SYLABUS. Studia Kierunek studiów Poziom kształcenia Forma studiów. stopnia

Transkrypt

1 SYLABUS Nazwa przedmiotu Analiza matematyczna Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno-Przyrodniczy, przedmiot Instytut Fizyki Kod przedmiotu Studia Kierunek studiów Poziom kształcenia Forma studiów Inżynieria materiałowa studia pierwszego stopnia studia stacjonarne Rodzaj przedmiotu przedmiot podstawowy Rok i semestr studiów I rok, semestr II Imię i nazwisko koordynatora prof. dr hab. Krzysztof Golec-Biernat przedmiotu Imię i nazwisko osoby prowadzącej prof. dr hab. Krzysztof Golec-Biernat wykład, ( osób prowadzących) zajęcia z ćwiczenia rachunkowe przedmiotu Cele zajęć z przedmiotu Celem zajęć jest przekazanie wiedzy na temat podstawowych narzędzi analizy matematycznej, wykształcenie umiejętności intuicyjnego rozumienia omawianych narzędzi, nauczenie formułowania zagadnień i problemów fizycznych w języku matematyki oraz nabycie umiejętności praktycznego posługiwania się nimi w rozwiązywaniu prostych zagadnień matematycznych i fizycznych. Tematyka zajęć obejmuje: elementy logiki, kwantyfikatory, elementy teorii zbiorów, indukcja zupełna, ciągi liczbowe i ich zbieżność, funkcje jednej zmiennej, w tym: granice funkcji, ciągłość funkcji, rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej, rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej. Wymagania wstępne Efekty kształcenia Znajomość matematyki na poziomie szkoły średniej w tym wiedza z zakresu: teorii liczb, zbiorów liczbowych, działań na liczbach rzeczywistych, ciągów liczbowych (arytmetyczny i geometryczny). Wiedza: ma wiedzę w zakresie matematyki obejmującą zagadnienia analizy matematycznej, algebry oraz elementy matematyki stosowanej, niezbędne do rozumienia i ilościowego opisu zjawisk i procesów technologicznych oraz posługiwania się aparatem matematycznym i metodami matematycznymi w opisie i modelowaniu zjawisk i procesów fizycznych i chemicznych IM_W01 Umiejętności: potrafi korzystać z przekazu słownego i graficznego treści nauczania charakteryzujących się rygoryzmem matematycznym i logicznym; potrafi pozyskiwać informacje, dokonywać ich selekcji, interpretacji oraz integracji ze swą dotychczasową wiedzą IM_U01 potrafi wykorzystać poznane modele teoretyczne do

2 analizy i rozwiązania prostych zagadnień inżynierskich i stosować podejście systemowe uwzględniające także aspekty pozatechniczne IM_U11 Kompetencje: rozumie potrzebę podnoszenia swoich kwalifikacji, rozumie konieczność wzbogacania swojej wiedzy i umiejętności do zmian zachodzących w technice i technologii IM_K01 Forma(y) zajęć, liczba realizowanych godzin wykład 30 godzin ćwiczenia rachunkowe 5 godzin A. Problematyka wykładu Treści programowe Treści merytoryczne Elementy logiki (oznaczenia logiczne, podstawowe prawa rachunku zdań, tabele wartości logicznych). Kwantyfikatory (ogólny, szczegółowy, forma zdaniowa, operowanie kwantyfikatorami). Elementy rachunku zbiorów (definicja zbioru, element zbioru, rachunek zbiorów, zbiory ograniczone, kresy zbiorów). Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych (zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory, zasada Archimedesa, odcinek, przeliczalność zbiorów, rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych). Funkcje jednej zmiennej (definicja, dziedzina, przeciwdziedzina, zbiór wartości, wykres funkcji, funkcja różnowartościowa, funkcja na, bijekcja, funkcja parzysta i nieparzysta, funkcja ograniczona, funkcja monotoniczna, funkcja odwrotna, funkcje złożone, przegląd funkcji elementarnych w tym: wykładnicza, logarytmiczna, funkcje trygonometryczne, funkcje cyklometryczne, niektóre funkcje nieelementarne) Ciągi (definicja ciągu, ciąg ograniczony, monotoniczność ciągu). Granica ciągu liczb rzeczywistych (definicja granicy właściwej i niewłaściwej, granica ciągu geometrycznego, twierdzenia dotyczące granic ciągów zbieżnych, arytmetyka granic ciągów, tw. o trzech ciągach, liczba e, logarytm naturalny, tw. o dwóch ciągach, symbole oznaczone i nieoznaczone, podciągi i ich granice, punkty skupienia ciągu, granica górna i dolna ciągu). Granice funkcji (sąsiedztwo, definicja Heinego i Cauchy ego granicy właściwej funkcji w punkcie, definicja Heinego i Cauchy ego granicy niewłaściwej funkcji w punkcie, warunek konieczny i wystarczający istnienia funkcji w punkcie, definicja Heinego i Cauchy ego granicy właściwej funkcji w nieskończoności, definicja Heinego i Cauchy ego granicy niewłaściwej funkcji w nieskończoności, arytmetyka granic funkcji, Liczba godz. 3

3 granica funkcji złożonej, tw. o trzech funkcjach, twierdzenia o granicach niewłaściwych funkcji, wyrażenia nieoznaczone, granice podstawowych wyrażeń nieoznaczonych, granice jednostronne funkcji, asymptoty wykresu funkcji (pionowa, pozioma ukośna)) Funkcje ciągłe (otoczenie punktu, definicja, ciągłość lewo- i prawo-stronna, ciągłość na zbiorze, nieciągłości pierwszego i drugiego rodzaju, ciągłość funkcji elementarnych, działania na funkcjach ciągłych, twierdzenia o funkcjach ciągłych) Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej (iloraz różnicowy, definicja pochodnej właściwej funkcji, interpretacja geometryczna i fizyczna, warunek konieczny istnienia pochodnej właściwej, pochodne ważniejszych funkcji elementarnych, pochodna funkcji na zbiorze, pochodna niewłaściwa funkcji, twierdzenia o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, 6 ilorazu, złożenia i funkcji odwrotnej, pochodna funkcji wektorowej, Tw. Rolle a, Lagrange a, Cauchy ego, tw. o granicach nieoznaczonych - reguły de L Hospitala, pochodne wyższych rzędów, różniczka funkcji i obliczenia przybliżone oraz szacowanie błędów, wzór Taylora i jego zastosowania do wyznaczania ekstremów funkcji oraz obliczeń przybliżonych). Badanie funkcji (ekstrema lokalne funkcji; warunek konieczny Fermata, warunki wystarczające istnienia ekstremum, algorytm szukania wartości ekstremalnych na przedziale, funkcje wypukłe i wklęsłe; punkty przegięcia wykresu funkcji. Badanie przebiegu zmienności funkcji) Całki nieoznaczone (funkcje pierwotne, całka nieoznaczona, związki całek z pochodnymi, całki nieoznaczone ważniejszych funkcji elementarnych, tw. o liniowości całki nieoznaczonej, całkowanie efektywne (twierdzenie o całkowaniu przez części i o całkowaniu przez podstawienie), całkowanie 5 funkcji wymiernych; rozkład na ułamki proste. Całkowanie łatwych niewymierności; podstawienia Eulera i metoda współczynników nieoznaczonych. Całkowanie funkcji trygonometrycznych. Przykłady całek nieelementarnych). Całka oznaczona Riemanna (suma całkowa, definicja całki oznaczonej Riemanna, interpretacja geometryczna całki, wybrane zastosowania fizyczne, tw. o całkowaniu przez części i całkowaniu przez podstawienie, przybliżone metody obliczania całek) Całki niewłaściwe (całki niewłaściwe pierwszego rodzaju, całka niewłaściwa na prostej, kryteria zbieżności całek niewłaściwych pierwszego rodzaju, całki niewłaściwe drugiego rodzaju, kryteria zbieżności całek niewłaściwych drugiego rodzaju). Suma godzin 30 B. Problematyka ćwiczeń rachunkowych Treści merytoryczne Elementy logiki (oznaczenia logiczne, podstawowe prawa rachunku zdań, tabele wartości logicznych). Kwantyfikatory (ogólny, szczegółowy, forma zdaniowa, operowanie Liczba godz.

4 kwantyfikatorami). Elementy rachunku zbiorów (definicja zbioru, element zbioru, rachunek zbiorów, zbiory ograniczone, kresy zbiorów). Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych (zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory, zasada Archimedesa, odcinek, przeliczalność zbiorów, rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych). Funkcje jednej zmiennej (definicja, dziedzina, przeciwdziedzina, zbiór wartości, wykres funkcji, funkcja różnowartościowa, funkcja na, bijekcja, funkcja parzysta i nieparzysta, funkcja ograniczona, funkcja monotoniczna, funkcja odwrotna, funkcje złożone, przegląd funkcji elementarnych w tym: wykładnicza, logarytmiczna, funkcje trygonometryczne, funkcje cyklometryczne, niektóre funkcje nieelementarne) Ciągi (definicja ciągu, ciąg ograniczony, monotoniczność ciągu). Granica ciągu liczb rzeczywistych (definicja granicy właściwej i niewłaściwej, granica ciągu geometrycznego, twierdzenia dotyczące granic ciągów zbieżnych, arytmetyka granic ciągów, tw. o trzech ciągach, liczba e, logarytm naturalny, tw. o dwóch ciągach, symbole oznaczone i nieoznaczone, podciągi i ich granice, punkty skupienia ciągu, granica górna i dolna ciągu). Granice funkcji (sąsiedztwo, definicja Heinego i Cauchy ego granicy właściwej funkcji w punkcie, definicja Heinego i Cauchy ego granicy niewłaściwej funkcji w punkcie, warunek konieczny i wystarczający istnienia funkcji w punkcie, definicja Heinego i Cauchy ego granicy właściwej funkcji w nieskończoności, definicja Heinego i Cauchy ego granicy niewłaściwej funkcji w nieskończoności, arytmetyka granic funkcji, granica funkcji złożonej, tw. o trzech funkcjach, twierdzenia o granicach niewłaściwych funkcji, wyrażenia nieoznaczone, granice podstawowych wyrażeń nieoznaczonych, granice jednostronne funkcji, asymptoty wykresu funkcji (pionowa, pozioma ukośna)) Funkcje ciągłe (otoczenie punktu, definicja, ciągłość lewo- i prawo-stronna, ciągłość na zbiorze, nieciągłości pierwszego i drugiego rodzaju, ciągłość funkcji elementarnych, działania na funkcjach ciągłych, twierdzenia o funkcjach ciągłych) Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej (iloraz różnicowy, definicja pochodnej właściwej funkcji, interpretacja geometryczna i fizyczna, warunek konieczny istnienia pochodnej właściwej, pochodne ważniejszych funkcji elementarnych, pochodna funkcji na zbiorze, pochodna niewłaściwa funkcji, twierdzenia o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu, złożenia i funkcji odwrotnej, pochodna funkcji wektorowej, Tw. Rolle a, Lagrange a, Cauchy ego, tw. o granicach nieoznaczonych - reguły de L Hospitala, pochodne wyższych rzędów, różniczka funkcji i obliczenia przybliżone oraz szacowanie błędów, wzór Taylora i jego zastosowania do wyznaczania ekstremów funkcji oraz obliczeń przybliżonych). Badanie funkcji (ekstrema lokalne funkcji; warunek konieczny Fermata, warunki wystarczające istnienia ekstremum, algorytm szukania wartości ekstremalnych na przedziale, funkcje wypukłe i wklęsłe; punkty przegięcia wykresu funkcji. Badanie przebiegu zmienności funkcji) 6 8

5 Całki nieoznaczone (funkcje pierwotne, całka nieoznaczona, związki całek z pochodnymi, całki nieoznaczone ważniejszych funkcji elementarnych, tw. o liniowości całki nieoznaczonej, całkowanie efektywne (twierdzenie o całkowaniu przez części i o całkowaniu przez podstawienie), całkowanie 7 funkcji wymiernych; rozkład na ułamki proste. Całkowanie łatwych niewymierności; podstawienia Eulera i metoda współczynników nieoznaczonych. Całkowanie funkcji trygonometrycznych. Przykłady całek nieelementarnych). Całka oznaczona Riemanna (suma całkowa, definicja całki oznaczonej Riemanna, interpretacja geometryczna całki, wybrane zastosowania 5 fizyczne, tw. o całkowaniu przez części i całkowaniu przez podstawienie, przybliżone metody obliczania całek) Całki niewłaściwe (całki niewłaściwe pierwszego rodzaju, całka niewłaściwa na prostej, kryteria zbieżności całek niewłaściwych pierwszego 3 rodzaju, całki niewłaściwe drugiego rodzaju, kryteria zbieżności całek niewłaściwych drugiego rodzaju). Suma godzin 5 Metody dydaktyczne Sposób(y) i forma(y) zaliczenia wykład przy pomocy kredy i tablicy; ćwiczenia rozwiązywanie zadań przy tablicy Sposób zaliczenia wykładu egzamin; Sposób zaliczenia ćwiczeń zaliczenie z oceną; Forma zaliczenia wykładu egzamin pisemny i ustny; Forma zaliczenia ćwiczeń ustalenie oceny zaliczeniowej na podstawie ocen cząstkowych z kolokwiów. Metody i kryteria oceny Zaliczenie przedmiotu potwierdzi stopień osiągnięcia przez studenta zakładanych efektów kształcenia. Weryfikacja osiąganych efektów kształcenia kontrolowana jest na bieżąco w trakcie realizacji zajęć. Ocena uzyskana z zaliczenia przedmiotu pozwoli ocenić stopień osiągniętych efektów. Wykład egzamin pisemny składa się z 9 zadań rachunkowych z dwoma podpunktami. Każdemu zadaniu odpowiada punktacja 0 pkt. Część pisemna egzaminu jest zaliczona po zdobyciu przez studenta minimum 50% możliwych punktów. Ćwiczenia ocena końcowa jest średnią arytmetyczną ocen z kolokwiów semestralnych. Brana jest także pod uwagę aktywność studenta na zajęciach. Sposób punktacji kolokwium ustalany jest z odpowiednim wyprzedzeniem.

6 dost. - (51-60)% pkt, +dost. - (61-70)% pkt, dobry (71-80)% pkt, +dobry (81-90)% pkt, bardzo dobry (91-100)% pkt. Całkowity nakład pracy studenta potrzebny do osiągnięcia założonych efektów w godzinach oraz punktach ECTS Język wykładowy Praktyki zawodowe w ramach przedmiotu Literatura Aktywność Liczba godzin/ nakład pracy studenta wykład 30 godz. ćwiczenia 5 godz. przygotowanie do ćwiczeń 30 godz. udział w konsultacjach 10 godz. przygotowanie do egzaminu 35 godz. udział w egzaminie godz. SUMA GODZIN 15 LICZBA PUNKTÓW ECTS 6 liczba pkt ECTS w ramach zajęć wymagających bezpośredniego udziału nauczycieli i studentów liczbę pkt ECTS w ramach zajęć o charakterze praktycznym polski brak 89 godz. /3ECTS 55 godz. / ECTS Literatura podstawowa: 1. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, GiS, Wrocław M. Gewert, Z. Skoczylas, Równania różniczkowe zwyczajne, GiS, Wrocław W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, PWN, Warszawa F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN, Warszawa 008. Literatura uzupełniająca: 5. H.J. Musielakowie, Analiza matematyczna, tom 1, UAM, Poznań Podpis koordynatora przedmiotu Podpis kierownika jednostki