2.1. Studium przypadku 1

Transkrypt

1 Uogóliaie wyików Filip Chybalski.. Studium przypadku Opis problemu Przedsiębiorstwo ŚRUBEX zajmuje się produkcją wyrobów metalowych i w jego szerokim asortymecie domiują różego rodzaju śrubki i wkręty. Śrubki są sprzedawae w opakowaiach o różej wadze, przy czym ajczęściej jest to opakowaie 0-kilogramowe. Pakowaie wyrobów astępuje automatyczie a odpowiediej liii techologiczej, przystosowaej do tego celu. Zarząd chce sprawdzić z 98-proc. prawdopodobieństwem, ile waży przeciętie 0-kilogramowe (z założeia) pudełko śrubek z błędem ie większym iż ±0,09 kg. Jeżeli będzie to możliwe, zarząd chciałby rówież dyspoować iformacją (a poziomie wiarygodości rówym 98%), o ile przeciętie waga pudełka różi się od jego oczekiwaej wagi. Odpowiedź a pierwsze pytaie pozwoli zarządowi oceić, ile waży przeciętie pudełko śrubek, a tym samym sprawdzić, czy w masowym zjawisku, jakim jest pakowaie śrubek do pudełek, ie ma zaczących adwyżek lub iedoborów wyrobów (czy p. do 00 pudełek trafia 000 kg śrubek). Tym samym będzie moża odpowiedzieć a pytaie, czy firma ie odotowuje a etapie pakowaia śrubek ieprzewidziaych i iezamierzoych zysków lub strat. Drugie pytaie dotyczy atomiast tego, ile przeciętie waga pudełka śrubek różi się od średiej wagi tego pudełka. Odpowiedź a pierwsze pytaie ie dostarcza iformacji a te temat, bowiem fakt, że p. opakowaie waży średio 0 kg ie ozacza, że każde tyle waży. Jedo bowiem może ważyć 0, kg a drugie 9,9 kg, co ozacza tylko, że przeciętie ważą 0 kg, ale żade z ich ie waży dokładie 0 kg. Odpowiedź a pytaie o przecięte odchyleie od średiej wagi pudełka jest zatem waża, poieważ wówczas będzie moża oceić, a ile kilogramów śrubek jest przeciętie oszukiway kliet, przy czym to oszukiwaie w tym miejscu ma zaczeie eutrale, tz. kliet może kupić opakowaie o wadze wyższej iż średia (i skorzystać a tym) lub o wadze iższej iż średia waga pudełka (i stracić a tym). Poadto odpowiedzi a oba pytaia dostarczą zarządowi iformacji o sprawości działaia liii techologiczej do pakowaia oraz jakości jej obsługi przez pracowików. Opis metody rozwiązaia problemu: dobór próby, przedziały ufości, testy statystycze

2 Przedstawioa powyżej przykładowa sytuacja w pewym przedsiębiorstwie, awet, jeśli wydaje się, że dotyczy prostego problemu ocey jakości działaia liii techologiczej, z puktu widzeia statystyki jest problemem złożoym, wymagającym zastosowaia kilku arzędzi statystyczych a różych etapach jego rozwiązaia. Kwestią kluczową jest zrozumieie problemu, gdyż to umożliwia zaplaowaie odpowiedich działań, mających a celu jego rozwiązaie. Następie ależy dobrać odpowiedie arzędzia statystycze, które pozwolą udzielić odpowiedzi a dwa zadae przez zarząd pytaia. Co ciekawe, etap plaowaia etapów rozwiązaia problemu wymaga zaczie więcej kreatywości, aiżeli etap zastosowaia metod ilościowych, poieważ te ie są zbyt zaawasowae i skomplikowae. Zresztą studiując metody ilościowe warto prezetować podejście, że ie jest sztuką auczyć się skomplikowaych arzędzi statystyczych i ie wiedzieć, jak i kiedy je wykorzystać. Sztuką jest potrafić proste arzędzia statystycze wykorzystać w praktyce, w tym w praktyce zarządzaia przedsiębiorstwem. Właśie takie podejście zaczie obiża powszechie paującą awersję do statystyki. Przeaalizujmy kolejo złożoość przedstawioego problemu. Po pierwsze zarząd sformułował dwa pytaia, dotyczące ogółu 0-kilogramowych opakowań śrubek, a ie kokretej ich partii. Pytaie dotyczy więc pewej cechy (wagi opakowaia śrubek, z założeia 0-kilogramowego) w populacji geeralej tych opakowań. Aby a te pytaia odpowiedzieć ze 00-proc. wiarygodością, ależałoby ważyć każde z ich. Jedak zarząd zazaczył, że satysfakcjouje go wiarygodość a poziomie 98%. Stąd wiadomo, że badaie może mieć charakter częściowy i w związku z tym może być przeprowadzoe a odpowiedio liczej próbie. Pierwsze waże pytaie, jakie się asuwa, brzmi: w jaki sposób ta próba musi być dobraa? Poieważ w oparciu o wyiki uzyskae w próbie (tymi wyikami są średia waga oraz odchyleie stadardowe wagi opakowaia śrubek) mają być sformułowae wioski dotyczące ogółu tych opakowań (czyli ich populacji geeralej), ależy zastosować odpowiedie arzędzia, umożliwiające uogólieie wyików z próby a populację (czyli arzędzia wioskowaia statystyczego, zwae rówież statystyką matematyczą). Warukiem uogólieia tych wyików z określoym prawdopodobieństwem (w aszym przykładzie rówym 98%) jest reprezetatywy charakter próby, co ozacza, że: - musi oa zostać pobraa w sposób losowy, tz. każda jedostka populacji geeralej (czyli każde 0-kilogramowe pudełko śrubek) ma zae i róże od zera prawdopodobieństwo wylosowaia do próby, - liczebość próby będzie odpowiedio duża. Aby pierwsze kryterium zostało spełioe, próba musi zostać pobraa w odpowiedi sposób. Stosowaymi ajczęściej w praktyce schematami losowaia dającymi próbie losowy charakter są przede wszystkim losowaie za pomocą liczb losowych oraz losowaie metodą doboru

3 systematyczego. W aalizowaym przykładzie moża zastosować zarówo jede jak i drugi schemat losowaia, iemiej schemat losowaia metodą doboru systematyczego wydaje się być tu łatwiejszy do zastosowaia, poieważ polega o a wybieraiu do próby co któregoś pudełka z liii techologiczej. Aby odpowiedzieć a pytaie, co które pudełko powio zostać odłożoe z liii i w te sposób umieszczoe w próbie, zaa musi być liczebość populacji geeralej oraz pożądaa liczebość próby. Wiadomo, że losowaie będzie dokoywae w przeciągu jedego dia a trzech kolejych zmiaach produkcyjych (każda trwa 8 godz.) W ciągu jedej godziy taśmę opuszcza kilogramowych pudełek śrubek. Wyika stąd, że próba zostaie pobraa spośród 8640 pudełek. Iterwał losowaia ustala się za pomocą astępującego wzoru: N k = (.) Aby ustalić pożądaą liczebość próby, ależy doprecyzować, w jaki sposób udzieloa zostaie odpowiedź a pierwsze pytaie, czyli dotyczące przeciętej wagi pudełka śrubek. Aby ustalić z zadaym prawdopodobieństwem (miejszym od ), ile wyosi szacukowa przecięta waga pudełka śrubek, ależy oszacować odpowiedi przedział ufości. Tylko przedział ufości w przypadku zmieych losowych ciągłych umożliwia określeia prawdopodobieństwa, że day parametr statystyczy przyjmuje określoą wartość (wartość z jakiegoś przedziału). W aszym przypadku tym parametrem jest wartość średia µ (iaczej wartość przecięta, wartość oczekiwaa). Poieważ ie zamy rozkładu wagi 0-kilogramowego pudełka śrubek oraz wariacji tej cechy w populacji geeralej, przedział ufości dla średiej może być szacoway wyłączie dla próby dużej, czyli liczącej więcej iż 30 elemetów, według wzoru: gdzie: σ σ P X tα < µ < X + tα = α (.) X - średia wartość cechy, obliczoa w próbie, σ odchyleie stadardowe cechy w populacji geeralej, które w aszym przykładzie jest iezae i ależy je przybliżyć wartością z próby, czyli σ S, przy czym S liczymy według wzoru.8, liczebość próby, t α - wartość krytycza, odczytaa z tablic rozkładu ormalego tak, że -α - poziom wiarygodości (prawdopodobieństwo p). α ( t ) =, φ α Jak wspomieliśmy, bezwzględy błąd szacuku ufości, czyli: d jest rówy połowie rozpiętości przedziału X 3

4 d x σ = tα. (.3) Poieważ jedak σ ie jest zae, a podstawie próbki wstępej, liczącej 0 elemetów, obliczamy odchyleie stadardowe według wzoru: S = ( X i X 0 ) i=, (.4) i im przybliżamy odchyleie stadardowe w populacji geeralej σ. Liczebość próby właściwej obliczamy w takim przypadku z astępującego wzoru: t = α, o d S x. (.5) Wartość t α, odczytujemy z tablic rozkładu t-studeta dla przyjętego poziomu istotości α=-p o oraz 0 - stopi swobody. W te sposób uzyskujemy liczebość próby. Następie, korzystając ze wzoru., ustalimy wielkość iterwału losowaia. Po pobraiu - elemetowej próby moża przejść do oszacowaia przedziału ufości dla średiej (wzór.). Iterpretacja otrzymaego przedziału ozacza, że z zadaym prawdopodobieństwem przedział te pokrywa rzeczywistą wartość średiej w populacji, czy też iaczej, że średia z zadaym prawdopodobieństwem zawiera się w tym przedziale. Następie moża przejść do działań zmierzających do udzieleia odpowiedzi a drugie pytaie. Zarząd oczekuje iformacji wiarygodej a poziomie 98% bez wskazaia wielkości bezwzględego błędu szacuku, dlatego posłużymy się tą samą próbą, co w przypadku szacowaia przedziału ufości dla średiej wagi pudełka śrubek. Poieważ jedak teraz pytaie dotyczy przeciętego odchyleia od tej średiej, ależy oszacować odpowiedi przedział ufości dla miary zmieości, jaką jest wariacja. Po spierwiastkowaiu wartości krańcowych uzyskaego przedziału dla wariacji, otrzymamy przedział ufości dla odchyleia stadardowego (które jest pierwiastkiem wariacji). Przedział ufości dla wariacji moża szacować wyłączie w sytuacji, gdy rozkład badaej cechy (w tym przypadku wagi pudełka śrubek) jest ormaly. Poieważ my taką iformacją ie dyspoujemy, musimy odpowiedzieć a pytaie, czy rozkład wagi pudełka śrubek jest ormaly? Odpowiedzi a to pytaie moża udzielić a podstawie pobraej wcześiej próby, przy czym wiarygodość wioskowaia będzie miejsza od. Wyika to stąd, że zów staramy się odpowiedzieć a pytaie dotyczące populacji geeralej czyiąc to w oparciu o iformacje Ostasiewicz S., Rusak Z., Siedlecka U., Statystyka. Elemety teorii i zadaia, Wydawictwo Akademii Ekoomiczej we Wrocławiu, Wrocław 003, s

5 pochodzące z próby. Podobie, jak w przypadku przedziału ufości, mamy do czyieia z uogóliaiem wyików z próby a populację. Narzędziem, które pozwala sprawdzić, czy rozkład zmieej ma określoą postać, jest test statystyczy, za pomocą którego weryfikujemy odpowiedią hipotezę statystyczą. Dalsza część rozdziału dostępa w: Chybalski F., Uogóliaie wyików z wykorzystaiem metod wioskowaia statystyczego, [w:] I. Staiec (red.) Metody ilościowe w zarządzaiu orgaizacją, C.H. Beck, Warszawa 03, s. 5-47, ISBN