Wykład 19. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ grudnia 2011

Transkrypt

1 Wykład 9 Matematyka 3, semestr zimowy 0/0 3 grudia 0 Zajmiemy się teraz rozwiięciem fukcji holomorficzej w szereg Taylora. Przypomijmy podstawowe fakty związae z szeregami potęgowymi o wyrazach rzeczywistych. Napis postaci: c x a, gdziec jestciągiemliczbowymowartościachrzeczywistych,azywaliśmyszeregiempotęgowym. Liczba rzeczywista R zdefiiowaa wzorem R =limsup c azywaa jest promieiem zbieżości szeregu. Twierdzeia dotyczące zbieżości szeregów fukcyjych gwaratują, że wewątrz odcika]a R, a + R[ szereg jest zbieży bezwzględie i iemal jedostajie, defiiuje zatem pewą fukcję. Dowodziliśmy także, że fukcje będące sumami szeregów potęgowych są gładkie wewątrz obszaru zbieżości, poadto pochodą i fukcję pierwotą moża uzyskać różiczkując i całkując szereg wyraz po wyrazie. Te same zasady obowiązują dla szeregów o wyrazach zespoloych. Oto stosowe twierdzeiektóre pozostawimy bez dowodu: Twierdzeie. Fukcja określoa wzorem fz= c z a wkole{ z a <R},dlaRtakiego,że R =limsup c jestfukcjąholomorficzą,poadto f a=!c Okazuje się, że zachodzi także odwrote twierdzeie: Twierdzeie.Niechf AOiiechpoadtoKa,R Owówczasszereg! f az a jestiemaljedostajiezbieżydofukcjifwkoleka,r O. R a O Dowód: Skorzystamy ze wzoru całkowego Cauchy ego dla krzywej γ leżącej wewątrz koła zbieżości i z ależącego do obszaru ograiczaego krzywą:

2 ρ z R a r fz= γ πi γ fξ ξ z dξ korzystając z rozwiięcia dla w <otrzymujemy: dla z a w =+w+w + = w ξ z = ξ a+a z = ξ a z a = ξ a z a ξ a + <,czyli z a < ξ a =rcowstawiamydowzorucauchy ego: ξ a fz= fξ πi γξ z dξ= fξz a dξ πi γ ξ a + Szacujemyterazwyrazszeregupodcałką:fukcjafaokręguγjestograiczoa: f M, z a <ρ,zatem fξz a ρ ξ a + M r r. Poieważ ρ < r szereg pod całką jest zbieży jedostajiekryterium Weierstrassa i moża zamieiać kolejość całkowaia i sumowaia: fz= z a fξ πi γξ a +dξ= z a f a! Powyższyszeregjestzbieżyjedostajiewkole z a ρ.poieważr,ρbyłydowole,takie że0<ρ<r<r,toszeregjestzbieżyiemaljedostajiew z a <R. Oto kilka wiosków z Twierdzeia Taylora: Niechf AOdlaspójegoobszaruO.Niechtakżea Obędzietakie,żef a=0 dla 0,wówczasf jestrówa0acałymo.wszczególościjeślidwiefukcjemają jedakowe wszystkie pochode, w pewym pukcie, to są rówe a składowej spójej obszaru holomorficzości. Załóżmy,żeajestpuktemskupieiazbioruA={z:fz=0}.Ozaczato,żeistieje ciąga elemetówazbieżydoa,taki,żea a.zciągłościfukcjifwyika,żea A. Załóżmy,żef k ajestpierwsząiezikającąpochodąfwpukciea.wtedyzrozwiięcia Taylora mamy f a fz= z a =z a k f k+l a =k! l=0 k+l! z al =z a k gz gdziegjestpewąfukcjąholomorficzą.skorofa =0totakżega =0iwkosekwecji ga=0.zdrugiejstroyga=f k a k!cozzałożeiajestróżeodzera.okazałosię więc, że przyjęcie założeia o istieiu iezerowej pochodej f w pukcie a doprowadziło as

3 do sprzeczości. Wioskujemy zatem, że f ma wszystkie pochode rówe zero w pukcie a, zatem jest stała i rówa zero w składowej spójości obszaru holomorficzości zawierającej a. Okazało się, że fukcja holomorficza albo jest rówa zero a obszarze otwartym albo jej zera są izolowae, tz zbiór miejsc zerowych ie ma puktu skupieia. 3 Pukt pierwszy pozwala uzupełić lukę w dowodzie twierdzeia o własościach modułu fukcji holomorficzej: jeśli moduł ma lokale maksimum to fukcja jest stała a otoczeiu maksimum. Jeśli jest stała to ma wszystkie pochode poza zerową rówe zero w pukcie a, zatem jest też rówa tej samej stałej a całej składowej spójości obszaru holomorficzości zawierającej a. Fukcję, którą moża lokalie przedstawić jako sumę zbieżego szeregu potęgowego azywamy fukcją aalityczą. Twierdzeie Taylora mówi zatem, że wszystkie fukcje holomorficze są aalitycze. Fukcję holomorficzą moża też zdefiiować poprzez szereg potęgowy. Wzór taki obowiązuje wewątrz promieia zbieżości. Z drugiej stroy wiadomo a przykład, że szereg 3 z z + z 3 3 z jest zbieży w kole K, i jest rówywiemy to przyajmiej dla rzeczywistych wartości z fukcji logarytm. Wiemy rówież, że logarytm zdefiioway jest a obszarze istotie większym iż K,. Dochodzimy tutaj do problemu przedłużeia aalityczego fukcji. Przedłużeie aalitycze i fukcje wielozacze: Przykład.Fukcjaz z.dlarzeczywistegox 0fukcjax xjestdobrzeokreśloa. Poadtojestoaróżiczkowaladlax>0.Okazujesię,żewotoczeiux=fukcjętęmoża rozwiąć w szereg potęgowy. Używamy rozwiięcia Taylora: fz= z, f z= z, f z= z 3,... f=, f =, f = f = + z,...,f = + Ozaczając = +! otrzymujemy szereg x Łatwo sprawdzić, że szereg te ma promień zbieżości rówy. Moża więc zdefiiować im holomorficzą fukcję argumetu zespoloego określoą w K, : fz= z

4 4 Jestfaktematuryalgebraiczej,żefz =z.istotie: + z 8 z z 3 + z 8 z z 3 = + + z z z 3 + = +z =z Wyikaztego,żewartośćwpukciez=e iϕ dlaϕ ] π 3, π[tzwewątrzkołazbieżości 3 możebyće iϕ lub e iϕ.fukcjazadaaszeregiemmusibyćciągła,tzwłaściwajestwartość fe iϕ =e iϕ.spróbujmyprzedłużyćaalityczietęfukcjęzajdującrozwiięciewokółe iϕ. Okazujesię,żejesttoszereg,któryteżmapromieńzbieżościrówy: fe iϕ =e iϕ, f e iϕ = e iϕ, f e iϕ = f = e 3 iϕ,... + e + iϕ fz=e iϕ z e iϕ e iϕ Przedłużając dalej wzdłuż okręgu jedostkowego dochodzimy zowu do puktu z =, ale rozwiięcie ma postać fz=e iπ z. Wstosukudowyjściowejwartościwpukciez=fukcjazmieiłazak.Okazujesięwięc, żepodobiejaklogarytmfukcja jestfukcjąwielozaczą.możająujedozaczić zmiejszając dziedzię i przyjmując podobie jak dla logarytmu, że fukcja ta jest określoai holomorficza a p. C\], 0], lub zdefiiować ją a odpowiediej powierzchi Riemaa, którą moża sobie wyobrażać p. tak:

5 5 Przykład.ieobowiązkowyFukcjaz z.wdziedziierzeczywistejrozważać możemyfukcjęx x.jestoaokreśloaaprzedzialedomkiętym[,]iróżiczkowalawprzedzialeotwartym],[.mamyawetwięcej:wprzedzialeotwartym],[ jest to fukcja aalitycza. Szereg potęgowy, który ją defiiuje ma promień zbieżości rówy,więcmożemyrozszerzyćfukcjęak0, C. z Możemy próbować rozszerzać aalityczie wzdłuż krzywych zazaczoych a rysuku: i Sprawdźmy zachowaie a krzywej czerwoej: ϕ +e iϕ, ϕ [0,π] Skorzystamy ze zaych już własości pierwiastka +e iϕ = e iϕ e iϕ =... Dlaϕ=0wartośćfukcjijestimusisięzmieiaćwsposóbciągły:...= e iϕ e iϕ Krzywaϕ e iϕ leżycaławjedejgałęzipierwiastka,zatempowracadotejsamejwartości poobejściukątapełego.zakzmieiazatoϕ e iϕ.ostatecziepoobejściuosobliwości w wzdłużczerwoejkrzywejfukcjazmieiawartośćza.podobiestaiesiępo obejściu osobliwości w wzdłuż krzywej iebieskiej. Iteresującejestzachowaieakrzywejzieloej.Odpuktuz=0dopuktuz=ifukcja marzeczywistewartościifi= 5.Nakrzywej mamy z = e iϕ +e iϕ, ϕ e iϕ, ϕ [ π,π+π ] z = e iϕ +e iϕ Tym razem obie krzywe zajdujące się pod pierwiastkami obchodzą osobliwość w 0, zatem oba pierwiastki zmieiają zak- wartość fukcji pozostaje więc bez zmia. Odpowiedia powierzchia Riemaa ma dwa płaty połączoe wzdłuż cięcia między puktami a :

6 6 Wzdłuż czerwoej krzywej przechodzimy z góry a dół, wzdłuż iebieskiej z dołu do góry a wzdłuż zieloej zostajemy cały czas a górze Przykład 3.ieobowiązkowy Jeszcze o logarytmie: Odpowiedia dla logarytmu powierzchia Riemaa może wyglądać a przykład tak: