Ćwiczenia r.

Transkrypt

1 Ćwiczenia 9..8 r.. Wyznaczyć wskazane wartości, gdy spełnione są podane równania: a)sin=?,tg=; b)ctg=?,sin= π ) 7 ; π c)sin5=?,sin + =tg ; d)cos=?,+tg9 tg + π ).. Rozwiązać nierówności: a)+4 + <8 + + ; b)4 ) ) ; c)log >log +log9 ; d)log 4 +log 8 4 log 4.. Rozwiązać równania: a)9 +ctg π ) = ) sin π ) 4 ; b)sin +sin ) π ++ +=,<<π; c)4 cos+π ) =8 π ),,5); d)cos log 9 4) ) π sin +log =sin cos 4. Wyznaczyć wskazane wartości, gdy spełnione są podane warunki: ) a)tg 4 + =?,tg 4 + π ) +sin 4 π ) =; b)tg=?,log 4 sin)+log sin)=log 4 ctg); c)tg tg4=?,sin π ) =sin + π ) π,asin =A. 6 4) 5. Obliczyć wartości wyrażeń: a)arcsin arccos =arctg,jeśliarcctg=π 6 ; b)arcsin )+arccos+arctg,jeśliarccos= π. log )).

2 Ćwiczenia..8 r. 6. Wyznaczyć dziedziny funkcji: a)f)=arcsin+);b)f)=arccos + ) ;c)f)=arctg 4 + ;d)f)=arcctg. 7. Zbadać, czy podane ciągi są ograniczone z dołu, z góry, są ograniczone: a)a n = +sinn cosn ; b)a n= n n ; c)a n = n; d)a n = n+8 n+; e*)a n = n +n. 8. Zbadać, czy podane ciągi są monotoniczne od pewnego miejsca: a)a n = n+ n ; d)a n = n 6n+; n a) lim n+5 = ; b) lim b)a n = n n + ; c)a n= 7n n! ; e)a n = 4n n + n; f)a n= n + n. 9. Korzystając z definicji granicy właściwej lub niewłaściwej ciągu uzasadnić równości: =; n c) lim n =.. Korzystając z twierdzeń o arytmetyce granic ciągów obliczyć granice: a) lim d) lim g) lim n ; b) lim n+4 n+) n+) 5 6n +n+) 4 ; e) lim n + ) n!+ ; h) lim n+)n+)! n+ n ; n +n + c) lim n n ; n ) 5 n+ 4 n ; f) lim n 5 n 4 n+; n +4n+ n +n) n n+ ; i) lim n +.. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granice: 4n+ ) n n a) lim ; b) lim 5n+ n ; c) lim n +cosn; n d) lim n + n + n4 n; e) lim n + n 5 n +n; f) lim n + + n ) n. +n. Obliczyć granice z liczbą e: a) lim d) lim g) lim + n) n ; b) lim ) n+ n 5n+ 5n +lnn lnn n ) n ; e) lim 5n+ 5n+ n+ n ) 5n ; c) lim ) n ; f) lim ) lnn n+) n n+) n ; h) lim n+) n n+) n. ) n+4 5 n ; n+ ) n n ; n+. Korzystając z twierdzenia o granicach niewłaściwych ciągów obliczyć granice: n + ) a) lim n ; b) lim n 4 n n ; c) lim +n n ); d) lim n n+)! arctgn + n) ; e) lim ; f) lim n!+ arcctgn.

3 Ćwiczenia 6..8 r. a n 4.Mówimy,żeciągia n ),b n )sątegosamegorzędu,jeśli lim =k,gdziek>. b n Dladanegociągua n )dobraćciągb n )postacib n =n p lubb n =α n tak,abyciągia n ib n )były tego samego rzędu: a)a n = n +4n+ ; b)a n= n n +7 ; c)a n= n+9 n+; d)a n = n + ; e)a n= n 4 n +5 n; f)a n= 4 n+ 5 n+ + n. 5. Narysować wykresy funkcji spełniających wszystkie podane warunki: a)f)=, lim f)=,limf)=,lim f)=, lim f)=π; b)g)=4, lim g)=, lim lim lim g)=, +g)=, g)nieistnieje; c) lim h)=, lim h)nieistnieje,limh) h),limh)=,h)<. 6. Obliczyć: a) lim ; b) lim ; c) lim 4 ; 8 d) lim 4 ; e)lim + e ; f) lim. 7. Korzystając z faktu, że lim sin =obliczyć: a) lim sinπ ; b)lim sin ; c) lim tg/) ; d) lim tg/) π/ cos sin6. 8. Korzystając z odpowiednich twierdzeńo trzech funkcjach, o iloczynie funkcji ograniczonej i funkcji zbieżnej do zera, o dwóch funkcjach) wyznaczyć granice: sin a) lim cos + ; b) lim ; c) lim +sin +cos +sin/) ; d) lim Narysować wykresy funkcji spełniających wszystkie podane warunki: a)prosta=jestasymptotąpionowąobustronnąfunkcjif,y=jestjejasymptotąpoziomąw,ay= +jestasymptotąukośnąfunkcjifw ; b)prosta= jestasymptotąpionowąlewostronnąfunkcjiginiejestjejasymptotąpionową prawostronną, funkcja g nie ma asymptoty w, lim g)=; c)prosta=jestasymptotąpionowąobustronnąfunkcjih,limh)nieistnieje, lim h)+)=, lim h)+ )=.. Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji f. Na tej podstawie naszkicować jej wykres. a)f)= ; 6 b)f)= ; c)f)= 8 ; d)f)= e e ; e)f)= ; f)f)= cos π.

4 Ćwiczenia..8 r.. Obliczyć granice: sin 4) sin 5+4 ) cos5 a) lim ; b)lim 4 4 ; c) lim 6 πcos ; e d) lim sin ; e)lim ln+ ) ln ) ; f) lim ; + ) + g) lim ; h)lim+) ; i)lim[+tg)] ctg. + Wsk. W rozwiązaniach wykorzystać granice: sinu ln+u) a u ) lim =, ) lim u u u +u)/u =e, ) lim =, 4) lim =lnaa>). u u u u. Zbadać istnienie granic: sinπ) a) lim, b)lime +, c)lim arctg, d)lim e ln..czymożnadobraćparametrya,b Rtak,abypodanefunkcjebyłyciągłena R: { { + dla<, arctg dla, a)f)= b)f)= a dla ; a +bdla >; + 4 c)f)= dla, d)f)= dla, a dla=, a dla=; b dla=. Naszkicować wykresy powyższych funkcji. 4. Uzasadnić, korzystając z własności Darbou, że podane równania mają rozwiązania we wskazanych przedziałach: a)sin=,, π ); b)e = ),, ; c) = ln,, ); d)sinπ)=+, ),. W przykładacha),b),c) uzasadnić jednoznaczność rozwiązania. Podać graficzną interpretacje podanych równań. 5. Uzasadnić, że podane równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie i wyznaczyć jenie korzystajac z kalkulatora) z błędem nie większym niż.5: a) +6=; b) + ++=; c) =4+. 4

5 Ćwiczenia 7..8 r. 6. Korzystając z definicji obliczyć pochodne funkcji: a)f)= 4 R);b)f)= );c)f)= >);d)f)=sin R). 7. Badając pochodne jednostronne rozstrzygnąć, czy istnieją pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach: a)f)= 4, =; b)f)= sin, =; c)f)= sgn, =; d)f)= Naszkicować wykresy tych funkcji. { dla, ) dla >, =. 8. Korzystając z wzoru na pochodną funkcji potęgowej i reguł różniczkowania, obliczyć pochodne funkcji: a)y= ; b)y= ; c)y= ; d)y= 9 8 ) Korzystając z wzoru na pochodną iloczynu lub ilorazu, obliczyć pochodne funkcji: a)y=e cos; b)y= ln; c)y= sin; d)y= tgarctg; e)y= ++ ; f)y=. Obliczyć pochodne funkcji: a)y=ln); b)y= 5 ) ; c)y=sin π 4 + e)y= + ; f)y=sin ; g)y=cos ; g)y= ln ; h)y=sin+cos sin cos. ) ; d)y=arctg ; π 6 ) ; h)y= cos π).. Napisać równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach: a)f)=sin,,f)); b)f)=ctg,.5π,f.5π)); c)f)=ln ),,). Naszkicować wykresy tych funkcji i wyznaczonych stycznych..a)znaleźćdowykresufunkcjif)=ln,równaniestycznej,którajestrównoległadoprostej 5+5y =. b)znaleźćdowykresufunkcjif)= +,równaniestycznej,którajestprostopadładoprostej y=. c)znaleźćdowykresufunkcjif)= + równaniestycznej,wktórymjestpozioma. d)wyznaczyćdowykresufunkcjif)= styczną,któratworzykątπ/zdodatnimkierunkiem osią O.. Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przyblizoną wartość wyrażeń: a) ; b) ln ; c). 8.; d)tg Krawędzie czworościanu foremnego zmierzone z dokładności cm mają długość m. Z jakim błedem bezwzględnym i względnym można obliczyć: a) wysokość; b) pole powierzchni; c) objętość tego czworościanu? 5

6 Ćwiczenia 4..8 r. 5. Korzystając z reguły de L Hospitala obliczyć: )) π ln sin ln+ ) ) a) lim ; b) lim ln ; c) lim ctg ; ) d) lim ln ; e) lim ln; f) lim + π π )tg. 6. Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji: a)f)= arctg ; b)f)= ln+) ; c)f)= 7. Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji: ) arctg ; d)f)=ln 4. a)f)= 4 4 ; b)f)= + ; c)f)= e ; d)f)= ln. Naszkicować wykresy podanych funkcji. 8. Znaleźć najmniejszą i najwiekszą wartość funkcji na wskazanym przedziale: a)f)=,[,5]; b)f)=arctg,[,]; c)f)=sin+sin, [, π 9.a) Wyznaczyć dwie liczby dodatnie, których suma jest równa, a iloczyn kwadratu pierwszej i trzeciej potęgi drugiej ma wartość największą. b) Zbadać, który z prostopadłościanów o podstawie kwadratowej i danym polu powierzchni całkowitej ma największą objętość. c) Firma spedycyjna przyjmuje zlecenie przewozu prostopadłościennych paczek, dla których suma wysokości i obwodu podstawy jest nie większa niż 8 cm. Znaleźć wymiary paczki o kwadratowej podstawie i największej objętości, która może być przesłana za pośrednictwem tej firmy. d)przezpunktp=,)poprowadzićprostątak,abywrazzdodatnimipółosiamiukładuwspółrzędnych tworzyła trójkąt o najmniejszym polu. 4. Wyznaczyć zbiór wartości funkcji: + a)f)= ; b)g)=+)e ; c)h)=ln ; d)k)=sin sin. ]. 6

7 Ćwiczenia..9 r. 4. Korzystając z definicji i wzorów na pochodne podstawowych funkcji odgadnąć funkcje pierwotne Ffunkcjif: a)f)= ; b)f)= + + ; c)f)=sin π ) ; d)f)=e Obliczyć całki: 4 ) + + ) a) d; b) d; c) +) d; d) 4 cos d; e) d; f) sin cos d; g) ctg d; h) sin cosd; i) 4sin + π ) ) 6cos+ d Obliczyć całki stosujac odpowiednie podstawienie: a) + 4d d; b) 4 ; c) ) 5d; d) sincos d; e) ln d; f) e d; g) sin cos d; h) d f ) 44. Uzasadnić wzór f) d=ln f) +C.Korzystajączpowyższegowzoruobliczyćcałki: d a) + ; b) d + ; c) d e ln ; d) d e Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez części obliczyć całki: arctg a) e d; b) +) e d; c) d; d) d cos ; e) sind; f) ln+)d; g) arcctgd; h) e sind. 46. Obliczyć całkę oznaczoną. Podać jej interpretacje geometryczną wykonując odpowiedni rysunek. a) +)d; b) π sin d; c) e d; d) π/ π/4 ctgd; e) e /e lnd. 7

8 Ćwiczenia 8..9 r. 47. Metodą całkowania przez części obliczyć całki oznaczone: a) e d; b) e ln d; c) e π/4 sind. 48. Obliczyć całki oznaczone dokonując wskazanych podstawień: a) c) π /4 sine cos d,cos=t; b) d ),=t ; d) d +,+=t; 9 d,=sint. 49. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi: a)y=,+y=; b)y=/,y=,y=4; c)y=,y=,=; d)ysin,y=/, π); e)y 4 =,y=,y=6; f)y=ln,y=ln6 ),y=. 5. Obliczyć długości krzywych: a)y=ln e + e, ; b)y=, ; c)y=,. 5. Obliczyć objętości brył powstałych z obrotu figur T wokół wskazanych osi: a)t:, y,o; b)t: 5, y +4,Oy; c)t: π 4, y tg,o; d)t:, y,oy. 5. Obliczyć pola powierzchni powstałych z obrotu wykresów funkcji f wokół wskazanych osi: a)f)=cos, π,o; b)f)= 4+, 4,O; c)f)=ln,,oy; d)f)= +,,Oy. 5. Obliczyć całki z ułamków prostych drugiego rodzaju: d 6+)d a) +4+9 ; b) ++4 ; c) 4+)d +9 ; d) 54. Obliczyć całki z funkcji wymiernych: +)d a) ) ; b) d + ; c) d 4 ) ; d) d 9 ; d 4+)d e) +) +4) ; f) ++ ; g) d +6+8 ; h) 55. Obliczyć całki z funkcji trygonometrycznych: a) sin d; b) sin 4 cos d; c) cos 4 d; d) sin cos 6 d; e) cos cosd; f*) sin sin d. 56. Obliczyć całki z funkcji trygonometrycznych: g) e) d +tg sin cos ; b) cos d; c) d +cos ; d) d sin 5 tg ; f) d cos ; g) d sin+tg ; h) d +cos ; d sin+cos. )d d 4). 8