1 Wiadomości wst ¾epne
|
|
|
- Kacper Klimek
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wiadomości wst ¾ene. Narysować wykresy funkcji elementarnych sin cos tg ctg a ( a 6= ) log a ( a 6= ) arcsin arccos arctg arcctg Podać ich dziedziny i rzeciwdziedziny.. Roz o zyć na u amki roste wyra zenie (wynik srawdzić). Rozwiazać ¾ równania + 7 a) + b) c) d) ( )( + + ) e) + + ( + ) ( + + ) f) a) sin = sin b) cos = cos c) cos = cos( ) d) sin = sin 7 6 e) cos = f) sin = g) sin = h) cos = i) sin = j) sin = k) sin = l) cos = m) cos = n) cos = Od. a) = + k _ = + k b) = + k _ = + k c) = + k _ = + k d) = k _ = 6 + k e) = + k _ = + k f) = + k _ = + k g) = + k _ = + k h) = 6 + k _ = 6 + k i) = k j) = + k k) = + k l) = + k m) = k n) = + k k Z. Rozwiazać ¾ uk ady równań cos = cos = a) sin = b) sin = c) ( cos = e) cos = sin = f) sin = g) cos = i) k) sin = j) cos = sin = cos = sin = cos = d) cos = ( sin = cos = sin = sin = h) cos = cos = sin = l) sin = Od. a) = + k b) = + k c) = + k d) = + k e) = + k f) = k g) 6 + k h) = + k i) = + k j) = + k k) = + k l) = k k Z. Rozwiazac ¾ równania i nierówności a) log = log b) log 7 = log c) log > log d) log e) ln f) log g) log h) ln( ) = i) log( + ) > j) log ( ) = k) log ( + ) > Od. a) = b) = 7 c) > d) [ ] e) e f) 6 g) 9 h) = 6 i) j) f g k) ( )
2 Liczby zesolone. Udowodnić, ze dla dowolnych liczb zesolonych z z z zachodzi a) z + z jest liczba¾ rzeczywista, ¾ b) z z = jzj c) jzj = jzj d) z + z = z + z e) z z = z z f). Znaleźć liczby rzeczywiste y se niajace ¾ równania + i y yi a) ( + i) ( + i)y = i b) = c) ( + i) + ( i)y = i + i d) ( i) + ( + i)y = i e) 7 + i + i = + yi i Od. a) = y = b) = y = 9 c) = y = d) = y = e) = y =. Rozwiazać ¾ równania (wynik zinterretować na aszczyźnie zesolonej) a) z = z b) z = z c) z + z = d) z = z Od. a) iy y R b) R c) i d) + iy y R. Obliczyć a) i n i n+ i n+ i n+ b) ( + i) ( i)( i) ( + i)( + i) ( i) c) + + i i d) ( i) ( + i)( + i) e) ( + i) ( + i)( i) f) ( ( i)) + ( i) 6 + 7i g) i h) + i 7 + 7i i) + i + i j) ( + i) ( i) ( + i)9 ( + i) k) ( + i) ( i) 7 a) i i b) Od. 7 c) i d) 9 i e) 7 6i f) 7 i g) + i h) i i) i j) 9 i k). Obliczyć a) + i b) 7 i c) i d) + i e) i f) + i g) 7 + i h) + i i) i a) f + i ig b) f + i ig c) f i + ig Od. d) f + 7i 7ig e) f 6 + 9i 6 9ig f) f + i ig g) f + i ig h) + i i) i Dodatkowo, wyrowadzić uk ad (trzech) równań omocny w rozwiazywaniu ¾ owy zszego zadania. 6. W zbiorze liczb zesolonych rozwiazać ¾ równania (wynik srawdzić) a) z + z + = b) z iz = c) z ( + i)z + 7i = d) z ( i)z + i = e) z z + 6 = f) 9z + z + = g) z + (6 + i)z + + i = h) z ( + i)z + + i = i) ( + i) z ( + i) z + i = j) ( i) z + ( + i) z + + i = k) ( i) z + (7 + 9i) z 6i = l) ( + i) z + ( + i) z + i = Dodatkowo, obliczyć modu y z wyników. Od. a) z = + i z = i b) z = i z = i c) z = i z = + i d) z = + i z = i e) z = ( 7 + i) z = ( 7 i) f) z = i z = 6 g) z = i z = h) z = + i z = + i i) z = i z = + i j) z = i z = + i k) z = + i z = i l) z = i z = + i 6 i 7. Zaisać w ostaci trygonometrycznej liczby a) cos 6 i sin 6 b) cos + i sin c) cos ' i sin ' d) cos ' i sin ' e) sin ' + i cos ' f) sin ' i cos ' g) sin ' i cos ' h) i) i j) k) i l) + i m) + i n) i o) + i Od. a) cos( 6 ) + i sin( 6 ) b) cos( ) + i sin( ) c) cos( ') + i sin( ') d) cos( + ') + i sin( + ') e) cos( ') + i sin( ') f) cos ' + i sin ' g) cos( ') + i sin( ') h) (cos + i sin ) i) (cos( ) + i sin( )) j) (cos( ) + i sin( )) k) (cos( ) + i sin( )) l) cos 6 + i sin 6 m) cos 6 + i sin 6 n) (cos( 6 ) + i sin( 6 )) o) (cos 6 + i sin 6 ). Obliczyć z z = z z
3 a) + i b) + i c) + i! d) ( i) i + + i i i e) ( + i) f) g) + i ( i) + ( + i) h) ( + i) 7 ( i) ( i) 6 i i) ( + j) i) 9 ( + i) 6 k) cos 6 i sin + i n 6 l) ( + i) n Od. a) b) 96 c) d) 96 96i e) f) i g) + i h) 6 6i i) 9 i j) i k) i l) n 9. Obliczyć a) b) c) + i d) 6 + i e) + i f) i Od. a) z = z = + i z = i b) z = z = + i z = i. Określić zbiór unktów se niajacych ¾ a) jz j b) jz + ij = c) jz ij = d) jz j = jz + ij e) arg z j i zj f) jz ij = jz + ij = jz j
4 Macierze. Obliczyć iloczyn ABCD macierzy, je zeli A = 7 B = C =. Obliczyć (jeśli istnieje) iloczyn ABC oraz BAC macierzy, je zeli a) A = b) A = B = 6 B = C = D = Od. C = 6 Od. 7 Od Obliczyć Od. a) a) b) b) c) 6 c) Znaleźć f(a) je zeli a) f(x) = X X I gdzie A = b) f(x) = X X I gdzie A = a. Wykazać, ze ka zda macierz stonia ostaci A = c 6. Rozwiazać ¾ równanie a) X c) X + = T = (X 6 Od. Od. 6 6 b se nia równanie X d (a + d)x + (ad bc)i = b) ) d) X + 6 X + Y = A X Y = B gdzie A = = B =
5 Wyznaczniki. Obliczyć wyznaczniki rozwijajac ¾ je wzgl¾edem wskazanych wierszy lub kolumn (w zadaniach od f) do k), w dalszych obliczeniach, mo zna zastosować metody Sarrusa) a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) Od. a) b), c) d), e) 7 f),g),h) i), j) k). Obliczyć wyznaczniki macierzy i + i i + i A = B = i + i i i + i i i C = + i i i D = i i i Od. det A = det B = + i, det C = + 9i det D = i i i + i i i + i i i. Rozwiazać ¾ równania i nierówności a) det = b) det + + d) > e) + + = c) > + + = Od. a) = = b) = = c) = = d) ( ) e) ( 6 ). Stosujac ¾ oeracje na wyznacznikach obliczyć a) b) 6 c) d) e) f) 6 g) h) Od. a) b) c) d) 6 e) f) g) h). Znaleźć macierz odwrotna¾ do macierzy a) A = 6 Od. b) B = Od 6
6 c) C = Od. 9 d) D = 6. Rozwiazać ¾ równania macierzowe a) X A = B gdzie A = B = b) Y A = B + Y C gdzie A = B = Od. a)x = c) b) Y = Wartości w asne macierzy T X = c) X = C = Od. Jadnym z ierwiastków charakterystycznych macierzy A = 7 a a 6 jest liczba Wyznaczyć wartości arametru a oraz ozosta e ierwiastki. Korzystajac ¾ z Tw. Cayleya-Hamiltona obliczyć macierz odwrotn a¾ do A Od.a = ) A = 7 6 characteristic olynomial X X + 99X 6, eigenvalues 6 9, eigenvectors 9 = $ = = $ $ 9, 7 = a = ) A = 7 6 characteristic olynomial X X + 99X 6, eigenvalues 6 9, eigenvectors 9 = $ 9 = $ 9 9 = $ 6, 7 = Jadnym z ierwiastków charakterystycznych macierzy A = 6 a jest liczba Wyznaczyć wartości arametru a oraz ozosta e ierwiastki. Korzystajac ¾ z Tw. Cayleya-Hamiltona obliczyć macierz odwrotna¾ do A Od. a = 7 ) A = 6 7
7 characteristic olynomial X X + 99X 6, eigenvalues 6 9, eigenvectors 9 = $ 9 = $ 9 6 = = $ 6,. Wyznaczyć ierwiastki charakterystyczne oraz wektory w asne macierzy A = 9 Korzystajac ¾ z Tw. Cayleya-Hamiltona obliczyć macierz odwrotna¾ do A Od. characteristic olynomial (X ) X X +, eigenvalues, eigenvectors 9 = $ 9 = $ 9 = $ = Wyznaczyć ierwiastki charakterystyczne oraz wektory w asne macierzy A = 6 6 Korzystajac ¾ z Tw. Cayleya-Hamiltona obliczyć macierz odwrotna¾ do A Od. characteristic olynomial X X + X, eigenvalues 6 7, eigenvectors = = = $ $ 7 $ 6, = 6 6. Wyznaczyć ierwiastki charakterystyczne oraz wektory w asne macierzy A = Czy istnieje macierz odwrotna do A? Od. characteristic olynomial X 9X + X, eigenvalues 6, eigenvectors 9 = $ 9 = $ 9 = $ 6,
8 6 Uk ady równań liniowych. Rozwiazać ¾ odane uk ady równań > > > > > > > > > > > > > > + y + z = y + z = + y + z = + y = y + z = y + z = z = y z = y + z = + y + z = + y + z = y + z = + y z = 9 + y z = y = y + z = + y z = y z = + y = + y + z = + y + z = 9 + y + z + t = 6 y + z + t = + y + z + t = y + z + t = y + z + t = + y + z + t = 9 y + z + t = + y + z + t = + y + z t = + y + z + t = 9 y + t = 6 + y + z + t = y + z + t = + y + z + t = 9 + y + z + t = 7 y + z + t = + y z t = y + z + t = + y z t = y + z + t = + y z + t = 7y + z t = + y z + t = + y + z + t = + y z t = + y + z + t = + y + z t = + y z + t = y + z + t = + y + z = y + z + t = + y z + t = y z + t = y + z + t = + y z + t = + 6y z + t = + y z + t = 6, Od. fz = = y = g, Od. z = = y =, Od. = y = z =, Od. y = 7 z = 7 = 7, Od. y = = z = 7, Od. fy = z = = g, Od. fy = z = + = g, Od. fz = = y = t = g, Od. y = 7 z = 6 t = = 7, Od. fy = = t = z = g, Od. f = t = y = z = g, Od. fy = = z t = z = zg, Od. z = z = 9 7 y z 7 t = 7 y + z + 7 y = y, Od. z = z y = = z t = 7, rank, rank, Od. = y 6 z = 6 y + y = y t = 9 y, Od. z = z = 7 y z + 7 t = 7 y + z 9 7 y = y
9 > > > > > > > > > > > > y + z + t = y + z t = y + z + t = + y 6z = + y z = + y + z = 6 + y 6z = + y + z = + y + z = 7 + y + z = 7 + y z = + y z = y + z = + y z = y + z = + y z + t = y + z t = 7 t = y + z t = 6 y + z t = 6 y t = 6 9 z + t = y z + t = + y z + t = y + z 7t = + y 7z + t = y + z t = y + z + t = + y z + t = + 7y z + t =, Od. fz = z = y z t = y = yg 6, rank 6 6 7,, rank 7, Od. fy = = z = g srzeczny, Od. f = y = z = t = g, Od. fy = t = = z = g, rank, Od. z = y = 7 t + = 6 t + t = t
10 7 Granice ciagu ¾ Określić symbol granicy i obliczyć n + ) lim Od ) lim n! n + n! n 7 Od n + 7n ) lim n! n + n 7 Od n + 7n 7n n n + n ) lim Od ) lim n! n 7 n! n Od 6) lim + n 7 n! 7 n Od n + 6n n + n 7) lim Od ) lim n! n 7 n! n Od 6n n + n 9 9) lim n! n n Od 9n + ) lim n + n Od ) lim n n + n Od n! n! ) lim n 9n + 6n Od n! ) lim n + n n n Od + n + n n! ) lim n! ) lim Od n + n! n 6) lim n + n n n! 7) lim n + n n Od Od n! ) lim n n + n 7 Od n! 6 q 9) lim n(n n ) Od n! ) lim n + n n n n! ) lim + n Od e Od n! n n n+ n + ) lim Od e n ) lim Od e n + 6 ) lim n! n n! n n! n Od e 6 n n n n + n n + ) lim Od e 6 6) lim Od e 7) lim Od e n! n n! n 6 n! n n n + n n + n n+ ) lim Od 9) lim n! n! n + n n n+ + n + n + ) lim n! n Od e + n + Od n ) lim n! n 7 Od n ) lim n! 9 n + 7 Od n+ ) lim n! n + Od s n+ n+ n n ) lim n! n+ Od ) lim n 9n + n + 7 n n Od 9 6) lim + Od e ln ln n! n! 9 log n + 7) lim n! log Od ) lim n n n! Od n
11 Granice funkcji Znaleźć granice funkcji + + ) lim Od ) lim! + +! Od ) lim +! + 6 Od + ) lim Od! ) lim Od +! 6) lim! Od ) lim! Od undened ) lim +! 6 Od 9) lim 6 + Od 6! + ) lim! Od ) lim! Od 6 ) lim 9 +! Od + + ) lim! Od ) lim Od ) lim Od!! + 6) lim Od! 7) lim Od + +! ) lim Od! + 9) lim + Od sin tg! ) lim Od ) lim!! sin Od cos ) lim! Od tg sin ) lim! Od ) lim Od! sin tg cos sin sin( ) lim Od cos 6) lim tg Od 7) lim 6 ) Od!!! 6 cos + sin sin + Od e ) lim! ) lim! ) lim! Od 9) lim tg! + + Od ) lim! + + ln(a + ) ) lim! Od e 6 ) lim! + ln a a Od e + + ) lim Od! ln( + k) 6) lim k!
12 9 Regu a de L Hositala Obliczyć granice funkcji stosujac ¾ regu ¾e de L Hositala ln cos ) lim! Od ) lim! e sin Od ) lim! arctg Od sin ) lim! tg Od e e ln sin ) lim Od 6) lim! sin! ln sin Od ln 7) lim! ln sin Od e e ) lim Od 9) lim Od! sin! ln ln ) lim ctg Od ) lim Od!! ln ) lim Od! sin ) lim! Od ) lim sin a Od ) lim! (e ) Od! 6) lim e Od 7) lim!! 9) lim! ) lim (e + )! ( ) ln( ) Od ) lim ( )tg! (tg) Od ) lim! sin Od ) lim Od e ) lim! + sin Od! ) lim!a ( ln(e a )tg Od ) Od e a Od e
1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
WSTEP ¾ DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ
st ep do analizy matematycznej STEP DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ Rachunek zdań, funkcja zdaniowa, kwanty katory Zad. Udowodnić nastepujace prawa rachunku zdań (tautologie): a) p _ (s q) b) p, s (s p) c) (
ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
MATEMATYKA EiT. (studia drugiego stopnia, drugi semestr) 3 2i, 2i44 i i )12, (cos 15 + i sin 15 ) 15, ( p 3 i) i)17, (i 1) 9, ( 1 i
MATEMATYKA EiT (studia drugiego stopnia, drugi semestr) ) Wyznaczyć Re z; Im z; jzj ; z dla z = ( + i)(3 i), ( + i)( i) + (3 5i), (+i) 3 i, i44 i 45 i 46 +3i, 47 (cos 33 + i sin 33 ), ( + p 3 i)7, (i )
Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
Lista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
Macierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz
na egzaminach z matematyki
Błędy studentów na egzaminach z matematyki W opracowaniu omówiłem typowe błędy popełniane przez studentów na kolokwiach i egzaminach z algebry oraz analizy. Ponadto podaję błędy rzadziej spotykane, które
FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.
FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga
Zestaw 0. 1 sin 2 x ; k) (arctg x) 0 = 1 ; l) (arcctg x) x 2 m) (arcsin x) 0 = p 1
Podstawowe wzor rachunku ró zniczkowego Zestaw. Rachunek ró zniczkow i ca kow a) (f () g ()) = f () g () + f () g () b) f (g ()) = f (g ()) g () f() c) g() = f ()g() f()g () d) ( n ) = n n g () e) (log
Zadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
WBiA Architektura i Urbanistyka. 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: Które z iloczynów: A 2 B, AB 2, BA 2, B 2 3, B = 1 2 0
WBiA Architektura i Urbanistyka Matematyka wiczenia 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: 1) 2A + C 2) A C T ) B A 4) B C T 5) A 2 B T 1 0 2 dla A = 1 2 1 1 0 B = ( 1 2 1 0 1 ) C = 1 2 1 0 2 1 0 1 2. Które
Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
Wykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Matematyka ETId I.Gorgol. Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje
Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje cyklometryczne. Definicja funkcji DEFINICJA Niech dane będa dwa zbiory D i P. Funkcja f : D P nazywamy przyporzadkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru D przyporzadkowuje
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
III. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3
ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +
1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: +j +j 3 Re z = Im z = 5 z ( j) = z j z +
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Matematyka I. BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 2
Matematyka I BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 2 Definicja funkcji przypomnienie Definicja Dla danych dwóch niepustych zbiorów X, Y przypisanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu
1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
MATEMATYKA EiT. (studia drugiego stopnia, drugi semestr) 3 2i, 2i44 i i )12, (cos 15 + i sin 15 ) 15, ( p 3 i) i)17, (i 1) 9, ( 1 i
MATEMATYKA EiT (studia drugiego stopnia, drugi semestr) ) Wyznaczyć Re z; Im z; jzj ; z dla z = ( + i)(3 i), ( + i)( i) + (3 5i), (+i) 3 i, i44 i 45 i 46 +3i, 47 (cos 33 + i sin 33 ), ( + p 3 i)7, (i )
dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol
ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego
1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Zajmijmy się najpierw pierwszym równaniem. Zapiszmy je w postaci trygonometrycznej, podstawiając z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Zad (0p) Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej wszystkie z C, które spełniają równanie ( iz 3 z z ) Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Szukane z C spełniają: iz 3 = z z Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Zajmijmy się najpierw pierwszym
1 Logika. 1. Udowodnij prawa logiczne: 3. (p q) (p q) 2. (p q) ( q p) 2. Sprawdź, czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią.
Logika. Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( q p) 3. (p q) (p q). Sprawdź czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią. 3. Zad 3. Sprawdź czy zdanie: Jeżeli liczba a dzieli się przez i
1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
Obliczanie pochodnej funkcji. Podstawowe wzory i twierdzenia. Autorzy: Tomasz Zabawa
Obliczanie pocodnej funkcji. Podstawowe wzory i twierdzenia Autorzy: Tomasz Zabawa 207 ./matjax/matjax.js?configtex-ams-mml_htmlormml"> Obliczanie pocodnej funkcji. Podstawowe wzory i twierdzenia Autor:
Pytania i polecenia podstawowe
Pytania i polecenia podstawowe Liczby zespolone a) 2 i 1 + 2i 1 + 2i 3 + 4i, c) 1 i 2 + i a) 4 + 3i (2 i) 2, c) 1 3i a) i 111 (1 + i) 100, c) ( 3 i) 100 Czy dla dowolnych liczb z 1, z 2 C zachodzi równość:
Kurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.
Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus poziom zaawansowany,
Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3.
Logika (3h). Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( p q) 3. (p q) ( q p) 4. (p q) ( p q) 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 7. (p q) r (p r) (q r) 8. (p q) (q r) (p r). Sprawdź, czy wyrażenia:.
Spis treści Wstęp Liczby zespolone Funkcje elementarne zmiennej zespolonej Wielomiany Macierze i wyznaczniki
Spis treści Wstęp ii 1 Liczby zespolone 1 1.1 Definicja i działania, liczby sprzężone......................... 1 1.2 Moduł, argument, postać trygonometryczna..................... 2 1.3 Działania na liczbach
Literatura podstawowa
1 Wstęp Literatura podstawowa 1. Grażyna Kwiecińska: Matematyka : kurs akademicki dla studentów nauk stosowanych. Cz. 1, Wybrane zagadnienia algebry liniowej, Wydaw. Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk, 2003.
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
EAIiIB-Inormatyka -Wykład 4- dr Adam Ćmiel cmiel@agedupl RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Niec : R D R Niec D będzie punktem skupienia zboru D Oznaczenia: Ot,δ) K,δ) -δ, +δ) D ; S,δ) Ot,δ)-{
1. Równania i nierówności liniowe
Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x
Macierze. Dziaªania na macierzach. 1. Niech b d dane macierze , D = , C = , B = 4 12 A = , F = , G = , H = E = a) Obliczy A + B, 2A 3B,
Macierze Dziaªania na macierzach Niech b d dane macierze A = E = [ 2 3 0 3 2 3 2 0 [ 0 8, B = 4 2, F = [ 2 3, C = 3 2 2 3 0 0 0 4 0 6 3 0, G =, D = 0 2 0 2 0 3 0 3 0 2 0 0 2 2 0 0 5 0 2,, H = 0 0 4 0 0
Wszystkie warianty kursu. Lista zadań
ALGEBRA Z GEOMETRI A ANALITYCZN A Wszystkie warianty kursu Zadania z listy oznaczone gwiazdka ( ) sa nieco trudniejsze albo maja charakter teoretyczny Jednak nie wychodza one poza program kursu Odpowiedzi
22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Tożsamości cyklometryczne. Zadania z zastosowaniem funkcji cyklometrycznych. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Tożsamości cyklometryczne. Zadania z zastosowaniem funkcji cyklometrycznych Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 09 Tożsamości cyklometryczne. Zadania z zastosowaniem funkcji cyklometrycznych Autor: Anna
Liczby zespolone i ich zastosowanie do wyprowadzania tożsamości trygonometrycznych.
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna, lato 016/17 Kolokwium nr 10: wtorek 6.06.017, godz. 1:15-1:45, materiał zad. 1 40. Liczby zespolone i ich zastosowanie do wyprowadzania tożsamości trygonometrycznych.
(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x
. Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć pochodną funkcji f zdefiniowanej równością () cos (2) (3) ln (4) sin 2 (5) ln + 3 (6) cos(3 )
Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Sprawy organizacyjne. dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568
Sprawy organizacyjne Jak można się ze mna skontaktować dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568 barbara.przebieracz@us.edu.pl www.math.us.edu.pl/bp 10 wykładów, Zaliczenie wykładu: ocena z wykładu jest
Matematyka dla DSFRiU zbiór zadań
I Matematyka dla DSFRiU zbiór zadań do użytku wewnętrznego Sumowanie skończone W zadaniach -4 obliczyć podaną sumę. dr Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski Wydział Zarządzania. 5 i. i= 4 i. i= 5 ( ) i i=
Szkice rozwi za«zada«z egzaminu 1
Egzamin - szkic rozwi za«sem. zimowy 06/07 AM, Budownictwo, IL PW Szkice rozwi za«zada«z egzaminu. Poda denicj granicy oraz ci gªo±ci funkcji. Def. (Heinego) Liczb g nazywamy granic funkcji f : D R w unkcie
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym
Opracowa : Zbigniew Skoczylas. Studenci wydzia ów W2, W4 oraz W7 opracowuja ¾ten materia samodzielnie. x 3 y 5 z 3 : 2x : (x 2 y 2 ) ; ; e) : 2+1
Algebra z geometri a analityczn a A - MAP 1140 Algebra z geometri a analityczn a B - MAP 1141 Lista zadań na rok akademicki 009/010 Opracowa Zbigniew Skoczylas Wyra zenia algebraiczne. Indukcja matematyczna
Analiza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)
Analiza Matematyczna F dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3 08/9z (zadania na ćwiczenia) (Na podstawie podręcznika M. Gewert Z. Skoczylas Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania GiS 008) 3 Granica funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym
g liczb rzeczywistych (a n ) spe lnia warunek
. Czy jest prawda, że a) R y R z R y + yz + = 0 ; b) R y R z R y + yz + 0 ; c) R y R z R y + yz + = 0 ; d) R y R z R y + yz + 0? 2. Czy jest prawdziwa nierówność a) ctg > ; b) tg < cos ; c) cos < sin ;
Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe
Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe Adam Kiersztyn Katolicki Uniwersytet Lubelski Jana Paw a II Lublin 013 Adam Kiersztyn (KUL) Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe marzec
φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Pochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
Wykład 5. Informatyka Stosowana. 7 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada / 28
Wykład 5 Informatyka Stosowana 7 listopada 2016 Informatyka Stosowana Wykład 5 7 listopada 2016 1 / 28 Definicja (Złożenie funkcji) Niech X, Y, Z, W - podzbiory R. Niech f : X Y, g : Z W, Y Z. Złożeniem
10. arccos 3 + 4x, 11. tg sin cos x, 12. arcctg x ctg 2x, arcsin(2x 1) arcsin 2x 1, 21. sin2 x 2 1,
. Nawiasy Dopisz nawiasy jak w przykªadzie: ln cos 4 + = ln((cos(4)) ) +. sin,. ln 3 +, 3. tg ctg, 4. sin, 5. log 3 4, 6. arcsin sin, 7. tg 4 3, 8. log, 9. cos +3, 0. arccos 3 + 4,. tg sin cos,. arcctg
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
Algebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Przestrzenie liniowe
ALGEBRA LINIOWA 2 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr letni 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Przestrzenie liniowe Uwaga. W nawiasach kwadratowych podane są numery zadań znajdujących się w podręczniku
a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Macierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
Wektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ LISTA ZADAŃ 1 1 Napisać w formie rozwiniętej następujące wyrażenia: 4 (a 2 + b +1 =0 5 a i b j =1 n a i b j =1 n =0 (a nb 4 3 (! + ib i=3 =1 2 Wyorzystując twierdzenie o
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas
ALGEBRA LINIOWA 2 Lista zadań 23/24 Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie Uzasadnić z definicji że zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy trójkątnych górnych stopnia
1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A01 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba log 1 3 3 27 jest równa:
(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008
Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5
Wektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21
Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie
Lista 1 - Funkcje elementarne
Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;
1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)
. Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny
1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.
Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz
Wyk lad 3 Wyznaczniki
1 Określenie wyznacznika Wyk lad 3 Wyznaczniki Niech A bedzie macierza kwadratowa stopnia n > 1 i niech i, j bed a liczbami naturalnymi n Symbolem A ij oznaczać bedziemy macierz kwadratowa stopnia n 1
i = [ 0] j = [ 1] k = [ 0]
![i = [ 0] j = [ 1] k = [ 0]](/thumbs/70/62901734.jpg "i = [ 0] j = [ 1] k = [ 0]")
Ćwiczenia nr TEMATYKA: Układy współrzędnych: kartezjański, walcowy (cylindryczny), sferyczny (geograficzny), Przekształcenia: izometryczne, nieizometryczne. DEFINICJE: Wektor wodzący: wektorem r, ρ wodzącym
Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę):
Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę): 3 3 3 ( ) 1 4 2 5 8 3 100 3 2 4 1 3 4 2 4 9 1 3 3 9 3. 5 2. Rozwiązać równania i nierówności: 4 2x+1 = 8 5x
Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n
V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n