Statystyka matematyczna dla leśników

Transkrypt

1 Statystyka matematycza dla leśików Wydział Leśy Kieruek leśictwo Studia Stacjoare I Stopia Rok akademicki 0/0 Wykład 5

2 Testy statystycze Ogóle zasady testowaia hipotez statystyczych, rodzaje hipotez, rodzaje testów Parametrycze testy istotości Testy zgodości

3 Testowaie hipotez statystyczych Teoria weryfikacji hipotez statystyczych jest waŝym działem wioskowaia statystyczego Podejmujemy tu określoe decyzje statystycze z określoym prawdopodobieństwem, to zaczy (podobie, jak w estymacji statystyczej) - w warukach iepewości

4 Próbkowaie POPULACJA PRÓBA Testowaie Parametr Statystyka

5 Hipotezy statystycze Badając róŝe populacje i zjawiska stawiamy ajczęściej tzw. hipotezy, czyli formułujemy przypuszczeia (załoŝeia) dotyczące parametrów populacji lub rozkładów cechy

6 Hipotezy statystycze hipotezy parametrycze (Hp), które dotyczą iezaego poziomu parametrów populacji hipotezy ieparametrycze (Hp), dotyczące iezaej postaci fukcji rozkładu zmieych w populacji

7 Hipotezy parametrycze Z reguły zapisae są w postaci krótkiego rówaia, p. µ = 44 µ = µ σ = σ

8 Hipotezy ieparametrycze Zwykle zapisae w postaci zdaia, p. rozkład zmieej x w populacji jest zgody z rozkładem ormalym próby zostały pobrae z populacji o takich samych rozkładach...

9 Hipotezy statystycze Hipoteza zerowa hipoteza podlegająca testowaiu Hipoteza alteratywa hipoteza rezerwowa a wypadek, gdyby hipoteza zerowa okazała się fałszywa PowyŜsze hipotezy mogą być zarówo parametrycze, jak i ieparametrycze

10 Hipotezy statystycze hipotezy zerowe (H0), podlegające weryfikacji ich treścią jest załoŝeie o braku róŝic między parametrami (zerowe róŝice) lub braku róŝic między ogólymi postaciami fukcji rozkładów. hipotezy alteratywe (H), kokurecyje do zerowych przyjmowae w wypadku egatywej weryfikacji H0

11 Hipotezy statystycze H 0 : µ = 44 H 0 : µ = µ H 0 : rozkład zmieej x w populacji jest zgody z rozkładem ormalym

12 Hipotezy statystycze H : µ 44 H : µ µ H : rozkład zmieej x w populacji ie jest zgody z rozkładem ormalym

13 W przypadku Hp, H moŝe mieć tylko jedą postać (porówywae fukcje rozkładu są róŝe). W przypadku Hp, H moŝe być: - dwustroa (porówywae parametry są róŝe) - prawostroa (baday parametr jest większy od porówawczego) - lewostroa (baday parametr jest miejszy od porówawczego) H Hp Hp H 0 H H 0 H dwu- prawo- lewo-

14 Testy statystycze Do weryfikacji hipotez słuŝą specjale arzędzia badawcze zwae testami statystyczymi Są to statystyki o określoym rozkładzie teoretyczym z próby (przypomij sobie wykład o estymacji)

15 Próbkowaie POPULACJA PRÓBA Testowaie Parametr Statystyka Test statystyczy

16 Błędy w testach Hipoteza moŝe być prawdziwa lub fałszywa Wyik testu moŝe kazać hipotezę zaakceptować lub odrzucić W związku z tym

17 Błędy w testach

18 Jak uikąć błędów? Kostrukcja testu: stosować testy, które podejmują tylko decyzję o odrzuceiu hipotezy lub stwierdzają brak podstaw do jej odrzuceia; w teście takim ie przyjmujemy hipotez Mały poziom istotości (Test istotości)

19 Stosując testy istotości uikamy błędu II rodzaju. MoŜemy popełić błąd I rodzaju, ale prawdopodobieństwo popełieia tego błędu będzie bardzo małe rówe załoŝoemu poziomowi istotości (zwykle 0,05 lub 0,0). Hipotezy parametrycze ajczęściej dotycząśredich, dlatego rozwaŝaia teoretycze przeprowadzimy a przykładzie testu z (statystyki o rozkładzie ormalym). Na podstawie wyików próby obliczamy statystykę z i w rozkładzie tej statystyki (ormalym) wyzaczamy taki obszar wartości Q aby prawdopodobieństwo zalezieia się w tym obszarze było bardzo małe rówe załoŝoemu poziomowi istotości. P ( z Q) = α W zaleŝości od postaci hipotezy alteratywej obszar krytyczy testu przy załoŝoym poziomie istotości moŝe być: dwu-stroy, prawo-stroy lub lewo-stroy.

20 fz fz -α α/ α/ -α α Q -z α/ 0 z α/ Q z 0 z α Q z JeŜeli obliczoa dla daego doświadczeia wartość testu zajdzie się w obszarze krytyczym Q to podejmujemy decyzję o odrzuceiu H 0 i przyjęciu H. JeŜeli ie to stwierdzamy, Ŝe brak podstaw do Q odrzuceia H 0.Dlaczego tak? α -z α fz -α 0 z

21 Obszar krytyczy testu wyzaczyliśmy dla bardzo małego prawdopodobieństwa (poziomu istotości α). JeŜeli załoŝymy, Ŝe H 0 jest prawdziwa, to prawdopodobieństwo otrzymaia z -elemetowej próby wartości z w zakresie obszaru krytyczego Q będzie rówe α, czyli bardzo małe. Zdarzeie takie ie powio wystąpić w jedym eksperymecie. JeŜeli zatem takie zdarzeie wystąpi, to będzie ozaczało, Ŝe miało oo większe prawdopodobieństwo, iŝ to, które przyjęliśmy zakładając prawdziwość H 0. Logicze jest zatem potraktowaie H 0 jako fałszywej, jej odrzuceie i przyjęcie H. Prawdopodobieństwo pomyłki, czyli odrzuceia prawdziwej H 0 (błąd pierwszego rodzaju) jest rówe α (praktyczie bliskie zeru). Gdy empirycza wartość z wystąpi poza obszarem krytyczym Q, to prawdopodobieństwo takiego zdarzeia, przy załoŝeiu prawdziwości H 0, będzie rówe -α(praktyczie bliskie ). Nie mamy podstaw do odrzuceia H 0.

22 Parametrycze testy istotości: - dla średiej - stosowae w eksperymetach, w których hipoteza zerowa określa hipotetyczą wartośćśrediej µ h, z którą porówujemy średią z -elemetowej próby ( x ). H H 0 : µ = : µ µ µ h h lub µ > µ h lub µ < JeŜeli rozkład zmieej w populacji jest ormaly zamy wariację (σ ), H 0 testujemy za pomocą testu z, obszar krytyczy wyzaczamy z rozkładu ormalego dla załoŝoego poziomu istotości α, a wartość empiryczą testu obliczamy ze wzoru: JeŜeli z z emp emp = x z µ σ α / h lub z α µ h to H 0 odrzucamy

23 W przypadku stosowaia duŝych prób rozkład zmieej w populacji ie musi być ormaly i ie musimy zać wariacji dla populacji, przyjmujemy, ze s =σ. JeŜeli ie zamy wariacji dla populacji i dyspoujemy wyikami małej próby, to tylko w przypadku, kiedy rozkład w populacji jest ormaly, moŝemy do weryfikacji H 0 zastosować test t, a obszar krytyczy wyzaczyć z rozkładu Studeta dla załoŝoego poziomu istotości α i liczby stopi swobody k = -. Wartość empiryczą testu obliczamy: t emp = x µ h s JeŜeli t emp t α / lub t przy k = α to H 0 odrzucamy

24 - dla róŝicy między dwiema średimi - stosoway w doświadczeiach, w których porówujemy średie dwóch populacji a podstawie -elemetowych prób pobraych z tych populacji. 0 lub lub : : µ µ µ µ µ µ µ µ < > = H H W przypadku duŝych prób - test z : s s x x z emp + =

25 W przypadku małych prób - test t ale tylko jeŝeli spełioe są dwa waruki: ) próby pochodzą z populacji o rozkładzie ormalym, ) wariacje w tych populacjach ie róŝią się istotie. ( ) ( ) = s s x x t emp przy: k = + - JeŜeli = = to wzór a błąd stadardowy róŝicy zaczie się upraszcza s s x x t emp + =

26 - dla wariacji: 0 0,, : : H F F k k przy F to s s F dla k k przy F to s s F dla F H H emp emp emp emp α α α σ σ σ σ > = = = = = = > = F α F f (F) JeŜeli to odrzucamy Q

27 Test zgodości χ W przypadku testów ieparametryczych weryfikuje się hipotezę dotyczącą rozkładu badaej cechy w populacji ie precyzując parametrów tego rozkładu. Statystyka stosowaa tu ma rozkład asymptotyczy χ. Test te pozwala a weryfikację hipotezy, Ŝe populacja ma określoą postać fukcji dystrybuaty. Wymaga duŝej próby. H H 0 : : E E ( Gx Fx) = 0 ( rozklady zgode) ( Gx Fx) 0 ( rozklady roziace sie istotie) Na podstawie wyików próby tworzymy szereg rozdzielczy (rozkład empiryczy) i po wyzaczeiu parametrów, odpowiedi rozkład teoretyczy (jeŝeli ormaly, to zgodymi parametrami będą -średia arytmetycza i odchyleie stadardowe). Musi być teŝ spełioy waruek aby częstość porówywaych klas ie była miejsza od 0. Zwykle łączymy skraje klasy. Empiryczą wartość testu obliczamy wg. wzoru:

28 χ emp ( ' ) u = i χ α wyzaczamy z tablic rozkładu χ a podstawie załoŝoego poziomu istotości α i liczby stopi swobody k = u - f - gdzie: u - liczba składików sumy, f - liczba zgodych parametrów obydwu rozkładów. ' i i JeŜeli: χ emp > χ α to H 0 odrzucamy, przyjmujemy H fχ χ α Q χ

29 Przykładowe pytaia egzamiacyje z tej części materiału. Rodzaje hipotez statystyczych.. Co to jest hipoteza zerowa a co hipoteza alteratywa? 3. Rodzaje błędów popełiaych podczas testowaia hipotez. 4. Co to są testy istotości? 5. Jakiego błędu uikamy stosując testy istotości? 6. Jakie jest prawdopodobieństwo popełieia błędu pierwszego rodzaju przy stosowaiu testów istotości? 7. Jakie testy mogą być stosowae przy porówywaiu dwóch średich? 8. Do czego słuŝy test zgodości χ? 9.

30 Dziękuję za uwagę!