Metoda łączona. Wykład 7 Dwie niezależne próby. Standardowy błąd dla różnicy dwóch średnich. Metoda zwykła (niełączona) n2 2

Transkrypt

1 Wykład 7 Dwie iezależe próby Często porówujemy wartości pewej zmieej w dwóch populacjach. Przykłady: Grupa zabiegowa i kotrola Lekarstwo a placebo Pacjeci biorący dwa podobe lekarstwa Mężczyźi a kobiety Dwie róże liie geetycze Niech rozkład cechy Y w populacji będzie N(, ). Bierzemy próbę o rozmiarze, y, s, Niech rozkład cechy Y w populacji będzie N(, ). Bierzemy próbę o rozmiarze, y, s, s s Podstawowe pytaie: Jaka jest różica między średimi w populacjach: -? Idea: zaleźć PU dla - y y jest estymatorem - i będzie środkiem przedziału ufości. Należy jeszcze wyzaczyć. Stadardowy błąd dla różicy dwóch średich Jak policzyć dla y y? Istieją dwa sposoby: uśredioy (łączoy) i ieuśredioy (iełączoy) (ag. pooled, upooled). W obu przypadkach liczoe jest przy pomocy s, s, oraz,. Na ogół będziemy używać iełączoego. Metodę łączoego zastosujemy tylko, gdy będzie moża założyć, że = (albo gdy o to poprosi wykładowca) Gdy =, to obie metody dają te same wyiki. Metoda zwykła (iełączoa) Metoda łączoa s Liczymy = i = (osobo w obu próbach). Obliczamy ieuśredioe : ( N) s Zajdujemy sumę kwadratów odchyleń dla obu prób: SS ( yi, y), SS ( yi, y), uśredioą wariację: SS SS s c =, a astępie uśredioe (łączoe) : (U)= sc sc.

2 Przykład: próba : = 5, y = 75, SS = 600 próba : = 0, y = 55, SS = 300 Uwagi: Wyiki obu metod ie są takie same, ale są dość podobe. Zauważmy, że mieliśmy tu s = 6.55 i s = (Gdy s =s, to oba rachuki dają to samo i PU.) Przedział ufości dla Skostruujemy przedział ufości dla Przypomieie: PU dla (pojedyczego) y t / y = (estymator) (kwatyl)() Estymator dla - : y -y Potrzebujemy t / : Ile użyć stopi swobody? (Wzoru ie trzeba pamiętać, będzie podaway.) df= 4 4 Tak wyliczoa liczba stopi swobody jest ie większa iż +. W przybliżoych obliczeiach często stosujemy df = +. Jest tez ie miejsza iż miimum z wartości i. Jeżeli możemy założyć, że wariacje w obu grupach są rówe, to stosujemy uśredioy estymator wariacji i df = +. Stosujemy ``ieuśredioy, o ile w zadaiu ie będzie specjalie wymagae użycie (U). PU a poziomie ufości (-) dla - : Przykład (cd) y -y t(df) / (y-y) Skostruuj 95% PU dla - y y = = 0 =.690 ; =.86 df=

3 Oblicz przedział ufości jeszcze raz wykorzystując uśredioy. Przykład - 95% PU dla - Rośliy hodowae w różych warukach oświetleiowych. Ciemo Jaso y populacja/próba hodowaa przy słabym oświetleiu populacja/próba hodowaa przy mocym oświetleiu Oblicz 95% PU dla -. Przedziały ufości: Iterpretacja Nasz PU zawiera wartości zarówo dodatie jak i ujeme? Co to zaczy? Testowaie hipotez Idea: Chcemy odpowiedzieć a pytaie aukowe dotyczące populacji Decyzję podejmujemy w oparciu o próbę - dyspoujemy iformacją fragmetaryczą W rezultacie możemy popełić błąd przy podejmowaiu decyzji Chcemy zmiimalizować p-stwo błędu 3

4 Typowe są pytaia o wartości parametrów: Dla populacji o rozkładzie Beroulliego: Czy p-stwo sukcesu wyosi ½? ( Czy moeta jest symetrycza/uczciwa? ) Czy p-stwo sukcesu wyosi p 0? (p 0 pewa kokreta, iteresująca as wartość) Pytaia dla jedego rozkładu ormalego: Czy średia w populacji wyosi 0? Czy średia w populacji wyosi 93? Czy średia w populacji wyosi 0? Dla dwóch populacji ormalych: Czy średie wartości cechy w obu populacjach są rówe? Czy różica między średimi w populacjach wyosi 0? Czy różica między średimi wyosi 0? Na te pytaia są możliwe odpowiedzi tak albo ie (prawda albo fałsz). Pytaia dotyczą całej populacji, do której a ogół ie mamy dostępu. Nasza decyzja, którą podejmujemy w oparciu o próbę, jest zagrożoa błędem. Sposób formułowaia ostrożych odpowiedzi: Zamiast: Prawda mówimy: W oparciu o tę próbę ie możemy wykluczyć postawioej hipotezy. Przykład: Przeprowadzoe badaia ie potwierdzają, że badae populacje mają róży średi poziom badaej cechy. (Ale ie moża wykluczyć, że jest różica). Zamiast: Nieprawda ależałoby mówić: Jest to mało prawdopodobe albo: Gdyby postawioa hipoteza była prawdziwa, to uzyskay wyik (z próby) byłby bardzo mało prawdopodoby. Dlatego odrzucamy tę hipotezę. (Ale możemy się mylić). Przykład: Przeprowadzoe badaie potwierdza tezę, że badae populacje różią się średią wartością badaej cechy. (Odrzucamy hipotezę o rówości średich). Wprowadzimy późiej ilościowy usprawiedliwiaia takich decyzji (p-wartość). Aalogia: czujik dymu Istalujemy czujiki dymu, aby ostrzegały przed pożarem. Czujiki reagują a cząstki dymu w powietrzu. Mogą być w dwu możliwych staach CICHO i GŁOŚNO Dom może być w dwu możliwych staach ie ma pożaru albo jest pożar Możemy podjąć decyzje: zostać albo uciekać Decyzję uzależiamy od stau wykrywaczy dymu: CICHO zostajemy, GŁOŚNO uciekamy. Są dwie sytuacje prawidlowej reakcji i dwie sytuacje błędej reakcji. 4

5 Na ogół ie ma pożaru i wykrywacz jest CICHO, więc ie reagujemy (dobra decyzja). Czasami ie ma pożaru, a wykrywacz jest GŁOŚNO, więc uciekamy (błęda decyzja strata czasu) błąd I-go rodzaju. Czasami jest pożar, a wykrywacz jest CICHO więc zostajemy (zła decyzja iebezpieczeństwo) błąd II-go rodzaju. Czasami jest pożar i wykrywacz jest GŁOŚNO więc uciekamy (dobra decyzja). Notacja: Hipotezy Sta podstawowy, ie ma pożaru, azywamy hipotezą zerową. Drugi możliwy sta, pożar, azywamy hipotezą alteratywą. H 0 to skrót dla hipotezy zerowej. H A to skrót dla hipotezy alteratywej. Decyzje Nasze decyzje zwykle opisujemy w odiesieiu do hipotezy zerowej H 0 : Decyzja uciekamy jest odrzuceiem H 0, tz. odrzucamy staowisko, że ie ma pożaru. Decyzja zostajemy odpowiada ieodrzuceiu H 0. Decyzję podejmujemy w oparciu o zachowaie czujika dymu, którego rolę w dalszym ciągu przejmie statystyka testowa, czyli pewa wielkość obliczoa z próby. Gdy wykrywacz jest GŁOŚNO, to mówimy, że wyik testu jest ``istoty. Defiicja: Istoty wyik powoduje odrzuceie H 0. Gdy wykrywacz jest CICHO, to wyik testu jest ``ieistoty i ie odrzucamy H 0. Podsumowaie aalogii Hipotezy: H 0 = ie ma pożaru, H A = pożar Statystyka testowa: ieistota=cicho, istota=głośno Decyzja: ie odrzucamy H 0 = zostajemy, odrzucamy H 0 = uciekamy Błąd I rodzaju: odrzucamy H 0, choć jest prawdziwa=uciekamy, choć ie ma pożaru Błąd II rodzaju: ie odrzucamy H 0, choć prawdziwa jest H A = zostajemy, choć jest pożar Uwagi: H 0 jest bardziej precyzyja iż H A : gdy H A jest prawdziwa, to ie zaa jest skala pożaru. Wykrywacze dymu mają pewą ustaloą czułość reagują a określoą ilość dymu. Jeżeli wykrywacz jest zbyt czuły, to będzie często powodował fałszywe alarmy (błędy I-go rodzaju). Jeżeli ie jest dość czuły, to ie będzie się włączał, kiedy potrzeba (błędy II-go rodzaju). 5

6 Zwiększając czułość zmiejszamy p-stwo błędu II-go rodzaju, ale też p-stwo błędu I-go rodzaju. Dobór czułości testu powiie zależeć od kosekwecji błędów! Jak opisać czułość testu? Poziom istotości (α) to p-stwo błędu I-go rodzaju. Poziom istotości powio się ustalić jeszcze przed przeprowadzeiem eksperymetu. β p-stwo błędu II rodzaju (zależy p. od wielkości pożaru) Hipoteza zerowa H 0 : Zwykle jest prosta i specyficza. To właśie ją będziemy odrzucali albo ie. Przykłady: = 0 = 0 (- 0 = 0) = ( = 0) - = 0 p = p 0 Aby kotrolować błąd I-go rodzaju ależy zać rozkład statystyki testowej przy H 0. Hipoteza alteratywa H A : H A jest w pewym sesie przeciwa do H 0. Na ogół jest bardziej ogóla iż H 0 (p. iezay jest rozmiar pożaru) Odrzuceie H 0 " ozacza, że wierzymy w H A Nieodrzuceie H 0 " ozacza, że ie mamy dość silych dowodów przemawiających za H A, ale ie to samo, co udowodieie prawdziwości H 0 (tego a ogół ie potrafimy zrobić przy pomocy statystyki) Przykłady H A : 0 > 0 < 0 ( - 0) > ( - > 0) < ( - < 0) Rozkład statystyki testowej przy H A powiie być iy iż przy H 0 (wykrywacz powiie być GŁOŚNO, a ie CICHO, gdy mamy pożar). Przykład ilustracyjy Załóżmy, że mamy próbę z populacji o rozkładzie ormalym. Niech (iezae) ozacza jego średią. Chcemy przetestować H 0 : = 5 przeciw alteratywie H A : 5 Możemy skostruować przedział ufości dla w oparciu o dae. Taki przedział ufości powiie zawierać. Stąd: Jeżeli przedział ufości ie zawiera 5, to odrzucimy H 0 a korzyść H A. Jeżeli przedział ufości zawiera 5, to ozacza, że ie powiiśmy odrzucać H 0. Poieważ PU zawiera także wiele iych wartości iż 5, ie mamy też dowodu, że H 0 jest prawdziwa. 6

7 PU a poziomie (-) jest day wzorem y t /. Sprawdzimy, kiedy zawiera o 5: Wiosek: wystarczy wyzaczyć t=(y 5)/ i sprawdzić, czy jest pomiędzy t / i t /. Jeżeli tak, to statystyka t jest ieistota i ie odrzucamy H 0. Jeżeli ie to statystyka jest istota i odrzucamy H 0. Zbiór (-, t / ) U (+t /, ) azywamy obszarem krytyczym/obszarem odrzuceń (=jeżeli statystyka testowa zajdzie się w obszarze krytyczym, to odrzucamy H 0 ). Zauważmy, że postać statystyki testowej zależy od H 0 (bo H 0 specyfikuje 5). Statystyka testowa y Co się staie, jeżeli prawdziwa jest H A? przy H 0 ma rozkład... Wtedy 5 i rozkład statystyki (y-5)/ będzie Zwykle ie zamy σ i zastępujemy je przez s. skocetroway blisko -5 zamiast blisko 0, i a ogół będziemy otrzymywać duże (dodatie lub Przy H 0 (y-)/ ma rozkład Studeta z - ujeme) wartości statystyki. Będą oe prowadzić stopiami swobody. do odrzuceia hipotezy zerowej. Stąd, jeżeli H 0 jest prawdziwa, to = 5 i (y-5)/ ma rozkład... Zwykle statystykę testową wybieramy tak, aby móc podać jej rozkład przy H 0. Poziom istotości Poziom istotości - = P-stwo błędu I-go rodzaju (odrzuceie H 0, gdy jest prawdziwa; fałszywy dodati wyik testu). Załóżmy, że H 0 jest prawdziwa. Jakie jest p- stwo, że statystyka testowa zajdzie się w zbiorze krytyczym (-, t / ) U (+t /, )? Uwagi: α wybieramy przed przystąpieiem do testowaia. Typowe wartości α to 0.05, 0.0 lub 0.. Możemy jedak stosować ie wartości. Wybór α powiie zależeć od kosekwecji błędów I-go i II-go rodzaju. Wartość krytycza wartość leżąca a graicy obszaru krytyczego. 7

8 Rozważaliśmy zbiór krytyczy (-, t / ) i (+t /, ), bo H A : 5, jest symetrycza (iekierukowa). Możemy też być zaiteresowai alteratywami, jedostroymi, p. H A : < 5. Wtedy obszar krytyczy ma postać: (+t, ). Dlaczego? Dla H A : < 5, obszar krytyczy to (-, t ). 8