Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Transkrypt

1 Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia, jak przeprowadzamy dowody idukcyje Bez dodatkowych wyjaśień, większość ucziów ie wie jedak, dlaczego dowód idukcyjy wygląda tak, a ie iaczej, a zwłaszcza, dlaczego w tym dowodzie coś się zakłada i w oparciu o to założeie dowodzi coś iego Wyjaśimy te wątpliwości, a astępie przeprowadzimy kilka przykładowych dowodów idukcyjych Zapiszemy ajpierw zasadę idukcji matematyczej słowie: Jeżeli: twierdzeie T jest prawdziwe dla pewej liczby aturalej, oraz z prawdziwości twierdzeia T dla liczby aturalej wyika prawdziwość twierdzeia T dla liczby, to twierdzeie T jest prawdziwe dla wszystkich liczb aturalych a teraz symboliczie (zapis T(k) ozacza, że twierdzeie T jest spełioe dla liczby k): T( ), N N Λ [ T() T( ) ] Λ T() N Jak widać, zasada idukcji matematyczej jest twierdzeiem, które mówi, że jeżeli spełioe są dwa założeia, to twierdzeie T dotyczące pewego podzbioru zbioru liczb aturalych moża uważać za prawdziwe (udowodioe) Jest to tym samym wygody aparat do udowadiaia twierdzeń dotyczących zbioru,,,, { } N Sama zasada idukcji matematyczej jest też twierdzeiem, i ależy z iej korzystać zgodie z regułami wioskowaia O tym, jak ależy korzystać z twierdzeń zapisaych w postaci implikacji, mówi tzw reguła odrywaia Oto oa: Z T Z T Te skrócoy zapis ależy rozumieć astępująco: Jeżeli: a) prawdziwe (udowodioe) jest twierdzeie Z T, b) prawdziwe są założeia Z tego twierdzeia, to dopiero wtedy możemy korzystać z tezy T (czyli oderwać założeie od tezy) Przykład: Prawdziwe jest twierdzeie Pitagorasa Trójkąt o bokach długości a,b,c jest prostokąty (c przeciwprostokąta) Teraz dopiero możemy stwierdzić, że a b = c

2 Nie moża tego rówaia apisać bez wcześiejszego stwierdzeia, że trójkąt jest prostokąty! Podobie sprawy się mają z zasadą idukcji matematyczej, gdyż oa rówież ma postać implikacji: a) zasada idukcji matematyczej jest udowodioa (prawdziwa), T( ), N b) jeżeli sprawdzimy, że spełioe są dwa założeia: Λ [ T() T( ) ] N to a tej podstawie możemy uważać twierdzeie T za prawdziwe (udowodioe) T( ) jest łatwo sprawdzić wystarczy do badaego twierdzeia wstawić liczbę aturalą Jak sprawdzić, czy prawdziwe jest owo wyikaie, czyli implikacja T () T( )? Odwołajmy się tu do własości implikacji Oto tabela wartości logiczych implikacji (przyjęto: =prawda, =fałsz): T() T() T () T( ) Z tabeli wyika, że jeżeli T() jest fałszywe, to ie ma co sprawdzać wtedy implikacja T () T( ) jest prawdziwa Iteresuje as tylko przypadek, gdy T() jest prawdziwe Wtedy: a) gdy T() jest prawdziwe, to implikacja T () T( ) jest prawdziwa, b) gdy T() jest fałszywe, to implikacja T () T( ) jest fałszywa Dlatego właśie dowód idukcyjy wygląda w te sposób: Sprawdzamy prawdziwość twierdzeia T dla liczby Zakładamy, że twierdzeie T jest prawdziwe dla pewej liczby : T(), bo tylko w tym przypadku implikacja może być fałszywa Jest to tzw założeie idukcyje 3 Sprawdzamy, czy z założeia wyika prawdziwość twierdzeia T dla liczby : T() Jeżeli a pukty i 3 odpowiedź brzmi: TAK, to twierdzeie T zostało udowodioe Jeżeli a któryś z tych puktów odpowiedź byłaby: NIE, to twierdzeie jest fałszywe Przykłady Zadaie Udowodij, ze dla każdego aturalego liczba 4 5 jest podziela przez 9 Dowód idukcyjy Sprawdzamy dla =: 4 5 = 8 - ta liczba dzieli się przez 9 Zakładamy, że twierdzeie jest prawdziwe dla pewej liczby aturalej, tz 9/ 4 5 ( )

3 Jeżeli teraz udowodimy, że twierdzeie jest prawdziwe dla liczby, tz 9/ ( 4 5( ) ), to a mocy zasady idukcji matematyczej dowód będzie zakończoy 4 5( ) = = 4 (4 5 ) = = 4 (4 5 ) 9 (5 ) dzieli się przez 9 dzieli się przez 9 z założeia co kończy dowód Zadaie Udowodij, ze dla każdego N zachodzi: 4 6 (6 ) = (3 ) Dowód idukcyjy Sprawdzamy dla =: 6 = 4, czyli dla = rówaie przyjmuje postać 4 = (3 ) 4 = 4, więc jest prawdziwe Zakładamy, że twierdzeie jest prawdziwe dla pewej liczby aturalej N, tz 4 6 (6 ) = (3 ) Należy udowodić, że twierdzeie jest prawdziwe dla liczby, tz 4 6 (6 ) (6( ) ) = ( )(3( ) ) 4 6 (6 ) (6( ) ) = (a mocy założeia) = (3 ) (6( ) ) = = Wyrażeie to zapiszemy w postaci iloczyowej: = =, = =, = = dalej: = 3( ) = ( )(3 4) = ( )(3( ) ), 3 co kończy dowód Zadaie 3 Udowodij, ze dla każdego N zachodzi: 4 6 (6 4) = ( )(3 4) Dowód idukcyjy Sprawdzamy dla =: 6 4 =, czyli dla = rówaie przyjmuje postać 4 = ( ) (3 4) 4 = 4, więc jest prawdziwe Zakładamy, że twierdzeie jest prawdziwe dla pewej liczby aturalej tz 4 6 (6 4) = ( )(3 4) Należy udowodić, że twierdzeie jest prawdziwe dla liczby, tz 4 6 (6 4) (6( ) 4) = ( )(3( ) 4) 4 6 (6 4) (6( ) 4) = (a mocy założeia) ( )(3 4) (6( ) 4) = = = =, = =, = = = 3( ) = ( )(3 7) = ( )(3( ) 4), 3 co kończy dowód N,

4 Zadaie 4 Dla jakich liczb aturalych prawdziwa jest ierówość: Sformułuj hipotezę i udowodij ją idukcyjie Rozwiązaie Sprawdzamy: = : > - fałsz = : > - fałsz 3 = 3 : > 3 - prawda 4 = 4 : > 4 - prawda 5 = 5 : > 5 - prawda >? Hipoteza: > dla 3 Dowód idukcyjy Dla =3 twierdzeie jest prawdziwe, co już sprawdzaliśmy Zakładamy, że twierdzeie jest prawdziwe dla pewej liczby aturalej 3, tz > Należy udowodić, że twierdzeie jest prawdziwe dla liczby, tz > ( ) = = > (dla 3 : > ) > > (założeie > ) > = ( ), co kończy dowód Zadaie 5 Ciąg ( a ) jest określoy wzorem rekurecyjym: a = A a = A a = a a, N Wyzacz wzór a -ty wyraz tego ciągu Rozwiązaie Dla =: = a a = A A 3A Dla =: Dla =3: a3 = a4 = a3 a = 3A A = a5 = a4 a3 = 4A 3A = 4A 5A Stawiamy hipotezę: dla zachodzi a = A Dowód idukcyjy Prawdziwość twierdzeia dla = i = już sprawdziliśmy Zakładamy, że twierdzeie jest prawdziwe dla pewych aturalych oraz ( * ), czyli, że a = A i a = ( ) A Należy udowodić, że a = ( ) A a = a a = ( ) A A = ( ) A, co kończy dowód ( * ) Zakładamy, że twierdzeie jest dla dwóch kolejych liczb, i z tego ma wyikać prawdziwość twierdzeia dla astępej liczby aturalej Przyczyą takiego postępowaia jest defiicja rekurecyja koleje wyrazy są liczoe za pomocą dwóch poprzedich wyrazów

5 Jest to dopuszczale Zastosowao w te sposób zmutowaą wersję zasady idukcji matematyczej: T( ) i T( ), N Λ [ T() i T( ) ] T( ) Λ T() N N Drugie założeie mówi, ze dla dowolego aturalego z prawdziwości twierdzeia dla dwóch kolejych liczb oraz, wyika prawdziwość dla liczby