Całkowanie. dx d) x 3 x+ 4 x. + x4 big)dx g) e x 4 3 x +a x b x. dx k) 2x ; x 0. 2x 2 ; x 1. (x 2 +3) 6 j) 6x 2. x 3 +3 dx k) xe x2 dx l) 6 1 x dx

Transkrypt

1 Wydził Mtemtyki Stosownej Zestw zdń nr 5 Akdemi Górniczo-Hutnicz w Krkowie WFiIS, informtyk stosown, I rok Elżbiet Admus 3 listopd 6r. Cłk nieoznczon Cłkownie. Podstwowe metody cłkowni Zdnie. Oblicz cłki: ) ( )( ) b) +5 c) ( +) d) e) ( ctg ) f) ( e big) g) e b h) e + 3 cos +sin i) sin + 3 cos cos i) ( ) k) l) 5 ( ) m) 3+ + Zdnie. Oblicz f(), jeśli: ) f() = { ; ; ; b) f() = ; ; c) f() = d) f() = e e) f() = sin f) f() = g) f() = sin h) f() = Zdnie 3. Dobierjąc odpowiednie podstwienie oblicz cłki: ) sin 4 b) 3 cos 5 c) (8 5) 5 d) 3 e) f) g) ( ) 3 h) 3 i) ( +3) 6 j) k) e l) 6 m) e 4 n) e 3 o) e sin cos p) 4 e 5 + q) e r) e s) e 3 t) e +e u) e 3 +5e 3 v) ln 5 w) ln ) ln ln (ln ) y) 5 ln +7 z) 3 8 b) sin 5 cos bc) tg cd) tg de) 3 tg+3 cos cos ef) + ctg fg) cos sin gh) cos (ln ) hi) cos 3 ij) sin ( ) jk) cos sin kl) lm) + 5+ mn) 3 no) op) (+) +6 5 pq) 5 6 qr) cos +4 sin rs) st) 3 tu) uv)

2 vw) rctg w) + (+ 3 ) y) rctg + yz) tg +tg 4 cos α) sin cos sin +b cos β) 6 rcsin γ) rccos δ) 3 4 ln ε) ctg ln (sin ) Zdnie 4. Korzystjąc ze wzoru n cłkownie przez części oblicz cłki: ) sin b) cos c) e d) 3 e e) e cos f) sin g) sin 5 h) ln i) ln j) ln k) ln l) ln m) ( + 3) sin 3 n) ( + 3) ln o) cos p) 3 q) rctg r) rccos s) rctg y) ln u) cos (ln ) v) w) e rcsin ) rccos + y) rcsin z) ln (+ + ) + b) rccos bc) sin cos cd) e de) ( 7) cos (3 + π) ef) (4 + 3) ln fg) sin ln (tg) Zdnie 5. Oblicz cłki: ) tg cos etg b) sin cos e cos c) 7 cos ( 4 ) d) ln (9 + ) e) sin 3 f) rcsin ( ) g) log π 7 (rcctg) + h) e. Cłkownie funkcji wymiernych Zdnie 6. Oblicz nstępujące cłki funkcji wymiernych: ) (3+6) 6 b) + c) d) 5 +3 e) f) 4 5 g) 4 5 h) +9 5 i) 6+9 j) + k) 6+3 l) +5 m) 3 n) o) 6 p) q) r) s) t) u) 6+9 v) w) Zdnie 7. Oblicz nstępujące cłki funkcji wymiernych: ) ( +)( ) b) c) (+)(+)(+3) d) + 3 e) f) 3 +8 g) ( +)( 3 +) h) ( +) i) j) ( +) 3 k) 4 + l) m) (+) 3 n) 4 + o) ( 4+3) p) q) 3 + r) ( 3) 4 s) t) u) 4 v) w) 4 ( )

3 ) y) z) WSKAZÓWKA do z): Zuwż, że 6 + dzieli się przez +..3 Cłkownie wyrżeń z niewymiernościmi Zdnie 8. Oblicz nstępujące cłki: 3 ) b) c) + d) e) ++ f) 3 3 g) 3 ( )(+) Zdnie 9. Oblicz nstępujące cłki: h) + (+) + ) +k b) 6+5 c) +3+ d) 4 +3 e) f) 7 6 g) h) 4 i) j) 3 + k) +3 4 l) m) (+) n) ( +) o) Zdnie. Stosując metodę współczynników nieoznczonych oblicz nstępujące cłki: ) 6 4 b) c) (3 ) d) e) +3 4 f) + 5 Zdnie. Stosując podstwienie α = oblicz nstępujące cłki typu t ( α) + b + c. n Zuwż, że podstwienie to sprowdz cłki do postci, dl której możliwe jest zstosownie metody współczynników nieoznczonych. ) ( ) 3 b) ( ) 4 3 Zdnie. Oblicz nstępujące cłki: ) b) c) 3 + d) e e +4e + e) +9 f) 9 (podstwijąc = 3 sin t) g) ( ) 6.4 Cłkownie wyrżeń z funkcjmi trygonometrycznymi Zdnie 3. Wyrź sin orz cos z pomocą tg. A nstępnie stosując podstwienie uniwerslne t = tg oblicz: ) +cos b) +sin c) 5+4 cos d) +sin sin (+cos ) Zdnie 4. Wyrź sin orz cos z pomocą tg. Nstępnie stosując odpowiednie podstwienie (t = tg lub t = sin lub t = cos ) oblicz: 3

4 ) sin 4 b) 3+sin cos cos 4 c) + cos d) +sin cos (+cos )(+sin ) e) sin 4 cos f) sin +tg g) sin 6 +cos 6 Zdnie 5. Oblicz: h) sin cos +sin 4 ) cos 5 cos 7 b) sin 4 sin c) sin cos 3 d) cos e) sin f) sin 3 g) sin 7 h) sin 4 i) cos 3 j) sin 4 cos 3 k) sin 4 cos l) sin m) cos n) ctg o) sin cos p) tg q) tg 4 r) ctg 4 s) cos 3 sin 4 t) sin cos u) sin cos v) cos 3 sin + w) tg sin ) sin cos y) sin ( + π ) cos 6.5 Cłkownie wyrżeń z funkcjmi cyklometrycznymi, wykłdniczymi i logrytmicznymi Zdnie 6. Oblicz: ) rctg b) (rctg) c) (+9 ) rctg3 d) ( + )rctg e) rctg f) rccos g) rctg 4 h) ( e 3 + e +e 3 ) i) e +e j) 3+e k) e e e +e l) e sin m) + n) e sin ( cos 3 sin ) cos o) + p) e 3 +e 3 q) log p r) ( ) ln s) 5 t) rcsin WSKAZÓWKA do t): Zstosuj wzór n cłkownie przez części. Krzywe n płszczyźnie dne równnimi prmetrycznymi i we współrzędnych biegunowych Zdnie 7. ) Czy punkt (5, ) leży n okręgu (t) = + 5 cos t, y(t) = sin t? b) Czy punkt (, 3) leży n okręgu (t) = cos t, y(t) = sin t? Zdnie 8. Sprowdź do postci y = f() lub F (, y) = równni linii dnych opisem prmetrycznym: ) (t) = 3t, y(t) = 6t t b) (t) = cos t, y(t) = sin t c) (t) = t 3 +, y(t) = t d) (t) = t sin t, y(t) = cos t e) (t) = cos 3 t, y(t) = sin 3 t f) (t) = (et + e t ), y(t) = (et e t ) g) (t) = tgt, y(t) = cos t 4

5 Zdnie 9. Znjdź wrtość prmetru t odpowidjącą dnym współrzędnym punktu n krzywej, której równnie dne jest prmetrycznie: ) (t) = 3( cos t cost), y(t) = 3( sin t sin t), P = ( 9, ) b) (t) = t + t, y(t) = t 3 + t, P = (3, ) c) (t) = tgt, y(t) = sin t + sin t, P = (, ) Zdnie. W biegunowym ukłdzie współrzędnych (r, ϕ) zzncz punkty A = (3, ), B = (, π 4 ), C = (3, π ). Zdnie. Nrysuj krzywe: ) r = ( + cos ϕ) b) r = ϕ, > c) r = cos ϕ 3 Cłk oznczon Zdnie. Korzystjąc z twierdzeni Newton-Leibniz oblicz nstępujące cłki oznczone: ) f(), gdzie f() = { dl dl < d) 3 sgn( 3 ) e) π ( + ) cos f) e g) i) ln e j) π π 6 b) e ln c) π sgn(cos ) e h) 4 +e cos k) π 5+sin sin cos l) 9 ( ) 4 m) 3 Zdnie 3. Oblicz podne cłki, jeśli 4 f() = 4, 4 g() =. ) 4 f() b) 4 f() g() + +3 Zdnie 4. ) Wykż, że jeśli funkcj y = f() jest ciągł i przyst n przedzile [, ], to wówczs f() = f(). b) Wykż, że jeśli funkcj y = f() jest ciągł i nieprzyst n przedzile [, ], to wówczs c) Uzsdnij równości: Zdnie 5. że f() =. ln ( + ) =, e cos = e cos. ) Niech f będzie funkcją cłkowlną, okresową o okresie T > n R. Uzsdnij, R : T f() = +T f(), 5 +nt +T f() = n f().

6 b) Uzsdnij równość 4π sin = 5 π sin. π Zdnie 6. Oblicz cłki: ) g(), gdy g() = { dl / N dl N ) { dl / Z \ {} g(), gdy g() = dl Z \ {} Zdnie 7. Wyjśnij, dlczego formlne użycie twierdzeni Newton-Leibniz przy obliczniu podnych niżej cłek prowdzi do błędnych wyników. ) b) ( ) rctg 4 Cłki niewłściwe Zdnie 8. Korzystjąc z definicji zbdj zbieżność nstępujących cłek niewłściwych pierwszego rodzju (dl cłek zbieżnych oblicz ich wrtości): ) + b) + 4 c) sin d) + 3+ e) + ln f) + sin g) + e sin h) + ++ i) +4 j) k) + e l) + ln ( + ) m) + rcctg n) q) + t) + + rctg o) + e p) Zdnie 9. Oblicz pole obszru nieogrniczonego, którego brzegiem jest odcinek prostej =, część osi O, dl < i część krzywej y =, dl [, + ). (+) Zdnie 3. Oblicz pole obszru nieogrniczonego, którego brzegiem jest prost y = orz krzyw y =. 4 + Zdnie 3. Zndj zbieżność cłki, dl >, α >. α Zdnie 3. Korzystjąc z definicji zbdj zbieżność nstępujących cłek niewłściwych drugiego rodzju (dl cłek zbieżnych oblicz ich wrtości): ) ( ) b) e ln c) 3 d) e) f) ln g) 3 π π sin h) π 3 cos 3 sin i) 3 π sin j) e k) ln l) 4+3 m) n) rcsin o) +3 Zdnie 33. Zbdj zbieżność cłki b, dl < b, λ >. ( ) λ Zdnie 34. Oblicz pole obszru, którego brzegiem jest odcinek osi O dl 9, rzędne w punktch =, = 9 i krzyw y = 3. 6

7 5 Zstosowni geometryczne cłki oznczonej 5. Funkcj dn wzorem y=f() lub równniem F(,y)= Zdnie 35. Podj przykłdowy wzór funkcji f tkiej, że: ) f const, f() = b) f() =, f() <, f() = c) f() =, [, ] : f() d) f() =, f() = 4, : f() Zdnie 36. Oblicz pol obszrów ogrniczonych krzywymi: ) y = sin, dl [, π] orz osią O b) 9 + y 4 = c) y = 3 + dl [, ] i osią O d) y =, = 8 e) y = sin, y = cos () i osią Oy f) y =, y =, y = 8 dl g) y =, y = 5, y = 5 h) y =, y = 3 i) ( ) + (y ) = 4 4 j) y = +4 3, y = 6, y = 4 3 k) y = 4, +y = 5 l) y =, +y 4 = m) y ( ) = ( ) Zdnie 37. Dn jest elips + y = i leżący n elipsie, w I ćwirtce ukłdu współrzędnych b punkt P = (, y ). Oblicz pole obszru trpezu krzywoliniowego, będącego wycinkiem obszru ogrniczonego elipsą, o wierzchołkch (, ), (, b), P, (, ). Zdnie 38. Oblicz długości nstępujących łuków: ) y =, [, ] b) y = odcięty prostą = 4 3 c) y =, [, ] d) y = ln (sin ), [ π 3, π ] e) y = ln, [ 3, ] f) y = + rcsin g) y = ln e + e Zdnie 39. W jim stosunku prbol y = dzieli kwdrt K = {(, y) :, y }. Oblicz pole i obwód jednego z dwóch (dowolnie wybrnego) wycink tego kwdrtu. Zdnie 4. Oblicz objętość bryły ogrniczonej powierzchnią powstł przez obrót: ) dookoł osi O łuku prboli y = 4, w grnicch 3. b) dookoł osi O linii y = sin orz płszczyznmi =, = π. 7

8 c) dookoł osi O figury płskiej ogrniczonej krzywymi o równnich y =, y =. d) dookoł osi Oy figury płskiej, y e. e) łuku krzywej y = e sin, dl [, π] dookoł osi. f) dookoł osi O figury płskiej ogrniczonej krzywymi o równnich y = 3, y =. Zdnie 4. Oblicz pole powierzchni Σ powstłej z obrotu: ) wokół osi O wykresu funkcji y = 3, dl. b) wokół osi O okręgu + (y 3) = 4 (otrzymujemy torus). c) prboli y = odciętej prostą y = 3 wokół osi Oy. Zdnie 4. Oblicz objętość bryły ogrniczonej przez + y b =, + z =. b Zdnie 43. Oblicz objętość bryły powstłej przez obrót figury ogrniczonej przez =, y = 4 wokół osi Oy. Zdnie 44. Oblicz objętość bryły powstej przez obrót wokół osi Oy figury ogrniczonej przez y = orz y =. Zdnie 45. Oblicz pole powierzchni i objętość kuli + y + z R. Zdnie 46. Oblicz objętość elipsoidy powstłej z obrotu wokół osi O łuku elipsy + y =. b Zdnie 47. Oblicz objętość i pole powierzchni bryły obrotowej (tu elipsoid) powstłej przez obrót dookoł osi O krzywej 6 + 8y = 44. Uwg: Równnie elipsy o środku w punkcie (, y ) i półosich długości, b: ( ) + (y y ) b = 5. Krzywe dne równnimi prmetrycznymi Zdnie 48. Oblicz pole obszru ogrniczonego łukiem cykloidy = (t sin t), y = ( cos t) dl t [, π]i osią O. Zdnie 49. Oblicz pole obszru ogrniczonego pętlą linii = t, y = t 3 t3, t [, 3]. Zdnie 5. Oblicz pole obszru ogrniczonego steroidą (t) = cos 3 t, y(t) = sin 3 t. Zdnie 5. Oblicz długość łuku krzywej: ) (t) = r cos t, y(t) = r sin t (okrąg o promieniu r). b) = r(cos t + t sin t), y = r(sin t t cos t), t [, π], r > (ewolwent okręgu). c) = t, y = t t3 3, t [, 3]. d) = cos t + ln(tg t ), y = sin t, t [ π, 3 π]. 8

9 Zdnie 5. Oblicz objętość i pole powierzchni bryły utworzonej przez obrót dookoł osi O: ) krzywej = R cos t, y = R sin t, t [, π]. b) cykloidy = (t sin t), y = ( cos t), t [, π], >. Zdnie 53. Oblicz pole powierdzni bryły obrotowej powstłej przez obrót wokół osi O steroidy = cos 3 t, y = sin 3 t. Zdnie 54. Oblicz pole powierzchni bryły powstłej przez obrót wokół osi O krzywej = 3t sin 3t + cos 3t, y = 3t cos 3t sin 3t, t [ π 6, ]. 5.3 Współrzędne biegunowe Zdnie 55. Oblicz pole obszru ogrniczonego: ) krdioidą r = ( + cos θ), >, θ [, π]. b) rozetą czterolistną r = sin ϕ, dl > orz ϕ [, π]. Zdnie 56. Oblicz długośc łuku krzywej: ) r = ( + cos ϕ), >, ϕ [, π ] b) r = sin3 ϕ 3, ϕ [, π 3 ] Zdnie 57. Nszkicuj podne krzywe i oblicz pol ogrniczonych nimi obszrów. W tym celu wprowdź współrzędne biegunowe. ) ( + y ) = ( y ), > (lemniskt Bernoulliego) b) ( + y ) 3 = 4 y( y ), > 9