OBLICZANIE PRZEPŁYWÓW POWODZIOWYCH O OKREŚLONYM PRAWDOPODOBIEŃSTWIE PRZEKROCZENIA THE CALCULATION OF PROBABLE ANNUAL FLOOD FLOWS

Transkrypt

1 IFRASTRUKTURA I EKOLOGIA TEREÓW WIEJSKICH IFRASTRUCTURE AD EKOLOGY OF RURAL AREAS Ilości osadów pochodzących r 5/2008, POLSKA AKADEMIA AUK, Oddział w Krakowie, s Komisja Techiczej Ifrastruktury Wsi Adrzej Byczkowski, Kazimierz Baasik, L. Hejduk OBLICZAIE PRZEPŁYWÓW POWODZIOWYCH O OKREŚLOYM PRAWDOPODOBIEŃSTWIE PRZEKROCZEIA THE CALCULATIO OF PROBABLE AUAL FLOOD FLOWS Streszczeie W artykule przedstawioe zostały wyiki oszacowaia prawdopodobieństwa przepływów maksymalych roczych przy wykorzystaiu dwóch różych serii daych z małej zlewi roliczej. Tradycyja seria statystycza została utworzoa z maksymalych roczych przepływów, jakie zdarzyły się w poszczególych latach hydrologiczych (AM). Druga seria została utworzoa z wybraych kulmiacyjych przepływów, które przekroczyły przyjętą wartość graiczą (POT). Do aalizy serii AM i POT wykorzystae zostały odpowiedio program komputerowy opracoway przez IMGW oraz arkusz kalkulacyjy. Wyiki obliczeń przy zastosowaiu obydwóch metod wykazują iezacze różice wartości prawdopodobieństwa przepływów maksymalych. Summary The results of estimatio of the probable aual flood flows with the use of two various sets of data from a small agricultural lowlad river are preseted. The traditioal statistical series are formed from the aual maximum (AM) flows of hydrological years. The other series for flood frequecy aalysis has bee formed by selectig peaks over threshold discharges (POT). A computer program, developed by IMGW (Istitute of Hydrology ad Water Maagemet), ad spreadsheet were applied for frequecy aalysis with the use of AM series ad POT series, respectively. Results of computatios with the use of AM ad POT data idicate for osigificat differeces i probable flood flows. Key words: flood estimatio, small catchmet, aual maxima (AM), peaks over threshold (POT) 99

2 Adrzej Byczkowski, Kazimierz Baasik, L. Hejduk WPROWADZEIE Metody określaia wartości przepływów maksymalych roczych o założoym prawdopodobieństwie przekroczeia były przedmiotem szeregu prac Autorów [Baasik i i. 2003; Baasik, Byczkowski 2006 i 2007]. Metody te wykorzystują ciągi wartości liczbowych przepływów maksymalych roczych (Q max ) z wielolecia (aual maxima AM). Dokładość oszacowaia zależy od długości okresu z którego pochodzą dae pomiarowe, poieważ błędy oszacowaia wartości Q max maleją wraz ze zwiększeiem się liczebości ciągów. Zależą oe rówież od asymetrii zbioru i prawdopodobieństwa przekroczeia. Wyika stąd, że do określaia przepływów zdarzających się rzadko (tj o małym prawdopodobieństwie wystąpieia) wymagae są dłuższe ciągi, iż dla przepływów występujących częściej. Zazwyczaj w praktyce (zwłaszcza w przypadku rzek małych) liczebość ciągów ie spełia wymagań dotyczących obliczaia wartości przepływów Q p Q %. iektórzy autorzy, jak p. Strupczewski [967a], Zielińska [965] propoują, aby liczebość ciągów pomiarowych zwiększać w drodze uwzględiaia ie tylko maksimów roczych, ale rówież drugorzędych kulmiacji, występujących w daym roku. W metodzie tej azwaej metodą wszystkich wezbrań bierze się pod uwagę wszystkie przepływy kulmiacyje wezbrań o wartościach przekraczających pewą wartość graiczą (Q max Q gr ). Wprowadzeie przepływu graiczego, stosowaego także przez Autorów [Baasik, Byczkowski 2007], jest tu warukiem iezbędym, poieważ przepływy kulmiacyje wszystkich bardzo małych wezbrań i przyborów mogą ie spełiać postulatu iezależości zdarzeń. W literaturze przyjmuje się ajczęściej ajiższą wartość z roczych maksimów przepływu z okresu wieloletiego WQ [Strupczewski 967a; Zielińska 965]. W te sposób wszystkie maksima rocze przepływu są brae pod uwagę. Moża spotkać się rówież z opiią, aby przyjmować Q gr = 2SSQ [Aleksejev za Strupczewskim 967a]. ieraz w praktyce, kryterium poziomu odcięcia ( peak over threshold - POT) przyjmuje się w zależości od kokretych potrzeb opracowaia, a ie od wartości graiczej wyikającej z itesywości badaego zjawiska [Zielińska 965]. Przypadek taki może wystąpić przy określaiu prawdopodobieństwa wystąpieia wezbrań powodujących szkody powodziowe. Graiczym przepływem może tu być p. przepływ dozwoloy (Q dozw ). W iiejszym artykule, jako przepływ graiczy przyjęto wodę brzegową, tj przepływ, przy którym woda występuje z koryta a tere zalewowy doliy rzeczej. W takich przypadkach może zaleźć zastosowaie metoda wszystkich wezbrań dla wariatu, gdy rozważae zjawisko może występować więcej iż jede raz w roku, a jedocześie mogą zdarzyć się lata, w których zjawisko ie jest obserwowae [Strupczewski 967b, Zielińska 965). 200

3 Ilości osadów pochodzących Celem pracy jest porówaie wartości maksymalych przepływów o określoym prawdopodobieństwie przekroczeia obliczoych dla zbioru przepływów maksymalych roczych Q max,r oraz zapropoowaą metodę dla Q max Q brzeg. METODYKA BADAŃ W metodzie wszystkich wezbrań dla każdej wartości ze zbioru przepływów kulmiacyjych, określa się empirycze prawdopodobieństwo przekroczeia: m m p ' () miejsce daego wyrazu w ciągu rozdzielczym, liczebość badaego zbioru. Wartości p ie są ekwiwalete z prawdopodobieństwem przekroczeia w roku p (Strupczewski 967a). Rozpatrując kulmiacje powyżej przyjętego poziomu odcięcia (POT), spotykamy się z sytuacją, gdy zjawisko może pojawić się częściej, iż jede raz w roku, może jedak wogóle w daym roku ie wystąpić. W związku z tym możliwe są 4 przypadki (Zielińska, Brzeziński 994) ) ` = r > zjawisko występuje w każdym roku; w tym w każdym może wystąpić więcej iż jede raz 2) ` = r = zjawisko występuje w każdym roku jede raz 3) ` < r > zjawisko występuje ie we wszystkich latach, atomiast w roku może wystąpić więcej iż jede raz 4) ` < r = zjawisko występuje ie we wszystkich latach, atomiast w roku może wystąpić jede raz liczba lat obserwacji, ` liczba lat w których występuje badae zjawisko, r liczba wystąpień w roku. W aalizowaym przypadku spotykamy się z wariatem (3) tj zjawisko może występować więcej iż jede raz w roku, atomiast zdarzają się lata w których ie występuje wogóle. W pracy [Baasik, Byczkowski 2007] poday został przykład obliczeń dla wariatu, tj. gdy zjawisko występuje we wszystkich latach okresu obserwacji, przy czym może występować więcej iż jede raz. W tym przypadku prawdopodobieństwo rocze określa się wzorem Lagbeia o postaci (Strupczewski 967a): 20

4 Adrzej Byczkowski, Kazimierz Baasik, L. Hejduk p p` λ λ p ( p`) (2) prawdopodobieństwo występowaia w roku prawdopodobieństwo występowaia w zbiorze wszystkich kulmiacji średia rocza częstotliwość występowaia zjawisk (kulmiacji), obliczaa ze wzoru: liczba kulmiacji w zbiorze liczba lat λ (3) W przypadku przedstawioym w iiejszym artykule przy pomocy rówaia (2) określa się prawdopodobieństwo przekroczeia badaej wielkości przepływu w ciągu roku, liczoe w odiesieiu do lat, w którym zjawisko występuje (p`). ależy więc brać tu rówież pod uwagę prawdopodobieństwo wystąpieia roku, w którym zjawisko się zrealizowało (p 2 ), czyli określać prawdopodobieństwo wystąpieia zjawiska w dowolym roku (p). Stąd rocze prawdopodobieństwo przekroczeia badaej wartości przepływu staowi prawdopodobieństwo koiukcji λ p p λ p2 ( p`) ] [ p średia częstotliwość występowaia zjawiska w roku liczoa względem lat, w którym zjawisko wystąpiło. Wielkość prawdopodobieństwa p 2 moża określić w oparciu o rozkład zero-jedykowy (Zielińska 965) z zależości: ^ p 2 liczba lat w których występuje zjawisko, ogóla liczba lat w rozpatrywaym okresie. Wystąpieie lub brak zjawiska opisywae jest w tym przypadku dwumiaowym rozkładem zero jedykowym Parametr λ we wzorze (4) oblicza się w tym przypadku z zależości: 2 (4) (5) λ (6) 202

5 Ilości osadów pochodzących Ostatecza postać wzoru (4) dla rozpatrywaego wariatu jest astępująca: p p2[ ( p`) ] [ ( p`) ] (7) OBLICZEIA I WYIKI Badaia przeprowadzoo a podstawie daych hydrometryczych dla rzeki Zagożdżoki, lewego dopływu środkowej Wisły w profilu wodowskazowym Płachty Stare (A = 82,4 km 2 ). W tej zlewi Katedra Iżyierii Wodej i Rekultywacji Środowiska (d. Katedra Budowictwa Wodego) SGGW prowadzi wieloletie badaia. Podstawą obliczeń był 40 leti ciąg przepływów dobowych, zawierający także ekstrema chwilowe, z lat Obliczeia przepływów maksymalych o określoym prawdopodobieństwie przekroczeia przeprowadzoo dla dwóch zbiorów - wartości maksymalych roczych, ozaczoych przez AM (aual maxima) oraz dla wartości maksymalych powyżej przyjętego poziomu graiczego, ozaczoych przez POT (peak over threshold). ajbardziej wiarygody rozkład prawdopodobieństwa przepływów maksymalych roczych (AM) dobray został spomiędzy ajczęściej stosowaych w praktyce rozkładów jak: Pearsoa t. III, logarytmiczo ormaly, Weibulla (Fishera Tippetta t. III (mi) i log Pearsoa t III wykorzystując program komputerowy QMAX, opracoway przez Ozgę-Zielińską z zespołem (999). Wybór rozkładu dokoay został a podstawie kryterium Akaikego [Mutua 994] o postaci j AIC 2 l 2 l f ( ) (8) l liczba oszacowaych parametrów rozkładu, f(x) fukcja gęstości rozkładu prawdopodobieństwa. ajmiejszą wartość kryterium Akaikego uzyskao w przypadku zbioru roczych kulmiacji (AM) dla rozkładu logarytmiczo-ormalego. Parametry rozkładu obliczoo metodą ajwiększej wiarygodości. Obliczoe a tej podstawie wartości przepływów maksymalych roczych zestawioo w tabeli ; krzywą prawdopodobieństwa występowaia przepływów maksymalych roczych (AM) przedstawia rysuek. Zbiór wszystkich wartości POT został utworzoy z kulmiacji wezbrań spełiających waruek Q Q gr Jako graiczy przepływ przyjęto przepływ dozwoloy Q dozw, rówy tzw. wodzie brzegowej Q brzeg. W badaym profilu rzeczym przepływ taki jest bliski przepływowi ZWQ = 2,97 m 3 /s. Zbiór te obejmuje 32 przypadki kulmiacji wezbrań. Średia rocza częstotliwość tak zdefiiowaych kulmiacji wyosi λ = 0,8 l x j 203

6 Adrzej Byczkowski, Kazimierz Baasik, L. Hejduk Tabela. Przepływy powodziowe Zagożdżoki w Płachtach Starych ustaloe a podstawie maksimów roczych i przepływów ekstremalych większych od Q brzeg Table. Probable flood flows estimated with the use of log-ormal distributio ad with various sets of records for the Zagożdżoka river at Płachty Stare Okres powtarzalosci Retur period T (lata/years) Prawdopodobieństwo Probability p (%) Przepływ powodziowy ustaloy a podstawie: Flood flows (m 3 /s) estimated o the base of: przepływów ekstremalych większych od Q brzeg Aual exceedaces (POT) i.e. 32 largest evets from the period of 40 years maksimów roczych z okresu 40 lat aual maxima (AM) for period of 40 years , 74,3 84,5 00,0 3,7 32,0 20 5,0 5,0 4, , 9, ,77 2,89 00 WQ i WQp% (m3/s) 0 0, prawdopodobieństwo (%) Rysuek. Krzywe prawdopodobieństwa zbioru przepływów maksymalych roczych (AM) Kulmiacje te ie są rozłożoe rówomierie w badaym okresie. Aaliza wykresu chroologiczego przebiegu kulmiacji (rys. 2) wykazuje, że w latach ie występowały powodzie, a stay wody ie przekraczały wody brzegowej. 204

7 Ilości osadów pochodzących 00 Przepływ (m3/s) 0 0, Lata hydrologicze WQ Qmax>Qgr Rysuek 2.Chwilowe maksymale rocze przepływy (WQ), tworzące zbiór AM oraz chwilowe maksymale przepływy Q max >Q gr, tworzące zbiór POT, rzeki Zagożdżoki w Płachtach Starych z okresu a podstawie zbioru Q max Q gr, obliczoo przepływy maksymale o określoym prawdopodobieństwie przekroczeia w zbiorze (p`), przyjmując podobie jak w przypadku przepływów maksymalych roczych rozkład logarytmiczo-ormaly. Dole ograiczeie rozkładu (ε) obliczoo metodą prób, w drodze maksymalizacji fukcji wiarygodości w postaci: L f x, ε, μ, σ ) f ( x, ε, μ, σ )... f ( x, ε, μ, ) (9) ( 2 σ L estymator fukcji ajwiększej wiarygodości, f(x i, ε, μ, σ) fukcja gęstości prawdopodobieństwa dla rozkładu log-ormalego, x, x 2,...x elemety badaego zbioru, ε, μ, σ parametry rozkładu. Zakładając wartości dolego ograiczeia rozkładu ε w graicach od 2,5 do 3,0 m 3 /s otrzymao maksimum fukcji wiarygodości (maxl) dla ε = 2,86m 3 /s (rys. 3). 205

8 Adrzej Byczkowski, Kazimierz Baasik, L. Hejduk -62, ,0 60 Fukcja L -63,5-64, WQ% (m3/s) -64, ,0 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 Ograiczeie dole d (m3/s) 20 Fukcja L WQ% Rysuek 3. Zmieość wartości fukcji kryterialej i przepływu WQ % wraz ze zmiaą wartości zakładaego dolego ograiczeia rozkładu log-ormalego zbioru POT (dla d = 2,86m 3 /s => max(l) i WQ % = 32,0 m 3 /s) 00 Qx>Qgr i WQp% (m3/s) 0 2 0, prawdopodobieństwo (%) Rysuek 4. Krzywe prawdopodobieństwa zbioru POT przepływów maksymalych Q max > Q gr : dla prawdopodobieństwa w zbiorze, 2 dla prawdopodobieństwa w roku 206

9 Ilości osadów pochodzących Wyiki obliczeń przepływów maksymalych roczych z okresu 40 letiego oraz przepływów kulmiacyjych Q>Q gr o prawdopodobieństwie wystąpieia w roku (p) zestawioo w tabeli. Wartości prawdopodobieństwa wystąpieia w roku (p) określoo w drodze trasformacji wartości prawdopodobieństwa w zbiorze (p`) a prawdopodobieństwo występowaia w roku (p) przy zastosowaiu wzoru (7). Krzywą prawdopodobieństwa przepływów maksymalych o określoym prawdopodobieństwie w roku otrzymaą a podstawie kulmiacji Q Q gr (POT) przedstawioo a rysuku 4. WIOSKI Aaliza różic wartości przepływów maksymalych roczych o określoym prawdopodobieństwie wystąpieia w roku obliczoych a podstawie zbiorów (POT) i (AM) pozwala wyciągąć astępujące wioski:. Przepływy obliczoe metodą POT i AM o prawdopodobieństwie przekroczeia w roku p w graicach p < %;50% > różią się od siebie iewiele (0.9% 5.6%). 2. Większe różice wartości przepływów występują dopiero dla p = 0,%; przepływy określoe wg metody POT mają wartości większe o około 4%. 3. Przedstawioe obliczeia wykazują, że pomijając przepływy dla p = 0,% ie uzyskuje się istotych różic przy określaiu przepływów metodą tradycyją (AM) i metodą uwzględiającą wszystkie przepływy Q>Q dozw (POT). Przyjęta wartość Q gr jest a tyle duża, że liczebość zbioru (POT) otrzymaego dla wszystkich kulmiacji wyższych od Q gr = Q dozw. iewiele się różi od liczby elemetów w zbiorze kulmiacji roczych a tym samym różice, między wartościami przepływów ie mogą być duże. 4. Średia częstotliwość wystąpieia zjawiska w roku w rozpatrywaym przykładzie wyosi λ = 0,8 podczas gdy przy założeiu Q gr = WQ, średia częstotliwość kulmiacji w roku jest rówa λ=6,5 (Baasik, Byczkowski 2007). 5. Mała liczebość zbioru (POT) wyika z hydrologiczego charakteru badaego okresu lat Długa sekwecja lat o iskich przepływach wezbraiowych spowodowała, że liczebość zbioru (POT) iewiele różi się od liczebości zbioru (AM). 6. ależy sądzić że przy większych wartościach parametru λ, iż w rozpatrywaym przykładzie, wyiki otrzymae a podstawie zbioru (POT) będą wykazywały większe różice w stosuku do wyików otrzymaych ze zbioru (AM). 207

10 Adrzej Byczkowski, Kazimierz Baasik, L. Hejduk BIBLIOGRAFIA Baasik K., Byczkowski A., Gładecki J. Predictio of T-year flood discharge for a small river basi usig direct ad idirect methods. Aals of Warsaw Agricultural Uiversity, Lad Reclamatio. o 34, 2003, p Baasik K., Byczkowski A. Estimatio of T-year flood discharge for a small lowlad river usig statistical method. Aals of Warsaw Agricultural Uiversity, Lad Reclamatio. o 37, 2006, p Baasik K., Byczkowski A. Probable aual floods i a small lowlad river estimated with the use of various sets of data. Aals of Warsaw Uiversity of Life Scieces SGGW, Lad Reclamatio. o 38, 2007, p Byczkowski A Hydrologia. Wyd. SGGW, t.2, Warszawa 999. Mutua F. M., The use of the Akaike iformatio criterio i the idetificatio of a optimum flood frequecy model. Hydrological Sciece Joural, Vol. 39 o. 3, 994, p Ozga-Zielińska M., Brzeziński J., Ozga-Zieliński B. Zasady obliczaia ajwiększych przepływów roczych o określoym prawdopodobieństwie przewyższeia przy projektowaiu obiektów budowictwa hydrotechiczego (Guidelies for flood frequecy computatio with small probability of exceedaces for desig of hydrotechical structures). Materiały Badawcze, Seria: Hydrologia i Oceaologia. IMGW, Warszawa 999. Ozga- Zielińska M., Brzeziński J., Ozga-Zieliński B. Określeie prawdopodobieństwa przepływów ekstremalych roczych geetyczie iejedorodych metoda alteratywy zdarzeń (Determiig the probability of geetically heterogeeous yearly floods method of the alterative evets). Gospodarka Woda o 5, 2007, p Strupczewski W.mDetermiatio of the probability of repeatig pheomea. Acta Geophysica Poloica, Vol. XV, o. 2, 967a, p Strupczewski W. Determiatio of the probability aual distributio of some evets of all their occurreces. Acta Geophysica Poloica, Vol. XV, o 3, 967b, p WMO (World Meteorological Orgaisatio). Guide to Hydrological Practices, WMO, o. 68, 994. Zielińska M. Sposoby zestawiaia daych hydrometeorologiczych dla opracowań statystyczych. Gosp. Woda z.7, 965. Prof. dr hab. iż. Adrzej Byczkowski Prof. dr hab. iż. Kazimierz Baasik L. Hejduk Katedra Iżyierii Wodej i Rekultywacji Środowiska Szkoła Główa Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie Recezet: Prof. dr hab. iż. Beiami Więzik 208