Tożsamości cyklometryczne. Zadania z zastosowaniem funkcji cyklometrycznych. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska

Transkrypt

1 Tożsamości cyklometryczne. Zadania z zastosowaniem funkcji cyklometrycznych Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 09

2 Tożsamości cyklometryczne. Zadania z zastosowaniem funkcji cyklometrycznych Autor: Anna Barbaszewska-Wiśniowska PRZYKŁAD Przykład : Obliczmy arcsin, Korzystamy z faktu, że arcsin x = w sin w = x i w [, ], x [, ], arcsin = w sin w = i w [, ]. Rozwiązując równanie trygonometryczne elementarne: sin w =, otrzymujemy dwie grupy rozwiązań w = + k, k Z lub w = + k = + k, k Z, z których wybieramy tylko to rozwiązanie, które należy do przedziału [, ], czyli w =. PRZYKŁAD Przykład : Obliczmy arctg ( ). Funkcja arctg jest nieparzysta, więc arctg( ) = arctg( ). arctg( ) obliczamy korzystając z faktu, że arctgx = w tg w = x i w (, ), x R, arctg = w tg w = i w (, ). Rozwiązujemy równanie trygonometryczne elementarne: tgw =. otrzymując w = + k, k Z spośród rozwiązań wybieramy to, które należy do przedziału (, ), czyli w =,

3 Zadanie : Pokażemy, że dla x [, ] prawdziwa jest równość sin(arccos x) = x Obierzmy dowolną liczbę x [, ], wówczas liczba α = arccos x należy do przedziału [0, ], więc wartość funkcji sinus dla tej liczby jest nieujemna. Z jedynki trygonometrycznej mamy sin α + cos α =, sin α = cos α, sin α = cos α lub sin α = cos α, Wybieramy wzór sin α = cos α i obliczamy sin(arccos x) = cos (arccos x) = [cos(arccos x)] = x. - korzystamy z faktu, że cos(arccos x) = x, dla każdego x [, ]. Zadanie : Obliczymy wartość wyrażenia sin(arccos arcsin ). Obliczamy najpierw arccos, a następnie arcsin arccos = w cos w = stąd w =. i w [0, ], arcsin = w sin w = i w [, ], stąd w =. Mamy więc sin(arccos arcsin ) = sin( ) = sin( ) = sin =.

4 Zadanie : Obliczmy wartość wyrażenia sin(arccos arccos ). Zauważmy, że postępując podobnie jak w przykładzie czyli obliczając np. arccos, napotkamy pewną trudność w efektywnym rozwiązaniu równania trygonometrycznego cos w =. Możemy tu użyć kalkulatora do znalezienia rozwiązania przybliżonego, ale możemy też zadanie to rozwiązać inaczej. W tym celu wykorzystamy wzory: sin(α β) = sin α cos β cos α sin β, α, β R. cos(arccosx) = x, dla x [, ], sin(arccos x) = x, dla x [, ] (patrz przykład drugi). Obliczamy sin(arccos arccos ) = sin(arccos ) cos(arccos ) cos(arccos ) sin(arccos ) = = = = =

5 Zadanie 4: Niech f(x) = sin x, g(x) = arcsin x. Naszkicujemy wykresy złożeń f g Funkcje f, g są podane jedynie za pomocą wzorów, czyli rozpatrujemy je w dziedzinie naturalnej. f(x) = sin x, D f = R, g(x) = arcsin x, D g = [, ]. Znajdujemy dziedzinę złożenia D f g = {x R : x D g i g(x) D f }, x [, ], (arcsin x) R. Stąd D f g = [, ] Dla x [, ] obliczamy (f g)(x) = f(g(x)) = f(arcsin x) = sin(arcsin x) = x. Otrzymujemy (f g)(x) = x, D f g = [, ]. Zatem złożenie f g jest identycznością w przedziale [, ]. Rysujemy wykres tej identyczności. Rysunek : f g Zadanie : Niech f(x) = sin x, g(x) = arcsin x. Naszkicujemy wykresy złożeń g f. g(x) = arcsin x, D g = [, ],

6 f(x) = sin x, D f = R. Wyznaczamy dziedzinę złożenia D g f = {x R : x D f i f(x) D g }, x R i sin x. Nierówność podwójna jest zawsze spełniona, czyli D g f = R. Zauważymy, że g f jest funkcją okresową o okresie zasadniczym w =, takim samym jaki ma funkcja wewnętrzna sinus. W tym celu pokażemy, że spełnione sa dwa warunki definicyjne okresowości. D g f = R, czyli dla każdej liczby x należącej do dziedziny liczba x + również należy do dziedziny, więc warunek dotyczący dziedziny funkcji okresowej jest spełniony w sposób oczywisty. Musimy pokazać jeszcze, że (g f)(x + ) = (g f)(x), x D g f. Obliczamy (g f)(x) = g(f(x)) = g(sin x) = arcsin(sin x), więc (g f)(x + ) = arcsin(sin x + ) = arcsin(sin x) = (g f)(x). Funkcja g f jest więc funkcja okresową o okresie.. Aby naszkicować wykres funkcji okresowej g f, wystarczy znać fragment tego wykresu w przedziale o długości, a następnie powielić ten fragment na całą oś liczbową. Dla x [, ] mamy (g f)(x) = arcsin(sin x) = x, więc wykresem jest odcinek leżący na diagonali y = x. Pozostaje rozważyć przedział [ ]. Zauważmy, że dla każdego x [, ] możemy znaleźć taką liczbę α [, ], że x = + α. Obliczmy dla x [, ]wartośćzłożenia (g f)(x) (g f)(x) = arcsin(sin x) = arcsin(sin( + α)) = arcsin( sin α) = arcsin(sin α) = α = (x ) = x + - zastosowaliśmy wzór redukcyjny sin( + α) = sin α - korzystamy z nieparzystości funkcji arkus sinus. Mamy, więc x (g f)(x) = x + dla dla dla dla x < x [, ] x [, ] x > Możemy naszkicować wykres g f Rysunek : g f

7 Zadanie : x Wyznaczymy dziedzinę funkcji danej wzorem f(x) = log( arccos ). Liczby x z dziedziny funkcji D f muszą spełniać następujące warunki x. x. ( arccos ) 0. Ad. x, x, x, x [, 8]. Ad. x ( arccos ) > 0, x arccos < Podstawiając. = arccos mamy arccos x < arccos. Funkcja arccos jest malejąca, więc rozwiązując tę nierówność cyklometryczną musimy zmienić zwrot nierówności na przeciwny x >, x > x > +,. Z () i () otrzymujemy x ( +, 8] Odpowiedź D f = ( +, 8). Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko

8 na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie Data generacji dokumentu: :0:00 Oryginalny dokument dostępny pod adresem: link=4e9ba8dff9abd9bec48a Autor: Anna Barbaszewska-Wiśniowska