STRATEGIA STOP-LOSS & PROFIT OPTYMALIZACJA PORTFELA INWESTYCYJNEGO
|
|
- Władysława Zych
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Studia Ekoomicze. Zeszyty Naukowe Uiwersytetu Ekoomiczego w Katowicach ISSN Nr Współczese Fiase 1 Tadeusz Czerik Uiwersytet Ekoomiczy w Katowicach Wydział Fiasów i Ubezpieczeń Katedra Matematyki Stosowaej tadeusz.czerik@ue.katowice.pl STRATEGIA STOP-LOSS & PROFIT OPTYMALIZACJA PORTFELA INWESTYCYJNEGO Streszczeie: Jedym z celów działań człowieka jest pomażaie posiadaego majątku. Iwestorzy, podejmując działaia a ryku kapitałowym, stosują bardzo zróżicowae strategie. Poiższe opracowaie przedstawia strategię stop-loss & profit. Poadto zaprezetowao tu optymalizację powyższej strategii z puktu widzeia wybraych miar atrakcyjości/ryzyka. Słowa kluczowe: strategia iwestycyja, ryzyko, procesy losowe. Wprowadzeie Wszelkim działaiom, a w szczególości aktywości iwestycyjej, towarzyszy ryzyko. Stąd potrzeba jego idetyfikacji, kwatyfikacji oraz optymalizacji. Klasycze miary atrakcyjości i ryzyka rozważae w aalizie portfelowej to między iymi: oczekiwaa stopa zwrotu, wariacja stopy zwrotu, semiodchyleie stadardowe, wartość zagrożoa oraz maksymala strata [Szegö, 2004; Czerik, Iskra, 2012]. Spośród strategii iwestycyjych do ajczęściej stosowaych ależą: strategia stałej struktury ilościowej (iezmiea w horyzocie iwestycji liczba akcji, strategia kup i trzymaj) oraz stała struktura owa (iezmiey w horyzocie iwestycji odsetek kapitału zaiwestoway w odpowiedie akcje) [Meucci, 2005]. Poadto w aalizie portfelowej uwzględia się pewe zdarzeia determiujące specyfikę. W strategii stop-loss spadek iwestycji poiżej określoego poziomu jest bodźcem do rozwiązaia (sprzedaż aktywów). W iiejszym opracowaiu zapropoowao strategię stop-loss & profit. W strategii tej zamykamy pozycje a ryku kapitałowym
2 8 Tadeusz Czerik w dwóch sytuacjach: jeżeli wartość spadie poiżej określoego poziomu (ograiczeie strat) lub gdy wartość wzrośie powyżej ustaloego z góry poziomu (kosumpcja zysku). Powyższa strategia została poddaa optymalizacji ze względu a wybrae miary atrakcyjości/ryzyka. Celem opracowaia jest porówaie optymalych strategii iwestycyjych w przypadku strategii stop-loss & profit oraz klasyczej strategii bez barier. 1. Strategia stop-loss & profit Jak wspomiao wyżej, strategia stop-loss & profit jest pewą modyfikacją strategii stop-loss. Polega oa a tym, że poza poziomem ograiczającym stratę wprowadzoo poziom determiujący rozwiązaie akcji w sytuacji, gdy wartość będzie większa lub rówa pożądaego zysku z iwestycji w istrumety ryku akcji. Poadto w momecie rozwiązaia akcji astępuje kowersja a środki pieięże ulokowae w istrumecie wolym od ryzyka oprocetowaym według stopy wolej od ryzyka. W celu ocey atrakcyjości i optymalizacji wartość końcowa (wartość końcowa akcji lub wartość końcowa ulokowaa w istrumecie wolym od ryzyka) będzie dyskotowaa a początek okresu iwestycji. Stopa dyskota jest rówa tej samej stopie wolej od ryzyka. Warto także admieić, iż w pracy Czerika [2007] zapropoowao pewą miarę ryzyka opartą a strategii podobej do strategii stop-loss & profit. Rysuek 1 przedstawia przykładowe realizacje iwestycji. Jak wyika z rysuku 1, wartość końcowa iwestycji jest ograiczoa od góry przez wartość 1,2 (liczba przykładowa, dobraa w celu prezetacji strategii) oprocetowaą a cały okres trwaia iwestycji. Góre ograiczeie mogłoby być osiągięte jedyie w sytuacji, gdy góry poziom kowersji (profit) zostałby osiągięty a początku iwestycji. Dole ograiczeie końcowej wyosi 0,8 (wartość przykładowa dobraa w celu prezetacji). Sytuacja taka miałaby miejsce jedyie wtedy, gdy doly poziom kowersji (loss) byłby osiągięty a koiec okresu. Wartość obeca iwestycji (zdyskotowaa wartość końcowa) jest ograiczoa od góry przez poziom 1,2 oraz od dołu przez zdyskotowaą wartość 0,8.
3 9 Stra tegia stop-loss & profit 1. Przykładowe realizacje iwe estycji. Doly pozi iom rozwiązaia akcji wy- osi 0, 8, góry 1,2 Źródło: Opracowaie włase. Formaly zapis dyamiki iwestycji ma postać: " "losowa ewolucja" jeżelii ( s ( P dp t = s > loss P s < profit) ( 1.1) Pt rdt jeżeli ( s t) : ( P s losss Ps profit) gdzie: losowa ewolucja kapitałł ulokoway w portfelu akcji, P t wartość iwestycji w chwili t,, r stopa wola od ryzyka, dt ifiitezymaly przyrost czasu, losss doly poziom kowersji akcj ji, profit góry poziom kowersji wart tości akcji. Wyrażeie dp t = Ptdt jest rówoważe stwierdzeiu, że wartość kapitału jest oprocetowaaa według stopy (itesywości oprocetowaia) kapitalizacji ciągłej r. t) : 1.1. Dyamika port tfela akc cji W opracowaiu założoo, żee dyamika ce akcji jest opisaaa geometrycz- ym ruchem Browa [Merto, 1973; Øksedal, ]: ds i = μ i S i idt + σ i S i dw i, (1.2 2)
4 10 Tadeusz Czerik gdzie: S i cea i-tej akcji, μ i dryf i-tej akcji, σ i zmieość i-tej akcji, W i proces Wieera. Wartość akcji w dowolym momecie jest daa wzorem: P = S, (1.3) t i i i= 1 gdzie: i liczba akcji i-tego podmiotu, liczba podmiotów, których akcje zajdują się w portfelu. Ifiitezymala zmiaa akcji może być zapisaa astępująco: dp = ds. (1.4) t i i i= 1 W zapisie tym skorzystao z waruku samofiasowaia, tz. zmiaa może się jedyie dokoać a skutek zmiay cey istrumetów wchodzących w skład. Zmiaa liczby akcji ie wpływa a wartość. Poadto założoo brak kosztów trasakcyjych. W przypadku strategii kup i trzymaj (do mometu osiągięcia poziomu loss lub profit) rówaie to moża zapisać: i dalej: ( μ σ ) (1.5) dp = S dt + S dw t i i i i i i i= 1 ( μ ) σ. (1.6) dp = S dt + S dw t i i i i i i i i= 1 i= 1 Korzystając z własości procesu Wieera, rówaie (1.6) moża zapisać w postaci: dp = μ dt + σ dw, (1.7) gdzie: μ = μ S dryf, P i i i i= 1 t p P P = i i Si + 2 i j i j ijsisj i= 1 i= 1 j> i zmieość, σ σ σσ ρ
5 Strategia stop-loss & profit 11 ds ds i j ρ = corr, = corr dw,dw Si S j dw proces Wieera. ( ) ij i j współczyik korelacji, Jak moża zauważyć, przydatość wzoru (1.7) w symulacjach jest wątpliwa dryf i zmieość zależą od ce akcji i tym samym musiałyby być geerowae osobo. Optymalym wyborem formuł w ewetualych symulacjach (strategia kup i trzymaj) są wzory (1.4) oraz (1.2). W przypadku stałej struktury owej (iezmiey odsetek jest ulokoway w każdej z akcji) wzór (1.4) moża zapisać astępująco: gdzie w S dp S ds ds P P S S t i i i i = = wi t i= 1 t i i= 1 i, (1.8) i i i = jest odsetkiem kapitału zaiwestowaego w i-tą akcję. Pt Jak łatwo zauważyć, suma wag wyosi jede: S 1 1 = = = = 1 i i wi S i i Pt i= 1 i= 1 Pt Pt i= 1 Pt. (1.9) Dodatia wartość wagi w i ozacza długą pozycję, atomiast wartość ujema krótką sprzedaż. Wzór (1.8) moża zapisać w postaci: dpt P t ds = = + S i wi wi( μidt σidwi). (1.10) i= 1 i i= 1 Podobie jak wyżej, wzór (1.10) moża przedstawić astępująco: gdzie: μ = w μ dryf, dp = μ Pdt + σ PdW, (1.11) t p t P t P i i i= P = wi i + 2 ww i j i j ij i= 1 i= 1 j> i zmieość, σ σ σ σ ρ ds ds i j ρ = corr, = corr dw,dw Si S j dw proces Wieera. ( ) ij i j współczyik korelacji,
6 12 Tadeusz Czerik Z powyższego wyika, że w przypadku stałej struktury owej (w i = cost) wielkości μ P oraz σ P są stałe, tym samym rówaie (1.11) ozacza, że wartość jest geometryczym ruchem Browa. 2. Miary atrakcyjości/ryzyka Podstawowymi wielkościami decydującymi o włączeiu akcji do, a ostateczie także o optymalej strategii, są miary atrakcyjości i ryzyka. W poiższym opracowaiu ie zostaie omówioy związek miar ryzyka i atrakcyjości z teorią użyteczości. Pierwszą z omówioych miar atrakcyjości jest oczekiwaa stopa zwrotu: P P 1 = = 1. (1.12) t 0 ERt E EPt P0 P0 W sytuacji gdy oceiamy strategię wyłączie ze względu a oczekiwaą stopę zwrotu, moża rówoważie oceić strategię, stosując wartość oczekiwaą przyszłej lub zdyskotowaą (według ustaloej stopy, p. stopy wolej od ryzyka) wartość oczekiwaą przyszłej : rt rt ( t) ( t) E e P = e E P. (1.13) Wariacja stopy zwrotu z jest jedą z klasyczych miar ryzyka: 2 2 Pt P D Rt = D = D P 2 t, (1.14) P0 P0 gdzie D 2 (X) ozacza wariację wielkości X. Podobie jak w przypadku oczekiwaej stopy zwrotu, rówoważie moża rozważyć wariację zdyskotowaej : rt rt ( t) ( t) D e P e D P =. (1.15) Poieważ wariacja stopy zwrotu ie odróżia wzrostów i spadków, zapropoowao wiele jej modyfikacji, w tym między iymi semiodchyleie. W iiejszym opracowaiu ie będzie oo rozważae. Koleją miarą ryzyka jest wartość zagrożoa VaR (Value at Risk) [Holto, 2003; Artzer, Delbae, Heath, 1999]: ( ) P P P VaR α = α, (1.16) t 0
7 Strategia stop-loss & profit 13 gdzie α jest poziomem istotości (w zależości od kotekstu zwykle zawiera się w przedziale od 0,001 do kilku dziesiątych). Podobie jak wcześiej, moża rówoważie rozważyć wartość zagrożoą zdyskotowaej (wartość P 0 przesuwa jedyie rozkład zmieej losowej, jaką jest zdyskotowaa wartość ): rt rt ( t 0 ) P e P P e VaR α = α. (1.17) W dalszej części opracowaia będzie stosowaa poiższa otacja: rt ( t 0 ) P e P P VaR α = α, (1.18) gdzie VaR α jest ą zagrożoą zdyskotowaej. Notacja ta ie zaburza uporządkowaia ryzyka. W teorii i praktyce decyzji iwestycyjych są także rozważae ie miary, p. warukowa wartość zagrożoa czy też maksymala strata, jedak ie będą oe rozważae w dalszej części opracowaia. 3. Symulacje Rozważay w opracowaiu portfel akcji będzie się składał z akcji dwóch podmiotów, których ewolucja ce będzie daa rówaiem (1.2). W celu prezetacji strategii stop-loss & profit przeprowadzoo symulacje (rozwiązao umeryczie stochastycze rówaia różiczkowe opisujące ewolucje ce akcji i, stosując algorytm Eulera-Maruyamy [Kloede, Plate, 2013]) w przypadku strategii stałej struktury owej (iezmiee wagi S i i wi = = cost ). Wartości parametrów determiujące: stochastyczą ewolucję Pt ce akcji, stopę wolą od ryzyka (wprowadzeie stopy wolej od ryzyka pozwala otrzymać aalogie do bieżącej etto) oraz horyzot iwestycji wybrao arbitralie. S i i Strategia stałej struktury owej ( wi = = cost ) wymaga ciągłej Pt rekostrukcji w celu przywróceia pierwotej wag w i. Możliwe jest rówież przeprowadzaie restrukturyzacji w sytuacji, gdy wybraa miara ryzyka wskazuje a przekroczeie założoych wcześiej limitów (tu rekostruowao portfel w sposób ciągły). Jedak strategia ta ie jest sesu stricto strategią o stałej strukturze owej. W opracowaiu założoo brak kosztów trasakcyjych. Założeie to sprawia, że portfel jest portfelem samofiasującym.
8 14 Tade eusz Czerik We wszystkich przebiegach symulacyjych założoo idetycze astępujących parametrów: P 0 = 1 początkowa wartość, profit = 1,,2 poziom profit, losss = 0,8 poz ziom loss, r = 0,05 stopa wola od ryzyka. Poadto wykluczooo krótką sprz zedaż (w i [0,1 1]). Rysuki 2 i 3 przedstawiają war iację zdyskotowaej wart tości port fela dla μ 1 = 0,1, μ2 = 0,1, σ 1 = 0,1, σ 2 = 0, 1, ρ 12 = 0, w przypadku odp powiedio strate- gii bez ograiczeńń oraz strategii stop-loss & profit dla różych długości hory y- zotów iwestycji T. 2. Wariacja zdyskotowaej w zależości od wagi rech horyzotów iwestycji T. Strategia bez ograiczeńń Źródło: Opracowaie włase. w 1 dla czte-
9 15 Stra tegia stop-loss & profit 3. Wariacja zdyskotowaej w zależości od wagi rech horyzotów iwestycji T. Strategia stop-loss & profit Źródło: Opracowaie włase. w 1 dla czte- Jak wyika z powyższych rysuków, wariacja dla strate- gii stop p-loss & profit jest mie ejsza od wariacji dla strategii bez ograiczeńń (je- dyie w przypadku krótkiego horyzotu czasu T różice są iewielkie). Jest to zrozumiałe, gdyż stra ategia stop p-loss & profit ograicza rozproszeie potecjal- ych iwestycji. Poło ożeia optymalych wag różią sięę po- międzyy strategiami. Poadto w przypadku długich horyzotów T wariacja war r- tości dla strategii stop-losss & profit posi iadaa maksimum. Wy ika to faktu, iż jeżeli zostaą osiągięte graice obszaru, to astępuje kowersja środ d- ków zaiwestowaych w akcje a środki pieięże pozbawioe ryzyka. Dlatego malejee iepewośćć (część trajektorii wykazuje determiistycz- ą ewo olucję). Wartości przyjętych parametrów sprawiają, żee (dla horyzotu T = 2) dla wagi w 1 0,2 jest bard dzo prawdopodobe, że bariery ie zostaą osiągięte (losowa atura ewolucji zostaie zachowaa), co iekoieczie skutku- je wzro ostem zagrożeia stratą. Jak wyika z powyższego, w przypadku strategii stop-loss & prof fit wari iacja war rtości ie jest odpowiediąą miarąą ryzyka. Rysuki 4 i 5 przedstawiająą wariację zdyskotowaej, gdy μ 1 = 0,1, μ 2 = 0,3, σ 1 = 0,,5, σ 2 = 0,1, ρ 12 = 0,9 dla odpowiedio strategii bez ograiczeń oraz strategii stop-loss & profit dla różych horyzotów iwe- stycji T.
10 16 Tade eusz Czerik 4. Wariacja zdyskotowaej w zależości od wagi rech horyzotów iwestycji T. Strategia bez ograiczeń Źródło: Opracowaie włase. w 1 dla czte- 5. Wariacja zdyskotowaej w zależości od wagi rech horyzotów iwestycji T. Strategia stop-loss & profit Źródło: Opracowaie włase. w 1 dla czte-
11 Podobie jak wcześiej, ryzyko mierzoe wariacjąą w strategii stop-loss strategii stop-loss & profit) ) występuje spłaszczeiee wykresu warto- ści wariacji. Z jedej stroy wydaje się to być cechąą pożądaą, gdyż wartość wariacji ie jest wrażliwa a drob be wahaiaa wagi. Jedak, jak zauw ważoo wcześiej, wari iacja ie jest w tym przypadku odpowiedią miarą ryzyka. Dzieje się tak dlatego, że ie wiemy, czy redukcja ryzyka wystąpi- ła a skutek przekroczeia górej czy dolej graicy obszaru. Z tego względu poiżej zaprezetowao wyiki prze edstawiające zależość war rtości zagr rożoej od skła adu. Rysuki 6 i 7 przedstawiają wykresy zagrożoej zdyskotowaej w zależości od składu (wagi w 1 ) dla astępujących parametrów: μ 1 = 0, 1, μ 2 = 0,,1, σ 1 = 0,1, σ 2 = 0,1, ρ 12 = 0,9. Podob- ie jak poprzedio, odpowiedio dla strategii bez ograiczeńń oraz strategii stop p- losss & profit dla różych horyzotów iwestycji T. Poziom istotości α = 0,05. & profit zostało zaczie zredukowae. W okolicy w 1 0 0,2 (w Stra tegia stop-loss & profit Wartośćć zagrożoaa zdyskotowaej w zależości od wagi w 1 dla czterech horyzotów iwestycji T. Poziom istotości α = 0,05. Strategia bez ograiczeń Źródło: Opracowaie włase.
12 18 Tade eusz Czerik 7. Wartośćć zagrożoaa zdyskotowaej w zależości od wagi w 1 dla czterech horyzotów iwestycji T. Pozi iom istotości α = 0,05. Strategia stop-loss & profit Źródło: Opracowaie włase. Podobie jak w przypadku wariacji, wykresy zagrożoej dla krótkich horyzotów czas su prak ktyczie się ie różią. Dla dłuż ższych horyzotów iwestycj ji występuje redukcja ryzyka mier rzoego ą zagrożoą. Poa adto zauważamy y, że w przypadku strategii stop-loss & profit wartość zagrożoa jest ograiczoa od góry przezz warto ość wyoszącą około 0,27. Wyika to z faktu, iżż wartość zagrożoa zdyskotowaej jest miejsza lub rówa od P 0 loss e rt 0,,276. Z uwag gi a osią ągaą wartość VaR (dla długich horyzotów) dla wagi w 1 bliskiej 1 moża wioskować, że jest bardzo prawdopodobe prze ekroczeiee pozio- mu losss (μμ 1 jest ujeme, a zmi ieości są idetycze dla obu akcji). Natomiast rysuki 8 i 9 przedstawiająą wykresy zagrożoej zdys s- kotowaej war rtości w zależ żości od składu (wagi w 1 ) dla a- stępujących war rtości parametrów: μ 1 = 0,1, μ 2 = 0,3, σ 1 = 0,5, σ 2 = 0,1, ρ 12 = 0,,9 w przy ypadku odpowiedio: strat tegii bez ograiczeńń oraz strategii stop-loss & prof fit dla różych hory yzotów iwestycji T. Poziom istotości wyosi α = 0,15. W przypadku strategii bez ogra aiczeńń miimalaa wartość zagro- żoej ie jest ograiczoa od dołu ujema wartośćć VaR ozacza zysk. Maksy- mala wartość zagrożoaa w tej strategiii jest ograiczoa od dołu przez P 0. Jed- ak w zakresie wag [0,1] ogra aiczeie to ie jest osiągae. Wartość zagrożoa w przy ypadku strategii stop-losss & profit, podobie jak wcześiej, jest ogr raiczo- a od góry przez P 0 loss e rt 0,276. Jedak z powodu stosukowoo wysokiej istotości (α α = 0,15) ie jest oa osią ągaa.
13 19 Stra tegia stop-loss & profit 8. Wartośćć zagrożoaa zdyskotowaej w zależości od wagi w 1 dla czterech horyzotów iwestycji T. Poziom istotości α = 0,15. Strategia bez ograiczeń Źródło: Opracowaie włase. 9. Wartośćć zagrożoaa zdyskotowaej w zależości od wagi w 1 dla czterech horyzotów iwestycji T. Poziom istotości α = 0,15. Strategia stop-loss & profit Źródło: Opracowaie włase.
14 20 Tadeusz Czerik Ograiczeie dole wyoszące: P 0 profit = 0,2 ie jest osiągae między iymi z powodu poziomu istotości zaczie różiącego się od 1. Poadto ograiczeie to byłoby osiągięte w sytuacji, w której wartość osiągęłaby wartość 1,2 w ieskończeie krótkim czasie co jest ieprawdopodobe. W przypadku długich horyzotów iwestycji oraz wagi w 1 0,5 widocza jest duża wrażliwość zagrożoej a zmiaę składu. Z rysuku 5 (idetycze parametrów) wyika, że w przypadku średich i długich horyzotów iwestycji wariacja (strategia stop-loss & profit) jest bardzo mała. Fakt te w zestawieiu z iską ą VaR świadczy o szybkim i stosukowo wysoce prawdopodobym osiągięciu górej graicy (profit). W odróżieiu od strategii bez ograiczeń, w przypadku strategii stop-loss & profit wariacja oraz poziom ryzyka mierzoy ą zagrożoą stabilizują się a iskim poziomie w szerokim zakresie wag (w 1 < 0,5). Podsumowaie W opracowaiu zaprezetowao strategię stop-loss & profit. Porówao własości wybraych miar ryzyka: wariację zdyskotowaej oraz wartość zagrożoą zdyskotowaej. Jak wyika z przeprowadzoych symulacji (dla stałej struktury owej), zależość omówioych miar ryzyka w strategii stop-loss & profit, w odróżieiu od strategii bez ograiczeń, od wagi w 1 jest ietrywiala. W przypadku zapropoowaych parametrów zależość ta jest iemootoicza. Miary ryzyka osiągają ie tylko miimum, ale także maksimum. Zapropoowaa tu strategia stop-loss & profit może być dalej rozszerzaa. Na przykład moża przyjąć iesymetrycze (względem początkowej ) poziomy profit i loss. Poadto graice te mogą być fukcjami czasu. Zależość ta może być zarówo determiistycza, jak i losowa. W przypadku losowej zależości graic moża je oprzeć a wybraym bechmarku. Literatura Artzer P., Delbae F., Eber J.-M., ad Heath D. (1999), Coheret Measures of Risk, Mathematical Fiace, 9, s Czerik T. (2007), Zysk przed stratą miara ryzyka z rodziy FPRM [w:] Metody matematycze i ekoometrycze metody ocey ryzyka fiasowego, red. P. Chrza, Wydawictwo Akademii Ekoomiczej, Katowice, s
15 Strategia stop-loss & profit 21 Czerik T., Iskra D. (2012), Maximal Loss ad Value at Risk. Portfolio Aalysis A Compariso [w:] Mathematical, Ecoometrical ad Computer Methods i Fiace ad Isurace 2010, eds. A.S. Barczak, T. Węgrzy, Publisher of the Uiversity of Ecoomics i Katowice, Katowice, s Holto G.A. (2003), Value at Risk. Theory ad Practice, Academic Press. Kloede P.E., Plate E. (2013), Numerical Solutio of Stochastic Differetial Equatios, Spriger. Merto R.C. (1973), Theory of Ratioal Optio Pricig, Bell Joural of Ecoomics ad Maagemet Sciece, 4 (1), s Meucci A. (2005), Risk ad Asset Allocatio, Spriger. Øksedal B. (2010), Stochastic Differetial Equatios: A Itroductio with Applicatios, Spriger. Szegö G. (2004) (ed.), Risk Measures for the 21st Cetury, Joh Wiley & Sos. STOP-LOSS & PROFIT STRATEGY PORTFOLIO OPTIMIZATION Summary: Oe of the goals of huma activity is icreasig of wealth. Ivestors takig actio o the capital market use very differet strategies. This paper presets a strategy stop-loss & profit. I additio, portfolio optimizatio were coducted from the poit of view of selected measures of attractiveess/risk. Keywords: ivestmet strategy, risk, radom processes.
ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO
Agieszka Jakubowska ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO. Wstęp Skąplikowaie współczesego życia gospodarczego powoduje, iż do sterowaia procesem zarządzaia
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 06.10.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r.
Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLVII Egzami dla Aktuariuszy z 6 paździerika 2008 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut . Kredytobiorca
Bardziej szczegółowoStruktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)
Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowoWERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa
Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.
Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLIII Egzami dla Aktuariuszy z 8 paździerika 2007 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:...
Bardziej szczegółowoINWESTYCJE MATERIALNE
OCENA EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI INWESTCJE: proces wydatkowaia środków a aktywa, z których moża oczekiwać dochodów pieiężych w późiejszym okresie. Każde przedsiębiorstwo posiada pewą liczbę możliwych projektów
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowoSystem finansowy gospodarki
System fiasowy gospodarki Zajęcia r 5 Matematyka fiasowa Wartość pieiądza w czasie 1 złoty posiaday dzisiaj jest wart więcej iż 1 złoty posiaday w przyszłości, p. za rok. Powody: Suma posiadaa dzisiaj
Bardziej szczegółowoBADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI
StatSoft Polska, tel. () 484300, (60) 445, ifo@statsoft.pl, www.statsoft.pl BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI ZA POMOCĄ ANALIZY ROZKŁADÓW Agieszka Pasztyła Akademia Ekoomicza w Krakowie, Katedra Statystyki;
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ
WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM RACHUNEK EKONOMICZNY W ELEKTROENERGETYCE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA
Bardziej szczegółowoz przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie
Bardziej szczegółowoModel ciągły wyceny opcji Blacka Scholesa - Mertona. Wzór Blacka - Scholesa na wycenę opcji europejskiej.
Model ciągły wycey opcji Blacka Scholesa - Mertoa Wzór Blacka - Scholesa a wyceę opcji europejskiej. Model Blacka Scholesa- Mertoa Przełomowe prace z zakresu wycey opcji: Fischer Black, Myro Scholes The
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 2: RENTY. PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE. TRWANIE ŻYCIA 1. Rety Retą azywamy pewie ciąg płatości. Na razie będziemy je rozpatrywać bez żadego związku z czasem życiem człowieka.
Bardziej szczegółowoMINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU
Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów
Bardziej szczegółowoPODSTAWY MATEMATYKI FINANSOWEJ
PODSTAWY MATEMATYKI INANSOWEJ WZORY I POJĘCIA PODSTAWOWE ODSETKI, A STOPA PROCENTOWA KREDYTU (5) ODSETKI OD KREDYTU KWOTA KREDYTU R R- rocza stopa oprocetowaia kredytu t - okres trwaia kredytu w diach
Bardziej szczegółowoWykład. Inwestycja. Inwestycje. Inwestowanie. Działalność inwestycyjna. Inwestycja
Iwestycja Wykład Celowo wydatkowae środki firmy skierowae a powiększeie jej dochodów w przyszłości. Iwestycje w wyiku użycia środków fiasowych tworzą lub powiększają majątek rzeczowy, majątek fiasowy i
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA
UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ INSTYTUT EKSPLOATACJI MASZYN I TRANSPORTU ZAKŁAD STEROWANIA ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA ĆWICZENIE: E20 BADANIE UKŁADU
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1
30. Obliczyć wartość graicy ( 0 ( ( ( 4 +1 + 1 4 +3 + 4 +9 + 3 4 +7 +...+ 1 4 +3 + 1 ( ( 4 +3. Rozwiązaie: Ozaczmy sumę występującą pod zakiem graicy przez b. Zamierzamy skorzystać z twierdzeia o trzech
Bardziej szczegółowoKonspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości)
Kospekt lekcji (Kółko matematycze, kółko przedsiębiorczości) Łukasz Godzia Temat: Paradoks skąpej wdowy. O procecie składaym ogólie. Czas lekcji 45 miut Cele ogóle: Uczeń: Umie obliczyć procet składay
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoOkresy i stopy zwrotu nakładów inwestycyjnych w ocenie efektywności inwestycji rzeczowych
Ekoomia Meedżerska 2009, r 5, s. 45 62 Marek Łukasz Michalski* Okresy i stopy zwrotu akładów iwestycyjych w oceie efektywości iwestycji rzeczowych 1. Wprowadzeie Podstawowym celem przedsiębiorstwa, w długim
Bardziej szczegółowoMetody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
Bardziej szczegółowoMateriał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012
Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0
Bardziej szczegółowoArkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.
Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)
Bardziej szczegółowo3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I ANALIZA DANYCH
TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica
Bardziej szczegółowoStrategie finansowe przedsiębiorstwa
Strategie fiasowe przedsiębiorstwa Grzegorz Michalski 2 Różice między fiasami a rachukowością Rachukowość to opowiadaie [sprawozdaie] JAK BYŁO i JAK JEST Fiase zajmują się Obecą oceą tego co BĘDZIE w PRZYSZŁOŚCI
Bardziej szczegółowoO pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii
O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję
Bardziej szczegółowoCzas trwania obligacji (duration)
Czas rwaia obligacji (duraio) Do aalizy ryzyka wyikającego ze zmia sóp proceowych (szczególie ryzyka zmiay cey) wykorzysuje się pojęcie zw. średiego ermiu wykupu obligacji, zwaego rówież czasem rwaia obligacji
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum
MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu
Bardziej szczegółowoPRZYKŁADY ROZWIAZAŃ STACJONARNEGO RÓWNANIA SCHRӦDINGERA. Ruch cząstki nieograniczony z klasycznego punktu widzenia. mamy do rozwiązania równanie 0,,
PRZYKŁADY ROZWIAZAŃ STACJONARNEGO RÓWNANIA SCHRӦDINGERA Ruch cząstki ieograiczoy z klasyczego puktu widzeia W tym przypadku V = cost, przejmiemy V ( x ) = 0, cząstka porusza się wzdłuż osi x. Rozwiązujemy
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 października 2005 r. Część I. Matematyka finansowa
Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XXXVI Egzami dla Aktuariuszy z 0 paździerika 2005 r. Część I Matematyka fiasowa Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut . Niech dur() ozacza duratio
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowoZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE
ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględą liczby rzeczywistej x defiiujemy wzorem: { x dla x 0 x = x dla x < 0 Liczba x jest to odległość a osi liczbowej
Bardziej szczegółowoPrzykład Obliczenie wskaźnika plastyczności przy skręcaniu
Przykład 10.5. Obliczeie wskaźika plastyczości przy skręcaiu Obliczyć wskaźiki plastyczości przy skręcaiu dla astępujących przekrojów: a) -kąta foremego b) przekroju złożoego 6a 16a 9a c) przekroju ciekościeego
Bardziej szczegółowoMetrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy
Bardziej szczegółowoI. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Bardziej szczegółowo8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych
8. Optymalizacja decyzji iwestycyjych 8. Wprowadzeie W wielu różych sytuacjach, w tym rówież w czasie wyboru iwestycji do realizacji, podejmujemy decyzje. Sytuacje takie azywae są sytuacjami decyzyjymi.
Bardziej szczegółowoJak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne?
Jak obliczać podstawowe wskaźiki statystycze? Przeprowadzoe egzamiy zewętrze dostarczają iformacji o tym, jak ucziowie w poszczególych latach opaowali umiejętości i wiadomości określoe w stadardach wymagań
Bardziej szczegółowoNumeryczny opis zjawiska zaniku
FOTON 8, iosa 05 7 Numeryczy opis zjawiska zaiku Jerzy Giter ydział Fizyki U Postawieie problemu wielu zagadieiach z różych działów fizyki spotykamy się z astępującym problemem: zmiay w czasie t pewej
Bardziej szczegółowoTRANSFORMACJA DO UKŁADU 2000 A PROBLEM ZGODNOŚCI Z PRG
Tomasz ŚWIĘTOŃ 1 TRANSFORMACJA DO UKŁADU 2000 A ROBLEM ZGODNOŚCI Z RG Na mocy rozporządzeia Rady Miistrów w sprawie aństwowego Systemu Odiesień rzestrzeych już 31 grudia 2009 roku upływa termi wykoaia
Bardziej szczegółowoVII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3.
KOOF Szczeci: www.of.szc.pl VII MIĘDZYNAODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretycze T3. Źródło: Komitet Główy Olimpiady Fizyczej; Olimpiada Fizycza XXIII XXIV, WSiP Warszawa 1977 Autor: Waldemar Gorzkowski
Bardziej szczegółowoMetoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień.
Metoda aalizy hierarchii Saaty ego Ważym problemem podejmowaia decyzji optymalizowaej jest często występująca hierarchiczość zagadień. Istieje wiele heurystyczych podejść do rozwiązaia tego problemu, jedak
Bardziej szczegółowoKolorowanie Dywanu Sierpińskiego. Andrzej Szablewski, Radosław Peszkowski
olorowaie Dywau ierpińskiego Adrzej zablewski, Radosław Peszkowski pis treści stęp... Problem kolorowaia... Róże rodzaje kwadratów... osekwecja atury fraktalej...6 zory rekurecyje... Przekształcaie rekurecji...
Bardziej szczegółowoWokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
Bardziej szczegółowoco wskazuje, że ciąg (P n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy K 0 r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P 1 z uwagi na wzór (3) ma postać P
Wiadomości wstępe Odsetki powstają w wyiku odjęcia od kwoty teraźiejszej K kwoty początkowej K, zatem Z = K K. Z ekoomiczego puktu widzeia właściciel kapitału K otrzymuje odsetki jako zapłatę od baku za
Bardziej szczegółowoZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ
ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Nr 573 Ekoomia XXXIX 2001 BŁAŻEJ PRUSAK Katedra Ekoomii i Zarządzaia Przedsiębiorstwem METODY OCENY PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH Celem artykułu jest przedstawieie metod
Bardziej szczegółowoZarządzanie finansami
STOWARZYSZENIE KSIĘGOWYCH W POLSCE ODDZIAŁ W POZNANIU Zarządzaie fiasami DR LESZEK CZAPIEWSKI - POZNAŃ - WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Pieiądze posiadają określoą wartość. Wartość w diu dzisiejszym omialej
Bardziej szczegółowo1. Metoda zdyskontowanych przyszłych przepływów pieniężnych
Iwetta Budzik-Nowodzińska SZACOWANIE WARTOŚCI DOCHODOWEJ PRZEDSIĘBIORSTWA STUDIUM PRZYPADKU Wprowadzeie Dochodowe metody wycey wartości przedsiębiorstw są postrzegae, jako ajbardziej efektywe sposoby określaia
Bardziej szczegółowoZmienna losowa N ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami (, q) = 7,
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.008 r. Zadaie. r, Zmiea losowa N ma rozkład ujemy dwumiaowy z parametrami (, q), tz.: Pr( N k) (.5 + k) (.5) k! Γ Γ * Niech k ozacza taką liczbę aturalą, że: * k if{
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA OPOLSKA
POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoAnaliza popytu na alkohol w Polsce z zastosowaniem modelu korekty błędem AIDS
Ekoomia Meedżerska 2011, r 10, s. 161 172 Jacek Wolak *, Grzegorz Pociejewski ** Aaliza popytu a alkohol w Polsce z zastosowaiem modelu korekty błędem AIDS 1. Wprowadzeie Okres trasformacji, zapoczątkoway
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R
Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą
Bardziej szczegółowoĆwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA
Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz
Bardziej szczegółowoKlasyfikacja inwestycji materialnych ze względu na ich cel:
Metodologia obliczeia powyższych wartości Klasyfikacja iwestycji materialych ze względu a ich cel: mające a celu odtworzeie środków trwałych lub ich wymiaę w celu obiżeia kosztów produkcji, rozwojowe:
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n
Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam
Bardziej szczegółowoRelacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:
Relacje rekurecyje Defiicja: Niech =,,,... będzie astępująco zdefiiowaym ciągiem: () = r, = r,..., k = rk, gdzie r, r,..., r k są skalarami, () dla k, = a + a +... + ak k, gdzie a, a,..., ak są skalarami.
Bardziej szczegółowo40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40.
Portfele polis Poieważ składka jest ustalaa jako wartość oczekiwaa rzeczywistego, losowego kosztu ubezpieczeia, więc jest tym bliższa średiej wydatków im większa jest liczba ubezpieczoych Polisy grupuje
Bardziej szczegółowoANALIZA DRGAŃ POPRZECZNYCH PŁYTY PIERŚCIENIOWEJ O ZŁOŻONYM KSZTAŁCIE Z UWZGLĘDNIENIEM WŁASNOŚCI CYKLICZNEJ SYMETRII UKŁADU
Dr iż. Staisław NOGA oga@prz.edu.pl Politechika Rzeszowska ANALIZA DRGAŃ POPRZECZNYCH PŁYTY PIERŚCIENIOWEJ O ZŁOŻONYM KSZTAŁCIE Z UWZGLĘDNIENIEM WŁASNOŚCI CYKLICZNEJ SYMETRII UKŁADU Streszczeie: W publikacji
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. () Statystyka opisowa 24 maja / 8
Część I Statystyka opisowa () Statystyka opisowa 24 maja 2010 1 / 8 Niech x 1, x 2,..., x będą wyikami pomiarów, p. temperatury, ciśieia, poziomu rzeki, wielkości ploów itp. Przykład 1: wyiki pomiarów
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Bardziej szczegółowoSzereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:
Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego
Bardziej szczegółowoZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4
Agata Boratyńska Statystyka aktuariala... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4 1. Wygeeruj szkody dla polis z kolejych lat wg rozkładu P (N = 1) = 0, 1 P (N = 0) = 0, 9, gdzie N jest liczbą szkód z jedej polisy.
Bardziej szczegółowoDamian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.
Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))
46. Wskazać liczbę rzeczywistą k, dla której graica k 666 + 333)) istieje i jest liczbą rzeczywistą dodatią. Obliczyć wartość graicy przy tak wybraej liczbie k. Rozwiązaie: Korzystając ze wzoru a różicę
Bardziej szczegółowo2.1. Studium przypadku 1
Uogóliaie wyików Filip Chybalski.. Studium przypadku Opis problemu Przedsiębiorstwo ŚRUBEX zajmuje się produkcją wyrobów metalowych i w jego szerokim asortymecie domiują różego rodzaju śrubki i wkręty.
Bardziej szczegółowoOBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD
OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD 1 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010 Rozpatrujemy belkę swobodie podpartą obciążoą siłą skupioą, obciążeiem rówomierie
Bardziej szczegółowoP = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +
Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch
Bardziej szczegółowoOptymalizacja sieci powiązań układu nadrzędnego grupy kopalń ze względu na koszty transportu
dr hab. iż. KRYSTIAN KALINOWSKI WSIiZ w Bielsku Białej, Politechika Śląska dr iż. ROMAN KAULA Politechika Śląska Optymalizacja sieci powiązań układu adrzędego grupy kopalń ze względu a koszty trasportu
Bardziej szczegółowoAnaliza wyników symulacji i rzeczywistego pomiaru zmian napięcia ładowanego kondensatora
Aaliza wyików symulacji i rzeczywistego pomiaru zmia apięcia ładowaego kodesatora Adrzej Skowroński Symulacja umożliwia am przeprowadzeie wirtualego eksperymetu. Nie kostruując jeszcze fizyczego urządzeia
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna 2-2
Ekoomia matematycza - Fukcja produkcji Defiicja Efektywym przekształceiem techologiczym azywamy odwzorowaie (iekiedy wielowartościowe), które kazdemu wektorowi akładów R przyporządkowuje zbiór wektorów
Bardziej szczegółowoANALIZA ZJAWISKA STARZENIA SIĘ LUDNOŚCI ŚLĄSKA W UJĘCIU PRZESTRZENNYM
Katarzya Zeug-Żebro Uiwersytet Ekoomiczy w Katowicach Katedra Matematyki katarzya.zeug-zebro@ue.katowice.pl ANALIZA ZJAWISKA STARZENIA SIĘ LUDNOŚCI ŚLĄSKA W UJĘCIU PRZESTRZENNYM Wprowadzeie Zjawisko starzeia
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011
Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoKADD Metoda najmniejszych kwadratów
Metoda ajmiejszych kwadratów Pomiary bezpośredie o rówej dokładości o różej dokładości średia ważoa Pomiary pośredie Zapis macierzowy Dopasowaie prostej Dopasowaie wielomiau dowolego stopia Dopasowaie
Bardziej szczegółowoPERSPECTIVES OF STATISTICAL METHODS IN DESIGN OF TRADING STRATEGIES FOR FINANCIAL MARKETS USING HIERARCHICAL STRUCTURES AND REGULARIZATION
STUDIA INFORMATICA 2013 Volume 34 Number 2A (111) Alia MOMOT Politechika Śląska, Istytut Iformatyki Michał MOMOT Istytut Techiki i Aparatury Medyczej ITAM PERSPEKTYWY ZASTOSOWAŃ METOD STATYSTYCZNYCH W
Bardziej szczegółowoModele tendencji rozwojowej STATYSTYKA OPISOWA. Dr Alina Gleska. Instytut Matematyki WE PP. 18 listopada 2017
STATYSTYKA OPISOWA Dr Alia Gleska Istytut Matematyki WE PP 18 listopada 2017 1 Metoda aalitycza Metoda aalitycza przyjmujemy założeie, że zmiay zjawiska w czasie moża przedstawić jako fukcję zmieej czasowej
Bardziej szczegółowoWartość przyszła FV. Zmienna wartość pieniądza w czasie. złotówka w garści jest warta więcej niŝ złotówka spodziewana w przyszłości
Zmiea wartość pieiądza w czasie Zmiea wartość pieiądza w czasie Zmiea wartość pieiądza w czasie jeda z podstawowych prawidłowości wykorzystywaych w fiasach polegająca a tym, Ŝe: złotówka w garści jest
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoTermodynamika defektów sieci krystalicznej
Termodyamika defektów sieci krystaliczej Defekty sieci krystaliczej puktowe (wakasje, atomy międzywęzłowe, obce atomy) jedowymiarowe (dyslokacje krawędziowe i śrubowe) dwuwymiarowe (graice międzyziarowe,
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowoZadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek.
FUNKCJA KWADRATOWA. Zadaia zamkięte. Zadaie. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem fukcji f ( x) ( x ) ma współrzęde: A. ( ; ) B. ( ; ) C. ( ; ) D. ( ; ) Zadaie. Zbiorem rozwiązań ierówości: (x )(x
Bardziej szczegółowoSiłownie ORC sposobem na wykorzystanie energii ze źródeł niskotemperaturowych.
Siłowie ORC sposobem a wykorzystaie eergii ze źródeł iskotemperaturowych. Autor: prof. dr hab. Władysław Nowak, Aleksadra Borsukiewicz-Gozdur, Zachodiopomorski Uiwersytet Techologiczy w Szczeciie, Katedra
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny
TEMATYKA: Regresja liiowa dla prostej i płaszczyzy Ćwiczeia r 5 DEFINICJE: Regresja: metoda statystycza pozwalająca a badaie związku pomiędzy wielkościami daych i przewidywaie a tej podstawie iezaych wartości
Bardziej szczegółowoWARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE
WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Czyiki wpływające a zmiaę watości pieiądza w czasie:. Spadek siły abywczej. 2. Możliwość iwestowaia. 3. Występowaie yzyka. 4. Pefeowaie bieżącej kosumpcji pzez człowieka. Watość
Bardziej szczegółowoMirosława Gazińska. Magdalena Mojsiewicz
STUDIA DEMOGRAFICZNE 1(145) 2004 Mirosława Gazińska Katedra Ekoometrii i Statystyki Magdalea Mojsiewicz Katedra Ubezpieczeń i Ryków Kapitałowych Uiwersytet Szczeciński MODELOWANIE CZASU TRWANIA ŻYCIA BEZ
Bardziej szczegółowoMiary położenia (tendencji centralnej) to tzw. miary przeciętne charakteryzujące średni lub typowy poziom wartości cechy.
MIARY POŁOŻENIA I ROZPROSZENIA WYNIKÓW SERII POMIAROWYCH Miary położeia (tedecji cetralej) to tzw. miary przecięte charakteryzujące średi lub typowy poziom wartości cechy. Średia arytmetycza: X i 1 X i,
Bardziej szczegółowoAnaliza potencjału energetycznego depozytów mułów węglowych
zaiteresowaia wykorzystaiem tej metody w odiesieiu do iych droboziaristych materiałów odpadowych ze wzbogacaia węgla kamieego ależy poszukiwać owych, skutecziej działających odczyików. Zdecydowaie miej
Bardziej szczegółowoTRANZYSTORY POLOWE JFET I MOSFET
POLTECHNKA RZEZOWKA Kaedra Podsaw Elekroiki srukcja Nr5 F 00/003 sem. lei TRANZYTORY POLOWE JFET MOFET Cel ćwiczeia: Pomiar podsawowych charakerysyk i wyzaczeie paramerów określających właściwości razysora
Bardziej szczegółowo1.3. Największa liczba naturalna (bez znaku) zapisana w dwóch bajtach to a) b) 210 c) d) 32767
Egzami maturaly z iformatyki Zadaie. (0 pkt) Każdy z puktów tego zadaia zawiera stwierdzeie lub pytaie. Zazacz (otaczając odpowiedią literę kółkiem) właściwą kotyuację zdaia lub poprawą odpowiedź. W każdym
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW
INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ Opracował: Dr iż. Grzegorz
Bardziej szczegółowo