Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień.

Transkrypt

1 Metoda aalizy hierarchii Saaty ego Ważym problemem podejmowaia decyzji optymalizowaej jest często występująca hierarchiczość zagadień. Istieje wiele heurystyczych podejść do rozwiązaia tego problemu, jedak dzisiaj ajbardziej populare jest stosowaie Metody Aalizy Hierarchii (MAH) Thomasa Saat ego (Aalytic Hierarchy Process), która a przykład w Staach Zjedoczoych jest dziś stadardem. Uiwersalość metody sprawia, iż zajduje oa zastosowaie a uczeliach, w prywatych firmach, a awet w przypadku projektów rządowych. MAH opracowaa przez T. Saaty'ego w roku 977, ma za zadaie wspomagać proces decyzyjy, w którym zachodzi koieczość podjęcia decyzji z uwzględieiem wielu kryteriów. Metoda ma bardzo szerokie zastosowaia - począwszy od ekoomii i bakowości, poprzez logistykę, a szeroko pojętym marketigu skończywszy. Istotym jest, że prostota i uiwersalość metody pozwala a zastosowaie jej w życiu codzieym p. wybierając ajlepszy kredyt, pracowika, kadydata do awasu zawodowego wśród podwładych, sposobu ogrzewaia domu, czy wycey ieruchomości. Istota metody polega a hierarchiczym przedstawieiu elemetów określających ses rozwiązywaego problemu. Metoda składa się z dekompozycji problemu a coraz prostsze składiki i części, a astępie obróbki szeregu opiii osoby podejmującej decyzję za pomocą metody opartej a tzw. macierzy parzystych porówań. W rezultacie wyliczeń a podstawie macierzy oszacuje się względe stopie wzajemych relacji elemetów rozpatrywaych hierarchii oraz zostaje wybraa ajlepsza z puktu widzeia sformułowaego celu alteratywa.

2 Algorytm MAH składa się z pięciu podstawowych etapów: budowy modelu hierarchiczej struktury decyzyjej ocey ważości kryteriów wyboru, ocey alteratyw a podstawie kryterium wyboru, sprawdzeia spójości daych, ocey alteratyw. Budowa modelu hierarchiczej struktury decyzyjej. W ramach MAH powiie być wykoay rozkład problemu decyzyjego w postaci hierarchiczej struktury decyzyjej: określeie celu aalizy, zdefiiowaie kryteriów ocey, określeie alteratyw. Dae do wyboru ajlepszej karty kredytowej Sieć placów ek Oprocetowa ie kredytu Opłaty Sieć bakom a tów Okres ieopro cetowa ego kredytu mbak 9,90% 0 zl 87 4 di Bak Milleiu m 0 6,90 % 8zl 00 di Bak BPH 6.90% 70zl 0 6 di

3 KARTY KREDYT OWE SZEROKA SIEĆ PLACÓWEK NISKIE OPROCENTOWA NIE KREDYTU NISKI KOSZT PROWADZENIA KARTY ILOŚĆ BANKOMATÓW OKRES NIEOPROCENTOW NEGO KREDYTU mbank BANK MILLENIUM BANK BPH Ocea ważości kryteriów wyboru Porówaie kryteriów odbywa się w parach a podstawie subiektywego określeia, które z ich i w jakim stopiu przeważa ad drugim. Przyjmuje się przy tym 9-stopiową skalę oce ważości kryteriów: - oba elemety są rówozacze, - jede elemet ma iewielką przewagę ad drugim, - jede elemet ma umiarkowaą przewagę ad drugim, 4 - jede elemet ma silą przewagę ad drugim, - jede elemet ma zaczą przewagę ad drugim 6 - jede elemet ma silą przewagę ad drugim, 7 - jede elemet ma bardzo silą przewagę ad drugim, 8- jede elemet ma bardzo silą, ale ie absolutą przewagę ad drugim, 9 - jede elemet ma absolutą przewagę ad drugim. Ocey kryteriów o relacjach odwrotych są odwrote do podaych powyżej oce. Ocey te tworzą macierz parzystych porówań, w której wierszom i kolumą odpowiadają kokrete elemety modelu hierarchiczej struktury decyzyjej.

4 W macierzy tej a główej przekątej zajdują się wartości. Liczbę porówań, których ależy dokoać przedstawia wzór: ( ) gdzie: - liczba kryteriów c, () Utworzeie macierzy parzystych porówań kryteriów wiąże się z wyliczeiem ich względej ważości. W tym celu stosuje się wzór a współczyik względej ważości: 4 aij j () j i j a ij Suma współczyików względej ważości musi być rówa lub zbliżoa do liczby kryteriów. j () j Macierz parzystych porówań a ij K K K K4 K K /7 / / K 7 9 K / / K4 / /9 / /7 K / 7

5 Korzystając ze wzoru () liczymy koleje współczyiki: / 7 / / 7 9,96 / / / / 9 / / 7 / 7,06 7,77 4 0,49 7,77,96 7,77 7,77 0,4 7,77,06 7,77 0, ,064 0, 0,, 0, 0,6 0, 0,6 0,64, Ocea alteratyw a podstawie kryterium wyboru W tym kroku macierz parzystych porówań alteratyw tworzoa jest dla każdego kryterium. Skala oce ważości alteratyw jest podoba do stosowaej w przypadku ocey ważości kryteriów: - oba elemety rówozaczie spełiają kryterium, - jede elemet z iewielką przewagą ad drugim spełia kryterium, - jede elemet z umiarkowaą przewagą ad drugim spełia kryterium, 4 - jede elemet z umiarkowaie silą przewagą ad drugim spełia kryterium,

6 6 - jede elemet ze zaczą przewagą ad drugim spełia kryterium, 6 - jede elemet z silą przewagą ad drugim spełia kryterium, 7 - jede elemet z bardzo silą przewagą ad drugim spełia kryterium, 8 - jede elemet z bardzo silą, ale ie absolutą przewagą ad drugim spełia kryterium, 9 - jede elemet z absolutą przewagą ad drugim spełia kryterium. Ocey alteratyw o relacjach odwrotych podobie jak ocey kryteriów są odwrote do podaych powyżej oce. Liczba porówań: m( m ) c, (4) gdzie: - liczba kryteriów, m - liczba alteratyw. Macierze parzystych porówań alteratyw wykouje się tak samo jak dla kryteriów. Wzór a wyliczeie współczyika względej ważości: m m aij j m () j m m m i j a ij Suma współczyików względej ważości jest rówa lub bliska liczbie alteratyw: j m (6) j

7 7 Ocea alteratyw dla K( szeroka sieć placówek) mbak Milleium BPH mbak / / Milleium / BPH / / 0,4,466,876 0,4,876,876,466,876 0,7 0,774,909 Ocea alteratyw dla K(iskie oprocetowaie kredytu) mbak Milleium BPH mbak / Milleium BPH / /,876,9 0,77 0,4

8 8 Ocea alteratyw dla K(iski koszt prowadzeia karty) mbak Milleium BPH mbak / Milleium 7 BPH / /7 4, 0,78,79 4, 0,6 0,6 4, Ocea alteratyw dla K4(ilość bakomatów) mbak Milleium BPH mbak /7 / Milleium 7 BPH / 0,4,9 0,6 Ocea alteratyw dla K (ajdłuższy okres ieoprocetowaego kredytu) mbak Milleium BPH mbak / Milleium / /7 BPH 7

9 9 0,6 0,4,9 Sprawdzeie spójości daych Sprawdzeie spójości daych odbywa się przy użyciu współczyika iespójości i stosuku iespójości. Jest bardzo ważym etapem budowaia algorytmu, poieważ moża sprawdzić czy ocey dla kryteriów i alteratyw są prawidłowo dobrae. Współczyik iespójości i stosuek iespójości daych sprawdza się za pomocą wzoru (7) i (9) : CI max (7) gdzie: CI - współczyik iespójości, max - maksymala wartość własa macierzy, - liczba porówywaych elemetów Maksymalą wartość własą macierzy: max a ij j, (8) j i gdzie: a ij i j - współczyik względej ważości. - suma wierszy macierzy parzystych porówań, CI CR RI, (9)

10 0 gdzie: CR - stosuek iespójości, CI - współczyik iespójości, RI - współczyik losowej zgodości, którego wartość zależy od liczby porówywaych elemetów (tabela ) Tabela. Współczyik losowej zgodości RI RI 0 0 0, 0,89,,,,40,4,49 Współczyik CI mówi o tym, w jakim stopiu spójie postępują decydeci przy sporządzaiu macierzy parzystych porówań. Thomas Saaty zasugerował, żeby macierz tą odrzucić i proces ustalaia oce kryteriów i alteratyw podjąć a owo, gdy CI i CR przekracza 0,. Wyliczamy max : ( 7 / ) 0,,7 (/7 / /9 /), 4,8 (/ / ) 0,6 6,97 ( 9 7) 0,6 4, max =6,4/=,09, =. (/ / /7 ), 6,47 6,44 Wyliczamy = CI CR,09 4 0,077, 0,077 0, 0,069 0, max odpowiedio dla kolejych kryteriów.

11 Dla K. ( ) 0,7,8 (/ (/ max =9,4/=,04 Dla K. max =,08 CI ) 0,774,4 / ),909,97 9,4 CR CI CR,04 0,0 0,8,08 0,09 0,8 0,0 0, 0,09 0, 0,09 0, 0,0 0, Ocea alteratyw Ocea alteratyw odbywa się a podstawie zestawieia współczyików względej ważości kryteriów wyboru i oce alteratyw w oparciu o kryterium wyboru. Ocea ta pozwala a wybór ajlepszej alteratywy spośród wszystkich rozpatrywaych. Wartości ocey alteratyw określa się przy wykorzystaiu astępującego wzoru: ei ( j j ij ) (0) gdzie: e i - wartość ocey i - tej alteratywy, - liczba kryteriów, j - współczyik względej ważości j - tego kryterium, ij - współczyik względej ważości i - tej alteratywy dla j - tego kryterium

12 e e e 0, 0,7, 0,77 0,6 0,78 0,6 0,4, 0,6,6 0, 0,774,,9 0,6 0,6,9, 0,4 7,04 0,,909, 0,4 0,6 0,6 0,6 0,6,,9 4,69 Odpowiedź Z otrzymaych wyików dostajemy iformację, iż ajkorzystiejsza dla wybierającego jest oferta e, czyli Milleium Bak. Rozpatrywaa MAH posiada dwie poważe wady:. Przy zmiaie ilości alteratyw iezbęde jest tworzeie wszystkich macierzy dla poziomu alteratyw od owa. Niestety przy tym ie jest możliwe skorzystaie z iformacji otrzymaej wcześiej, co z kolei zmusza do kompletego przeliczeia wszystkich kryteriów dla wyboru alteratyw od owa. W przypadku koieczości pracy z dużym i szybko zmieiającym się zbiorem alteratyw (aaliza ofert zapropoowaych dużej hadlowej firmy) ta wada MAH staje się wadą krytyczą.. Przy stosowaiu pierwotej iformacji o alteratywach, iezależie od tego czy miała oa charakter ilościowy, czy też jakościowy, dla tworzeia macierzy porówań parami cała iformacja musi być przekształcoa w typ jakościowy, wyrażający jakościowe ocey jedej alteratywy w stosuku do drugiej. Strata iformacji ilościowej w tym wypadku może powodować błęde, awet fatale rezultaty podczas podejmowaej decyzji.

13 Przykład. Jeżeli jede dom kosztuje $0 tys. a iy $0 ml, wtedy w macierzy porówań parami w kratce odpowiadającej kryterium kosztu ajprawdopodobiej pojawi się cyfra 9, odzwierciedlająca silą przewagę pierwszego domu ad drugim pod względem cey. Z iej stroy cea domu $0 ml dla przeciętie zamożej rodziy, może być ie tylko mało przyjema, ale po prostu ie do rozważeia. Jedak przy używaiu MAH przy miej więcej pożądaych wartościach iych czyików charakteryzujących jakość domu (w praktyce tak powio być, bo dom o ceie $0 ml musi być względem każdego z kryteriów oprócz fiasowego, lepszym od domu kosztującego $0 tyś) może okazać się, że drugi dom, a który rodzię w ogóle ie stać jest lepszy pod względem kryterium globalego. Jase, że takie wyiki aalizy są po prostu absurdale.