Wykład 5 De.5 (różniczka unkcji Niech unkcja ma pochodną w punkcie. Różniczką unkcji w punkcie nazywamy unkcję d zmiennej określoną wzorem. Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych Jeżeli unkcja ma pochodną w punkcie to. Przy czym błąd, jaki popełniamy zastępując przyrost unkcji jej różniczką dąży szybciej do zera niż d tzn. Fakt 4. (zastosowanie różniczki do szacowania błędów pomiarów Niech wielkości izyczne i y będą związane zależnością y=(, przy czym pochodna gdzie jest wynikiem pomiaru wielkości, jest
właściwa. Ponadto niech oznacza błąd bezwzględny pomiaru wielkości. Wtedy błąd bezwzględny obliczanej wielkości y wyraża się wzorem przybliżonym y ( ' De. 6 Pochodną n-tego rzędu unkcji w punkcie deiniujemy następująco: ( n ( n1 ( [ ] ( dla n2. Niektóre zastosowania pochodnej. Reguła de l Hospitala Tw.4. (dla nieoznaczoności Jeżeli unkcje i g spełniają warunki: a przy czym g( dla bistnieje granica to ( ( g( g(, S( '(, g'( '( g'(
Tw.5. (dla nieoznaczoności Jeżeli unkcje i g spełnia warunki: a przy czym g( dla bistnieje granica to ( ( g( g(, S( '( g'( '( g'(, Uwaga. '( Z tego, że nie istnieje granica g'( ( nie wynika, że granica g( nie istnieje.
Tożsamości zmieniające rodzaje nieoznaczoności. nieoznaczoność tożsamość nieoznaczoność lub - Tw. 6. (Rolle a Jeżeli unkcja spełnia warunki : 1. jest ciągła na, 2. ma pochodna właściwą lub niewłaściwą na, 3. to istnieje punkt taki, że Interpretacja geometryczna: Na wykresie unkcji ciągłej na przedziale domkniętym, mającej pochodną wewnątrz tego przedziału i przyjmującą na jego końcach jednakowe wartości, istnieje punkt, w którym styczna jest pozioma.
Tw. 7. (Lagrange a o wartości średniej Jeżeli unkcja spełnia warunki : 1. jest ciągła na, 2. ma pochodna właściwą lub niewłaściwą na to istnieje punkt taki, że Interpretacja geometryczna: Na wykresie unkcji ciągłej na przedziale domkniętym, mającej pochodną wewnątrz tego przedziału, istnieje punkt, w którym styczna do wykresu jest równoległa do siecznej łączącej jego końce. Badanie monotoniczności unkcji w przedziale. Tw. 8. (warunki wystarczające monotoniczności unkcji Niech J oznacza dowolny przedział, w którym dla każdego z tego przedziału unkcja spełnia warunki: 1. (=, to unkcja stała na J 2. (>, to unkcja rosnąca na J 3. (<, to unkcja malejąca na J.
Uwaga: Jeżeli dla każdego J, przy czym zachodzi tylko dla skończonej liczby punktów tego przedziału, to unkcja jest rosnąca na tym przedziale. Podobnie jest dla unkcji malejącej. Poszukiwanie ekstremum lokalnego De. 7 Funkcja ma w punkcie minimum lokalne, jeżeli istnieje takie r>, że dla każdego S(,r, (>(. Funkcja ma w punkcie maksimum lokalne, jeżeli istnieje takie r>, że dla każdego S(,r, (<(. Tw. 9 ( Warunek konieczny istnienia ekstremum Jeżeli unkcja ma 1. ekstremum lokalne w punkcie, 2. pochodną ( to ( =. Tw. 1 (I warunek wystarczający AJeżeli unkcja spełnia warunki: 1. ( =,
2. istnieje takie r>, że (> dla każdego S( -,r, (< dla każdego S( +,r, to w punkcie ma maksimum lokalne. BJeżeli unkcja spełnia warunki: 1. ( =, 2. istnieje takie r>, że (< dla każdego S( -,r, (> dla każdego S( +,r, to w punkcie ma minimum lokalne. Tw. 11 (II warunek wystarczający Jeżeli unkcja spełnia warunki 1. ( = 2. ( > to w punkcie ma minimum lokalne. Jeżeli unkcja spełnia warunki 1. ( = 2. ( <
to w punkcie ma maksimum lokalne. De.8 Liczba mr jest wartością najmniejszą unkcji na zbiorze AD jeżeli A ( m A ( m Liczba MR jest wartością największą unkcji na zbiorze AD jeżeli A ( M A ( M Algorytm szukania wartości najmniejszej i największej (ekstremum globalne 1. Znajdujemy punkty c 1, c 2,,c n w których pochodna jest równa zero na przedziale (a,b oraz punkty d 1,d 2,,d m w których nie istnieje pochodna właściwa. 2. Obliczamy wartości unkcji w punktach końcowych a, b oraz w c 1,, c n i d 1,,d m. 3. Spośród wartości z punktu 2. wybieramy najmniejszą i największą.