Wykład III. Granice funkcji. f : R A R, A przedział. f określona w x. K M x. lim. lim. Granice niewłaściwe:

Transkrypt

1 : R A R, A przedział A, Wykład III Graice ukcji określoa w, S \ Deiicja 3. (deiicja Caucy eo raicy ukcji) : D U,, ( ) : ot Iaczej: Uot D U K M U ot U ot K M Graice iewłaściwe: k K R D M K K R M R D De. 3.. (deiicja Heieo raicy ukcji) : D

2 raica lewostroa: raica prawostroa: Deiicja 3.3 (raice jedostroe) D D raice specjale: si ) e l ) 3) uzasadieie: a) e Przykład 3. R e oólie: b) cos si?:= e cos si e cos e si e? ( si )

3 c) si Podejrzewamy, że cią ie ma raicy. si Niec si si si si si si a podstawie deiicji Heieo raicy ukcji

4 Podstawowe twierdzeia dotyczące raic ukcji Twierdzeie 3. (podstawowe własości raic ukcji) Z deiicji Heieo raicy ukcji i odpowiedic twierdzeń dotyczącyc raic ciąów wyikają astępujące własości: (działaia arytmetycze) Jeżeli:, określoe w sąsiedztwie puktu, raice właściwe 3 przy dodatkowym założeiu, że w sąsiedztwie

5 Twierdzeie 3. (twierdzeie o 3-c ukcjac) Z. U ot, określoe au \, U \ T. Przykład 3. Oblicz: si si Oólie: Z twierdzeia o 3-c ukcjac wyika astępująca własość: Jeżeli = -oraiczoa w otoczeiu () = krótko: or

6 W przykł. 3..: si or Deiicja 3.4 (ciąłość w pukcie) określoa w otoczeiu puktu ciąła w iaczej: ciąła w 3 D Ciąłość jedostroa: lewostroie (prawostroie) ciąła w ) ( 3 D Przykład 3.3 Zbadać ciąłość w pukcie w zależości od m. dla dla m e m

7 e e mr by była ciąła w m lewostroie ciąła w pukcie - dla m prawostroie ciąła w pukcie - dla Deiicja 3.5 (ciąłość a zbiorze) ciąła a zbiorze ciąła zbioru X tzw. (jeżeli jest ciąła w każdym pukcie) Wiosek 3. Suma, różica, iloraz ukcji ciąłyc jest ukcją ciąła. Iloraz ukcji ciąłyc jest ukcja ciąłą pod warukiem, że miaowik jest róży od. Złożeie ukcji ciąłyc jest ukcją ciąłą. Własości ukcji ciąłyc c.d. I. (twierdzeie o lokalym zacowaiu zaku) ciąła w, określoa w U ot U ot U

8 II. (własość Darbou) C a b,, iec ( a, b) a b c c liczba pomiędzy a i b c Fukcja ciąła a przedziale domkiętym i oraiczoym przyjmuje wszystkie wartości pośredie. a b Deiicja 3.6 (oraiczeie ukcji) oraiczoa z óry a zbiorze X : M MR X oraiczoa z dołu a zbiorze X : m mr X

9 Przykład 3.4 y e y e i e R ukcja ie osiąa kresu doleo y y sup R ma R ukcja osiąa kres óry maksimum Deiicja 3.7 (kresy ukcji) M sup X : X X M (czyt. supremum po ależącym do X z M )

10 m i X : X X m (czyt. iimum po ależącym do X z m ) III. (twierdzeie Weierstrassa) Fukcja ciąła a przedziale domkiętym i oraiczoym osiąa swoje kresy. Ca, b i sup, a, b a, b a, b Racuek różiczkowy ukcji -ej zmieej Niec określoa a ot U, U iloraz różicowy y l Jeżeli Deiicja 3.8 (pocoda) to powiemy, że ukcja jest różiczkowala w pukcie azywamy pocodą ukcji w i wartość tej raicy pukcie.

11 Iterpretacja eometrycza pocodej: t kąt pomiędzy styczą do wykresu ukcji w pukcie i dodatim kierukiem osi X, Wiosek 3. l : y prosta stycza do wykresu w pukcie, Prosta do iej prostopadła azywa się prostą ormalą: : y różiczkowala a Deiicja 3.9 (różiczkowalość a przedziale) U różiczkowala w każdym pukcie U : X Z: Tw. 3.3 (działaia arytmetycze a pocodyc), różiczkowale w T: ), R różiczkowala w ) różiczkowala w 3) w pewym U ot różiczkowala w

12 D: ) drui wzór a pocodą