E q u i l i b r i u m 1 (2) 2009 ISSN 1689-765X Marci Fałdziński Szacowaie prawdopodobej maksymalej straty przy zastosowaiu teorii wartości ekstremalych a przykładzie ideksów giełdowych Słowa kluczowe: teoria wartości ekstremalych, stopy zwrotu, prawdopodoba maksymala strata, ryzyko giełdowe Abstrakt: Prawdopodoba maksymala strata (Probable Maximum Loss, PML) jest miarą wywodzącą się z ryku ubezpieczeń, gdzie stosuje się ją do portfeli ubezpieczeiowych. Twórca miary PML Wilkiso [1982] użył ją do estymacji klasyczych metod statystyczych. Natomiast dobrze zaa reguła 20 80 mówi, że 20% roszczeń jest odpowiedziala za więcej iż 80% całej sumy odszkodowań w dobrze zdefiiowaym portfelu. W związku z tym, że właśie ekstremale wydarzeia powodują zdecydowaą większość całej sumy odszkodowań, zdecydowao się a zastosowaie teorii wartości ekstremalych. Celem artykułu jest oszacowaie prawdopodobej maksymalej straty dla ideksów giełdowych. Stopy zwrotu jak ogólie wiadomo cechują się występowaiem wartości ekstremalych. Podstawowym zadaiem aalizy jest określeie i sprawdzeie użyteczości miary PML dla ideksów giełdowych przy użyciu teorii wartości ekstremalych. Wprowadzeie Prawdopodoba maksymala strata (Probable Maximum Loss, PML) jest miarą wywodzącą się z ryku ubezpieczeń, gdzie stosuje się ją do portfeli ubezpieczeiowych. Jest oa związaa ze zaą regułą 20 80, która głosi, że w dobrze zdefiiowaym portfelu 20% roszczeń jest odpowiedzialych za więcej iż 80% całej sumy odszkodowań. Celem artykułu jest oszacowaie prawdopodobej maksymalej straty dla ideksów giełdowych, traktowaych jako portfele papierów wartościowych. Szeregi stóp zwrotu, jak ogólie wiadomo, cechują się występowaiem wartości ekstremalych.
52 Marci Fałdziński Teoria wartości ekstremalych Ostatimi laty w fiasach, ubezpieczeiach, iformatyce i w iych dziedziach coraz częściej do estymacji wysokich kwatyli stosuje się teorię wartości ekstremalych. Cetrale Twierdzeie Graicze jest podstawą dla klasyczej teorii statystyki, atomiast fudametem teorii wartości ekstremalych jest twierdzeie graicze dla maksimów Fishera i Tippetta 1 z 1928 roku. Kosekwecją twierdzeia Fishera i Tippetta jest uzyskaie uogólioego rozkładu wartości ekstremalych (Geeralized Extreme Value Distributio, GEV) zdefiiowaego poiżej. Defiicja 1. Uogólioy rozkład wartości ekstremalych (Geeralized Extreme Value Distributio, GEV) 2 Dystrybuata rozkładu GEV, czyli H jest defiiowaa jako: 1/ exp (1 x) H ( x) + 0 (1) = exp[ exp( x) ] = 0 gdzie 1+ x > 0. Często dystrybuata rozkładu GEV przedstawiaa jest w poiższej postaci: 1/ x µ exp 1 + 0 σ H (2) ψ( x) = H,, ( x) µσ = x µ exp exp =0 σ gdzie µ R ( µ = d ) jest parametrem położeia, atomiast σ > 0 ( σ = c ) jest parametrem skali. Parametr stadardowo w statystyce azyway jest parametrem kształtu, atomiast w teorii wartości ekstremalych te parametr azyway jest ideksem wartości ekstremalych (Extreme Value Idex, EVI). Parametr EVI ma bardzo istotą z puktu widzeia zastosowań w fiasach iterpretację: im wyższa wartość bezwzględa tego parametru, tym grubsze ogoy rozkładu. 1 R. A. Fisher, L. H. C. Tippet, Limitig Forms of the Frequecy Distributio of the Largest or Smallest Member of a Sample, Proc. Cambridge Phil. Soc. 24 (2), 1928, s. 163 190. 2 P. Embrechts, C. Klüppelberg, T. Mikosch, Modellig Extremal Evets for Isurace ad Fiace, Spriger, Berli 2003.
Szacowaie prawdopodobej maksymalej straty... 53 W dalszej części tej pracy pośredio będziemy korzystać z metody Peaks over Threshold, dlatego też zostaie przedstawioy krótki schemat tej metody 3. Wybieramy wartość progową u dla daego szeregu zmieych X,, 1 X (i.i.d.) pochodzących z iezaej dystrybuaty F. Niech N u będzie liczbą obserwacji przekraczających u ( Xi,, X ), 1 i Nu czyli Yj = Xi j u 0. Dopasowujemy rozkład G, σ do przekroczeń Y,..., 1 Y N, u aby otrzymać oszacowaie parametrów i σ. Realizacje zmieej losowej X mieszczą się w przedziale od 0 do u, stąd estymacja F w tym przedziale ie sprawia problemu. Postać rozkładu G, σ otrzymujemy dzięki drugiemu podstawowemu twierdzeiu w teorii wartości ekstremalych. Twierdzeie 1 Pickads-Balkemy-de Haaa 4 Dla rozkładów daych rzeczywistą dystrybuatą F warukowy rozkład przekroczeń Fu ( y ), dla dużej wartości u jest dobrze aproksymoway za pomocą Fu ( y) G, σ( y), u, gdzie (3) dla y ( x u) 0, F jeżeli 0 uogólioym rozkładem Pareto. jeżeli < 0, gdzie G, σ jest i y [ 0, σ / ] Prawdopodoba maksymala strata Przydatą miarą ocey ryzyka ie tylko w ubezpieczeiach jest prawdopodoba maksymala strata (Probable Maximum Loss, PML). Wilkiso 5 zapropoowała, aby ustalić PML rówe ( 1+ θ ) E[ M], albo E[ M ] + θ Var[ M ], gdzie θ jest określoym współczyikiem. Według Cebria, Deuit i Lambert 6 PML moża rówież otrzymać, rozwiązując rówaie: 3 J. A. McNeil, F. Frey, Estimatio of tail-related risk measures for heteroscedastic fiacial time series: a extreme value approach, Joural of Empirical Fiace 7 (2000), s. 271 300. 4 J. Pickads, Statistical Iferece Usig Extreme Order Statistics, Aals of Statistics 2 (5) 1975, s. 119 131, A. A. Balkema, L. de Haa, Residual Life Time at Great Age, Aals of Probability 2 (5) 1974, s. 792 804. 5 M.E. Wilkiso, Estimatig probable maximum loss with order statistics, Proceedigs of the Casualty Actuarial Society 1982, s. 195 209.. 6 A.C. Cebria, M. Deuit, P. Lambert, Geeralized Pareto fit to the society of actuaries large claims database, North America Actuarial J, 3/2003, s. 18 36..
54 Marci Fałdziński [ ] 1 P M PML ε = ε (4) dla małego ε > 0, gdzie M jest szeregiem maksimów. Takie sformułowaie ozacza, że PML jest wysokim kwatylem maksimów próby losowej długości. Rówaie (4) pokazuje jedocześie związek między PML a Value-at-Risk. PML możemy traktować jako wartość zagrożoą, ale wyzaczoą jedyie dla samych ekstremów. W związku z tym, że M przekroczy PML tylko w ε przypadkach, jest mało prawdopodobe, że pojedycza wartość będzie większa iż PML. W związku z tym otrzymujemy: PMLε F M tak że PML jest obliczay jako 1 ε kwatyl rozkładu maksymalych strat w określoym przedziale czasu. W dalszej części zostaie przedstawioe podejście oparte a aproksymacji przekroczeń. Jeśli N u jest liczbą przekroczeń powyżej wartości progowej u i ciąg wartości progowych u spełia waruek lim ( 1 F( u) ) = τ dla k = 0,1,... to [ ] ( ε ) = 1 1 k s τ τ lim P Nu k = e s= 0 s!. Ozacza to, że pod warukiem określoych wymagań liczba przekroczeń N u poad wartość progową u jest w przybliżeiu procesem Poissoa. W takim przypadku moża udowodić, że rozkład maksimów M tych N u przekroczeń może być określoy za pomocą uogólioego rozkładu wartości 1 ekstremalych H (, µ, σ ), gdzie µ = β ( λ 1), σ = βλ i λ = E[ N]. Używając tego rozkładu otrzymamy formułę a oszacowaie PML: λ β PMLε = u + 1 (6) l(1 ε) Stadardowo przyjmuje się ε a poziomie 0,05 i 0,01. Autorzy przedstawioego tutaj podejścia pokazują, że prawdopodoba maksymala strata liczoa przy użyciu teorii wartości ekstremalych okazała się zdecydowaie lepsza iż przy użyciu iych metod. Wyika to z tego, że teoria wartości ekstremalych posiada arzędzia i podstawy teoretycze do tego, aby mogła opisywać zachowaia ekstremów. Jest to główe uzasadieie, dlaczego EVT powio być stosowae do problemów zarządzaia ryzykiem w fiasach czy ubezpieczeiach. (5)
Szacowaie prawdopodobej maksymalej straty... 55 Aaliza empirycza Podstawowym założeiem przyjętym przez autora tej pracy do aalizy empiryczej, jest to że ideksy giełdowe możemy traktować jako jedoskładikowe portfele. Poadto przyjęto, że liczymy ie tylko prawdopodobą maksymalą stratę, ale rówież prawdopodoby maksymaly zysk. Polega to a tym, że w teorii wartości ekstremalych rozważaia a temat miimów są całkowicie rówoważe tym a temat maksimów, dzięki spełieiu astępującej własości: ( X X ) ( X X ) mi,..., = max,...,. (7) 1 1 Do badaia użyto szeregów czasowych złożoych z 3000 obserwacji (dae dziee: 07.11.1994 31.10.2006) zlogarytmowaych stóp zwrotu. Parametry szacowae były za pomocą metody ajwiększej wiarygodości. Rysuki 1 i 2 ukazują, jak kształtuje się prawdopodoba maksymala strata (odpowiedio zysk) względem liczby ekstremów przyjętych do estymacji. Wraz ze wzrostem liczby ekstremów k braych do estymacji miara PML maleje. Takie kształty wykresów ie są żadym zaskoczeiem, poieważ wyikają z przedstawioych wcześiej założeń. W tabeli 1 i 2 pokazao oszacowaia prawdopodobej maksymalej straty (odpowiedio zysku) ideksów giełdowych dla wybraych poziomów ekstremów. W ostatiej kolumie możemy zobaczyć rówież miimalą (maksymalą) wartość daego ideksu giełdowego w całej próbie. Łatwo zauważyć, że często prawdopodoba maksymala strata (odpowiedio zysk) jest miejsza od wartości miimalej (maksymalej). Wyika to z założeń przyjętych do miary PML, dlatego też otrzymae oszacowaia miary PML w tabeli 1 ależy traktować jako średią prawdopodobą maksymalą stratę dla określoej liczby ekstremów. Przykładowo zostaie ziterpretoway wyik z tabeli 1 ideksu WIG dla k = 20 : Na poziomie ε = 0,05 średia prawdopodoba maksymala strata ideksu WIG jest rówa 8,39, przy założeiu 20 ekstremów. Aby otrzymać teoretyczą prawdopodobą maksymalą stratę (odpowiedio zysk) ależałoby skorzystać z asymptotyczego przedziału ufości (asymptotic cofidece iterval) przedstawioego w pracy McNeila 7. Wartość miary PML zależy rówież od przyjętego ε, przy czym im miejszy ε, tym większa jest miara PML. Aby prawdopodoba maksymala strata miała jak ajbardziej zbliżoe wartości do tych rzeczywistych, to ależy wybierać 7 J. A. McNeil, Calculatig quatile risk measures for fiacial time series usig extreme value theory, Preprit, ETH, Zurych 1998.
56 Marci Fałdziński Rysuek 1. Wykres liczby ekstremów k względem prawdopodobej maksymalej straty dla ideksów NSDQ100, DAX i WIG Prawdopodoba maksymala strata Źródło: opracowaie włase. Tabela 1. Prawdopodoba maksymala strata Ideks Prawdopodoba maksymala strata Miimala wartość szeregu k=20 k=100 k=200 k=300 WIG 8,39 6,04 5,06 4,54 10,28 WIG20 10,18 7,09 5,93 5,32 14,16 NSDQ100 9,30 7,36 6,35 5,79 10,37 DAX 7,53 5,69 4,87 4,41 8,87 STI 7,01 5,32 4,34 3,91 9,15 SSMI 6,19 4,82 4,06 4,00 7,33 KOSPI 9,89 7,39 6,35 5,76 12,8 HSI 9,50 6,45 5,32 4,72 14,74 ESTOXX 6,15 5,17 4,49 4,11 6,61 Ideks Prawdopodoba maksymala strata Miimala wartość szeregu k=20 k=100 k=200 k=300 WIG 9,40 7,60 6,72 6,21 10,28 WIG20 11,25 8,71 7,59 6,93 14,16 NSDQ100 9,82 8,50 6,79 7,01 10,37 DAX 8,67 6,71 6,24 5,84 8,87 STI 8,01 7,32 6,80 6,59 9,15 SSMI 7,67 6,63 5,72 5,55 7,33 KOSPI 11,3 8,87 7,79 7,20 12,80 HSI 10,81 8,41 7,13 6,50 14,74 ESTOXX 6,78 5,98 5,70 6,08 6,61 Źródło: opracowaie włase.
Szacowaie prawdopodobej maksymalej straty... 57 Rysuek 2. Wykres liczby ekstremów k względem prawdopodobego maksymalego zysku dla ideksów NSDQ100, DAX i WIG Prawdopodoby maksymaly zysk Źródło: opracowaie włase. Tabela 2. Prawdopodoby maksymaly zysk Ideks Prawdopodoba maksymala strata k=20 k=100 k=200 k=300 Maksymala wartość szeregu WIG 6,97 5,82 5,01 4,53 7,89 WIG20 8,71 6,74 5,82 5,37 13,7 NSDQ100 11,75 8,12 6,74 6,00 17,20 DAX 6,84 5,42 4,77 4,29 7,55 STI 8,67 5,37 4,37 4,05 12,87 SSMI 6,42 5,86 4,3 3,5 7,46 KOSPI 7,75 6,52 5,48 5,38 8,16 HSI 10,62 6,49 5,15 4,57 17,25 ESTOXX 6,08 5,20 6,59 3,99 7,07 Ideks Prawdopodoba maksymala strata Maksymala wartość szeregu k=20 k=100 k=200 k=300 WIG 7,40 6,79 6,77 6,45 7,89 WIG20 10,96 8,23 7,33 6,77 13,70 NSDQ100 13,16 9,86 8,49 7,73 17,20 DAX 7,03 7,28 7,95 7,21 7,55 STI 9,71 7,22 6,57 6,38 12,87 SSMI 7,20 6,45 5,64 5,32 7,46 KOSPI 9,35 6,98 5,86 5,65 8,16 HSI 12,51 8,53 7,28 6,54 17,25 ESTOXX 6,47 6,50 6,59 6,21 7,07 Źródło: opracowaie włase.
58 Marci Fałdziński bardzo małą liczbę ekstremów. Pozostaje jeszcze problem testowaia lub/i sprawdzaia dokładości prawdopodobej maksymalej straty. Takie arzędzia aktualie ie są jeszcze rozwiięte, ale pewymi propozycjami mogłyby być: aaliza historycza ekstremów lub przedział ufości. Zakończeie Wydarzeia ekstremale w fiasach, których wpływ a cały ryek jest bardzo duży, są bardzo trude do progozowaia a długi okres do przodu. W takich przypadkach korzystaie z teorii wartości ekstremalych jest czymś aturalym, a wręcz moża powiedzieć, że wskazaym. Wykorzystaie prawdopodobej maksymalej straty jako miary średich ajwiększych strat dla ideksów giełdowych jest poprawe i możliwe do zastosowaia. Okazuje się, że prawdopodoba maksymala strata może być użyteczym arzędziem do aalizy ryzyka lub/i pozyskiwaia iformacji w celach diagostyczych, ale ależy być świadomym wad zarówo teorii wartości ekstremalych (problem wyboru liczby ekstremów), jak i samej miary PML. Literatura Balkema A. A., de Haa L., Residual Life Time at Great Age, Aals of Probability 2 (5) 1974, s. 792 804. Beirlat J., Matthys G., Extreme quatile estimatio for heavy-tailed distributios, August 2001, //www.gloriamudi.org/detailpopup.asp?id=453055854, (01.02.2007). Cebria A. C., Deuit M., Lambert P., Geeralized Pareto fit to the society of actuaries large claims database, North America Actuarial J. 3/2003, s. 18 36. Embrechts P., Klüppelberg C., Mikosach T., Modellig Extremal Evets for Isurace ad Fiace, Spriger, Berli 2003. Fisher R. A., Tippet L. H. C., Limitig Forms fo the Frequecy Distributio of the Largest or Smallest Member of a Sample, Proc. Cambridge Phil. Soc., 24 (2) 1928, s. 163 190. McNeil J. A., Calculatig quatile risk measures for fiacial time series usig extreme value theory, Preprit, ETH, Zurych 1998. McNeil J. A., Frey F. Estimatio of tail-related risk measures for heteroscedastic fiacial time series: a extreme value approach, Joural of Empirical Fiace 7/2000, s. 271 300. Pickads J., Statistical Iferece Usig Extreme Order Statistics, Aals of Statistics 3 (1) 1975, s. 119 131. Wilkiso M.E, Estimatig probable maximum loss with order statistics, Proceedigs of the Casualty Actuarial Society 1982, s. 195 209.
Szacowaie prawdopodobej maksymalej straty... 59 Estimatio of the Probable Maximum Loss Based o Extreme Value Theory for Stock Returs Summary The probable maximum loss is a measure that origiated o the isurace market, where it is applied for isurace portfolio aalysis. This correspods to the 20-80 rule, which states that i a well defied portfolio 20% of the idividual claims is resposible for more tha 80% of the total claim amout. The paper preseted attempts to estimate the probable maximum loss for stock returs which are treated as portfolios of securities. The probable maximum loss proved to be a useful tool for risk aalysis or/ad other diagostic purposes o capital markets, it should be oted; however, that it has its drawbacks as well.