Estymacja współczynnika dopasowania w klasycznym modelu ryzyka

Transkrypt

1 Ogólopolska Koferecja Naukowa Zagadieia Aktuariale Teoria i praktyka Warszawa, 9- czerwca 008 Estymacja współczyika dopasowaia w klasyczym modelu ryzyka Aa Nikodem Uiwersytet Ekoomiczy we Wrocławiu

2 Klasyczy model ryzyka N() t Ut () = u+ ct Xi, X, X, - iezależe zmiee o jedakowym rozkładzie, EX ( ) = µ T - momet zgłoszeia szkody, 0 < T < T < Wk = Tk Tk, k =, 3, - czas między szkodami Nt () = { : T t} - proces liczący szkody Nt (), X, X, - iezależe zmiee losowe i= Zakłada się, że jeśli W k mają rozkład wykładiczy z wartością oczekiwaą /λ, wtedy proces liczący N(t) jest jedorodym procesem Poissoa z itesywością λ

3 Współczyik dopasowaia Oszacowaie Ludberga ma postać Ψ( u) e Ru, gdzie R jest współczyikiem dopasowaia, który jest rozwiązaiem rówaia + ( + θ ) µr = m ( r) lub ( + θ ) µr = L ( r), X gdzie mx ( R ) jest fukcją tworzącą momety, a LX ( R ) jest trasformatą Laplace a Jeśli c = ( + θ ) µλ to cr cr + = mx ( r) lub = LX ( r) λ λ X

4 Estymator współczyika dopasowaia metoda podstawiaia [Csorgo i Teugels] Itesywość wypłaty odszkodowań λ jest zaa i próba prosta X, X,, X Empirycza trasformata Laplace a ma postać: sx = i = i= 0, L ( s) exp( sx ) e df ( x) = i gdzie F ( x) #{ i : X x} Estymator R ˆ jest wyzaczoy z cr = L( r) λ

5 Estymator współczyika dopasowaia metoda podstawiaia [Gradell] Itesywość wypłaty odszkodowań λ jest iezaa Obserwowae dae pochodzą z przedziału (0, T ], więc liczba szkód jest zmieą losową NT ( ) Estymator R ˆT jest dodatim rozwiązaiem rówaia cr + = mˆ T ( r), ˆ λ T gdzie N( T) rxi mˆ T () r = e NT ( ) i= Za estymator parametru λ przyjmuje się estymator ajwiększej wiarygodości ˆT λ

6 Estymator współczyika dopasowaia metoda podstawiaia Załóżmy, że T, T,, T = T, gdzie 0 < T < T < < T Zaobserwowao stay odpowiedio NT ( ), NT ( ),, NT ( ) Fukcja wiarygodości jest postaci N Ti+ ( T T ) ( NT NT ) ( ) N( T ) i λ L= ( ) ( )! i+ i λ( Ti+ Ti) e, i= i+ i log L= λt + N( T)logλ+ D, log L gdzie D jest ie zależe od λ Obliczając = 0 otrzymujemy λ estymator ajwiększej wiarygodości itesywości wypłat λ postaci NT ( ) ˆT λ = T

7 Estymator współczyika dopasowaia metoda podstawiaia 3 [Portoy] Niech podae są próby X, X,, X i W, W,, W Estymatorami fukcji tworzącej momety mx () r zmieej X i parametru λ są odpowiedio estymatory rxi mˆ () r = e, ˆ λ = i = Estymator ˆR jest dodatim rozwiązaiem empiryczego rówaia cr + = mˆ ( r) ˆ λ i= W i

8 Własości estymatorów metoda podstawiaia Rˆ R N(0, σ ), ( ) σ = ( ) m( R) m( R) c m ( R) λ T Rˆ R N(0, σ ), ( ) D T Rˆ R N(0, σ ), 3 ( ) D 3 cr m( R) ( m( R) ) + λ λ σ = c m ( R) λ cr m( R) ( m( R) ) + λ σ 3 = c m ( R) λ Jeśli λ (0,) to σ > σ > σ 3

9 Przykład metoda podstawiaia Wygeerowao 30 prób 00-elemetowych z rozkładu wykładiczego z wartością oczekiwaą 0,5 Liczba szkód ma proces Poissoa z parametrem 5 Składka wyosi 3 Dokłada wartość współczyika dopasowaia: Szukamy dodatiego rozwiązaia R = 0, r + = mˆ ( r) 5

10 Przykład metoda podstawiaia Wartości estymatora współczyika dopasowaia: 0,4844 0, ,89 0, , ,347 0, , ,4038 0,5887 0, , , ,8509 0, , ,407 0, ,9066 0, , , , , , , , ,867 0,886 0, Średia wartość estymatora dla 30 prób wyosi 0,3657

11 Przykład metoda podstawiaia Wygeerowao 30 prób o liczebości odpowiedio λ, λ,, λ30 z rozkładu wykładiczego z wartością oczekiwaą 0,5 Wielkości λ, λ,, λ 30 wygeerowao z rozkładu Poissoa z parametrem 5 Składka wyosi 3 Dokłada wartość współczyika dopasowaia: R = 0,33333 Szukamy dodatiego rozwiązaia cr + = mˆ T( rt) ˆT λ T

12 Przykład metoda podstawiaia Wartości estymatora współczyika dopasowaia: 0, , ,3843 0, ,3549 0, ,5094 0, , ,4309 0,4683 0, , , , ,009 0, , , ,047 0,9759 0, , ,079 0,5885 0,357 0, , ,5 0,49869 Średia wartość estymatora dla 30 prób wyosi 0,33677

13 Przykład metoda podstawiaia Wygeerowao 30 prób z rozkładu wykładiczego z wartością oczekiwaą 0,5 i 30 prób z rozkładu wykładiczego z wartością oczekiwaą 0, Składka wyosi 3 Dokłada wartość współczyika dopasowaia: R = 0,33333 Szukamy dodatiego rozwiązaia cr + = mˆ ( r) ˆ λ

14 Przykład metoda podstawiaia Wartości estymatora współczyika dopasowaia: 0, , ,00 0, , ,4954 0, , ,7337 0,0494 0, , ,0565 0,3749 0,5390 0, , ,3836 0,453 0, , , ,5700 0,8067 0,984 0, ,6673 0, , ,3647 Średia wartość estymatora dla 30 prób wyosi 0, 3978

15 Estymator współczyika dopasowaia metoda wartości ekstremalych Estymatory bazujące a pomociczym ciągu Z, Z, zdefiiowaym astępująco: iech M = i [ ] 0 0 gdzie S = X cw oraz 0 0 M = M + S + dla =,,, ν = i ν mi{ : M 0} k νk = + = dla k =,,, wtedy Z k = max M dla k =,, ν k < νk

16 Estymator współczyika dopasowaia metoda wartości ekstremalych

17 Estymator współczyika dopasowaia metoda wartości ekstremalych Jeśli liczba szkód ma proces Poissoa, to Z, Z, spełiają: Az { } Rz PZ ( > z) = ce + Oe ( ), gdy z, gdzie R jest współczyikiem dopasowaia

18 Estymator współczyika dopasowaia metoda wartości ekstremalych Niech wtedy F( z) = ce Rz, Rz y = l( F( z)) = l( ce ) = l c+ Rz Dla l c = d otrzymamy y = Rz d albo rówoważie z R ( y d) R y R d ay b = + = + = +, gdzie R d = b, R a =

19 Estymator współczyika dopasowaia metoda wartości ekstremalych [Schultze, Steiebach] Estymator ajmiejszych kwadratów współczyika a w z = ay+ b: k ( zi ayi b) = mi ab, i= Obliczając pochoda po a i b otrzymujemy układ rówań: k ( zi ayi b) ( yi) = 0 i= k ( zi ayi b) ( ) 0 = i= k k k zy z y aˆ = i i i i i= k i= i= k k yi yi i= k i=

20 Estymator współczyika dopasowaia metoda wartości ekstremalych Wstawiając za zi = z + i, ( i =,,, k ) aproksymujemy i yi = l( F( zi)) = l( F( z + i, )) = l( ) = l i Stąd k k k z + i, l z + i, l ˆ i= i i ˆ i k = = i a = R ( k ) = k k l l i= i k i= i

21 Estymator współczyika dopasowaia metoda wartości ekstremalych [Schultze, Steiebach] Estymator wyzaczoy bezpośredio z rówaia y = Rz d: k ( zi Rzi + d) = mi ab, i= k ( zi Rzi + d) ( zi) = 0 i= k ( zi Rzi d) 0 + = i= Rˆ = zy z y k k k i i i i i= k i= i= k k yi yi i= k i=

22 Estymator współczyika dopasowaia metoda wartości ekstremalych Po podstawieiu y i = l i, a za zi = z + i, otrzymamy k k k z + i, l z + i, l ˆ ˆ i= i k i= i= i R= R ( k ) = k k ( z + i, ) z + i, i= k i=

23 Estymator współczyika dopasowaia metoda wartości ekstremalych 3 [Embrechts, Kluppelberg, Mikosch] Estymator ajwiększej wiarygodości bazujący a Z,, Z,,, Z k+, Fukcja wiarygodości ma postać k! ( ) k Rzk Rz L= ce cre dla zk < < z ( k)! Po obliczeiu otrzymujemy tzw estymator Hilla: i= k ˆ H( k) = R= Z + i, Z k+, k i= Dla dystrybuaty empiryczej estymator przyjmuje postać: k ˆ H( k) = R= Z + i, Z k+, k i=

24 Przykład metoda wartości ekstremalych Jeśli szkody mają rozkład wykładiczy to zmiea Z ma rozkład o dystrybuacie gdzie F( z) = αe α e ( α ) z µ ( α ) z µ dla z > 0, α = Do wygeerowaia daych pochodzących z rozkładu + θ wykorzystao fukcję kwatylową postaci 5 5 p Q( p) 3l 6 36 = p dla p [ 6/;]

25 Przykład metoda wartości ekstremalych ( z k+,,l( / k) ),, ( z,,l( /) ), ( z,,l( /))

26 Literatura: Csorgo S, Teugels J L, Empirical Laplace trasform ad approximatio of compoud distributio, Joural of Applied Probability, Vol, r, 990 s 88-0 Embrechets P, Kluppelberg C, Mikosch T, Modellig Extremal Evets for Isurace ad Fiace Spriger-Verlag, Berli Fisz M, Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka matematycza PWN, Warszawa Gradell, J, Aspect of Risk Theory, Spriger-Verlag, New York 99 5 Modele aktuariale, red W Ostasiewicz Wyd AE, Wrocław Portoy E, A closer look at the adjustmet coefficiet, Actuarial research clearig house, Vol, 990, s Serflig RJ, Twierdzeia graicze statystyki matematyczej PWN, Warszawa 99 8 Schultze J, Steiebach J, O least squares estimates of a expoetial tail coefficiet, Statistics ad Decisios r 4, 996, s Steiebach JG, Estimatig rui probabilities i various risk models, Raport Techiczy Katedry Statystyki r 4, 998 Dziękuję za uwagę