Rozkłady graniczne ekstremów w prognozach ostrzegawczych stanów wód

Transkrypt

1 Łukasz Kuźmiński * Rozkłady graicze ekstremów w progozach ostrzegawczych staów wód Wstęp Artykuł ależy do cyklu prac traktujących o zastosowaiach teorii wartości ekstremalych do progozowaia ostrzegawczego. Wartości ekstremale z uwagi a swój istoty w większości przypadków egatywy wpływ a wiele dziedzi życia i auki są tematem zaiteresowań ie tylko aukowców i badaczy z wielu dyscypli od długiego czasu. Negatywy wpływ ekstremalych wartości określoych charakterystyk obserwuje się między iymi w takich dziedziach, jak ekoomia, a dokładie ryki fiasowe, szeroko rozumiaa meteorologia, ze szczególym uwzględieiem hydrologii, oraz ubezpieczeia. W artykule przedstawioe zostaie zastosowaie wyżej wymieioej teorii do progozowaia ostrzegawczego a potrzeby hydrologii. Nasilające się w ostatich czasach gwałtowe zmiay waruków atmosferyczych, które są przyczyą wielu katastrof meteorologiczych i hydrologiczych a tereie aszego kraju oraz a całym świecie, powodują większe zaiteresowaie teorią wartości ekstremalych. Zaiteresowaie to główie skupia się a tym, w jaki sposób zabezpieczyć się przed egatywym oddziaływaiem ekstremalie wysokich lub iskich wartości określoych charakterystyk hydrologiczych i meteorologiczych, które są bezpośredią przyczyą powstawaia egatywych zjawisk opisaych powyżej. Nie jesteśmy w staie powstrzymać oddziaływaia ekstremalych czyików w jakiejkolwiek dziedziie. Jedye, co moża zrobić, to odpowiedio przygotować się a efekt ich oddziaływaia poprzez dobrze przygotoway system progoz ostrzegawczych. W artykule przedstawioe zostaie podejście do budowy progoz ostrzegawczych oparte a rozkładach wartości ekstremalych moitorowaych charakterystyk. Moitorowaymi charakterystykami będą stay wód wybraych rzek Polski. W większości przypadków rozpatrywae ciągi zmieych losowych, które mają staowić moitorowae charakterystyki, są w określoym stopiu od siebie zależe. Dlatego rozpatrzymy przypadek dla zmieych zależych od siebie. Wprowadzoe zostaie rówież pojęcie progozy probabilistyczej. 1. Graicze rozkłady ekstremum podstawowe pojęcia i twierdzeia Na początku omówioe zostaą podstawowe pojęcia i ozaczeia, które wykorzystywae będą w opracowaiu. Przyjmujemy, że X1, X 2,... będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o idetyczych rozkładach lub, iaczej mówiąc, o wspólej dystrybuacie F(x). W dalszej części pracy waruek iezależości zostaie ziesioy i rozpatrywać będziemy ciąg zmieych bez waruku ich iezależości. Niezbęde a potrzeby opracowaia jest zdefiiowaie procesu stochastyczego oraz szeregu czasowego. Ich defiicje kolejo przedstawioe są poiżej. * Dr iż., Katedra Metod Ilościowych w Ekoomii, Wydział Iżyieryjo Ekoomiczy, Uiwersytet Ekoomiczy we Wrocławiu, lukasz.kuzmiski@ue.wroc.pl

2 Defiicja 1. Proces stochastyczy Xt (, ) moża określić jako zbiór losowych fukcji czasu przyporządkowaych zdarzeiom i. Przy ustaloym parametrze t, który traktoway będzie jako czas, proces stochastyczy jest zmieą losową X t( ). Przy ustaloym zaś zdarzeiu proces stochastyczy przekształca się w kowecjoalie pojmowaą i fukcję czasu X(t), określoą dla t R. Zależe od i fukcje X(t) rzeczywistego argumetu t azywa się realizacjami procesu stochastyczego Xt (, ). W przypadku gdy t przybiera wartości aturale realizacje te oszą azwę szeregów czasowych [Fis, 1967]. Przez M ozaczymy zmieą losową będącą -tą statystyką pozycyją w elemetowej próbie losowej [Magiera, 2002], tz. M max X, X,..., X. (1) 1 2 Z uwagi a fakt, iż rozpatrywaa teoria rozkładów dla M ma charakter asymptotyczy, to jej własości spełioe są, gdy. Ozacza to, że w celu otrzymaia rzetelych wyików ależy rozpatrywać stosukowo licze ciągi zmieych losowych. Dystrybuatę zmieej losowej M w tej sytuacji moża w prosty sposób przedstawić za pomocą poiższego wzoru: P M x P X x, X x,..., X x F ( x) (2) 1 2 gdzie F(x) ozacza dystrybuatę zmieych Xi (i = 1, 2,, ) [David, 2003, s. 9]. Istotym faktem w teorii asymptotyczych rozkładów dla ekstremów jest to, że iezdegeerowaa dystrybuata zmieej losowej M musi ależeć do jedej z trzech możliwych ogólych rodzi dystrybuat graiczych. Postacie tych dystrybuat wraz z ich alteratywymi ozaczeiami podae zostaą w tym rozdziale w odpowiedim twierdzeiu. W zastosowaiach omawiaej teorii jedą z ajważiejszych spraw dla badacza jest pozaie możliwie szczegółowo atury dystrybuaty F(x) badaego ciągu zmieych losowych. Potrzebe jest to do ustaleia, do której z trzech możliwych dziedzi przyciągaia [Rootze, 1983] dystrybuat graiczych oa ależy. Właściwie to jest determiowae przez zachowaie się ogoa dystrybuaty F(x) dla dużych wartości x. Ogo dystrybuaty defiioway jest w astępujący sposób: F( x) 1 F( x). Zbieżość według rozkładu [Magiera, 2002, s. 100] dystrybuaty zmieej M po odpowiedim zormalizowaiu przez stałe a>0 i b do pewej dystrybuaty graiczej G(x) przedstawia wyrażeie, P a ( M b ) x w G( x) (3) gdzie w ozacza, że zbieżość pojawia się w ciągłych puktach G. Z puktu widzeia zastosowań potrzeba jest wiedza a temat, jakie dystrybuaty mogą zaleźć się po prawej stroie wyrażeia (3). Poiżej przedstawioe twierdzeie podaje trzy rodzaje dystrybuat graiczych dla ekstremów, które mogą zaleźć się po prawej stroie wyrażeia (3) wraz z ich alteratywymi ozaczeiami stosowaymi w literaturze przedmiotu. M max X, X,..., X, Twierdzeie 1. (Extremal Types Theorem) [Leadbetter, 1983]. Niech gdzie Xi są iezależymi zmieymi losowymi o idetyczych rozkładach. Jeśli dla pewych stałych a>0 i b zachodzi zbieżość (3) dla pewej iezdegeerowaej dystrybuaty G, wtedy G przyjmuje jedą z trzech postaci: 1 2

3 x Gumbel ( EV0 lub Typ I) : G ( x) exp e, x I Frechet ( EV1 lub Typ II) : G ( x) exp x, dla pewego 0, x 0 II Weibull ( EV2 lub TypIII) : G ( x) exp x, dla pewego 0, x 0. III Fukcje gęstości dla podaych w twierdzeiu 1 dystrybuat moża zaleźć w pracy [Thomas, 2007]. Bardzo istota z puktu widzeia zastosowań jest rówież taka własość, że jeżeli ciąg iezależych zmieych losowych ma wspólą dystrybuatę, która jest jedą z trzech wymieioych w twierdzeiu 1 to oa sama dla siebie jest dystrybuatą graiczą dla ekstremum [Leadbetter, 1983]. Rozszerzając rodzię dystrybuat graiczych dla ekstremów wyszczególioą w (4), wprowadzić moża parametryzaję tych rówań. Parametryzacja polegać będzie a dodaiu parametru położeia μ i skali σ do wzorów dystrybuat. Poiżej przytoczoe jest twierdzeie, które pozwala a takie przekształceie dystrybuat. Twierdzeie 2. Jeśli zmiea losowa X ma dystrybuatę F, wtedy zmiea losowa (μ + σx) ma dystrybuatę F, ( x) F(( x ) / ) [Thomas, 2007, s. 16]. Na mocy tego twierdzeia dystrybuaty dae w (4) po parametryzacji przyjmują postać: G0,, ( x) exp e ( x)/ x Gi,,, ( x) Gi,, i 1,2. (5) Powyższa parametryzacja rozszerza w zaczy sposób spektrum możliwości, jeżeli chodzi o modelowaie rozkładów ekstremów różych charakterystyk. Wykorzystując parametryzowae dystrybuaty, moża dopasować z bardzo wysoką dokładością dystrybuatę teoretyczą do dystrybuaty empiryczej ekstremum badaej zmieej losowej. Do tej pory aalizoway był przypadek, kiedy mamy do czyieia z ciągiem iezależych zmieych losowych. Taki przypadek w zastosowaiach jest zdecydowaie rzadziej spotykay aiżeli przypadek, gdy zmiee losowe w ciągu są w pewie sposób od siebie zależe. Rezygujemy z założeia o iezależości, ale w dalszym ciągu utrzymywać będziemy założeie, że ciąg {X} ma wspóly rozkład. Rozważae ciągi są ciągami stacjoarymi, tz. ciągi są takie, że rozkłady X j,..., X j i X j m,..., X j m 1 1 (4) są idetycze dla pewego wyboru, j1,..., j i m. Zakładamy dodatkowo, że zależość między Xi i Xj maleje w pewie określoy sposób dla różych ciągów zmieych, gdy i j rośie. Moża taką zależość określić miaem gasącej. Najprostszym przykładem tego typu ograiczeia, które rozważamy, jest m zależość, zgodie z którą Xi i Xj są faktyczie iezależe, jeśli i j m [Czekała, 2001]. Waruki, które gwaratują, że zmiee losowe są od siebie w wyżej opisay sposób zależe, to waruki D, D(u) i D (u). Waruki te w sposób bezpośredi są w przypadku większości rozkładów bardzo ciężkie do sprawdzeia poza ciągiem zmieych losowych o rozkładzie ormalym. Jedym ze sposobów a rozwiązaie problemu trudości weryfikacji wymieioych waruków jest badaie ciągów zmieych losowych przy użyciu iych metod statystyczych w celu ustaleia, czy wykazują oe własości, a podstawie których moża wioskować, iż wymieioe powyżej waruki są spełioe. Ciekawą własością jest fakt, że w przypadku spełieia waruków D(u) i D (u)

4 dystrybuata graicza dla rozkładu maksimum dla ciągu zależych zmieych losowych jest taka sama jak w przypadku ciągu zmieych iezależych. Własość ta wyika z jedego z twierdzeń zawartych w pracy [Rootze, 1983]. Jest jeszcze jede przypadek, w którym waruki D(u) i D (u) ie są spełioe, i wtedy mamy do czyieia z ciągiem zależych zmieych losowych, w którym zależość ta ie słabie wraz z rozpatrywaiem coraz to bardziej odległych od siebie zmieych. Z uwagi a ograiczoe ramy tego opracowaia ie będziemy szczegółowo zajmować się tematem waruków określoych typów zależości. Dokładie temat zależości zmieych losowych w teorii rozkładów ekstremalych opisay jest w pracy [Kuźmiński, 2013]. 2. Progozy ostrzegawcze w hydrologii W tej sekcji wprowadzoe zostaie pojęcie progozy ostrzegawczej, jako zapowiedzi wystąpieia zdarzeia traktowaego przez odbiorcę jako iekorzyste. Bardziej precyzyjie progozę ostrzegawczą określa defiicja 2, która jest jedą z wielu, jakie moża spotkać w literaturze przedmiotu, ale ajbardziej pasuje do problematyki iiejszego opracowaia. Defiicja 2. Progozą ostrzegawczą jest sta zmieej w momecie lub okresie ależącym do przyszłości, gdy przewiduje się iekorzyste kształtowaie się kotrolowaej zmieej a podstawie iformacji dostarczoej przez szereg czasowy [Siedlecka, 1996]. Zadaiem progozy ostrzegawczej jest dostarczeie a czas iformacji o wystąpieiu w przyszłości iekorzystej wartości moitorowaej charakterystyki. Jak z tego wyika, progozy ostrzegawcze staowią specyficzy rodzaj przewidywaia, ie dotyczą oe bowiem wyzaczaia przyszłej wartości moitorowaej zmieej, lecz tylko faktu, że wartość moitorowaej zmieej przekroczy wyzaczoy poziom lub będzie iższa od daego poziomu w zależości od charakteru badaego zjawiska. Z uwagi a fakt, iż w prezetowaym podejściu do progozowaia ostrzegawczego, które wykorzystuje rozkłady wartości ekstremalych obserwowaych zmieych, progozą będzie prawdopodobieństwo, wprowadzimy defiicję progozy ostrzegawczej probabilistyczej. Defiicja 3. Progoza ostrzegawcza probabilistycza jest prawdopodobieństwem przekroczeia (od dołu lub od góry) określoej krytyczej wartości moitorowaej zmieej. Prawdopodobieństwo to uzyskiwae jest z ustaloego podczas badań rozkładu wartości ekstremalych moitorowaej zmieej. Ograiczając szerokie zastosowaie progoz ostrzegawczych jedyie do dziedziy hydrologii ależy rówież ograiczyć zbiór zmieych kotrolowaych w procesie progozowaia ostrzegawczego. W hydrologii jedym z wielu zadań progoz ostrzegawczych jest moitorowaie takiej charakterystyki jak stay wód w rzekach w celu ochroy przeciwpowodziowej. Charakterystykę wymieioej zmieej prezetuje defiicja 4. Defiicja 4. Sta wody jest to wziesieie zwierciadła wody w cieku poad umowy poziom odiesieia (co ie jest rówozacze z głębokością cieku). Należy rozróżić pojęcia sta wody i poziom wody. Są to te same wielkości fizycze, jedak podawae względem różych odiesień. Poziomy tereu liczymy od przyjętego poziomu morza, dlatego wysokość, a której zajdują się obiekty a Ziemi, wyrażamy w metrach ad poziomem morza. W Polsce sieć wodowskazowa odiesioa jest obecie do poziomu morza w Krosztadzie w Rosji. Dla uproszczeia zapisu wziesieie zwierciadła wody liczymy od ustaloego zera wodowskazu. Taki pomiar azywamy staem wody, w odróżieiu od poziomów liczoych względem przyjętego zera iwelacji. W praktyce zera ustalae są

5 poiżej ajiższego stau wody w celu uikięcia wartości ujemych wyikających z możliwej erozji deej pogłębiającej do, p. rzeki. Rzęda zera każdego wodowskazu określoa jest w odiesieiu do państwowej sieci iwelacyjej, dlatego też mając tę iformację, jesteśmy w staie wyzaczyć poziom wody. Na podstawie wieloletich pomiarów moża określić charakterystyczy rozkład staów wody dla daej rzeki w daym miejscu. Wyzacza się wówczas astępujące strefy staów wody: strefa iskich staów, strefa staów średich, strefa staów wysokich, sta ostrzegawczy i sta alarmowy. W kotekście probabilistyczych progoz ostrzegawczych szczególie iteresować as będą dwa ostatie spośród wymieioych. 3. Modelowaie rozkładu maksimów staów wód Poiżej przedstawioe zostaie modelowaie rozkładów prawdopodobieństwa maksimów staów wód z wykorzystaiem parametryzowaych dystrybuat graiczych daych wzorem (5) oraz arzędzi graficzych. Wykorzystae zostaą arzędzia do prezetacji graficzej rozkładów empiryczych prawdopodobieństw, takie jak dystrybuata empirycza oraz jądro gęstości pradowpodobieństw (kerel desities). To ostatie arzedzie do wizualizacji empiryczych rozkładów jest, mówiąc w dużym skrócie, bardzo precyzyją formą histogramu rozkładu empirczego lub, iaczej mówiąc, empiryczą fukcją gęstości prawdopodobieństwa określoego rozkładu. Z uwagi a ograiczoe ramy tego opracowaia pomiiemy szczegółowy opis tego arzędzia. Więcej a jego temat moża zaleźć w pracy [Thomas, 2007]. Badaą charakterystyką będą dziee stay wód a rzece Nysa Kłodzka w województwie dolośląskim. Wykorzystae zostaą dae pomiarowe ze stacji powierzchiowej mieszczącej się w Bystrzycy Kłodzkiej uzyskae z Istytutu Meteorologii i Gospodarki Wodej w Warszawie. Łączie do badaia wykorzystao obserwacje dzieych staów wód pochodzące z okresu pomiarowego od do r. Z tych daych zostały wyzaczoe maksima okresowe. Uzyskao astępujące liczby maksimów dla poszczególych okresów: 1) miesięczy 1 = 378 maksimów, 2) kwartaly 2 = 126 maksimów, 3) półroczy 3 = 63 maksima, 4) rocze 4 = 32 maksima. Dla wszystkich wymieioych prób maksimów przeprowadzoa zostaie procedura dopasowaia odpowiediej teoretyczej paramet-ryzowaej dystrybuaty dla rozkładów ekstremów z rodziy daej wzorem (5). Jako arzędzia do wizualizacji rozkładów empiryczych wykorzystae zostaą: wykres dystrybuaty empiryczej oraz jądro gęstości empiryczych. Na każdym wykresie przedstawiającym dystrybuatę empiryczą maksimów oraz a wykresie przedstawia-jącym fukcję jądra gęstości empiryczych wykreśloy będzie teoretyczy wykres ajlepiej dopasowaej dystrybuaty oraz odpowiadająca mu fukcja gęstości prawdopodobieństwa. Wykresy teoretyczych parametryzowaych dystrybuat wraz z odpowiedimi fukcjami gęstości prawdopodobieństwa zostały dobrae za pomocą oprogramowaia Xtremes. Wykresy staowiące graficzą prezetację wyików badań przedstawioo a rysukach 1 8.

6 Rysuek 1. Empirycza fukcja gęstości dla maksimów miesięczych liia ciągła oraz fukcja gęstości rozkładu Gumbela z parametrami μ = 54 i σ = 30 liia przerywaa Rysuek 2. Dystrybuata empirycza dla maksimów miesięczych liia ciągła oraz teoretycza dystrybuata rozkładu Gumbela z parametrami μ = 54 i σ = 30 liia przerywaa Rysuek 3. Empirycza fukcja gęstości dla maksimów kwartalych liia ciągła oraz fukcja gęstości rozkładu Gumbela z parametrami μ = 80 i σ = 35 liia przerywaa

7 Rysuek 4. Dystrybuata empirycza dla maksimów kwartalych liia ciągła oraz teoretycza dystrybuata rozkładu Gumbela z parametrami μ = 80 i σ = 35 liia przerywaa Rysuek 5. Empirycza fukcja gęstości dla maksimów półroczych liia ciągła oraz fukcja gęstości rozkładu Gumbela z parametrami μ = 110 i σ = 48 liia przerywaa Rysuek 6. Dystrybuata empirycza dla maksimów półroczych liia ciągła oraz teoretycza dystrybuata rozkładu Gumbela z parametrami μ = 110 i σ = 48 liia przerywaa

8 Rysuek 7. Empirycza fukcja gęstości dla maksimów roczych liia ciągła oraz fukcja gęstości rozkładu Gumbela z parametrami μ = 133 i σ = 51,7 liia przerywaa Rysuek 8. Dystrybuata empirycza dla maksimów roczych liia ciągła oraz teoretycza dystrybuata rozkładu Gumbela z parametrami μ = 133 i σ = 51,7 liia przerywaa Na powyższych rysukach zostały przedstawioe wykresy empiryczych fukcji gęstości i dystrybuat empiryczych dla maksimów z 4 okresów o różych horyzotach czasowych (miesięczym, kwartalym, półroczym i roczym). Do każdego wykresu empiryczego dopasowao odpowiedią parametryzowaą fukcję teoretyczą albo gęstości prawdopodobieństwa, albo dystrybuaty. Dla wszystkich badaych maksimów ajlepiej dopasowaym rozkładem okazał się parametryzoway rozkład Gumbela. Po aalizie wzrokowej przedstawioych wykresów widać, że dopasowaie rozkładów teoretyczych do empiryczych jest bardzo dobre. Moża się pokusić o stwierdzeie, że jest oo prawie 100%. Oczywiście moża wyiki graficze potwierdzić wyikami odpowiedich testów statystyczych, ale w tym opracowaiu idea polega właśie a wykorzystaiu tylko arzędzi graficzych. Tak dobre dopasowaie odpowiedich rozkładów teoretyczych do empiryczych rozkładów maksimów wyika z zastosowaia parametryzowaej rodziy rozkładów dla maksimów, dla których dystrybuaty są dae wzorem (5). Parametryzacja rodziy dystrybuat graiczych dla rozkładów maksimów pozwala a bardzo precyzyje wybraie odpowiediej dystrybuaty z ieskończoej rodziy, która bardzo dokładie odzwierciedla rozkład w próbie. Uzyskae teoretycze dystrybuaty dla rozkładów maksimów 4 badaych ciągów zmieych losowych są podstawą do budowy progoz probabilistyczych.

9 4. Budowa modelu probabilistyczych progoz ostrzegawczych Z wykorzystaiem odpowiedich dystrybuat rozkładów maksimów wyselekcjoowaych w badaiach w rozdziale 3 wyzaczoe zostaą probabilistycze progozy ostrzegawcze dla staów ostrzegawczego i alarmowego a rzece Nysa Kłodzka w miejscowości Bystrzyca Kłodzka. Dla badaej rzeki i miejsca pomiaru sta ostrzegawczy wyosi 110 cm, atomiast sta alarmowy 180 cm. Progoza ostrzegawcza probabilistycza, zgodie z defiicją 3 będzie prawdopodobieństwem przekroczeia staów ostrzegawczego i alarmowego przez maksymale wartości staów wód dla 4 badaych horyzotów czasowych. W tablicy 1 przedstawioe są fukcje dystrybuat z kokretymi wartościami parametrów położeia i skali (μ i σ), które zostały wyselekcjoowae z rodzimy dystrybuat rozkładów maksimów daej wzorem (5) w wyiku badań opisaych w rozdziale 3. Tablica 1. Fukcje dystrybuat maksimów Okresy maksimów Fukcje dystrybuat Maksima miesięcze ( x54)/30 G0,, ( x) exp e Maksima kwartale ( x80)/35 G0,, ( x) exp e Maksima półrocze ( x110)/48 G0,, ( x) exp e Maksima rocze ( x133)/51,7 G0,, ( x) exp e Za pomocą fukcji dystrybuat dla poszczególych badaych okresów podaych w tablicy, wyzaczoe zostaą probabilistycze progozy ostrzegawcze dla staów ostrzegawczego i alarmowego. Wyiki obliczeń zawarto w tablicy 2. Tablica 2. Probabilistycze progozy ostrzegawcze a rzece Nysa Kłodzka dla stacji pomiarowej Bystrzyca Kłodzka Okresy maksimów Sta ostrzegawczy Sta alarmowy Maksima miesięcze ,1433 Maksima kwartale ,3458 Maksima półrocze , 6321 Maksima rocze , 7899 P M P M P M P M P M , 0149 P M , 0558 P M , 2075 P M ,3316 Poddając aalizie otrzymae wyiki w tablicy 2, widać wyraźie, że prawdopodobieństwo przekroczeia staów ostrzegawczego i alarmowego przez maksimum z określoego okresu czasu wzrasta wraz z jego wydłużaiem. Te wiosek jest jak ajbardziej logiczy, poieważ wydłużając okres, w którym obserwowae jest maksimum stau wody zwiększa się prawdopodobieństwo wystąpieia określoych wartości. W przypadku stau ostrzegawczego prawdopodobieństwo tego, że maksymaly sta wody w ciągu wybraego miesiąca przekroczy 110 cm wyiosło 0,14, w ciągu kwartału 0,35 w ciągu pół roku 0,63 i w ciągu roku 0,79. Otrzymae probabilistycze progozy ostrzegawcze dla stau alarmowego pokazują, że prawdopodobieństwo przekroczeia przez maksymaly sta wody w ciągu miesiąca wartości 180 cm wyosi 0,015, w ciągu kwartału 0,06, w ciągu pół roku 0,21 i w ciągu roku 0,33.

10 Zakończeie W artykule przedstawioo podejście do progozowaia ostrzegawczego oparte a modelach rozkładów wartości maksymalych. Na potrzeby tego podejścia została wprowadzoa defiicja probabilistyczej progozy ostrzegawczej. Badaiu poddao dae dotyczące dzieych staów wód a jedej z rzek a Dolym Śląsku Nysie Kłodzkiej. Dae pochodziły ze stacji pomiarowej zajdującej się w Bystrzycy Kłodzkiej. Zaprezetowao wykorzystaie jedyie graficzych arzędzi w celu idetyfikacji rozkładu wartości maksymalych. Do modelowaia empiryczego rozkładu wartości ekstremalych z czterech okresów: miesięczego, kwartalego, półroczego oraz roczego zastosowae zostały takie arzędzia, jak: wykres dystrybuaty empiryczej oraz jądro gęstości prawdopodobieństw. Po graficzym zobrazowaiu rozkładów empiryczych dopasowae do ich zostały określoe teoretycze rozkłady wartości maksymalych pochodzące z ieskończoej rodziy rozkładów opisaych rówaiami (5). Za pomocą ajlepiej dopasowaych fukcji dystrybuat teoretyczych rozkładów dla maksimów zostały wyzaczoe probabilistycze progozy ostrzegawcze dla staów ostrzegawczego i alarmowego rzeki Nysa Kłodzka. Przedstawioa procedura budowy probabilistyczych progoz ostrzegawczych jest bardzo szybką i efektywą metodą. Probabilistycze progozowaie ostrzegawcze charakterystyk hydrologiczych może zaleźć szerokie stosowae w dziedziie ubezpieczeń oraz w istytucjach odpowiedzialych za ochroę przeciwpowodziową. Wykorzystując historycze dae, które zbierae są przez wszystkie stacje pomiarowe, moża szacować ryzyko iekorzystych zdarzeń hydrologiczych. Dalsze badaia ad metodami budowy probabilistyczych progoz ostrzegawczych z wykorzystaiem modelowaia wartości ekstremalych pojawią się w kolejych pracach. Literatura 1. Bryc W.B. (1985), Multiliear Forms of Measures of Depedece Betweee Radom Variables, Joural of Multivariate Aalysis, No Cieślak M. (2002), Progozowaie gospodarcze. Metody i zastosowaia, PWN, Warszawa. 3. Czekała M. (2001), Statystyki pozycyje w modelowaiu ekoometryczym. Wybrae problemy, Wydawictwo Akademii Ekoomiczej im. Oskara Lagego we Wrocławiu, Wrocław. 4. Fisz M. (1967), Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka matematycza, PWN, Warszawa. 5. Galambos J. (1978), The asymptotic Theory of Extreme Order Statistics. New York: Wiley. 6. Kuźmiński Ł. (2013), Graicze dystrybuaty wartości ekstremalych dla zależych ciągów zmieych losowych. Ekoometria, Wydawictwo Uiwersytetu Ekoomiczego we Wrocławiu, Wrocław Kuźmiński Ł. (2012), Statystyki pozycyje w progozach ostrzegawczych. Zastosowaie metod ilościowych w ekoomii i zarządzaiu. CeDeWu, Warszawa. 8. Loyes R. (1965), Extreme values i uiformly mixig statioary stochastic processes, A. Math. 9. Magiera R. (2002), Modele i metody statystyki matematyczej, Oficya Wydawicza GiS, Wrocław. 10. Nagaraja H.D. (2003), Order Statistics, A Joh Wiley & Sos, Ic. 11. Rootze L.R. (1983), Extremes ad related properties of radom sequeces ad processes, Spriger Verlag, New York. 12. Siedlecka U. (1996), Progozy ostrzegawcze w gospodarce, PWE, Warszawa.

11 13. Thomas M.R. (2007), Statistical Aalysis of Extreme Value with Applicatios to Isurace, Fiace, Hydrology ad Other Fields, Birkhauser, Berli. Streszczeie W opracowaiu przedstawioe zostało podejście do progozowaia ostrzegawczego wykorzystujące rozkłady wartości maksymalych. Do modelowaia wartości ekstremalych zastosowao parametryzowaą rodzię dystrybuat rozkładów ekstremalych. Jako arzędzia do prezetacji graficzej empiryczych rozkładów maksimów zastosowao wykres dystrybuaty empiryczej oraz jądro gęstości prawdopodobieństwa. Badaia przeprowadzoe zostały a rzeczywistych daych dotyczących staów wód a rzece Nysa Kłodzka a Dolym Śląsku. W pracy została wprowadzoa defiicja probabilistyczej progozy ostrzegawczej. Za pomocą wybraych teoretyczych dystrybuat rozkładów maksimów staów wód wyzaczoe zostały probabilistycze progozy ostrzegawcze dla staów ostrzegawczego i alarmowego. Słowa kluczowe progoza probabilistycza, jadro gęstości prawdopodobieństwa, parametryzowaa dystrybuata Gumbela The limitig distributios of extremes i the warrig forecasts of the water levels (Summary) I this work the approach to the warig forecast which use the distributios of extreme values was preseted. For modelig extreme values the parametric family of distributios fuctios of extreme distributios was used. As tools for graphic presetatio of empirical maximum distributios we have used the graph of empirical distributio fuctio ad kerel desities. The researches were experimeted for the real data of the water levels o the Nysa Kłodzka river o the Lower Silesia. I the article the defiitio of the probabilistic warig forecast was itroduced. Usig selected theoretical distributio fuctio of the maxima of water level, the probabilistic warig forecast for the warig ad alarm were calculated. Keywords probabilistic forecast, kerel desities, parametric distributio fuctio Gumbel