ANALIZA MATEMATYCZNA 2
|
|
- Teodor Jaworski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ANALIZA MATEMATYCZNA
2 Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Przykłady i zadania Wydanie dziewiętnaste powiększone GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 6
3 Marian Gewert Wydział Matematyki Politechnika Wrocławska pwr.edu.pl Zbigniew Skoczylas Wydział Matematyki Politechnika Wrocławska pwr.edu.pl Projekt okładki: IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej Copyright c 99 6 by Oficyna Wydawnicza GiS Utwór w całości ani we fragmentach nie może być powielany ani rozpowszechniany za pomocą urządzeń elektronicznych, mechanicznych, kopiujących, nagrywających i innych. Ponadto utwór nie może być umieszczany ani rozpowszechniany w postaci cyfrowej zarówno w Internecie, jak i w sieciach lokalnych, bez pisemnej zgody posiadacza praw autorskich. Składwykonanowsystemie L A TEX. ISBN Wydanie XIX powiększone, Wrocław 6 Oficyna Wydawnicza GiS, s.c., Druk i oprawa: Oficyna Wydawnicza ATUT 4
4 Spis treści Wstęp 7 Całki niewłaściwe 9 Przykłady... 9 Całkiniewłaściwepierwszegorodzaju... 9 Kryteriazbieżnościcałekniewłaściwychpierwszegorodzaju... Zbieżnośćbezwzględnacałekniewłaściwychpierwszegorodzaju... 6 Całkiniewłaściwedrugiegorodzaju... 8 Kryteriazbieżnościcałekniewłaściwychdrugiegorodzaju... Zadania... 6 Szeregi liczbowe i potęgowe 8 Przykłady... 8 Definicjeipodstawowetwierdzenia... 8 Kryteriazbieżnościszeregów... Zbieżnośćbezwzględnaszeregów Szeregipotęgowe Zadania Rachunek różniczkowy funkcji dwóch i trzech zmiennych 59 Przykłady Funkcjedwóchitrzechzmiennych Granicefunkcjiwpunkcie... 6 Pochodnecząstkowefunkcji Różniczkafunkcji... 7 Pochodnecząstkowefunkcjizłożonych Pochodnakierunkowafunkcji WzórTaylora.Ekstremafunkcji... 8 Funkcjeuwikłane MnożnikiLagrange a Zadania... 5
5 4 Całki podwójne 6 Przykłady... 6 Całkipodwójnepoprostokącie... 6 Całkipodwójnepoobszarachnormalnych... 8 Zamianazmiennychwcałkachpodwójnych... Współrzędnebiegunowewcałkachpodwójnych... 5 Zastosowaniacałekpodwójnychwgeometrii... Zastosowaniacałekpodwójnychwfizyce... 4 Zadania Całki potrójne 5 Przykłady... 5 Całkipotrójnepoprostopadłościanie... 5 Całkipotrójnepoobszarachnormalnych... 5 Zamianazmiennychwcałkachpotrójnych Współrzędnewalcowewcałkachpotrójnych... 6 Współrzędnesferycznewcałkachpotrójnych Zastosowaniacałekpotrójnych... 7 Zadania... 8 Odpowiedzi i wskazówki 87 Zbiory zadań 94 6
6 Wstęp Niniejszy zbiór zadań jest drugą częścią zestawu podręczników do Analizy matematycznej. Podręczniki te są przeznaczone głównie dla studentów politechnik, ale mogą z nich korzystać także studenci uczelni ekonomicznych, pedagogicznych i rolniczych oraz niektórych wydziałów uniwersytetów. Przykłady i zadania z tego zbioru obejmują całki niewłaściwe, szeregi liczbowe i potęgowe oraz rachunek różniczkowy i całkowy funkcji wielu zmiennych wraz z zastosowaniami. Ilustrują one materiał teoretyczny z pierwszej części zestawu pt. Analiza matematyczna. Definicje, twierdzenia, wzory. Zbiór zawiera przykładowe zadania z pełnymi rozwiązaniami oraz podobne zadania przeznaczone do samodzielnej pracy. Do wszystkich zadań podane są odpowiedzi lub wskazówki. Przykłady i zadania w zbiorze są podobnych typów oraz mają zbliżony stopień trudności do zadań, które studenci rozwiązują zwykle na kolokwiach i egzaminach. Oryginalne zestawy zadań ze sprawdzianów z poprzednich lat można znaleźć w trzeciej części zestawu pt. Analiza matematyczna. Kolokwia i egzaminy. Do obecnego wydania dodano kilkanaście nowych przykładów, zadań i rysunków. Ponadto wszystkie przykłady poprzedzono wiadomościami teoretycznymi i wzorami potrzebnymi do ich rozwiązania. Dziękujemy Koleżankom i Kolegom z Wydziału Matematyki Politechniki Wrocławskiej za uwagi o poprzednich wydaniach. Dziękujemy również naszym Studentom za wskazanie błędów w odpowiedziach do zadań. Czytelników prosimy o przesyłanie uwag o podręczniku oraz informacji o zauważonych błędach i usterkach. Marian Gewert Zbigniew Skoczylas 7
7 Całkiniewłaściwe Przykłady Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Przykład..Korzystajączdefinicjizbadaćzbieżnośćcałekniewłaściwychpierwszego rodzaju: (e) 4; (b) +4 ; (c) e ; (f) cos ; (g) 5 ; (d) e e + ; (h) +9 ; ln ( + ). Rozwiązanie. Całkę niewłaściwą funkcji f na[a, ) lub(, b] określamy odpowiednio wzorami: T a f() a f(), b f() b S S f(). Jeżeli granica po prawej stronie znaku równości jest właściwa, to mówimy, że całka jestzbieżna.jeżeligranicajestrówna lub,tomówimy,żecałkajestrozbieżna odpowiednio do lub. W pozostałych przypadkach mówimy, że całka jest rozbieżna. Całkę niewłaściwą funkcji f na prostej(, ) definujemy jako sumę całek niewłaściwych na(, a],[a, ), gdzie a oznacza dowolną liczbę. Zbieżność tej całki ustalamy w zależności od zbieżności całek na półprostych. Jeżeli obie całki są zbieżne, tomówimy,żecałkajestzbieżna.jeżelijednaztychcałekjestrozbieżnadolub,adrugajestzbieżnaalborozbieżnaodpowiedniodolub,tomówimy,że całka jest rozbieżna do lub. W pozostałych przypadkach mówimy, że całka jest rozbieżna. 9
8 Całki niewłaściwe Mamy 4 T zatem rozważana całka jest zbieżna. (b)mamy +4 T = [ ] T ( 4 ) T + = 8 8, [ ] całkowanieprzezpodstawienie t= +4 +4; dt= =,t=4; =T,t=T +4 T +4 4 dt t [ ] T ln t +4 [ ( 4 ln T +4 ) ln4 ] = ( ln4)=. Otrzymaliśmy granicę niewłaściwą, więc rozważana całka jest rozbieżna do. (c)mamy 5 S S S [ 5 8 S 5 dt t = [ lim t S ] 8 S 5 całkowanie przez podstawienie t= 5; dt= =S,t=S 5; =,t= 8 = [ lim ( 8) ] (S 5) = S (4)=. Otrzymaliśmy granicę niewłaściwą, więc rozważana całka jest rozbieżna do. (d)przyjmująca=wdefinicjicałkiniewłaściwejna(, ),otrzymamy +9 = ] Ponieważ +9 całkowanie przez podstawienie =t; =dt przyjętoc= = dt 9t +9 = dt t + = arctgt= arctg,
9 Przykłady więc S S [ S = lim S +9 + lim ] arctg S ( arctg S = ( ) + =. Zatem rozważana całka jest zbieżna. (e)przyjmującjakpowyżeja=,otrzymamy e = S S S S e + e e + lim T [ e ] S+ lim ( e S ) +lim e T + lim ) +9 + lim [ arctg ] T ( arctg T [ ] T e ( ) ( e T = ) ( ) + =. Ponieważ pierwsza z granic jest równa, a druga jest skończona, więc rozważana całka jest rozbieżna do. (f)mamy T [ ] całkowanieprzezpodstawienie cos cos t= ; dt= =,t=; =T,t=T T costdt [ ] T sint ( sint sin ) = lim sint. Granica lim sint nieistnieje,gdyżnp.dlaciągówt n = n,t n = (/)+n, rozbieżnych do, mamy odpowiednio ) = ( = ( lim (T sin n lim sinn=, lim sin T ) n) lim sin n n n n +n =. )
10 Całki niewłaściwe Zatem badana całka jest rozbieżna. (g)mamy e e + T e T Badana całka jest zatem zbieżna. [ ] e całkowanieprzezpodstawienie e t=e + ; dt=e =,t=; =T,t=e T dt [ ] e T t + arctgt [ arctge T ] = 4 4. (h)przyjmująca=wdefinicjicałkiniewłaściwejna(, )otrzymamy ln ( + ) = ln ( + ) + Pokażemy,żedrugazcałekjestrozbieżnado.Mamy ln ( + ). ln ( + ) T ln ( + ) [ ] całkowanieprzezpodstawienie t= +; dt= =,t=; =T,t=T + T + [ ] całkowanieprzezczęści lntdt u(t)=lnt,v (t)= u (t)=/t,v(t)=t = T [ ] lim T + + tlnt dt = lim [( T + ) ln ( T + ) T ] = lim {( T + )[ ln ( T + ) ] + } =. Z nieparzystości funkcji podcałkowej wynika, że ln ( + ) =. Zatem badana całka niewłaściwa jest rozbieżna. Kryteria zbieżności całek niewłaściwych pierwszego rodzaju Przykład..Korzystajączkryteriumporównawczegozbadaćzbieżnośćcałek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
11 Przykłady e sin ; (b) arctg ; (c) ( +) 4. + Rozwiązanie.Niechfunkcjefigspełniajądlakażdego [a, )nierówności f() g().wówczas: [] jeżeli całka niewłaściwa funkcji g jest zbieżna, to całka niewłaściwa funkcji f także jest zbieżna; [] jeżeli całka niewłaściwa funkcji f jest rozbieżna do, to całka niewłaściwa funkcji gtakżejestrozbieżnado. Dlakażdego prawdziwesąnierówności Ponadto całka e sin e. e jestzbieżna,gdyż e T e [ e ] T [ e T ] =. Zatem z kryterium porównawczego[] wynika zbieżność badanej całki. (b)dlakażdego prawdziwesąnierówności Ponadto całka arctg =. jestrozbieżnado,gdyż T [ ] T ln [lnt ln]=. Zatem z kryterium porównawczego[] wynika rozbieżność badanej całki do. (c)dlakażdego prawdziwesąnierówności Całki niewłaściwe, T = sązbieżne,gdyż ] T [ ln [ T ] = ln ln,
12 4 Całki niewłaściwe 4 T 4 Zatem badana całka także jest zbieżna. ] T [ 4 ln4 [ 4 T ] = ln4 ln4. Przykład..Korzystajączkryteriumilorazowegozbadaćzbieżnośćcałekniewłaściwych pierwszego rodzaju: e e 4 5 ; (b) +cos ; (c) arctg ; (d) Rozwiązanie. Niech funkcje f i g będą dodatnie(ujemne) na półprostej[a, ) oraz niech spełniają warunek f() lim g() =k,gdzie<k<. Wówczas całki niewłaściwe funkcji f, g są jednocześnie zbieżne albo rozbieżne do (). Zauważmy,żedla mamy e e 4 5 e e 4= e. Zatem przyjmując w kryterium ilorazowym zbieżności całek niewłaściwych otrzymamy f() k g() Ponieważ całka f()= e oraz g()= e e 4 5, e e e 4 5 więc badana całka także jest zbieżna. e 4 ( 5 e 4 5 ) e 4 =. e jestzbieżna(rozwiązanieprzykładu.)oraz<k<, (b)zauważmy,żedla mamy +cos =. Zatem w kryterium ilorazowym rozbieżności całek niewłaściwych przyjmujemy f()= oraz g()= +cos.
13 Przykłady 5 Wtedy f() k g() Ponieważ całka +cos +cos ( + cos ) =. jestrozbieżnado (rozwiązanieprzykładu.(b))oraz< k<,więcbadanacałkatakżejestrozbieżnado. (c)ponieważ lim arctg=/,więcdla mamy arctg + + = (+). Zatem w kryterium ilorazowym rozbieżności całek niewłaściwych przyjmujemy Wtedy Całka f()= arctg + f() k g() + jestrozbieżnado,gdyż + T oraz g()= (+) arctg + (+). arctg =. [ ] T + ln + ln(t+)=. Ponadto<k<,więcbadanacałkatakżejestrozbieżnado. (d)zauważmy,żedla mamy +4 =. Zatem przyjmując w kryterium ilorazowym zbieżności całek niewłaściwych f()= oraz g()= +4, otrzymamy f() k g() =.
14 6 Całki niewłaściwe Całka jestzbieżna,gdyż T [ ] T Ponadto<k<,więcbadanacałkatakżejestzbieżna. ( )=. T Zbieżność bezwzględna całek niewłaściwych pierwszego rodzaju Przykład.4.Zbadaćzbieżnośćizbieżnośćbezwzględnącałekniewłaściwych: sin ; (b) Rozwiązanie. Mówimy, że całka cos ( ) ; (c) a cos; (d*) sin. f() jest zbieżna bezwzględnie, jeżeli a f() jest zbieżna. Wiadomo, że jeżeli całka niewłaściwa jest zbieżna bezwzględnie, to jest zbieżna. Dlakażdego prawdziwesąnierówności sin. Ponadto całka jestzbieżna.zkryteriumporównawczegowynika,żecałka sin jestzbieżna.stądcałka sin jestzbieżnabezwzględnie,awięc również zbieżna. (b)zauważmy,żedlakażdego zachodząnierówności cos ( ) ( ). Ponadto całka ( ) jestzbieżna,gdyż ( ) T ( ) T dt t [ t ] T [ ] całkowanieprzezpodstawienie t= ; dt= =,t=; =T,t=T ( ) 4 9 (T ) = 6.
15 Przykłady 7 Zatem analogicznie jak w poprzednim przykładzie badana całka niewłaściwa jest zbieżna bezwzględnie, a więc również zbieżna. (c) Pokażemy, że badana całka jest rozbieżna. Mamy T [ ] całkowanieprzezczęści cos cos u()=,v ()=cos u ()=,v()=sin [ ] T T sin sin [sin+cos]t (TsinT+cosT). Zauważmy teraz, że granica lim (TsinT+cosT)nieistnieje,gdyżnp.dlaciągów T n=n,t n=(n+),rozbieżnychdo,mamyodpowiednio lim n ( T n sint n +cost n ) lim (T n n sint n +cost n więc badana całka jest rozbieżna. Rozbieżność całki ) n (nsin(n)+cos(n))= n ((n+)sin(n+)+cos(n+))=, cos wynika,ztwierdzenia o zbieżności całek niewłaściwych zbieżnych bezwzględnie. Gdyby bowiem całka ta była zbieżna, to byłaby zbieżna także całka nie zachodzi. / cos,cojakpokazaliśmypowyżej (d*) Pokażemy, że badana całka nie jest zbieżna bezwzględnie, ale jest zbieżna. W rozwiązaniuwykorzystamynierówność sin sin zachodzącądlakażdego R orazokresowośćfunkcjisin.wykorzystująctęnierównośćotrzymamy sin sin = sin + = sin = sin + sin + ( sin + 4 sin ( + + ) ) =. sin +...
16 8 Całki niewłaściwe całka niewłaściwa a f()g() jest zbieżna. Łatwo sprawdzić, że funkcje g()=, f()=sin spełniają na przedziale[, ) założenia twierdzenia Dirichleta. Zatem rozważana całka jest zbieżna. Całki niewłaściwe drugiego rodzaju To oznacza, że badana całka nie jest zbieżna bezwzględnie. Uzasadnienie jej zbieżności jest bardziej skomplikowane. Wymaga zastosowania twierdzenia Dirichleta. Twierdzenietoorzeka,żejeżelifunkcjagmaciągłąpochodnąnaprzedziale[a, )orazmaleje do,gdy,afunkcjaciągłafmaograniczonąfunkcjępierwotnąna[a, ),to Przykład.5.Korzystajączdefnicjizbadaćzbieżnośćcałekniewłaściwychdrugiego rodzaju: (d) sin ; cos sin ; (b) (e) ; sin ; (c) (f) 4 ;. Rozwiązanie. Niech funkcja f określona na przedziale(a, b] będzie nieograniczona tylko na prawostronnym sąsiedztwie punktu a. Całkę funkcji f na przedziale(a, b] definiujemy wzorem: b b f() f(). A a + a A Jeżeli granica po prawej stronie znaku równości jest właściwa, to mówimy, że całka jestzbieżna.jeżeligranicajestrówna lub,tomówimy,żecałkajestrozbieżna odpowiednio do lub. W pozostałych przypadkach mówimy, że całka jest rozbieżna. Analogicznie definiuje się całkę funkcji f określonej na przedziale[a, b) i nieograniczonej tylko na lewostronnym sąsiedztwie punktu b. Funkcjaf()=/sin jestnieograniczonatylkonaprawostronnymsąsiedztwie punktu, zatem sin A + A sin Badana całka jest rozbieżna do. A + [ ctg ] A (+ctga)=. A +
17 Przykłady 9 (b)funkcjaf()=/ jestnieograniczonatylkonalewostronnymsąsiedztwie punktu, zatem B B B B B B Badana całka jest zbieżna. [ ] całkowanieprzezpodstawienie t= ; dt= =,t=; =B,t= B dt t [ ] t dt B t ( ) ( B) B B =. (c)ponieważfunkcjapodcałkowaf()=/ ( ) jestnieograniczonanaprawostronnym sąsiedztwie punktu oraz na lewostronnym sąsiedztwie punktu, więc przyjmując w określeniu całki niewłaściwej za miejsce podziału a = otrzymamy = +. Zbadamy z definicji zbieżność każdej z całek po prawej stronie znaku równości. Mamy B B B B = lim B B ln rozkład na ułamki proste pierwszego ( rodzaju = ) + ( ) + Z parzystości funkcji podcałkowej wynika, że także [ ] B ln ln + B B+ = lim B ln B +B =. Zatem badana całka jest rozbieżna do. =. (d)ponieważfunkcjapodcałkowaf()=cos/ sinjestnieograniczonana obu jednostronnych sąsiedztwach punktu /6, więc rozważana całka niewłaściwa jest
18 Całki niewłaściwe określona wzorem cos sin = 6 cos sin + 6 cos sin. Zbadamy zbieżność każdej z całek po prawej stronie znaku równości. Najpierw jednak cos obliczymy całkę nioznaczoną.mamy sin całkowanie cos przez podstawienie sin t= sin; dt= cos = dt t = Zatem dla pierwszej całki oznaczonej mamy t +C= ( sint) +C. 4 6 cos B sin B 6 = 4 lim B 6 cos sin [ ] B ( sin) = [ 4 lim B 6 ] ( sinb) = 4. Dla drugiej całki oznaczonej mamy 6 cos sin A 6 + A = 4 lim A 6 + = 4 lim A 6 + cos sin Zatembadanacałkajestzbieżnado ( 4 + ) 4 [ ] ( sin) ] [ ( sina) = 4. (e)funkcjaf()= ( / ) sin(/)jestnieograniczonatylkonaprawostronnym sąsiedztwie punktu, zatem badaną całkę określamy wzorem sin A + A = A =. [ całkowanieprzezpodstawienie sin ( ] t=/; dt= / ) =A,t=/A; =/,t=/ [ sintdt cost A + ] A A = lim A + cos A.
19 Przykłady Ponieważ granica lim A +cos A nieistnieje,więcbadanacałkajestrozbieżna. (f)wprzedziale[,4)funkcjaf()=/ ( ) jestnieograniczonatylkona lewostronnym sąsiedztwie punktu 4. Zgodnie z definicją całki niewłaściwej mamy 4 B B 4 B 4 B 4 B B tdt t [ ] całkowanieprzezpodstawienie =t (t ); =tdt =,t=; =B,t= B ( t [ =lim ln t t B 4 ) dt ] B Zatem badana całka jest rozbieżna do. ( =lim ln B ) B+ =. B 4 Kryteria zbieżności całek niewłaściwych drugiego rodzaju Przykład.6.Korzystajączkryteriumporównawczegozbadaćzbieżnośćcałek niewłaściwych drugiego rodzaju: (+sin) ; (b) 4 + ; (c) e ( ) ; (d) 4 tg. Rozwiązanie. Niech funkcje f i g będą nieograniczone tylko na prawostronnym sąsiedztwiepunktuaorazniechdlakażdego (a,b]spełniająnierówności f() g(). Wówczas: [] jeżeli całka [] jeżeli całka do. b a b a g()jestzbieżna,totakżecałka f()jestrozbieżnado,totakżecałka Zauważmy,żedlakażdego>prawdziwesąnierówności b +sin + =. a f()jestzbieżna; b a g() jest rozbieżna Ponadto całka niewłaściwa jestzbieżna.zatemzkryteriumporównawczego
20 Całki niewłaściwe [] wynika, że badana całka jest także zbieżna. (b)zauważmy,żedla>prawdziwesąnierówności Ponieważ całka 4 + = +. jestzbieżna,więctakżebadanacałkajestzbieżna. (c)dlakażdego <prawdziwesąnierówności Ponadto, całka niewłaściwa e e ( ) = ( ) ( ). ( ) jestrozbieżnado.zatemzkryteriumporównawczego[] wynika, że badana całka jest także rozbieżna do. (d)zauważmy,żedla/4 </prawdziwesąnierówności 4 tg tg. Uzasadnimy teraz rozbieżność całki niewłaściwej / tg.mamy 4 tg B B 4 = lim B tg B 4 (cos) cos [ ] B = lim ln cos B 4 /4 B [ ln ] ln cosb =. Z kryterium porównawczego[] wynika rozbieżność badanej całki do. Przykład.7.Korzystajączkryteriumilorazowegozbadaćzbieżnośćcałekniewłaściwych drugiego rodzaju: sin ; (b) (e ) 4 ; (c) +cos. Rozwiązanie. Niech funkcje dodatnie(ujemne) f i g będą nieograniczone tylko na prawostronnym sąsiedztwie punktu a. Ponadto niech spełniają warunek lim a + f() g() =k,gdzie<k<.
21 Przykłady Wówczas całki niewłaściwe drugiego rodzaju funkcji f, g na przedziale(a, b] są jednocześnie zbieżne albo rozbieżne do (). Prawdziwe są także analogiczne twierdzenia dla całek niewłaściwych na przedziale[a, b). sin Ponieważlim =,więcdla mamy g()= sin =sin =. Przyjmującwkryteriumilorazowymf()=/ otrzymamy Ponieważ całka zbieżna. f() k + g() + sin =. jestzbieżnaoraz<k<,więcbadanacałkatakżejest e (b)ponieważlim =,więcdla mamy g()= e 4 = e =. Przyjmującwkryteriumilorazowymf()=/ otrzymamy Ponieważ całka jest rozbieżna do. f() k + g() + e =. jestrozbieżnado oraz<k<,więcbadanacałkatakże (c) Najpierw przekształcimy całkę niewłaściwą w ten sposób, aby funkcja podcałkowabyłanieograniczonanasąsiedztwiepunktuzamiast.podstawiająct= otrzymamy +cos = dt cost. ZewzoruMaclaurinafunkcjicostin=dlat mamycost t.zatem przyjmując w kryterium ilorazowym otrzymamy f(t)= t oraz g(t)= cost, k t + f(t) g(t) t + cost t =.
22 4 Całki niewłaściwe Ponieważ całka jest rozbieżna do. dt t jestrozbieżnado oraz<k<,więcbadanacałkatakże Przykład.8. Obliczyćwartościgłównecałekniewłaściwych: (d) +(+) ; (b) sgn( ); (e) e ; (c) sin 4 ; (f) 9 4 ( sin ) ; 6. Rozwiązanie. Wartość główną całki niewłaściwej pierwszego rodzaju funkcji f na(, ) definiujemy wzorem v.p. f() T T f() Z kolei wartość główną całki niewłaściwej drugiego rodzaju z funkcji f określonej na [a, b]\{c} i nieograniczonej jedynie na obustronnym sąsiedztwie punktu c definiujemy wzorem: b c ε b v.p. f() f()+ f(). a ε + a Jeżeli granica po prawej stronie równości nie istnieje, to mówimy, że całka niewłaściwa niemawartościgłównej.jeżelicałkaniewłaściwana(, )jestzbieżnadow,to wartość główna całki także się równa w. Podobnie jest dla całki niewłaściwej drugiego rodzaju. Ponieważ lim T T +(+) [ arctg(+) ] T T więc wartością główną całki jest. (b) Ponieważ lim T T c+ε arctg[(t+) arctg( T)]= ( ) =, e [ = lim e ] T T ( e T e T) = ()=, więc wartością główną całki jest.
23 Przykłady 5 (c) Ponieważ granica lim T T ( sin ) [ ( = lim cos )] T 6 6 T = lim [ ( cos T ) cos 6 nie istnieje, więc wartość główna całki także nie istnieje. (d) Funkcja podcałkowa jest określona wzorem dla<, sgn( )= dla=, dla>. Ponieważ granica lim T T sgn( ) T> == T T T sgn( )+ T ( )+ { [ ] T +[ ] } T ( T+ )] 6 sint sgn( ) =lim[ T+T ]= 4 jest skończona, więc wartość główna całki równa się 4. Zauważmy, że wartość główna całki istnieje mimo, że całka niewłaściwa na przedziale(, ) nie istnieje. (e)funkcjaf()=(sin)/ 4 jestokreślonadla itylkonaobustronnym sąsiedztwie punktu jest nieograniczona. Zatem v.p. sin 4 ε + Z nieparzystości funkcji f wynika, że ε ε sin 4 = sin 4 + ε ε sin 4. sin 4 Stąd v.p. sin 4 ε + ε sin 4 + ε sin =. 4
24 6 Całki niewłaściwe (f)funkcjaf()=/ jestokreślonadla itylkonaobustronnymsąsiedztwie punktu jest nieograniczona. Zatem 9 ε v.p ε + =lim ε + 4 { [ ε ] ε 4 + [ ] 9 ε } =lim ε + [( ε+ ) + ( ε )] =. Zadania Odp. str Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: (d) (g) (+) ; (b) +4 ; (e) e ; (h) ; (c) +5 ; (f) 6 + ; (i*) sin; 4+ ; ( arcctg)... Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: (d) ; (b) ; (e) ( ) 4 ++ ; (c) 7 + ; (+sin) ; ( ) +cos (f)... Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: (d) 5 ( e 5 ; (b) + ) e ; (c) sin ; (e) ( ) + ; (f) sin ; sin..4. Zbadać zbieżność i zbieżność bezwzględną całek niewłaściwych:
25 Zadania 7 (d) sin e + ; (b) cos + ; (e*) cos; (c) cos 4 +sin ; (f*) sin 4 + ; cos..5. Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju: 5 ; (b) sin ; (c) ( ) ; (d) e ln 5 ; (e) e 8 ; (f*) sinln..6. Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju: (d) 4 arctg ; (b) + ; (e*) e ; (c) ; (f*) 6 4 cos ; 6 ( )..7. Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju: sin ( e ) 4 ; (b) ; (c) 4 ; cos (d) (g*) (arcsin) ; (e*) ; (h*) e e ; e cos ; (f*) (i*).8. Wyznaczyć wartości główne całek niewłaściwych: (d) cos +4 ; (b) ( ) ; (e) e e + ; (c) sin ; (f) 7 8 sin ;. e +5 ;.
ANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie szesnaste uzupełnione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 204 Marian Gewert Instytut Matematyki i Informatyki
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA 1 Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA 1 Kolokwia i egzaminy Wydanie siedemnaste zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2018 Marian Gewert Wydział Matematyki
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Opracowanie Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie dziewiąte powiększone GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław Projekt okładki: IMPRESJA Studio
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji, asymptoty i ciągłość
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji asymptoty i ciągłość Definicja sąsiedztwo punktu. Niech 0 a b R r > 0. Sąsiedztwem o promieniu r punktu 0 nazywamy zbiór S 0 r = 0 r 0 0 0 + r;
Bardziej szczegółowoALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA
ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Opracowanie Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie piętnaste zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2014 Marian
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Definicja 1 (funkcja pierwotna i całka nieoznaczona). Niech f : I R. Mówimy, że F : I R jest funkcją pierwotną funkcji f, jeśli F jest różniczkowalna
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowoCałki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych
Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowoFunkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory. Autorzy: Konrad Nosek
Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory Autorzy: Konrad Nosek 09 Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory Autor: Konrad Nosek DEFINICJA Definicja : Funkcja pierwotna Rozważmy
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2.2B (2017/18)
ANALIZA MATEMATYCZNA.B (7/8) ANALIZA MATEMATYCZNA.A,.A LISTA. (na ćwiczenia) Całki niewłaściwe Część A. Zadania do samodzielnego rozwiązania, czyli to, co należy umieć z poprzedniego semestru... Podać
Bardziej szczegółowoROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI
ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. =1+cos a) = =2cos( sin) = = sin2 = ln += =sin2 = ln 1+cos +. b) sin(+3)= =+3 = 3 =( 3) = sin= =( 6+9) sin= sin 6 sin+9sin. Obliczamy teraz pierwszą całkę: sin= ()=
Bardziej szczegółowoWykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga!
Wykład VI Badanie przebiegu funkcji 1. A - przedział otwarty, f D A x A f x > 0 f na A x A f x < 0 f na A 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) x A f x > 0 fwypukła ku górze na A x A f x < 0 fwypukła ku
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Ćwiczenia
Analiza Matematyczna Ćwiczenia Spis treści Ciągi i ich własności Granica ciągu Granica funkcji 4 4 Ciągłość funkcji 6 Szeregi 8 6 Pochodna funkcji 7 Zastosowania pochodnej funkcji 8 Badanie przebiegu zmienności
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)
Analiza Matematyczna F dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3 08/9z (zadania na ćwiczenia) (Na podstawie podręcznika M. Gewert Z. Skoczylas Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania GiS 008) 3 Granica funkcji
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU
9815Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA.1 A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis.1 A Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli
Bardziej szczegółowoLISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAT 1637, 1644)
LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA MAT 67, 644) Zadania przeznaczone są do rozwiązywania na ćwiczeniach oraz samodzielnie. Dwie dodatkowe listy: POWTÓRKA i POWTÓRKA to przygotowanie do kolokwiów.
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU CELE PRZEDMIOTU
WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI Zał. nr do ZW KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA.1 A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis.1 A Kierunek studiów (jeśli dotyczy):
Bardziej szczegółowoCałki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,
Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoLista zagadnień omawianych na wykładzie w dn r. :
Lista zagadnień omawianych na wykładzie w dn. 29.0.208r. : Granica funkcji Definicja sąsiedztwa punktu. Sąsiedztwo 0 R o promieniu r > 0: S 0, r = 0 r, 0 + r\{ 0 } 2. Sąsiedztwo lewostronne 0 R o promieniu
Bardziej szczegółowoRoksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych
Temat. Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych.twierdzenia o wartosci sredniej w rachunku różniczkowalnym i ich zastosowania. Roksana Gałecka 20..204 Spis treści Okreslenie
Bardziej szczegółowoCAŁKI NIEOZNACZONE C R}.
CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem
Bardziej szczegółowoSylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 201/15 (1) Nazwa Rachunek różniczkowy i całkowy I (2) Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot (3)
Bardziej szczegółowoGranice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21
Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Lista zadań 3/4 Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie. Korzystając z definicji zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Funkcje, ich granice i ciągłość
Zadania z analizy matematycznej - sem II Funkcje ich granice i ciągłość Zadanie 1 Wyznaczyć i naszkicować dziedziny naturalne podanych funkcji: a f y = 2 y 3 25 2 +y 2 16 b g y = ln1 2 y 2 c h y = ln 2
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Egzamin Termin: 28.01, godz. 10.15-11.45, sala 309 3 pytania teoretyczne 2 zadania wybór pytań i wybór zadań
Bardziej szczegółowo1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Bardziej szczegółowoWykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA. Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis. Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy):
Bardziej szczegółowoKrzysztof Rykaczewski. Szeregi
Krzysztof Rykaczewski Spis treści 1 Definicja szeregu 2 Zbieżność szeregu 3 Kryteria zbieżności szeregów 4 Iloczyn Cauchy ego szeregów 5 Bibliografia 1 / 13 Definicja szeregu Niech dany będzie ciąg (a
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA
ANALIZA MATEMATYCZNA TABLICE Spis treści: 1.) Pochodne wzory 2 2.) Całki wzory 3 3.) Kryteria zbieżności szeregów 4 4.) Przybliżona wartość wyrażenia 5 5.) Równanie płaszczyzny stycznej i prostej normalnej
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoMatematyka A kolokwium: godz. 18:05 20:00, 24 maja 2017 r. rozwiązania. ) zachodzi równość: x (t) ( 1 + x(t) 2)
Matematyka A kolokwium: godz. 18:05 0:00, 4 maja 017 r. rozwiązania 1. 7 p. Znaleźć wszystkie takie funkcje t xt, że dla każdego t π, π zachodzi równość: x t 1 + xt 1+4t 0. p. Wśród znalezionych w poprzedniej
Bardziej szczegółowoWykład 7: Szeregi liczbowe i potęgowe. S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 S 3 = a 1 + a 2 + a 3. a k
Wykład 7: Szeregi liczbowe i potęgowe. Definicja 1. Niech (a n ) - ustalony ciąg liczbowy. Określamy nowy ciąg: S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 S 3 = a 1 + a 2 + a 3. S n =. Ciąg sum częściowych (S n ) nazywamy
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoWykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium 45 30
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA. A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis. A Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy):
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy):
Bardziej szczegółowox 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =
Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć
Bardziej szczegółowoSZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE
Mając dowolny ciąg można z niego utworzyć nowy ciąg sum częściowych: Ten nowy rodzaj ciągu nazywamy szeregiem liczbowym, a jeśli to mamy do czynienia z nieskończonym szeregiem liczbowym, który oznaczany
Bardziej szczegółowoLista 1 - Funkcje elementarne
Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;
Bardziej szczegółowoOpis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Nazwa modułu: Analiza matematyczna Rok akademicki: 2018/2019 Kod: BIT-1-101-s Punkty ECTS: 6 Wydział: Geologii, Geofizyki i Ochrony Środowiska Kierunek: Informatyka Stosowana Specjalność: Poziom studiów:
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
Bardziej szczegółowona egzaminach z matematyki
Błędy studentów na egzaminach z matematyki W opracowaniu omówiłem typowe błędy popełniane przez studentów na kolokwiach i egzaminach z algebry oraz analizy. Ponadto podaję błędy rzadziej spotykane, które
Bardziej szczegółowoAM1.2 zadania 14. Zadania z numerami opatrzonymi gwiazdka
AM.2 zadania 4 Tekst poprawiony 24 kwietnia 206 r. Zadania 26, 28, 29, 3, 33, 34, 35, 36, 40, 42, 62 i inne z wykrzyknikiem obok numeru sa obowiazkowe! Zadania z numerami opatrzonymi gwiazdka można napisać
Bardziej szczegółowoLISTA 0 (materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych
LISTA 0 materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych W zadaniach 0. 0.5 n N, natomiast a, b,, y są liczbami rzeczywistymi, dla których występujące w zadaniach wyrażenia
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 3
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 3 Ciągi liczbowe Definicja Dowolną funkcję a: N R nazywamy ciągiem liczbowym. Uwaga Ze względu na tradycję tym
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna Mathematical analysis. Transport I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014 Analiza matematyczna Mathematical analysis A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. Szeregi liczbowe i ich kryteria zbieżności. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Szeregi liczbowe Szeregi liczbowe i ich kryteria zbieżności Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi liczbowe str. 1/25 Szereg liczbowy Niech(a n ) będzie
Bardziej szczegółowoWykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30
WYDZIAŁ ARCHITEKTURY KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Matematyka 1 Nazwa w języku angielskim Mathematics 1 Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy): Stopień studiów i forma:
Bardziej szczegółowoWykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium 45 30
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA 1.1 B Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis 1B Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy):
Bardziej szczegółowoPodstawy analizy matematycznej II
Podstawy analizy matematycznej II Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowoCiągi. Granica ciągu i granica funkcji.
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.. Ciągi Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze N lub jego podzbiorze. Z tego względu ciągi dziey na
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU
WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW 33/01 Nazwa w języku polskim: Analiza matematyczna.1 Nazwa w języku angielskim: Mathematical analysis.1 Kierunek
Bardziej szczegółowoCałki z funkcji trygonometrycznych. Autorzy: Tomasz Drwięga
Całki z funkcji trygonometrycznych Autorzy: Tomasz Drwięga 08 Całki z funkcji trygonometrycznych Autor: Tomasz Drwięga TWIERDZENIE Twierdzenie : o całkowaniu funkcji postaci R(sin x, cos x) Do obliczania
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe
Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje:
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowo20 zorganizowanych w Uczelni (ZZU) Liczba godzin całkowitego 150 nakładu pracy studenta (CNPS)
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA.3 A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli
Bardziej szczegółowoSzeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowoKOMPENDIUM Z MATEMATYKI
Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego KOMPENDIUM Z MATEMATYKI Metody obliczania całek ε = mc Michał Stukow Błażej Szepietowski Publikacja współfinansowana
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Zalecana znajomość matematyki odpowiadająca maturze na poziomie podstawowym
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Analiza matematyczna Nazwa w języku angielskim Calculus Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Inżynieria zarządzania
Bardziej szczegółowoMatematyka I nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne
Matematyka I nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne Elementy składowe sylabusu Nazwa jednostki prowadzącej kierunek Nazwa kierunku studiów Poziom kształcenia Profil studiów Forma studiów Kod przedmiotu
Bardziej szczegółowoa 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a
Bardziej szczegółowoWykład 10: Całka nieoznaczona
Wykład 10: Całka nieoznaczona dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, rok akademicki 2016/2017 Motywacja Problem 1 Kropla wody o średnicy 0,07 mm
Bardziej szczegółowoRozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna
Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk
Analiza Matematyczna Szeregi liczbowe Alexander Denisjuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowo6. Całka nieoznaczona
6. Całka nieoznaczona Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 1 / 35 Całka nieoznaczona - motywacja Wiemy
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA I
ANALIZA MATEMATYCZNA I Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Lista nie zawiera
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej
Bardziej szczegółowoZał. nr 4 do ZW 33/2012 WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU
Zał. nr 4 do ZW 33/01 WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Analiza matematyczna 1.1 A Nazwa w języku angielskim: Mathematical Analysis 1.1
Bardziej szczegółowoOPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS)
OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS) I. Informacje ogólne: 1 Nazwa modułu Matematyka 1 2 Kod modułu 04-A-MAT1-60-1Z 3 Rodzaj modułu obowiązkowy 4 Kierunek studiów astronomia 5 Poziom studiów I stopień 6 Rok
Bardziej szczegółowoMatura z matematyki na poziomie rozszerzonym
Tadeusz Socha Matura z matematyki na poziomie rozszerzonym tom V uzupełnienie do matury od 2015 roku o treści zwiększające wymagania maturalne Copyright by Socha Tadeusz, 2013 ISBN 978-83-936602-9-2 www.maturzysta.info
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 Przedmiot realizowany w układzie wykład 2 godz. tygodniowo ćwiczenia 2 godz. tygodniowo Regulamin zaliczeń www.mini.pw.edu.pl/~figurny 2 Program zajęć Równania różniczkowe
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowoObliczanie pochodnej funkcji. Podstawowe wzory i twierdzenia. Autorzy: Tomasz Zabawa
Obliczanie pocodnej funkcji. Podstawowe wzory i twierdzenia Autorzy: Tomasz Zabawa 207 ./matjax/matjax.js?configtex-ams-mml_htmlormml"> Obliczanie pocodnej funkcji. Podstawowe wzory i twierdzenia Autor:
Bardziej szczegółowoCałki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej
Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE MATEMATYKA II E. Logistyka (inżynierskie) niestacjonarne. I stopnia. dr inż. Władysław Pękała. ogólnoakademicki.
Politechnika Częstochowska, Wydział Zarządzania PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu Kierunek Forma studiów Poziom kwalifikacji Rok Semestr Jednostka prowadząca Osoba sporządzająca Profil Rodzaj
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Analiza matematyczna I Mathematical analysis I Kierunek: Kod przedmiotu: Matematyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Poziom kwalifikacji:
Bardziej szczegółowoKARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA
KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA I. 1 Nazwa modułu kształcenia I. Informacje ogólne Analiza matematyczna 2 Nazwa jednostki prowadzącej moduł Instytut Informatyki, Zakład Informatyki Stosowanej 3 Kod modułu (wypełnia
Bardziej szczegółowoMatematyka I nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne
Matematyka I nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne Elementy składowe sylabusu Nazwa jednostki prowadzącej kierunek Nazwa kierunku studiów Poziom kształcenia Profil studiów Forma studiów Kod przedmiotu
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Bardziej szczegółowoIn the paper we describe how to introduce the trigonometric functions using their functional characteristics and the Eisenstein series.
!" #$ %&' ( +*",-".0/1"3"4"5"67498:"5";=6?,@"A"-B5"-BCD4E?,@"
Bardziej szczegółowo1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej
. Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica
Bardziej szczegółowo