BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI

Transkrypt

1 StatSoft Polska, tel. () , (60) 445, BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI ZA POMOCĄ ANALIZY ROZKŁADÓW Agieszka Pasztyła Akademia Ekoomicza w Krakowie, Katedra Statystyki; StatSoft Polska Sp. z o.o. Wprowadzeie Przy podejmowaiu decyzji o zaiwestowaiu kapitału iwestor zawsze stara się odpowiedzieć a pytaie, jakiego dochodu może oczekiwać z daej iwestycji oraz jakim ryzykiem jest oa obarczoa. Określeie przyszłego dochodu ie jest jedak zadaiem prostym, poieważ wymaga odwołaia się m. i. do poziomu iflacji, stóp procetowych, podatków oraz wydarzeń gospodarczych, które będą miały miejsce w przyszłości. Stąd aalitycy fiasowi wykorzystują rozkłady prawdopodobieństwa w celu progozowaia dochodu z iwestycji. Niiejsza praca poświęcoa jest zastosowaiu aalizy rozkładów w przewidywaiu dochodu i ryzyka iwestycji. W pierwszej części zdefiiowae zostały metody szacowaia dochodu, miary ryzyka oraz pojęcie portfela iwestora. W drugiej części zamieszczoy został przykład budowy portfela o miimalym ryzyku. Metody szacowaia dochodu Podstawową miarą dochodu z iwestycji jest stopa zwrotu w okresie iwestowaia (ag. simple retur) wykorzystująca zasadę kapitalizacji okresowej, wyrażaa jako udział dochodu w początkowej wartości kapitału (por. K. Jajuga, T. Jajuga, 996): P P0 r =, () P r stopa zwrotu; P wartość końcowa (zmiea losowa); P 0 wartość początkowa (zaa). 0 7

2 StatSoft Polska, tel. () , (60) 445, Ze względu a własości statystycze w aalizie fiasowej wykorzystywaa jest rówież logarytmicza stopa zwrotu (ag. log retur, cotiuously compouded retur): r = l P l P 0 () Odpowiada oa kapitalizacji ciągłej, co jest bardziej zgode z zasadami iwestowaia, poieważ po sprzedaży jedych istrumetów środki fiasowe mogą być prawie atychmiast iwestowae w ie. Poadto, w przeciwieństwie do zwykłych stóp, stopy logarytmicze mają charakter addytywy, co pozwala a wykorzystaie rozkładu ormalego. Cea aktywów ie może być miejsza od zera, dlatego zwykłe stopy zwrotu przyjmują wartości w przedziale od mius jede (-00%) do plus ieskończoości. Logarytmicze stopy zwrotu mogą przyjmować dowole wartości. Oczekiwaa stopa zwrotu Załóżmy, że cea istrumetu (a zatem i stopa zwrotu) jest zmieą losową dyskretą. Rozkład stopy zwrotu day jest wówczas w postaci możliwych stóp zwrotu oraz prawdopodobieństw ich zrealizowaia: r, r,..., r p, p m,..., p r i i-ta możliwa do zrealizowaia stopa zwrotu, p i prawdopodobieństwo zrealizowaia i-tej możliwej stopy zwrotu i m liczba możliwych stóp zwrotu. Zachodzi wówczas zależość: m p i i= m, (3) =. (4) Sytetyczą miarą dochodu, którą wyzacza się a podstawie rozkładu stopy zwrotu, jest tzw. oczekiwaa stopa zwrotu (expected retur), określoa za pomocą wzoru: r = m i= p i r i, (5) r oczekiwaa stopa zwrotu; r i i-ta możliwa do osiągięcia wartość stopy zwrotu; p i prawdopodobieństwo osiągięcia i-tej możliwości wartości stopy zwrotu; m liczba możliwych do osiągięcia wartości stopy zwrotu. 8

3 StatSoft Polska, tel. () , (60) 445, Oczekiwaa stopa zwrotu jest tutaj średią ważoą możliwych stóp zwrotu, przy czym wagami są prawdopodobieństwa ich zrealizowaia. Moża ją iterpretować jako stopę zwrotu, jakiej ależy się spodziewać przy zrealizowaiu się przeciętego sceariusza. Pozostałe miary oczekiwaej stopy zwrotu to: moda, mediaa i średia geometrycza stopy zwrotu. Moda jest wartością ajczęściej obserwowaą spośród aalizowaych daych. Mediaa to wartość środkowa: wyzacza się ją z iemalejącego ciągu stóp zwrotu. Miara ta wykorzystywaa jest w zastosowaiach rozkładów, które ie posiadają określoej wariacji i odchyleia stadardowego. W celu określeia średiego poziomu wzrostu zwrotu z istrumetu wykorzystujemy średią geometryczą: Przykład r ( + r )... ( + r ). (6) g = m Na podstawie kursów zamkięcia akcji spółki BPH PBK obliczoo dziee logarytmicze stopy zwrotu za okresy oraz Korzystając z modułu Statystyki podstawowe w programie STATISTICA, wyzaczoo wymieioe wyżej miary średiej oczekiwaej stopy zwrotu. Dla okresu otrzymao astępujące wyiki: x g = 0,0078 x = 0,0077 Me = 0,008, atomiast dla okresu : x g = 0,00 x = 0,00 Me = 0,0000. Pomiar ryzyka Pomiar, ryzyka rozumiaego jako zmieość stopy zwrotu z aktywu fiasowego, może się odbywać poprzez zastosowaie dowolej miary zmieości rozkładu stopy zwrotu. Statystycze miary zmieości dzielą się a bezwzględe (absolute) i względe (relatywe). Do miar bezwzględych zalicza się: rozstęp, rozstęp kwartylowy lub decylowy, odchyleie przecięte, odchyleie ćwiartkowe (międzykwartylowe), wariację oraz odchyleie stadardowe. Względą miarą dyspersji jest współczyik zmieości. W przypadku rozkładów o zaej i skończoej wariacji ajczęściej stosowaą miarą zmieości jest odchyleie stadardowe stopy zwrotu. Im większe odchyleia możliwych stóp zwrotu od oczekiwaej stopy zwrotu, tym większa wartość odchyleia stadardowego stopy, a co za tym idzie, tym wyższe ryzyko iwestycji. Odchyleie stadardowe przyjmuje wartości ieujeme. Wartość zerowa ozacza brak iepewości co do przyszłej stopy zwrotu. Gdy zamy rozkład stopy zwrotu, tz. wiemy, jakie są możliwe do osiągięcia stay stopy zwrotu daego aktywu i prawdopodobieństwa ich osiągięcia, odchyleie stadardowe stopy zwrotu moża obliczyć a podstawie poiższego wzoru. 9

4 StatSoft Polska, tel. () , (60) 445, σ st = ( rt r). (7) t = Gdy ie ma możliwości uzyskaia iformacji a temat rozkładu stopy zwrotu, do oszacowaia wariacji i odchyleia stadardowego ależy wykorzystać dae historycze, pamiętając o tym, że powiy dotyczyć takiego samego okresu jak horyzot iwestycyjy iwestora. Wtedy wartością oczekiwaą jest średia arytmetycza stopa zwrotu, daa wzorem: E ( r) = r = r t, (8) t = liczba okresów, z których pochodzą dae, r t stopa zwrotu aktywu zrealizowaa w t-tym okresie. Natomiast do obliczeia tzw. odchyleia stadardowego z próby stosuje się astępujący wzór: ( r t r). s = (9) t = W celu określeia ryzyka istrumetu, którego rozkład stóp zwrotu ma ieskończoą wariację lub ie moża jej wyzaczyć, stosowae jest odchyleie ćwiartkowe. Jest oo rówe połowie różicy między kwartylami górym i dolym: Q = ( Q 3 Q ), (0) Q odchyleie ćwiartkowe, Q 3 kwartyl trzeci (góry), czyli ta spośród wartości stóp zwrotu, która dzieli zbiór możliwych stóp zwrotu w te sposób, że 75% stóp zwrotu jest ie wyższa, a 5% ie iższa od tej wartości, Q kwartyl pierwszy (doly), czyli ta spośród wartości stóp zwrotu, która dzieli zbiór możliwych stóp zwrotu w te sposób, że 5% stóp zwrotu jest ie wyższa, a 75% ie iższa od tej wartości. Odchyleie ćwiartkowe określa zróżicowaie tylko 50% wartości stóp zwrotu położoych cetralie, zawartych między dwoma kwartylami. Na wartość odchyleia ćwiartkowego ie mają wpływu wartości jedostek miejszych od kwartyla dolego oraz większych od kwartyla górego, chociaż zajmują oe zaczą część obszaru zmieości. Tak więc odchyleie ćwiartkowe wosi iepełą iformację o zróżicowaiu zbioru stóp zwrotu. Ma 0

5 StatSoft Polska, tel. () , (60) 445, jedak ważą zaletę: jest odpore a obserwacje ietypowe. Jako mierik ryzyka stosoway jest rówież rozstęp ćwiartkowy (kwartylowy), obliczay jako różica między trzecim i pierwszy kwartylem. Posiada o takie same własości jak odchyleie ćwiartkowe. Przykład Dla daych wykorzystaych w przykładzie pierwszym obliczoo wartości odchyleia ćwiartkowego, rozstępu ćwiartkowego i odchyleia stadardowego. Dla okresu otrzymao: Q o = 0,0089 Q = 0,078 s = 0,039, r oraz dla okresu : Q o = 0,00 Q = 0,06 s = 0,004. r Do rzadziej stosowaych bezwzględych miar dyspersji ależy odchyleie przecięte stóp zwrotu, które rówież charakteryzuje się odporością a występowaie obserwacji ietypowych. Jest oo rówe średiej arytmetyczej bezwzględych wartości odchyleń możliwych wartości stopy zwrotu od średiej stopy zwrotu: D = r i r, () i= D odchyleie przecięte. Jeśli za miarę dochodu przyjmiemy mediaę stóp zwrotu, wtedy miarą zmieości (ryzyka), obok odchyleia ćwiartkowego, jest średia arytmetycza bezwzględych odchyleń stóp zwrotu od mediay tych stóp zwrotu i wyraża się oa astępującym wzorem: s Me = ri Me, () i= me mediaa stóp zwrotu. Jeśli atomiast miarą dochodu jest średia z dwóch wartości: maksymalej i miimalej stopy zwrotu, ozaczoa jako m r : m r =,5 ( r max + r ), (3) 0 mi wtedy miarą zmieości jest połowa rozstępu: =,5 ( r max r ). (4) s r 0 mi Najprostszą miarą ryzyka względego jest współczyik zmieości stopy zwrotu (ag. coefficiet of variatio), określoy za pomocą poiższego wzoru.

6 StatSoft Polska, tel. () , (60) 445, S V =. (5) r Ze wzoru (5) wyika, że współczyik zmieości jest wielkością iemiaowaą. Określa o, jakie ryzyko (mierzoe odchyleiem stadardowym stopy zwrotu) przypada a jedostkę dochodu (mierzoego oczekiwaą stopą zwrotu). Moża go wyrazić procetowo przez przemożeie ilorazu odchyleia stadardowego i średiej arytmetyczej przez 00%. Do obliczeia współczyika zmieości stosuje się rówież odchyleie przecięte zamiast odchyleia stadardowego. Własości rozkładów w zastosowaiach fiasowych W podejmowaiu decyzji iwestycyjych ajważiejsze jest określeie przyszłej stopy zwrotu. Do opisu iepewości stosuje się podejście wyikające z rachuku prawdopodobieństwa. Polega oo a wykorzystaiu historyczych daych w celu uzyskaia rozkładu stopy zwrotu. Zajomość rozkładu prawdopodobieństwa stopy zysku iteresującego as istrumetu fiasowego lub portfela umożliwia oszacowaie przyszłego dochodu oraz ryzyka z im związaego. Oszacowaia tak uzyskaych parametrów rozkładu ekstrapoluje się a aalizoway okres. Z puktu widzeia zastosowań fiasowych waże jest, aby aalizowae rozkłady miały astępujące własości: stacjoarość, skończoą wariację. Stacjoarość ozacza, że parametry rozkładu prawdopodobieństwa są iezmiee w czasie. W aalizie fiasowej główy acisk często położoy jest a cey papierów wartościowych i iych istrumetów. Jedakże rozkłady prawdopodobieństwa ce mają iewielkie zaczeie w aalizie statystyczej, poieważ są zwykle iestacjoare. Przyczyą tego są ciągłe zmiay ce w czasie. W szczególości cey obligacji stale rosą. Dlatego też ich średia cea i odchyleie stadardowe, które są parametrami rozkładu ormalego, będą wyższe z każdym rokiem. Poieważ, teoretyczie, cey te mogą rosąć do ieskończoości, atomiast ie mogą być miejsze iż zero, to wraz z ich stałym wzrostem w czasie moża zaobserwować tedecję do zwiększaia się prawostroej skośości rozkładów. Podobie rozkład prawdopodobieństwa zmia ce ie jest stacjoary, poieważ wielkość bezwzględej zmiay ce istrumetów fiasowych rówież podlega zmiaom, tak jak sama cea. Zmieymi iezależymi od poziomu ce są: procetowa zmiaa cey i procetowa stopa zwrotu. Stacjoary rozkład prawdopodobieństwa stopy zwrotu pozwala aalitykowi a oszacowaie przyszłej stopy zwrotu. Poadto parametry rozkładu uzyskaego z historyczych wartości wykorzystuje się do szacowaia iepewości związaej z przyszłym dochodem i są oe podstawą do pomiaru przyszłego ryzyka. Aby przekształcić efektywe estymatory parametrów rozkładów uzyskae a podstawie daych historyczych, czyli z próby, w parametry całej populacji, czyli rówież przyszłych

7 StatSoft Polska, tel. () , (60) 445, wartości, potrzeba, aby wariacja była skończoa. Waruek te musi być rówież spełioy, aby obliczyć odchyleie stadardowe. W jakich warukach wariacja może ie być skończoa? Obecość liczych wartości ekstremalych może prowadzić do sytuacji, w której koleje oszacowaia tego parametru z próby różią się istotie w zależości od badaej próby. Niektórzy autorzy (por. T. Watsham, K. Parramore, 997) zwracają uwagę a stabilość jako pożądaą własość rozkładów w aalizie fiasowej. Stabilymi określa się takie rozkłady, których liiowa kombiacja jest rozkładem tego samego typu. Np. dodaie dwóch iezależych rozkładów ormalych powio geerować rozkład ormaly, chociaż z iymi parametrami iż dwa poprzedie. Własość tę moża zilustrować astępującym przykładem: rozważmy rozkład prawdopodobieństwa stopy zwrotu z akcji spółki A w dwóch odrębych jedodiowych okresach. Korzyste jest, aby rozkład stopy zwrotu z dwóch di łączie tej samej spółki był tego samego typu. W trakcie modelowaia stóp zwrotu z iektórych istrumetów fiasowych spotykamy się z dwoma ważymi pytaiami. Pierwsze wiąże się z założeiem o iezależości poszczególych obserwacji w rozkładzie ormalym i log-ormalym. W rzeczywistości poszczególe stopy zwrotu są ze sobą powiązae i wykazują autokorelację. Drugie stawiae często pytaie dotyczy prawdopodobieństwa wystąpieia wartości ekstremalych są oe obserwowae dużo częściej iż sugeruje to fukcja gęstości rozkładu ormalego. Te dwa problemy, związae z rozkładem ormalym, wskazują a potrzebę wykorzystaia w pewych sytuacjach takiego rozkładu prawdopodobieństwa, którego fukcja gęstości jest bardziej leptokurtycza (wysmukła) w kosekwecji występowaia autokorelacji i który posiada grubsze ogoy, co jest spowodowae częstszym występowaiem daych odstających. Najlepszym rozwiązaiem jest zastosowaie takiego rozkładu, który umożliwia dostosowaie kształtu do istiejących daych. Tę własość posiada rodzia rozkładów stabilych, poieważ ich kształt moża modelować za pomocą czterech parametrów: α, który określa grubość ogoów; β, który określa skośość rozkładu; δ, który określa rozproszeie rozkładu; µ, który określa położeie rozkładu. Dla rozkładów stabilych parametr α przyjmuje wartości z przedziału (0;] i maksymalą wartość osiąga dla rozkładu ormalego. Praktycze zastosowaia pokazują jedak, że w przypadku modelowaia logarytmiczych stóp zwrotu, ajważiejsze są rozkłady, dla których α ależy do przedziału (;], przy czym im miejsza wartość ideksu, tym grubsze są ogoy rozkładu. Aby uzyskać rozkład symetryczy, parametr β powiie być rówy zeru; dla rozkładu lewostroie skośego β < 0, a dla prawostroie skośego β > 0. Parametr β przyjmuje wartości z przedziału [-;]. Rodzia rozkładów stabilych jest uogólieiem rozkładu ormalego. W szczególości rozkład ormaly jest rozkładem stabilym. W rodziie tej charakteryzuje się ajmiejszą 3

8 StatSoft Polska, tel. () , (60) 445, leptokurtozą i ogoami o ajmiejszej grubości. Poszczególe rozkłady moża uzyskać poprzez kombiacje iych rozkładów (możąc kombiacje liiowe fukcji charakterystyczych). Jest to bardzo atrakcyja formuła uzyskiwaia rozkładów o odpowiedich własościach. Niestety ie moża explicite podać wzoru a fukcję gęstości tak otrzymaego rozkładu, poza trzema szczególymi przypadkami (rozkład ormaly, Cauchy ego i Levy ego), co utrudia zaczie wioskowaie statystycze. Poadto wiąże się to z obliczaiem wartości prawdopodobieństw dla poszczególych zmieych losowych (przyszłych stóp zwrotu) dla każdego owego rozkładu. Dodatkowym utrudieiem jest ieskończoa wariacja, która charakteryzuje wszystkie rozkłady stabile poza ormalym. W aalizie fiasowej ajczęściej wykorzystywae są astępujące rozkłady (K. Jajuga, 000): rozkład dwumiaowy (Beroulliego), rozkład ormaly (stadaryzoway), rozkład log-ormaly, rozkład Cauchy ego. Portfel iwestora Ryzyko portfela ie może być mierzoe jako średia ważoa wariacji stopy zwrotu każdego z walorów. Nie jesteśmy bowiem tutaj zaiteresowai zmieością stóp zwrotu poszczególych papierów wartościowych, ale stopiem, w jakim papiery składające się a portfel podlegają takim samym fluktuacjom. Iaczej mówiąc, poszukujemy stopia iterakcji lub też współzmieości. Odpowiedią miarą jest kowariacja lub korelacja stóp zwrotu. W przypadku portfela składającego się z akcji dwóch spółek o udziałach w i w oczekiwaa stopa zwrotu z portfela ma postać: R p = w R + (6), wr R p oczekiwaa stopa zwrotu z portfela. Z kolei wariacja stopy zwrotu z portfela (wariacja portfela) akcji dwóch spółek daa jest wzorem: V w s w s w w s s, p = + + (7) ρ V p wariacja portfela, s, s odpowiedio odchyleia stadardowe stóp zwrotu akcji, ρ współczyik korelacji. 4

9 StatSoft Polska, tel. () , (60) 445, Odchyleie stadardowe stopy zwrotu portfela (odchyleie stadardowe portfela) akcji dwóch spółek jest pierwiastkiem z wariacji portfela: 0,5 s = ( ), (8) p V p s p odchyleie stadardowe portfela. W przypadku portfela akcji dwóch spółek możemy mówić o portfelu o miimalej wariacji (MVP, miimum variace portfolio). Moża dowieść, że portfel o miimalym ryzyku osiągay jest dla ieujemych udziałów w portfelu, gdy zachodzi ierówość: ρ < s /. (9) s Wówczas miimale ryzyko portfela akcji dwóch spółek osiągae jest dla astępujących udziałów akcji w portfelu (K. Jajuga, T. Jajuga, 996): w = ( s ss ρ ) /( s + s ss ρ ), (0) w = s s s ρ ) /( s + s s s ), () ( ρ gdzie w i w ozacza udział poszczególych walorów w portfelu. Przykład W celu zaprezetowaia budowy portfela składającego się z dwóch walorów wybrao dwie spółki giełdy warszawskiej (WGPW) Żywiec S.A. i BPH PBK. W przykładzie wykorzystao kursy dziee z okresu od do i a ich podstawie wyzaczoo dziee logarytmicze stopy zwrotu. Tabela zawiera statystyki opisowe otrzymaych szeregów dla obydwóch spółek, atomiast tabela współczyik korelacji. Tabela. Tabela. 5

10 StatSoft Polska, tel. () , (60) 445, Korzystając z (9) mamy: s /s = 0.048/0.07 = 0.68 > 0.07 = r, stąd a podstawie (0) i () wyzaczamy optymale wagi spółek w portfelu o miimalej wariacji: w = 0.3 (BPH) i w = 0.7 (Żywiec). Dla tak skostruowaego portfela otrzymujemy portfel o astępujących parametrach: x = r 0,0008 Me = 0,0004 s = 0,09 Q = 0,0045. W tabeli 3 zostały przedstawioe wartości wymieioych parametrów dla różych wag walorów w portfelu. Tabela 3. Nr Waga BPH PBK Waga Żywca x Me s Q r 0,0,0 0, , ,0484 0,0359 0, 0,9 0, ,000 0,0376 0, , 0,8 0,0008 0, ,0308 0, ,3 0,7 0, , ,085 0, ,4 0,6 0, , ,030 0, ,5 0,5 0,0006 0, ,038 0, ,6 0,4 0, , ,049 0, ,7 0,3 0, , ,063 0, ,8 0, 0,0004 0, ,0797 0, ,9 0, 0, ,0009 0,0980 0,064,0 0,0 0,0008 0, ,758 0,037 Warto zwrócić uwagę, że kostruując portfel o miimalej wariacji, optymalizujemy ryzyko mierzoe za pomocą odchyleia stadardowego. Dlatego średia oczekiwaa stopa zwrotu dla takiego portfela ie jest ajwyższa, atomiast miimalą wartość przyjmuje odchyleie stadardowe. W celu maksymalizacji średiej oczekiwaej stopy zwrotu ( x lub Me) moża zastosować jedą z metod optymalizacyjych, p. metodę simplex, możików Lagrage a lub graficzą. Poiżej został przedstawioy wykres typu dochód-ryzyko dla aalizowaego portfela (rys.). Dla portfela składającego się z dowolej liczby spółek mamy odpowiedio: = p i= R w R, () i i V = w s + w w s s ρ, (3) p i= i i i i= j= i+ j i j ij s = ( ), (4) p V p 0,5 6

11 StatSoft Polska, tel. () , (60) 445, liczba spółek, s i odchyleie stadardowe (ryzyko) akcji i-tej spółki, w i udział akcji i-tej spółki w portfelu, ρ ij współczyik korelacji stóp zwrotu akcji i-tej spółki oraz j-tej spółki. W celu optymalizacji wybraych parametrów rozkładu stóp zwrotu portfela wieloskładikowego wykorzystywae są wymieioe wyżej metody liiowe oraz bardziej efektywe metody ieliiowe. 0,000 0,0009 0, Dochód (średia arytm.) 0,0007 0,0006 0, , ,0003 0,000 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,00 0,0 0,0 0,03 Ryzyko (Odchyleie std.) Rys.. Wykres typu dochód-ryzyko dla portfela dwuskładikowego Literatura. Jajuga K., Jajuga T., Iwestycje, Wydawictwo Naukowe PWN, Warszawa Metody ekoometrycze i statystycze w aalizie ryku kapitałowego, pod red. K. Jajugi, Wydawictwo Akademii Ekoomiczej im. Oskara Lagego we Wrocławiu, Wrocław Watsham T., Parramore K., Quatitative Methods i Fiace, Iteratioal Thomso Busiess Press, Lodo