Ćwiczenie 2 ESTYMACJA STATYSTYCZNA

Transkrypt

1 Ćwiczeie ETYMACJA TATYTYCZNA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej estymatorem, która daje ajlepsze przybliżeie wartości szacowaej charakterystyki a podstawie wartości z próby. Estymacja przedziałowa polega a wyzaczaiu przedziału, zwaego przedziałem ufości, który z prawdopodobieństwem α (zwaym poziomem ufości), zawiera wartość badaego parametru.. ANALIZA DANYCH DYKRETNYCH Rozpatrujemy rozkład dwupuktowy, czyli taki, w którym zmiea losowa przyjmuje jedą z dwóch wartości. Jedą z ważiejszych charakterystyk tego rozkładu jest częstość wystąpieia w populacji elemetu o określoej właściwości (udział takich elemetów w populacji), tzw. wskaźik struktury, albo prawdopodobieństwo sukcesu. zacowaie wartości wskaźika struktury a podstawie badaia próbki Dyspoujemy próbką -elemetową o k elemetach wyróżioych. Estymacja puktowa Estymatorem wskaźika struktury daej populacji jest stosuek liczby elemetów wyróżioych w próbce do liczości próbki k. Estymacja przedziałowa W zależości od wielkości próbki rozpatrzymy dwa przypadki: a) dla próby o małej liczości ( < 00) przedział ufości wskaźika struktury a poziomie ufości -α jest postaci: b) dla próby o dużej liczości ( 00 ) przedział ufości wskaźika struktury a poziomie ufości -α jest postaci: gdzie: ( p, p ) p - kwatyl rozkładu beta (k, -k+) rzędu p - kwatyl rozkładu beta (k+, -k) rzędu ( ) ( ) u, u gdzie: u - kwatyl rozkładu ormalego stadaryzowaego N(0, ) rzędu

2 Wyzaczaie miimalej wielkości próbki Jeżeli chcemy skostruować przedział ufości dla wskaźika struktury, o z góry zadaej długości rówej d a poziomie ufości -α, ależy pobrać z populacji geeralej próbkę o odpowiediej liczbie elemetów. Miimalą liczbę elemetów próbki możemy obliczyć za pomocą poiższych wzorów:. Jeżeli zamy rząd wielkości szacowaego wskaźika struktury, wówczas. Jeżeli rząd wielkości wskaźika struktury ie jest zaay, wówczas gdzie jest spodziewaą wartością wskaźika struktury gdzie d jest połową przedziału ufości. ANALIZA DANYCH CIĄGŁYCH W ramach zajęć będziemy wyzaczać przedziały ufości dla wartości średiej i wariacji dla próbek pochodzących z populacji, w których badaa cecha ma rozkład ormaly N(μ, σ). Używae ozaczeia: - średia arytmetycza elemetów próbki - odchyleie stadardowe wyikające z próbki - wariacja wyikająca z próbki f t - kwatyl rozkładu t-tudeta rzędu p o f stopiach swobody p u p - kwatyl rozkładu ormalego stadaryzowaego N(0, ) rzędu p - kwatyl rozkładu chi-kwadrat rzędu p o f stopiach swobody p, f Kostrukcja przedziałów ufości dla wartości średiej Rozpatrujemy -elemetową próbę.. Jeżeli wariacja σ populacji, z której. Przedział ufości a poziomie ufości -α pochodzi rozpatrywaa próbka jest zaa, w przypadku, kiedy wariacja ie jest zaa, przedział ufości a poziomie ufości -α jest ma postać: postaci: u u t t

3 Kostrukcja przedziałów ufości dla wariacji. Dla małej próbki ( < 50) przedział ufości a poziomie ufości -α dla wariacji populacji ma postać:. Dla dużej próbki ( 50) przedział ufości a poziomie ufości -α,, 3 u 3 u Wyzaczaie miimalej wielkości próby Aby skostruować przedział ufości o długości d dla oszacowaia wartości średiej µ a poziomie ufości -α ależy pobrać próbę o miimalej liczbie elemetów obliczoej według poiższych wzorów:. Jeżeli odchyleie stadardowe σ jest zae, wówczas. Jeżeli odchyleie stadardowe σ ie jest zae, wówczas a podstawie próbki wstępej o liczości 0 i odchyleiu stadardowym 0 wyikającym z tej próbki Procedury programu tatgraphic Do obliczeia średiej arytmetyczej, wariacji i odchyleia stadardowego z próbki moża wykorzystać arzędzie do wyzaczaia statystyk opisowych lub fukcje wbudowaego kalkulatora: AVG(? ) oblicza średią arytmetyczą VARIANCE(? ) oblicza wariację D(? ) oblicza odchyleie stadardowe Do obliczeia kwatyla wybraego rozkładu moża wykorzystać fukcje wbudowaego kalkulatora: INVBETA(??? ) oblicza kwatyl rozkładu beta pierwszy parametr rząd szukaego kwatyla, dwa astępe stopie swobody. 3

4 INVNORMAL(??? ) oblicza kwatyl rozkładu ormalego pierwszy parametr rząd kwatyla, drugi średia stadaryzowaego rozkładu ormalego (= 0), trzeci odchyleie stadardowe stadaryzowaego rozkładu ormalego (= ). INVTUDENT(?? ) oblicza kwatyl rozkładu t-tudeta pierwszy parametr rząd szukaego kwatyla, drugi stopień swobody INVCHIQUARE(?? ) oblicza kwatyl rozkładu chi-kwadrat pierwszy parametr rząd szukaego kwatyla, drugi stopień swobody Przedziały ufości dla wartości średiej i odchyleia stadardowego zadaej próby wyzacza się za pomocą arzędzia Describe/Numeric Data/Oe-Variable Aalysis... wybierając w opcjach tekstowych oka aalizy Cofidece Itervals. tadardowo przedziały ufości wyzaczae są a poziomie ufości 95%. Poziom te moża zmieić wybierając z meu podręczego oka wyikowego opcję Pae Optios. Wielkość próby wyzacza się za pomocą arzędzia Describe/ ample-ize Determiatio Literatura Krysicki W., Bartos J. i i. Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka matematycza w zadaiach PWN Warszawa 986 Wybrae zagadieia wioskowaia statystyczego z wykorzystaiem pakietu TATGRAPHIC preskryp laboratoryjy. Praca pod redakcją Przemysława Grzegorzewskiego. Oficya Wydawicza PW, Warszawa 00 4

5 ZADANIA Zadaie W wyiku kotroli jakości samochodów produkowaych w jedej fabryce stwierdzoo, że a 0 badaych samochodów 3 mają istote wady. Wyzaczyć przedział ufości dla frakcji wadliwych samochodów a poziomie ufości - a = 0,95. Poadto, przy założeiu maksymalego błędu szacuku wskaźika struktury d=0.0, oraz zakładając, że spodziewaa wielkość wskaźika struktury wyosi 0.5, wyzaczyć miimalą liczość próby. Zadaie pośród 0 wylosowaych pracowików pewego zakładu 7 ie wykoywało ormy wydajości pracy. Wyzaczyć 99-procetową realizację przedziału ufości dla frakcji p pracowików tego zakładu, którzy ie wykoują ormy oraz podać wartość estymatora parametru p. Zadaie 3 Za pomocą pewego istrumetu pomiarowego dokoao = 0 pomiarów średicy pewego pierścieia i otrzymao wyiki: 8,353 8,83 8,07 8,567 8,676 8,993 8,4 8,867 8,699 8,99 8,458 8,88 8,049 8,96 8,838 8,64 8,055 8,85 8,865 8,47 Producet tych istrumetów gwaratuje, że przy posługiwaiu się imi rozrzut pomiarów wyosi σ = 0,03. Zakładamy, że badaa cecha ma rozkład ormaly. a) Wyzaczyć przedział ufości dla wartości przeciętej μ średicy pierścieia przyjmując poziom ufości - α = 0,95. b) Czy liczba pomiarów jest wystarczająca, aby z prawdopodobieństwem 0.99 zapewić, że połowa długości przedziału ufości d dla średiej wartości średicy pierścieia była miejsza iż 0.0 mm? Zadaie 4 Dokoao =5 pomiarów ciśieia w komorze spalaia pewego typu silika i otrzymao astępujące wyiki: kg/cm. Zakładamy, że ciśieie ma rozkład ormaly. a) Wyzaczyć przedział ufości dla wartości oczekiwaej µ ciśieia w komorze spalaia dla dwóch poziomów ufości: -α = 0.95 oraz -α = 0.99 b) Czy wstępa liczba pomiarów zapewia z prawdopodobieństwem 0.95, że połowa długości przedziału ufości d dla średiej wartości ciśieia jest miejsza iż kg/cm c) Na poziomie ufości - a = 0.98 określić przedział ufości dla wariacji σ ciśieia w komorze spalaia. Zadaie 5 Badaiu poddao = 5 elemetów tego samego typu i w przedziale czasu [0,400] [h] zliczoo liczbę odów tego elemetu otrzymując astępujące wyiki: Przyjmując poziom ufości - α= 0,95 wyzaczyć przedziały ufości dla wartości średiej μ oraz wariacji σ liczby odów do chwili 400 [h]. Zadaie 6 Dokoao = 0 pomiarów długości drogi hamowaia pewego typu pojazdu samochodowego przy prędkości 00 [km/h] i otrzymao astępujące wyiki: średia = 38,65, odchyleie =,3 [m]. Wyzaczyć przedziały ufości dla wartości przeciętej µ i wariacji długości drogi hamowaia σ przyjmując poziom ufości -α = 0,9 5