ( x + px + q) = p 4q < y ( x px q) ( x px q) ( x px q). dx, y x px q, p p. x + px + q = x + = ( t + ), x + = t, dx = dt dx = / dt ( x + px + q) 4 ( + t ) 46

47 Rozkład fukcji wymierej a ułamki proste P( x) Fukcja wymiera ma postać f ( x) =, gdzie P i Q są wielomiaami. Q( x) Jeżeli stopień P jest wyższy lub rówy stopiowi Q, to wykoujemy dzieleie, otrzymując P( x) = W ( x) Q( x) + R( x), gdzie stopień R jest iższy od Q. Mamy R( x) f ( x) = W ( x) +. Q( x) Wielomia W ( x) calkujemy trywialie. Q( x) ma rozklad Q x c x a x a x + p x + q x + p x + q k km l ( ) = ( - )...( - ) ( )...( l ), atomiast dl m częsci iewymierej mamy astępujący rozklad a ulamki proste: R( x) A B x + C Q( x) ( x a ) ( x p x q ) m ki li i, k j, l j, l = + k i= k= i j= l= + j + j co calkujemy z pomocą wczesiejszych wzorów. l, a 47

48 Metoda : Sprowadzamy prawą stroę do wspólego miaowika i porówujemy wspólczyiki przy tych samych potęgach x, co daje uklad rówań liiowych a A, B, C. i, k j, l j, l Metoda (prostsza): f ( x) A = + r( x), gdzie miaowik r( x) zawiera ( x - a) s ( x - a) s s w potędze co ajwyżej s -. Wtedy f ( x)( x - a) = A + r( x)( x - a) = A. ki ( ki m) Ogólie Ai, m = [ f ( x)( x - ai ) ] /( ki m)!, m =,..., ki Bx + C Dla przypadku f ( x) = + r( x) rozkladamy x + px + q = ( x z)( x z ), - p + i - gdzie z =, a wtedy l ( x + px + q) x= a x= a f x x + px + q = Bz + C f x x + px + q = Bz + C ( )( ), ( )( ), x= z x= z skąd wyzaczamy B i C. Metoda 3: Symbolicze maipulacje z pomocą komputera (Mathematica, Maple, MatLab, Form,...) 48

49 Całkowaie fukcji iewymierych R( x, y) fukcja wymiera dwóch zmieych (iloraz wielomiaów dwóch zmieych) ax + b ax + b. R x, dx, ad bc, t = cx + d cx + d ( )., + +, a>, ( - ) = + + R x ax bx c dx t x a ax bx c b a<, (x+ ) = + + a 4a = + = t ax bx c x a, x a cosh t, x a, x a sih t podstawieia Eulera + t + t a) R( u, v) = R( u, v), t = cos x b) R( u, v) = R( u, v), t = si x prostsze podstawieia c) R( u, v) = R( u, v), t = tgx x t t 3. R ( si x,cos x) dx, t = tg, si x =, cos x =, dt = ( + t ) 49

50 f : [ a, b] R, m = if{ f ( x), x [ a, b]}, M = sup{ f ( x), x [ a, b]} Dzielimy [ a, b] a częsci: a = x < x < x <... < x < x = b Π = { x,..., x }, x = x x, i =,..., i=,..., i i i δ = max x sredica podzialu Π i mi = if{ f ( x) : x [ xi, xi ]}, M = sup{ f ( x) : x [ x, x ]} s i i i = x m i= i= i i suma dola, S = x M suma góra i i Z kostrukcji m( b - a) s S M ( b - a) Całka ozaczoa Riemaa 5

51 Rozważamy ormaly ciąg podzialów ( Π ), tj. taki, że limδ =. s i S ozaczają sumę dolą i górą dla podzialu Π. Tw. f : [ a, b] R ograiczoa dla dowolego ormalego ciągu ( Π ) istieją graice lim s i lim S, oraz ie zależą od wyboru podzaialów. b lim s = f ( x) dx calka dola, lim S = f ( x) dx calka góra a b a Fukcja jest calkowala w sesie Riemaa jeżeli calka góra rówa się dolej. b b b f ( x) dx = f ( x) dx = f ( x) dx calka ozaczoa (Riemaa) a a a 5

52 Tw. Fukcja ciągla w [ a, b] jest calkowala w sesie Riemaa Tw. Fukcja mootoicza w [ a, b] jest calkowala w sesie Riemaa b b b b b ( f + g)( x) = f ( x) + g( x), cf ( x) = c f ( x) a a a a a f, g calkowale iloczy fg calkowaly b c c b a a f ( x) + f ( x) = f ( x), f ( x) = f ( x), f ( x) = a b a a b a f ( x) g( x), x [ a, b] f ( x) g( x) b a b f ( x) f ( x) a b a b a 5

53 Tw. f i g - ciągle w [ a, b], f ( x) g( x), x : f ( x ) < g( x ) b f ( x) dx < g( x) dx a b a Tw. f - calkowala w sesie Riemaa w [ a, b], x [ a, b] x df( x) F( x) = f ( t) dt F ciągla, oraz = f ( x) dx a dla x, w których f jest ciągla. Tw. (podstawowe twierdzeie rachuku calkowego) f - ciągla posiada fukcję pierwotą F, oraz b a f ( x) dx = F( b) F( a), zapis: f ( x) dx = F( x) Tw. (o wartosci srediej) f - ciągla w [ a, b] x : f ( x b a b x= a ) = f ( x) dx b a b a 53

54 Zastosowaia całek Geometria: pole figury, objętość bryły, długość krzywej Miara Jordaa (fiz.) zbioru (tu: -wymiarowego): ) otaczamy zbiór ograiczoy A prostokątem S o bokach a,b ) dzielimy S a miejszych prostokątów jak a rysuku (pole każdego prostokąta wyosi ab/ 3) zliczamy wszystkie prostokąty zawarte w A i ozaczamy ich pole jako s 4) zliczamy wszystkie prostokąty, które zawierają jakiś pukt zbioru A i ozaczamy ich pole jako S 6) Jeżeli s*=s*=p, to A jest mierzaly w miara dola: s* = sup s sesie Jordaa, a P azywamy jego N polem miara góra: S* = if S s S s* S * N Uwaga: miara Jordaa brzegu, S*-s*, wyosi dla zbioru mierzalego 54

55 Przykłady zbiorów iemierzalych w sesie Jordaa (przejście graicze z liczbą wierzchołków przed pomiarem w sesie Jordaa) Ie: trójkąt Sierpińskiego, fraktale 55

56 Uwagi: W trzech wymiarach kostrukcja miary Jordaa jest aalogicza używamy prostopadłościaów. W większej liczbie wymiarów używamy hiperkostek. W jedym wymiarze (do pomiaru zbioru leżącego a prostej) używamy odcików. Przy zmiaie skali długości, L, pole zmieia się jak L, objętość jak L 3, hiperobjętość jak L d, gdzie d jest liczbą wymiarów przestrzei 56

57 Pole figury płaskiej Tw. f : [ a, b] R ciągla i ieujema pole figury utworzoej przez krzywą y = f ( x) oraz odciki AB, AC, BD, gdzie A = ( a,), B = ( b,), C = ( a, f ( a)), D = ( b, f ( b)) wyosi P b = a f ( x) dx (mówimy: pole obszaru pod wykresem f ( x)) Dowód wyika atychmiast z aalogii kostrukcji miary Jordaa i całki Riemaa Tw. f, g : [ a, b] R ciągle, f ( x) g( x) pole obszaru między wykresami y = f ( x) i y = g( y) wyosi b P = ( g( x) f ( x)) dx a 57

58 58

59 Przyklad: pole kola g( x) = r x, f ( x) = r x r r P = ( g( x) f ( x)) dx = r x dx r x = r cos t, dx = r si t dt π P r r cos t r si t dt r si t dt = r ( t si t cost) = π r π π si t dt = cos t dt = a a+ π a+ π a π [sredia wartosć si t i cos t w ich okresie: r = = = a+ π a+ π si t dt = cos t dt = ] π π a a 59

60 Objętość bryły obrotowej k = b k π V = π f ( x ) x, V = f ( x) dx Przyklad: objętosć kuli r ( ) π ( ) V= π r x dx = r x dx = r r 3 x 4 3 = π r x = π r 3 3 r a 6

61 Pole poboczicy bryły obrotowej f ( x) P = π f ( x) ( x) + ( f ( x)) = π f ( x) + x k = k= x b P = π f ( x) + ( f '( x)) dx a Przyklad: pole sfery ( ), '( ) f x = r x f x = r r x r x r P = π r x + dx = π r dx = 4π r r r x x 6

62 Długość krzywej Krzywa daa jest rówaiem parametryczym x = x( t), y = y( t), t ( t, t ) t L x t y t dt x( tk ) y( tk ) L = ( x( tk ) x( tk )) + ( y( tk ) y( tk )) = + t k= k= t t = ( '( )) + ( '( )) t Przyklad: dlugosć okręgu x( t) = cos t, y( t) = si( t), t =, t = π π π L = si t + cos tdt = dt = π 6

63 Całki iewłaściwe f : [ a, b) R, b R b =, β ( a, b) I β β a f ( x) dx Calka prawostroie iewlasciwa: f ( x) dx = lim I Aalogiczie defiiujemy calkę lewostroie iewlasciwą: f : ( c, a] R, c R c =, γ ( c, a) γ = a I = f ( x) dx, f ( x) dx = γ a c lim I γ c γ b a β b b a b Calka obustroie iewlasciwa: f ( x) dx = f ( x) dx + f ( x) dx c c a β 63

64 3 β β γ γ γ + x dx x x = lim = lim + = x β dx dx = lim x = lim π π = arctg x = = π p x p α x γ γ γ log xdx = lim( x log x x) = lim( γ log γ ) = dx β = lim p p = α p β p γ dla p < dla p β dx dla p > = lim = p x p x dla p 64

65 Kryterium całkowe zbieżości szeregu Podstawowa idea: 65

66 Jesli f : [, ) R, ciagla, ieujema, ierosąca, to f ( ) zbieży f ( x) dx zbieża = + Dowód: Ozaczmy a = f ( x) dx, wtedy a f ( ) a oraz (patrz rysuek) a f () a + a f () + f () f () + a... a + a a f () + f () f ( ) f () + a a, czyli + f ( x) dx f ( k) f () + f ( x) dx f () + f ( x) dx k= ) Jeżeli istieje calka, to ciąg sum częsciowych jest ograiczoy, poadto jest rosący, bo f ( k), a zatem szereg jest zbieży. ) W graicy mamy f ( x) dx f ( k), zatem jesli calka jest rozbieża, to szereg też jest rozbieży k= 66

67 Wiosek: mamy góre i dole ograiczeia f ( x) dx f ( k) f () + f ( x) dx k= Dla sumowaia od k = m mamy m f ( x) dx f ( k) f ( m) + f ( x) dx k= m m Przyklad: ma tę samą wlasosć zbieżosci p l co dx p x l x = = p p l du u, p > = = p p ( u = l x ) u p l l, p 67

68 Stała Eulera-Mascheroiego dx γ = lim = lim log k k x = = k= k Nie wiadomo, czy jest liczbą wymierą czy iewymierą! Występuje w wielu całkach i szeregach, p. x dx e log x = γ 68

69 Graica pod całką Tw. f calkowale a [ a, b], ( f ) zbieży jedostajie do f. b b b Wtedy lim f ( x) dx = lim f ( x) = f ( x) i zbieżosć jest a a a jedostaja [moża zmieić kolejosć graicy i calkowaia] Wiosek: Poieważ szereg jest graicą ciągu sum częciowych, to jeżeli s( x) = f ( x) i zbieżosć jest jedostaja, to b a b = dxs( x) = dx f ( x) i zbiezosć jest jedostaja = a [moża calkować wyraz po wyrazie] 69

70 = = = ( ) t = zb. jedostajie w kole zbieżosci t < + t y ( ) dt t = dt zb. jedostajie dla y t < + t ( ) y + + y = l( + y) zb. jedostajie dla y < y y y y l( + y) = y Waruek jedostajej zbieżosci jest koieczy. Kotrprzyklad: ( ) = exp( ), ( ) = lim ( ) = f x x x f x f x ( ) = exp( ) = ( exp( )) dx f x x lim dx f ( x) = dx f ( x) = 7

71 Różiczkowaie po parametrze Tw. f ( x, p) ciagla dla zmieej x [ a, b] oraz dla parametru p [ r, s], f poadto ma ciągla pochodą przy ustaloym x. Ozaczmy p b di(p) f ( x, p) I( p) = dx f ( x, p). Wtedy = dx. dp p a Przyklad: I( p) = y dx e y - px = dx x e = b( p) b( p) a( p) a( p) - px py di( p) e ( + py) (- ) dp p [moża kotyuować róziczkowaie] Uogólieie: = e p py d f ( x, p) f ( x, p) dx dx b'( p) f ( b( p), p) a '( p) f ( a( p), p). dp = + p b a Bardzo użytecza sztuczka! 7

72 Całkowaie fukcji oscylujących f ( x) mootoicza a [ a, ), lim f ( x) = f ( x)si( x + φ) dx zbieża a si x 3 4 dx = Γ x 4 π si( x ) dx cos( x ) dx calki Fresela x = = 7