ANALIZA DANYCH DYSKRETNYCH

Transkrypt

1 ZJAZD ESTYMACJA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oa oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej estymatorem, która daje ajlepsze przybliżeie wartości szacowaej charakterystyki a podstawie wartości z próby. Estymacja przedziałowa polega a wyzaczaiu przedziału, zwaego przedziałem ufości, który zawiera, z prawdopodobieństwem α (zwaym poziomem ufości), wartość badaego parametru. ANALIZA DANYCH DYSKRETNYCH Rozpatrujemy rozkład dwupuktowy, czyli taki, w którym zmiea losowa przyjmuje jedą z dwóch wartości. Jedą z ważiejszych charakterystyk tego rozkładu jest wskaźik struktury, który jest częstością wystąpieia w populacji elemetu o określoej właściwości (udziałem takich elemetów w populacji). Wskaźik struktury azyway jest także prawdopodobieństwem sukcesu. Szacowaie wartości wskaźika struktury a podstawie badaia próbki Dyspoujemy próbką -elemetową o k elemetach wyróżioych. Estymacja puktowa Estymatorem wskaźika struktury daej populacji jest stosuek liczby elemetów wyróżioych w próbce do liczości próbki k pˆ. Estymacja przedziałowa W zależości od wielkości próbki rozpatrzymy dwa przypadki: a) dla próby o małej liczości ( < 00) przedział ufości wskaźika struktury a poziomie ufości -α jest postaci: gdzie ( p, p ) p jest kwatylem rozkładu beta J(k, -k+) rzędu p jest kwatylem rozkładu beta J(k+, -k) rzędu

2 b) dla próby o dużej liczości ( 00 ) przedział ufości wskaźika struktury a poziomie ufości -α wyzaczamy za pomocą poiższego wzoru: gdzie pˆ u pˆ ( pˆ), pˆ u pˆ ( pˆ ) u jest kwatylem rozkładu ormalego stadaryzowaego N(0, ) rzędu Testowaie hipotez:. Weryfikacja hipotezy o wskaźiku struktury jedej populacji Stawiamy hipotezę: H : p = p 0 wobec jedej z hipotez alteratywych: K : p p 0 K : p < p 0 K : p > p 0 Hipotezę zerową H będziemy weryfikować a poziomie istotości α. a) dla próby o dużej liczości ( 00) statystykę testową oblicza się za pomocą wzoru: U k p 0 p0 ( p0 ) b) dla małej próby k U p arcsi arcsi 0 Dla obu przypadków kostruuje się takie same obszary krytycze W, u u W, u W u,, odpowiedio przy hipotezie alteratywej K, K lub K. u jest kwatylem rozkładu ormalego N(0, ) rzędu u jest kwatylem rozkładu ormalego N(0, ) rzędu Jeżeli wartość statystyki testowej U zawiera się w obszarze krytyczym, odrzucamy hipotezę zerową a rzecz hipotezy alteratywej, w przeciwym przypadku ie ma podstaw do odrzuceia hipotezy.

3 . Weryfikacja hipotezy o rówości wskaźików struktury dwóch populacji Rozpatrujemy dwie próbki o liczościach i oraz odpowiedio o k i k elemetach wyróżioych pochodzące z dwóch populacji. Będziemy weryfikować hipotezę o rówości wskaźików struktury obu populacji H : p = p wobec jedej z hipotez alteratywych K : p p K : p < p K : p > p a) dla dużych prób (, 00) iech ~ p k k oraz U k k ~ p ~ p b) dla małych prób U arcsi k arcsi k Dla obu przypadków obszary krytycze są takie same W, u W W u, u u,, odpowiedio dla K, K i K Procedury programu Statgraphic Do obliczeia kwatyla rozkładu beta ależy w kalkulatorze programowym skorzystać z fukcji INVBETA(? ;? ;? ). Pierwszym parametrem fukcji jest rząd szukaego kwatyla, dwa astępe są parametrami rozkładu (stopiami swobody). Do obliczeia kwatyla rozkładu ormalego ależy w kalkulatorze programowym skorzystać z fukcja INVNORMAL(? ;? ;? ). Pierwszym parametrem jest rząd kwatyla, drugim średia stadaryzowaego rozkładu ormalego (= 0), trzecim odchyleie stadardowe stadaryzowaego rozkładu ormalego (= ).

4 Dla próby o dużej liczości ( 00) do weryfikacji hipotezy dotyczącej wskaźika struktury moża skorzystać z arzędzia dostępego z meu główego: Describe / Hypothesis tests... zazaczając Biomial Proportio Dla dwóch dużych prób do weryfikacji hipotezy o rówości wskaźików struktury moża skorzystać z arzędzia: Compare / Two Samples / Hypothesis Tests... zazaczając Biomial Proportios ZADANIA Zadaie W wyiku kotroli jakości samochodów produkowaych w jedej fabryce stwierdzoo, że a 0 badaych samochodów mają istote wady. Wyzaczyć przedział ufości dla frakcji wadliwych samochodów a poziomie ufości - a = 0,95. Zadaie Spośród 0 wylosowaych pracowików pewego zakładu 7 ie wykoywało ormy wydajości pracy. Wyzaczyć 99-procetową realizację przedziału ufości dla frakcji p pracowików tego zakładu, którzy ie wykoują ormy oraz podać wartość estymatora parametru p. Zadaie Z partii butelek dostarczoych do mleczari sprawdzoo 900 sztuk i zalezioo wśród ich 8 butelek wybrakowaych. Na poziomie istotości a = 0,05 zweryfikować hipotezę, że procet butelek wybrakowaych jest rówy 0,0 wobec hipotezy alteratywej mówiącej, że ów procet jest miejszy iż 0,0. Zadaie 4 W celu zbadaia wadliwości partii pewych urządzeń poddao kotroli 5 wylosowaych urządzeń i okazało się, że z ich ie spełiają żadych wymagań kotroli. Na poziomie istotości a = 0, zweryfikować hipotezę, że liczba sztuk ie spełiających żądaych wymagań ie przekracza 0,06 liczby wszystkich urządzeń tej partii. Zadaie 5 Na egzamiie wstępym z matematyki a wyższą uczelię spośród 705 absolwetów techików 450 ie rozwiązało pewego zadaia, atomiast a 0 absolwetów liceów ogólokształcących ie rozwiązało tego zadaia 57 kadydatów. Na poziomie istotości a = 0,0 zweryfikować hipotezę o jedakowym stopiu przygotowaia tej partii materiału, którego dotyczyło zadaie, przez absolwetów obu typu szkół, przy hipotezie alteratywej, że absolweci techików byli słabiej przygotowai. Zadaie 6 Dwie grupy chorych, z których każda liczy 0 osób poddao leczeiu dwoma lekami, pierwszą lekiem A, drugą - B. W pierwszej grupie astąpiła wyraźa poprawa u chorych, w drugiej - u 7. Przypuszcza się, że lek B jest skutecziejszy od leku A. Czy wyiki przeprowadzoych kuracji potwierdzają to przypuszczeie? Przyjąć poziom istotości a = 0,0. 4

5 Literatura Krysicki W., Bartos J. i i. Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka matematycza w zadaiach PWN Warszawa 986 Wybrae zagadieia wioskowaia statystyczego z wykorzystaiem pakietu STATGRAPHICS preskryp laboratoryjy. Praca pod redakcją Przemysława Grzegorzewskiego. Oficya Wydawicza PW, Warszawa 00 5