EAIiIB-Inormatyka -Wykład 4- dr Adam Ćmiel cmiel@agedupl RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Niec : R D R Niec D będzie punktem skupienia zboru D Oznaczenia: Ot,δ) K,δ) -δ, +δ) D ; S,δ) Ot,δ)-{ } Symbol o Niec lim lim punkt skupienia zboru D) o lim De Ilorazem różnicowym unkcji w punkcie nazywamy wyrażenie, + Ot,δ) + ), De Pocodną unkcji w punkcie nazywamy właściwą granicę ilorazu różnicowego + ) d lim ) W podobny sposób deiniujemy pocodne jednostronne: + ) ) ) lim + + ) + ) ) lim + Tw )- istnieje istnieją ) i + ) oraz są sobie równe Tw o przedstawieniu przyrostu unkcji) Jeżeli unkcja : R Ot, δ ) R ma pocodną w punkcie,to dla każdego, takiego, że + Ot,δ) przyrost wartości unkcji można przedstawić w postaci + ) ) + r, ), przy czym r, o, gdy Dow: Niec: r, + ) ) Stąd natycmiast mamy + ) ) + r, Pozostaje jedynie pokazać, że r, o gdy r, + ) ) : r, + lim lim ) r, o Wniosek Jeżeli unkcja ma pocodną w punkcie to unkcja ta jest ciągła w, bo + ) ) + r, Więc lim + ) ), co oznacza ciągłość w punkcie De Funkcję : R Ot, δ ) R nazywamy różniczkowalną w punkcie, gdy istnieje stała AR taka, że dla każdego, takiego, że + Ot,δ), + ) A + r,, przy czym r, o, gdy Wyrażenie d, A nazywamy różniczką unkcji w punkcie dla przyrostu Uwaga d, ): d, A jest liniową unkcją przyrostu
EAIiIB-Inormatyka -Wykład 4- dr Adam Ćmiel cmiel@agedupl Z twierdzenia o przedstawieniu przyrostu unkcji i z przyjętyc deinicji otrzymujemy Tw Funkcja jest różniczkowalna w punkcie unkcja ta ma pocodną w Ponadto + ) ) + r, ), czyli d, ) nacylenie siecznej + ) tgβ nacylenie stycznej + ) lim tgα ) ) określa szybkość zmiany unkcji w punkcie Inne oznaczenie dla pocodnej d, ) dla d, Stąd d, d ) d, d Funkcja pocodna i operator różniczkowania Niec : R D R będzie różniczkowalna na D De Funkcję : D gdzie D D ) nazywamy unkcją pocodną Operator unkcja, odwzorowanie) operatorem różniczkowania Bezpośrednio z deinicji wyprowadza się wzory Cconst α α α e e a a ln a sin cos cos sin d D, który unkcji przypisuje d nazywamy d d Np α α α α α + ) α + ) α + ) α ) lim lim lim α sin + ) sin cos + )sin sin sin lim lim lim cos + ) cos e e e + e ) lim e lim e
EAIiIB-Inormatyka -Wykład 4- dr Adam Ćmiel cmiel@agedupl Tw o działaniac arytmetycznyc) Jeżeli i g są różniczkowalne w punkcie w I), to + g), g), g), są różniczkowalne w punkcie w I) oraz: g º + g) + g º g) g 3º g) + g 4º g g g ; g ) I Tw o pocodnej unkcji złożonej) Jeżeli: º jest różniczkowalna w w D ) º g jest różniczkowalna w w [D ]) to unkcja złożona g o jest różniczkowalna w w D ) i g o ) g ) Dow tw o przyrostac + + ) ) g ) + r, ) + r, + )) ) + g ) r, + r, + g ) r, ) + r, + g )) Trzeba pokazać, że )) o Jeżeli to r o stąd g ) r, ) o Ponadto, + r, + ) r, + ) + ) + r, + ) Stąd lim r ), ) )) lim + + + Tw o pocodnej unkcji odwrotnej) Niec :R D R będzie unkcją ściśle monotoniczną, różniczkowalną w D w D ) Wówczas g jest różniczkowalna na [ D ] i ) ) g ) Dow Przy przyjętyc oznaczeniac mamy : y, + y+ y Z uwagi na ciągłość i ścisłą monotoniczność unkcji unkcja odwrotna g jest również ciągła i ściśle monotoniczna Stąd y gdy, y i y+ y) + y + y) y) + Wobec tego y + + Przecodząc do granic otrzymujemy tezę 3
EAIiIB-Inormatyka -Wykład 4- dr Adam Ćmiel cmiel@agedupl Uzupełnienie wzorów różniczkowania tg ctg ln log a arcsin arccos arctg arcctg cos sin lna < < + + Twierdzenia o wartości średniej Tw Rolle a: jest ciągła w [ a, jest różniczkowalna w a, b) c a, b) : b) Dowód Jeżeli jest stała to twierdzenie jest spełnione w sposób trywialny Jeżeli nie jest stała to prawdziwa jest przynajmniej jedna z nierówności in < [ a, b ], sup > [ a, Przypuśćmy, że prawdziwa jest in < [ a, b ] dla sup > [ a, - analogicznie) Z tw Wierstrassa c [ a, : in ale z warunku in < [ a, [ a, b ] wynika, że ca,b) c+ Ale gdy > i istnieje bo c jest punktem wewnętrznym gdy < Granice jednostronne ilorazu różnicowego muszą być równe sobie, czyli równe zero c+ A więc ostatecznie: lim 4
EAIiIB-Inormatyka -Wykład 4- dr Adam Ćmiel cmiel@agedupl Twierdzenie Caucy ego Jeżeli i g są ciągłe w [a,, i g są różniczkowalne w a,b), to ca,b) : b) )g -g b) ) Dowód ϕ b) ) g b) ) spełnia zał tw Rolle a, więc istnieje ca,b) takie, że ϕ b) )g g b) ) - stąd teza Interpretacja tw Caucy ego Wektorowa unkcja t),t)), t[a, ) jest parametryzacją krzywej płaskiej Istnieje punkt na krzywej w którym styczna do krzywej jest równoległa do siecznej przecodzącej przez końce krzywej Z twierdzenia Caucy ego można wywnioskować Twierdzenie de L Hospitala stosuje również się do granic jednostronnyc i niewłaściwyc) Jeżeli º i są określone w S, ) δ [ ] º lim lim albo lim ± lim ± 3º Istnieje lim właściwa lub niewłaściw to istnieje lim i lim lim ) z tw ) Caucy ego) Ale c Z istnienia granicylim wynika istnienie Szkic dowodu: dla [ ] Przyjmując ) ) mamy granicy lim i równość tyc granic ) Dla pozostałyc przypadków wystarczy sprowadzić do ormy [ ] Symbole nieoznaczone :,, Przykłady ln lim, lim ln lim, + lim,,,, e, lim ln ) tg, lim ) Przykład niewłaściwego użycia tw de L Hospitala + Wiadomo, że ale lim +sin cos H + sin + cos lim lim + cos cos, limctg, nie istnieje wyjaśnić sprzeczność!) [ ] 5