Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej Zadanie. Naszkicuj przykładowe wykresy funkcji f : R R, które spełniają jednocześnie wszystkie podane warunki: a lim f =, lim f = 3, lim f = 0 b lim f =, lim 0 f = 0, lim 0 + f =, lim f = c lim f = 0, lim 3 f =, lim f = d lim 0 f nie istnieje, lim f =, lim + f =, lim f = Zadanie. Stosując definicję Heinego granicy funkcji, wykaż że nie istnieją granice: a lim sin b lim 0 +e f lim sin + +sin g lim c lim 0 3 d lim 3 e lim e sin Zadanie 3. Obliczając granice jednostronne sprawdź, czy istnieją następujące granice: a lim + b lim 0 e c lim 0 d lim 0 e lim sgn sgn 3 Zadanie. Niech lim 0 f = oraz lim 0 g = 5. Oblicz lim f 3g + fg g oraz lim g f 0 g 0 0 + g. Zadanie 5. Podaj przykłady funkcji f i g takich, że nie istnieją granice właściwe ani niewłaściwe lim 0 f, lim 0 g, ale istnieją granice właściwe: a lim 0 f + g b lim 0 f g c lim 0 f g Zadanie 6. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic oblicz: d lim 0 f g a lim a n n +a n n +...+a +a 0 b lim + + c lim d lim + e lim 3 8 7 f lim 3 3 3 g lim 3 +3 6 h lim 3 6+9 9 i lim 3 +5 7 j lim + 5 +3 k lim 5 3 +5 50 l lim 8 9+0 m lim 5 5 5
n lim + +5+6 o lim 7 3 p lim 0 q lim 3 5 + r lim 3 + 3 +3 + s lim 0 ++ 0 +...++00 0 t lim 8 +8 0 +0 0 3 3 9 u lim +3 v lim +m + 0 w lim + + + lim 0 + + + y lim + + z lim + + + ab lim 3 +3 + 9 bc lim 0 + cd lim + de lim ef lim 3 3 + fg lim + 3 3 + hi lim 0 gh lim + 3 3 + kl lim op lim 0 sinh sinh pq lim ++...+ st lim 6 3 + 3 ij lim 8 3 9 lm lim 7 3 9 mn lim 0 6 qr lim sin cos cos sin sin +sin tu lim sin 3 sin + arccos + Zadanie 7. Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach oblicz: jk lim 3 3 + + 0 3 no lim 0 3 arctg rs lim sin cos tg 3 0 a lim 0 sin b lim +sin cos 3 ln c lim d lim + e lim + ln 3 + f lim e cos g lim 0 h lim + + 9 i lim ln + ln 3 + Zadanie 8. Korzystając z twierdzenia o dwóch funkcjach oblicz: a lim sin b lim 0 c lim 3 3 d lim ctg Zadanie 9. Jeśli funkcje f i g są określone w sąsiedztwie punktu 0 oraz lim 0 f = 0, zaś funkcja g jest ograniczona, to wówczas lim 0 fg = 0. Powyższe stwierdzenie pozostaje prawdziwe, jeśli zastąpimy 0 przez ±. Wykorzystując powyższy fakt oblicz granice: lim sin, lim 0 cos, lim + sin, lim sin + sin. Zadanie 0. Posługując się faktem lim 0 sin arcsin lim 0 =, lim 0 arctg = oraz lim 0 tg =, lim 0 sinα α = uzasadnij, że =, dla α 0. Zadanie. Korzystając ze znanych granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych takich jak sin tg arcsin arctg a lim 0 =, lim 0 =, lim 0 =, lim 0 =, lim 0 = ln a dla log a > 0, lim a + 0 = log a e, lim 0 + = e, lim ± + = e oblicz: a lim sin 6 0 + tg 6 b lim 0 c lim sin 5 7 sin 0 + tg d lim sin 3 tg sin + cos
e lim cos tg f lim sin sin 0 g lim 3 0 h lim 0 sin 5 sin 3 sin i lim 8 8 sin 8 8 j lim +cos sin k lim arcsin l lim 0 sin tg sin m lim sin 0 n lim 3 sin 7 0 sin sin 6 o lim cos cos sin sin Wskazówka: wzory na sumy i różnice wartości funkcji tryg. p lim 0 cos cos 5 r lim 0 sin 5 s lim 0 sin +tg tg t lim 0 tg u lim 0 ctg v lim sin ctg w lim 0 sin 3 ctg5 lim 0 arctg tg y lim sin + z lim sin ab lim e 0 + 3 sin de lim 0 sin 3 3tg 3 + hi lim sin ef lim 7 sin 7 9 bc lim 8 0 cd lim e 7 5 0 + tg tg tg5 fg lim + ij lim 0 sin sin cos 5 5 cos 7 7 cos 9 9 cos 3 3 kl lim tg tg lm lim 7+0 cos 5 mn lim sin 5 0 jk lim tg cos sin sin gh lim 0 tg sin 3 no lim sin 5 op lim tg 3 sin +3 7 9 ctg 7 tg7 7 3 ln + ln + pq lim 0 qr lim 3 ln+ e 0 rs lim ln cos st lim 3 0 tu lim e ln e uv lim 0 ln cos sin vw lim 0 + ctg Oblicz najpierw granicę ln + ctg w lim 0 sin +arctg5+7 ln +3+sin +e y lim 0 + 3 7 yz lim + α lim + 0 5 β lim 5 + γ lim + 3 δ lim 3 + 6+ ε lim +5+ + ζ lim 3 η lim 0 + sin θ lim +3tg ctg ι lim 0 κ lim + 3 µ lim 3 o lim sin + sin ln ν lim + ξ lim + ln 3 + 0 + arcsin 3 3 arctg λ lim +cos lim sin tg ρ lim ln + ln σ lim +tg +sin 0 τ lim 3 0 + e v lim + 0 + 3 Zadanie. Obliczając granice lewo- i prawostronne, zbadaj czy istnieją granice, bądź też oblicz podane granice jednostronne: a lim b lim c lim +3 d lim 3 9 e lim 3 9 f lim e 3 g lim 0 e h lim 0 +e i lim 5 e 5 j lim 5 e +5 k lim arctg l lim 0 cos m lim 0 8 n lim ctg arcctg o lim + ln 3
p lim 0 cos sin q lim ++ r lim 3 s lim tg 3 0 + t lim 0 e e + u lim + sgn sgn 3 Zadanie 3. Obliczając granice jednostronne sprawdź, czy istnieją granice: { sin dla > 0 a lim 0 f, gdzie f = sin dla < 0 { dla 0, b lim f, gdzie f = dla, c lim 0 sgn d lim 0 f, gdzie f = e lim 0 f, gdzie f = { arctg dla > 0 0 dla 0 sin 3 dla > 0 dla = 0 +6 + dla < 0 Zadanie. Zbadaj, czy istnieją granice lim 0 cos Zadanie 5. Dany jest wykres funkcji f: oraz lim 0 cos. Oblicz, jeśli istnieją: a f, lim f b f, lim f c f6, lim 6 f Ciągłość funkcji jednej zmiennej Zadanie 6. Zbadaj ciągłość funkcji w ich dziedzinach. W punktach nieciągłości zbadaj ciągłość jednostronną. a f = c f = { 5 dla 5 +5 0 dla = 5 { sin dla 0 0 dla = 0 b f = d f = { sin dla 0 dla = 0 { dla + dla >
e f = g f = dla, dla = 0 dla > dla 0 0 dla 0 < < log dla dla f f = dla < < 0 dla 0 { cos dla h f = dla < Zadanie 7. Oblicz jeśli istnieje lim 0 f. Czy funkcja f jest ciągła w zerze? a f = c f = + + + + 5e 0 ; > 0 5 ; = 0 sin 3 : < 0 e ; > 0 arctg ; = 0 5 + sin 3 sin ; < 0 b f = 3 + + +3 + 6e 3 ; > 0 5 ; = 0 tg 3 ; < 0 Zadanie 8. Naszkicuj przykładowy wykres funkcji f, która posiada wszystkie podane własności: jest parzysta, w = 6 ma punkt nieciągłości pierwszego rodzaju, w = 3 ma punkt nieciągłości drugiego rodzaju. Zadanie 9. Dla jakich wartości parametrów a, b, c R funkcja f jest ciągła? { 3 + dla a f = b f = a + 5 dla < dla 3 + dla 3 c f = a + b dla 3 < d f = dla > e f = sin a dla < 0 3 dla 0 < + +b b dla > c dla = 3 + dla a + b dla < < + e dla < 0 lim 0 + e dla = 0 sin a dla > 0 Zadanie 0. Korzystając z własności Darbou uzasadnij, że podane równania mają rozwiązania we wskazanych przedziałach. a = w 0, b e = w, 5