Funkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Funkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)"

Transkrypt

1 Funkcje jednej zmiennej Granica, ci gªo± (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Granica funkcji Denicja Niech 0 R, r > 0 Otoczeniem punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0 r, 0 +r) Otoczeniem prawostronnym punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª [ 0, 0 + r) Otoczeniem lewostronnym punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0 r, 0 ] U( 0, r) otoczenie punktu 0 o promieniu r, U + ( 0, r) otoczenie prawostronne punktu 0 o promieniu r, U ( 0, r) otoczenie lewostronne punktu 0 o promieniu r Denicja Niech 0 R, r > 0 S siedztwem punktu 0 o promieniu r nazywamy zbiór ( 0 r, 0 ) ( 0, 0 +r) S siedztwem prawostronnym punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0, 0 + r) S siedztwem lewostronnym punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0 r, 0 ) S( 0, r) s siedztwo punktu 0 o promieniu r, S + ( 0, r) s siedztwo prawostronne punktu 0 o promieniu r, S ( 0, r) s siedztwo lewostronne punktu 0 o promieniu r U(, r) = (, r), U(+, r) = (r, + ), r R Denicja Niech X R Punkt 0 nazywamy punktem skupienia zbioru X, je±li w dowolnym s siedztwie punktu 0 znajduje si przynajmniej jeden punkt zbioru X Twierdzenie Punkt 0 jest punktem skupienia zbioru X R, je±li istnieje ci g ( n ) n N taki,»e n X, n 0, n N, oraz n = 0 n Przykªad Punkt 2 jest punktem skupienia zbioru X = {(1 + ( 1) n ) n+1 n punktem skupienia zbioru X = (0, 1) : n N}; punkt 0 jest Denicja (Heine) Liczb g R nazywamy granic funkcji f : X R, X R, w punkcie 0, je±li 0 jest punktem skupienia zbioru X oraz ( n ) n N, n X, n 0, [( n n = 0 ) ( n f( n) = g)] f() = g g jest granic funkcji f w punkcie 0 Przykªad Wyznaczy Denicja (Cauchy) Liczb g R nazywamy granic funkcji f : X R, X R, w punkcie 0, je±li 0 jest punktem skupienia zbioru X oraz ɛ > 0 δ > 0 X, [(0 < 0 < δ) ( f() g < ɛ)], ɛ > 0 δ > 0 X, [( S( 0, δ)) (f() U(g, ɛ)] Przykªad Wykaza,»e 5 (3 7) = 8 1

2 oprac Gra»yna Ciecierska 1 GRANICA FUNKCJI Twierdzenie Je±li ( n ) n N, n 0, n n = 0, n f( n) = g, ( n) n N, n 0, n n = 0, n f( n) = g, g g, to nie istnieje f() Przykªad sgn, gdzie sgn = 1 dla < 0 0 dla = 0 1 dla > 0, nie istnieje Denicja (Heine) Liczb g R nazywamy granic lewostronn funkcji f : X R, X R, w punkcie 0, je±li S ( 0, r) X dla pewnego r > 0 oraz ( n ) n N, n X, n < 0, [( n n = 0 ) ( n f( n) = g)] f() = g g jest granic lewostronn funkcji f w punkcie 0 0 Denicja (Cauchy) Liczb g R nazywamy granic lewostronn funkcji f : X R, X R, w punkcie 0, je±li S ( 0, r) X dla pewnego r > 0 oraz ɛ > 0 δ > 0 X, [( 0 δ < < 0 ) ( f() g < ɛ)], ɛ > 0 δ > 0 X, [( S ( 0, δ)) (f() U(g, ɛ)] Denicja (Heine) Liczb g R nazywamy granic prawostronn funkcji f : X R, X R, w punkcie 0, je±li S + ( 0, r) X dla pewnego r > 0 oraz ( n ) n N, n X, n > 0, [( n n = 0 ) ( n f( n) = g)] f() = g g jest granic prawostronn funkcji f w punkcie Denicja (Cauchy) Liczb g R nazywamy granic prawostronn funkcji f : X R, X R, w punkcie 0, je±li S + ( 0, r) X dla pewnego r > 0 oraz ɛ > 0 δ > 0 X, [( 0 < < 0 + δ) ( f() g < ɛ)], ɛ > 0 δ > 0 X, [( S + ( 0, δ)) (f() U(g, ɛ)] Przykªad 5 (3 7) = 8 Denicja (Heine) Funkcja f : X R, X R ma w punkcie 0 granic niewªa±ciw + je±li dla ka»dego ci gu ( n ) n N zbie»nego do 0 o wyrazach nale» cych do pewnego s siedztwa S( 0, r) X, ci g (f( n )) n N jest rozbie»ny do +, tzn ( n ) n N, n X, n 0, [( n n = 0 ) ( n f( n) = + )] f() = + + jest granic niewªa±ciw funkcji f w punkcie 0 Przykªad 3 1 ( 3) 2 = + 2

3 oprac Gra»yna Ciecierska 1 GRANICA FUNKCJI Denicja (Cauchy) Funkcja f : X R, X R ma w punkcie 0 granic niewªa±ciw + je±li dla ka»dej liczby ɛ R istnieje liczba δ > 0 taka,»e dla ka»dego argumentu speªniaj cego warunek 0 < 0 < δ zachodzi nierówno± f() > ɛ, tzn ɛ R δ > 0 X, [(0 < 0 < δ) (f() > ɛ)], ɛ R δ > 0 X, [( S( 0, δ)) (f() U(+, ɛ))] Przykªad 1 3 (+1) = + 6 Denicja (Heine) Funkcja f : X R, X R ma w punkcie 0 granic niewªa±ciw je±li dla ka»dego ci gu ( n ) n N zbie»nego do 0 o wyrazach nale» cych do pewnego s siedztwa S( 0, r) X, ci g (f( n )) n N jest rozbie»ny do, tzn ( n ) n N, n X, n 0, [( n n = 0 ) ( n f( n) = )] f() = jest granic niewªa±ciw funkcji f w punkcie 0 Przykªad (1 2 1 n ) = Denicja (Cauchy) Funkcja f : X R, X R ma w punkcie 0 granic niewªa±ciw je±li dla ka»dej liczby ɛ R istnieje liczba δ > 0 taka,»e dla ka»dego argumentu speªniaj cego warunek 0 < 0 < δ zachodzi nierówno± f() < ɛ, tzn ɛ R δ > 0 X, [(0 < 0 < δ) (f() < ɛ)], ɛ R δ > 0 X, [( S( 0, δ)) (f() U(, ɛ))] Denicja (Heine) Funkcja f : X R, X R ma w + granic wªa±ciw g je±li dla ka»dego ci gu ( n ) n N rozbie»nego do + o wyrazach nale» cych do U(+, r) X, ci g (f( n )) n N jest zbie»ny do g, tzn Przykªad ( n ) n N, n X, n U(+, r), [( n n = + ) ( n f( n) = g)] f() = g g jest granic funkcji f w = 1 2 Denicja (Cauchy) Funkcja f : X R, X R ma w + granic wªa±ciw g je±li dla ka»dej liczby ɛ > 0 istnieje liczba δ > 0 taka,»e dla ka»dego argumentu speªniaj cego warunek > δ zachodzi nierówno± f() g < ɛ, tzn ɛ > 0 δ > 0 X, [( > δ) ( f() g < ɛ)], ɛ > 0 δ > 0 X, [( U(+, δ)) (f() U(g, ɛ))] Denicja (Heine) Funkcja f : X R, X R ma w + granic niewªa±ciw + je±li dla ka»dego ci gu ( n ) n N rozbie»nego do + o wyrazach nale» cych do U(+, r) X, ci g (f( n )) n N jest rozbie»ny do +, tzn ( n ) n N, n X, n U(+, r), [( n n = + ) ( n f( n) = + )] f() = + + jest granic niewªa±ciw funkcji f w + + 3

4 oprac Gra»yna Ciecierska 1 GRANICA FUNKCJI Denicja (Cauchy) Funkcja f : X R, X R ma w + granic niewªa±ciw + je±li dla ka»dej liczby ɛ > 0 istnieje liczba δ > 0 taka,»e dla ka»dego argumentu speªniaj cego warunek > δ zachodzi nierówno± f() > ɛ, tzn ɛ > 0 δ > 0 X, [( > δ) (f() > ɛ)], ɛ > 0 δ > 0 X, [( U(+, δ)) (f() U(+, ɛ))] Twierdzenie Je±li 0 jest punktem skupienia zbioru X, to funkcja f : X R posiada w punkcie 0 co najwy»ej jedn granic Twierdzenie Je±li f 1 : X 1 R, f 2 : X 2 R, gdzie X 1 R, f 1 (X 1 ) X 2 R, s funkcjami speªniaj cymi warunki: 0 jest punktem skupienia zbioru X 1, f 1 () = g, g f 1 (X 1 \ { 0 }), g jest punktem skupienia zbioru f 1 (X 1 ), oraz f 2 (y) = h, to y g (f 2 f 1 )() = h Przykªad ln(1 + ) 1 + Twierdzenie Je±li f 1, f 2 : X 1 R, X 1 R, speªniaj warunki: 0 jest punktem skupienia zbioru X 1, f 1 () = g 1 R, f 2 () = g 2 R, to [f 1 () + f 2 ()] = g 1 + g 2 oraz [f 1 () f 2 ()] = g 1 g 2 Je±li g 2 0, to Przykªad Obliczy f 1() f = g1 0 2() g Je±li 2 a R, to [af 1 ()] = ag 1 Twierdzenie Je±li f 1, f 2, f 3 : X 1 R, X 1 R, speªniaj warunki: X 1, [f 1 () f 2 () f 3 ()] oraz f 1 () = f 3 () = g, to f 2 () = g Przykªad ( 4) sin = 0 sin a 1 = ln a a > 0 log a (1+) arcsin = log a e, a > 0, a 1 tg e 1 ln(1+) arctg sinh tgh (1 + ) 1 = e (1 + a ) = e a, a R a k k +a k 1 k 1 ++a 1+a 0 + b l l +b l 1 l 1 ++b 1+b 0 = a k 0, b l 0 (1+) a 1 = a, a R (1 + 1 ) = e a k bl gdy k = l 0 gdy k < l + gdy k > l, a k bl > 0 gdy k > l, a k bl < 0 Denicja Prost = a nazywamy asymptot pionow lewostronn funkcji f : X R, X R, je±li f() = + lub f() = a a Denicja Prost = a nazywamy asymptot pionow prawostronn funkcji f : X R, X R, je±li f() = + lub f() = a + a + Przykªad (a) f() = ln( 2), = 2, (b) f() = e 1, = 0 4

5 oprac Gra»yna Ciecierska 2 CI GŠO FUNKCJI Denicja Prost y = a+b nazywamy asymptot uko±n funkcji f w +, je±li + (f() a b) = 0 a = f() +, b = (f() a) + Denicja Prost y = a+b nazywamy asymptot uko±n funkcji f w, je±li (f() a b) = 0 Przykªad f() = Ci gªo± funkcji Denicja (Heine) Funkcj f : X R, X R nazywamy ci gª w punkcie 0 je±li dla ka»dego ci gu ( n ) n N zbie»nego do 0 o wyrazach nale» cych do pewnego otoczenia U( 0, r) X, ci g (f( n )) n N jest zbie»ny do f( 0 ), tzn [( ) ( )] ( n ) n N, n X, n = 0 f( n) = f( 0 ) n n Wniosek Je±li 0 jest punktem skupienia zbioru X R, to funkcja f : X R jest ci gªa w punkcie 0 wtedy i tylko wtedy, gdy f() = f( 0 ) Wniosek Je±li 0 nie jest punktem skupienia zbioru X R, to funkcja f : X R jest ci gªa w punkcie 0 Denicja (Cauchy) Funkcj f : X R, X R nazywamy ci gª w punkcie 0 je±li dla ka»dej liczby ɛ > 0 istnieje liczba δ > 0 taka,»e dla ka»dego argumentu speªniaj cego warunek 0 < δ zachodzi nierówno± f() f( 0 ) < ɛ, tzn ɛ > 0 δ > 0 X, [( 0 < δ) ( f() f( 0 ) < ɛ)], ɛ > 0 δ > 0 X, [( U( 0, δ)) (f() U(f( 0 ), ɛ))] Przykªad [] = ma{z Z : z }, funkcja E : R R okre±lona wzorem E() = [], tzn E() = 2 dla 2 < 1 1 dla 1 < 0 0 dla 0 < 1 1 dla 1 < 2 2 dla 2 < 3 3 dla 3 < 4 Je±li k Z oraz k < k + 1, to E() = k Je±li 0 Z, to f() = f( 0 ), tzn funkcja E jest ci gªa w 0 ; je±li 0 Z, to f() nie istnieje, funkcja E nie jest ci gªa w 0, { 1 Przykªad a) f() = sgn, b) f() = dla R \ {0} 1 dla = 0 { dla R \ {0} c) f() =, d) f() = 3 dla = 0, Denicja Funkcj f : X R, X R nazywamy lewostronnie ci gª w punkcie 0, je±li U ( 0, r) X dla pewnego r > 0, istnieje wªa±ciwa granica f() oraz f() = f( 0 ) 0 0 5

6 oprac Gra»yna Ciecierska 2 CI GŠO FUNKCJI Denicja Funkcj f : X R, X R nazywamy prawostronnie ci gª w punkcie 0, je±li U + ( 0, r) X dla pewnego r > 0, istnieje wªa±ciwa granica f() oraz f() = f( 0 ) Przykªad Funkcja cz ± caªkowita E jest prawostronnie ci gªa w punkcie 0 Twierdzenie Funkcja f : X R, X R, jest ci gªa w punkcie 0 b d cym punktem skupienia zbioru X, wtedy i tylko wtedy, gdy jest lewostronnie ci gªa i prawostronnie ci gªa w tym punkcie Denicja Funkcj f : X R, X R nazywamy ci gª, je±li jest ci gªa w ka»dym punkcie 0 X Denicja Funkcj f : X R, X R nazywamy ci gª w zbiorze A X, je±li jest ci gªa w ka»dym punkcie 0 A { 1 dla Q Przykªad a) f() = , b) f() = 0 dla R \ Q Wniosek Funkcja f : [a, b] R jest ci gªa, je±li jest ci gªa w ka»dym punkcie 0 (a, b), prawostronnie ci gªa w punkcie a oraz lewostronnie ci gªa w punkcie b Wniosek Funkcja f : [a, + ) R jest ci gªa, je±li jest ci gªa w kazdym punkcie 0 (a, + ) i prawostronnie ci gªa w punkcie a Wniosek Funkcja f : (, b] R jest ci gªa, je±li jest ci gªa w kazdym punkcie 0 (, b) i lewostronnie ci gªa w punkcie b Przykªad a) f() = { sin a dla < 0, b) f() = + b dla 0 a + b dla < 1 c) f() = log a dla 1 4 dla > 4 π arctg 1 4 { dla R \ {0} a dla = 0, Twierdzenie Je±li funkcja f : X R, X R, jest ci gªa w punkcie 0 X oraz f( 0 ) > 0, to istnieje U( 0, r) X, r > 0 takie,»e dla ka»dego punktu tego otoczenia funkcja f przyjmuje warto± dodatni, tzn r > 0 U( 0, r) (f() > 0) Twierdzenie Je±li funkcja f : X R, X R, jest ci gªa w punkcie 0 X oraz f( 0 ) < 0, to istnieje U( 0, r) X, r > 0 takie,»e dla ka»dego punktu tego otoczenia funkcja f przyjmuje warto± ujemn, tzn r > 0 U( 0, r) (f() < 0) Twierdzenie Je±li funkcje f 1, f 2 : X R, X R, s ci gªe w punkcie 0 X, to funkcje f 1 + f 2, f 1 f 2, f 1 f 2 okre±lone wzorami: (f 1 + f 2 )() = f 1 () + f 2 (), (f 1 f 2 )() = f 1 () f 2 (), (f 1 f 2 )() = f 1 () f 2 (), dla X s ci gªe w punkcie 0 Ponadto funkcja f1 f, okre±lona wzorem f1 2 f 2 () = f1() f 2() dla X \ { X : f 2 () = 0}, jest ci gªa w 0 Twierdzenie Je±li f 1 : X 1 R, f 2 : X 2 R, X 1 R, f 1 (X 1 ) X 2 R s funkcjami speªniaj cymi warunki: f 1 jest ci gªa w punkcie 0, f 2 jest ci gªa w punkcie f 1 ( 0 ), to funkcja f 2 f 1 : X 1 R jest ci gªa w punkcie 0 Twierdzenie Je±li X jest przedziaªem i funkcja f : X R, jest ci gªa i rosn ca (malej ca), to f(x) jest przedziaªem oraz funkcja odwrotna f 1 : f(x) R jest ci gªa i rosn ca (malej ca) Denicja Funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje nale» ce do nast puj cych klas: wielomiany; funkcje trygonometryczne; funkcje wykªadnicze; funkcje odwrotne do wymienionych: funkcje pierwiastkowe, funkcje cyklometryczne, funkcje logarytmiczne; sumy, ró»nice, iloczyny, ilorazy i zªo»enia funkcji wymienionych 6

7 oprac Gra»yna Ciecierska 2 CI GŠO FUNKCJI Twierdzenie Funkcje elementarne s ci gªe Denicja Punkt 0 X nazywamy punktem nieci gªo±ci pierwszego rodzaju funkcji f : X R, X R, je±li istniej granice wªa±ciwe f(), f() oraz f() f( 0 ) lub f() f( 0 ) Denicja Punkt 0 X nazywamy nieusuwalnym punktem nieci gªo±ci pierwszego rodzaju funkcji f : X R, X R, je±li jest punktem nieci gªo±ci pierwszego rodzaju oraz 0 f() + 0 f() Denicja Punkt 0 X nazywamy usuwalnym punktem nieci gªo±ci pierwszego rodzaju funkcji f : X R, X R, je±li jest punktem nieci gªo±ci pierwszego rodzaju oraz istnieje f(), tzn f() = f() Denicja Punkt 0 X nazywamy punktem nieci gªo±ci drugiego rodzaju funkcji f : X R, X R, je±li przynajmniej jedna z granic f(), f() nie istnieje lub jest niewªa±ciwa Przykªad a) f() = { 1 1+e 1 dla R \ {0} 0 dla = , b) f() = 1 cos 1 dla < 0 0 dla = 0 sin 1 dla > 0 Twierdzenie (Weierstrass) Je±li funkcja f : [a, b] R, jest ci gªa, to jest( ograniczona i osi ga ) swoje kresy, tzn m, M R [a, b], (m f() M); c [a, b], f(c) = inf f() ; [a,b] ( ) d [a, b], f(d) = sup f() [a,b] Przykªad a) f() = a, a > 0, [0, 1], b) f() = a, a > 0, (0, a), c) f() = a, a > 1, [0, + ) Twierdzenie Je±li funkcja f : [a, b] R, jest ci gªa i f(a) f(b) < 0, to istnieje pierwiastek równania f() = 0 w przedziale (a, b), tzn c (a, b), (f(c) = 0) Przykªad a) f() = sin + 1, [0, 3π 2 ], b) f() = { dla 2 < dla 0 2 Twierdzenie (Darbou) Je±li funkcja f : [a, b] R, jest ci gªa i speªnia warunek f(a) < f(b), to przyjmuje warto±ci po±rednie, tzn y R, ((f(a) < y < f(b)) ( c (a, b), (y = f(c))) Przykªad f() 4 3 sin π + 3, [ 2, 2], Literatura 1 Gewert M, Skoczylas Z, 2012, Analiza matematyczna 1 Denicje, twierdzenia, wzory, Ocyna Wydawnicza GiS 2 Kaczor W J, Nowak M T, 2015, Zadania z analizy matematycznej Cz 2 Funkcje jednej zmiennejrachunek ró»niczkowy, Wydawnictwo Naukowe PWN 3 Kuratowski K, 2013, Rachunek ró»niczkowy i caªkowy Funkcje jednej zmiennej, Wydawnictwo Naukowe PWN 4 Musielakowie H i J, 2011, Analiza matematyczna T1, cz 1, 2, Wydawnictwo Naukowe UAM 5 Rudnicki W, 2012, Wykªady z analizy matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN 7

Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu)

Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu) Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Denicja pochodnej Denicja. Niech : X R, X R oraz U(x 0, r) X dla pewnego r > 0. Ilorazem ró»nicowym unkcji

Bardziej szczegółowo

Oba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji).

Oba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji). Plan Spis tre±ci 1 Granica 1 1.1 Po co?................................. 1 1.2 Denicje i twierdzenia........................ 4 1.3 Asymptotyka, granice niewªa±ciwe................. 7 2 Asymptoty 8 2.1

Bardziej szczegółowo

f(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi:

f(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi: Pochodna funkcji Def 1 Pochodn wªa±ciw funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granic f (x 0 ) := lim o ile granica ta istnieje i jest wªa±ciwa Funkcj f nazywamy wtedy ró»niczkowaln Przy zaªo»eniu,»e f jest ci

Bardziej szczegółowo

1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d

1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji, asymptoty i ciągłość

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji, asymptoty i ciągłość Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji asymptoty i ciągłość Definicja sąsiedztwo punktu. Niech 0 a b R r > 0. Sąsiedztwem o promieniu r punktu 0 nazywamy zbiór S 0 r = 0 r 0 0 0 + r;

Bardziej szczegółowo

I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x

I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,

Bardziej szczegółowo

Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski

Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Pochodna funkcji Niech a, b R, a < b. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj oraz x, x 0 (a, b) b d ró»nymi punktami przedziaªu (a, b). Wyra»enie

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji f : R R

Ciągłość funkcji f : R R Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

Zbiory ograniczone i kresy zbiorów

Zbiory ograniczone i kresy zbiorów Zbiory ograniczone i kresy zbiorów Def.. Liczb m nazywamy ograniczeniem dolnym a liczb M ograniczeniem górnym zbioru X R gdy (i) x m; (ii) x M. Mówimy,»e zbiór X jest ograniczony z doªu (odp. z góry) gdy

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych Zadania z analizy matematycznej - sem II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych Denicja (Pochodne cz stkowe dla funkcji trzech zmiennych) Niech D R 3 b dzie obszarem oraz f : D R f = f y z) P 0 =

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Pochodna funkcji jednej zmiennej Pochodna funkcji jednej zmiennej Denicja. (pochodnej funkcji w punkcie) Je±li funkcja f : D R, D R okre±lona jest w pewnym otoczeniu punktu D i istnieje sko«czona granica ilorazu ró»niczkowego: f f( +

Bardziej szczegółowo

Materiaªy do Repetytorium z matematyki

Materiaªy do Repetytorium z matematyki Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (

Bardziej szczegółowo

1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci

1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAT1317

Analiza Matematyczna MAT1317 Analiza Matematyczna MAT37 Wydziaª Informatyki i Zarz dzania Listy zada«nr -0 cz ±ciowo na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykªady i zadania, GiS, Wrocªaw 008 M.Gewert,

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 1

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 ANALIZA MATEMATYCZNA 1 semestr zimowy 2015 dr Damian Wi±niewski, KAiRR Moje dane e-mail : dawi@matman.uwm.edu.pl www: http://wmii.uwm.edu.pl/ kairr/dawi godziny konsultacji : poniedziaªki 9:45-10:30, 12:45-14:00

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?

Bardziej szczegółowo

Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:

Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA. semestr zimowy dr Damian Wi±niewski, KAiRR

ANALIZA MATEMATYCZNA. semestr zimowy dr Damian Wi±niewski, KAiRR ANALIZA MATEMATYCZNA semestr zimowy 2015 dr Damian Wi±niewski, KAiRR Moje dane e-mail : dawi@matman.uwm.edu.pl www: http://wmii.uwm.edu.pl/ kairr/dawi godziny konsultacji : poniedziaªki 9:45-10:30, 12:45-14:00

Bardziej szczegółowo

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(, y b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu

Bardziej szczegółowo

Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21

Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie

Bardziej szczegółowo

Informacje pomocnicze:

Informacje pomocnicze: dr Krzysztof yjewski Informatyka; S-I 0.in». 7 grudnia 06 Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej. Caªka nieoznaczona. przydatne wzory: Informacje pomocnicze: Lp. Wzór Uwagi. dx = x c. adx = ax c 3. x

Bardziej szczegółowo

punkcie. Jej granica lewostronna i prawostronna w punkcie x = 2 wynosz odpowiednio:

punkcie. Jej granica lewostronna i prawostronna w punkcie x = 2 wynosz odpowiednio: 5.9. lim x x +4 f(x) = x +4 Funkcja f(x) jest funkcj wymiern, która jest ci gªa dla wszystkich x, dla których mianownik jest ró»ny od zera, czyli dla: x + 0 x Zatem w punkcie x = funkcja ta jest okre±lona

Bardziej szczegółowo

Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej

Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej Lista Nr 5 Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej 5.0. Obliczanie pochodnej funkcji Pochodne funkcji podstawowych. f() = α f () = α α. f() = log a f () = ln a '. f() = ln f () = 3. f() = a f () =

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach

Bardziej szczegółowo

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,

Bardziej szczegółowo

Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).

Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Justyna Winnicka. rok akademicki 2016/2017. Szkoªa Gªówna Handlowa

Matematyka. Justyna Winnicka. rok akademicki 2016/2017. Szkoªa Gªówna Handlowa Matematyka Justyna Winnicka Szkoªa Gªówna Handlowa rok akademicki 2016/2017 kontakt, konsultacje, koordynator mail: justa_kowalska@yahoo.com, jkowal4@sgh.waw.pl, justyna.winnicka@sgh.waw.pl konsultacje:

Bardziej szczegółowo

Zbiory i odwzorowania

Zbiory i odwzorowania Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje i ich granice

1 Funkcje i ich granice Funkcje i ich granice Byªo: Zbiór argumentów; zbiór warto±ci; monotoniczno± ; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotno±ci; funkcja

Bardziej szczegółowo

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x). 6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco

Bardziej szczegółowo

6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe.

6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe. 6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe. 6.1. Sformułować definicję w sensie Heinego granicy (właściwej) funkcji w punkcie (właściwym). Podać ilustrację graficzną w różnych sytuacjach. Definicja Heinego granicy

Bardziej szczegółowo

AM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium

AM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium AM II.1 2018/2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium Normy w R n, iloczyn skalarny sprawd¹ czy dana funkcja jest norm sprawd¹, czy dany zbiór jest kul w jakiej± normie i oblicz norm wybranego

Bardziej szczegółowo

Zadania. 4 grudnia k=1

Zadania. 4 grudnia k=1 Zadania 4 grudnia 205 Zadanie. Poka»,»e dla dowolnych liczb zespolonych z,..., z n istnieje zbiór B {,..., n}, taki,»e n z k π z k. k B Zadanie 2. Jakie warunki musz speªnia ci gi a n i b n, aby istniaªy

Bardziej szczegółowo

CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016

CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016 WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego

Bardziej szczegółowo

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone Pochodna Caªka nieoznaczona i oznaczona Podstawowe wielko±ci zyczne. Repetytorium z matematyki

Liczby zespolone Pochodna Caªka nieoznaczona i oznaczona Podstawowe wielko±ci zyczne. Repetytorium z matematyki Repetytorium z matematyki Denicja liczb zespolonych Wyra»enie a + bi, gdzie a i b s liczbami rzeczywistymi a i speªnia zale»no± i 2 = 1, nazywamy liczb zespolon. Liczb i nazywamy jednostk urojon, a iloczyn

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe

Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje:

Bardziej szczegółowo

2 Liczby rzeczywiste - cz. 2

2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)

Analiza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3, 2018/19z (zadania na ćwiczenia) Analiza Matematyczna F dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3 08/9z (zadania na ćwiczenia) (Na podstawie podręcznika M. Gewert Z. Skoczylas Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania GiS 008) 3 Granica funkcji

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )

Bardziej szczegółowo

Informacje pomocnicze

Informacje pomocnicze Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne. Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 3. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 3. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 3 ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Deinicja (unkcja) Niech zbiory XY, będą niepuste Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w

Bardziej szczegółowo

Czy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1

Czy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1 II KOLOKWIUM Z AM M1 - GRUPA A - 170101r Ka»de zadanie jest po 5 punktów Ostatnie zadanie jest nieobowi zkowe, ale mo»e dostarczy dodatkowe 5 punktów pod warunkiem rozwi zania pozostaªych zada«zadanie

Bardziej szczegółowo

Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze

Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0.in». 6 pa¹dziernika Oznaczenia. B dziemy u»ywali nast puj cych oznacze«:

Liczby zespolone. dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0.in». 6 pa¹dziernika Oznaczenia. B dziemy u»ywali nast puj cych oznacze«: Liczby zespolone Oznaczenia B dziemy u»ywali nast puj cych oznacze«: N = {1, 2, 3,...}- zbiór liczb naturalnych, Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}- zbiór liczb caªkowitych, Q = { a b : a, b Z, b 0}- zbiór

Bardziej szczegółowo

Literatura podstawowa

Literatura podstawowa 1 Wstęp Literatura podstawowa 1. Grażyna Kwiecińska: Matematyka : kurs akademicki dla studentów nauk stosowanych. Cz. 1, Wybrane zagadnienia algebry liniowej, Wydaw. Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk, 2003.

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska

Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2018 Spis treści Definicja ciągłości funkcji. Przykłady Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji Własności funkcji

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Matematyka ETId I.Gorgol. Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje

Matematyka ETId I.Gorgol. Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje cyklometryczne. Definicja funkcji DEFINICJA Niech dane będa dwa zbiory D i P. Funkcja f : D P nazywamy przyporzadkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru D przyporzadkowuje

Bardziej szczegółowo

1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie:

1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: +j +j 3 Re z = Im z = 5 z ( j) = z j z +

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl

Bardziej szczegółowo

FAQ ANALIZA R c ZADANIA

FAQ ANALIZA R c ZADANIA FAQ ANALIZA R c ZADANIA Rachunek ró»niczkowy wersja wst na uwaga na bª dy!!! Zadania oznaczone R maj wskazówki lub rozwi zania na ko«cu liku. Zadania rozwi zywali: Grzegorz Cieciura, Katarzyna Grabowska,

Bardziej szczegółowo

1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.

1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n

Bardziej szczegółowo

Granice funkcji-pojęcie pochodnej

Granice funkcji-pojęcie pochodnej Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego

Bardziej szczegółowo

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji. Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.. Ciągi Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze N lub jego podzbiorze. Z tego względu ciągi dziey na

Bardziej szczegółowo

Wykªad 12. Transformata Laplace'a i metoda operatorowa

Wykªad 12. Transformata Laplace'a i metoda operatorowa Wykªad 2. Tranformata Laplace'a i metoda operatorowa Tranformata Laplace'a Dla odpowiednio okre±lonej klay funkcji zdeniujemy operator L, nazywany tranformat Laplace'a, okre±lony wzorem L[ f ]() = f(t)e

Bardziej szczegółowo

Rozdział 3. Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej

Rozdział 3. Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej Rozdział Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej Definicja i własności granicy funkcji W rozdziale omówiono granicę ciągu liczbowego przy n, natomiast w rozdziale opisano funkcje elementarne i ich własności

Bardziej szczegółowo

Funkcje elementarne. Matematyka 1

Funkcje elementarne. Matematyka 1 Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje

Bardziej szczegółowo

Szkice rozwi za«zada«z egzaminu 1

Szkice rozwi za«zada«z egzaminu 1 Egzamin - szkic rozwi za«sem. zimowy 06/07 AM, Budownictwo, IL PW Szkice rozwi za«zada«z egzaminu. Poda denicj granicy oraz ci gªo±ci funkcji. Def. (Heinego) Liczb g nazywamy granic funkcji f : D R w unkcie

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Pochodna funkcji jednej zmiennej Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )

Bardziej szczegółowo

Roksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych

Roksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych Temat. Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych.twierdzenia o wartosci sredniej w rachunku różniczkowalnym i ich zastosowania. Roksana Gałecka 20..204 Spis treści Okreslenie

Bardziej szczegółowo

Przekroje Dedekinda 1

Przekroje Dedekinda 1 Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2

Bardziej szczegółowo

1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej

1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej . Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji. 8 listopada Wykład 4

Granica funkcji. 8 listopada Wykład 4 Granica funkcji 8 listopada 2011 Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < δ. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje i ich granice

1 Funkcje i ich granice Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji. 16 grudnia Wykład 5

Granica funkcji. 16 grudnia Wykład 5 Granica funkcji 16 grudnia 2010 Tw. o trzech funkcjach Twierdzenie Niech f, g, h : R D R będa funkcjami takimi, że lim f (x) = lim h(x), x x 0 x x0 gdzie x 0 D. Jeżeli istnieje otoczenie punktu x 0 w którym

Bardziej szczegółowo

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na

Bardziej szczegółowo

Lista zagadnień omawianych na wykładzie w dn r. :

Lista zagadnień omawianych na wykładzie w dn r. : Lista zagadnień omawianych na wykładzie w dn. 29.0.208r. : Granica funkcji Definicja sąsiedztwa punktu. Sąsiedztwo 0 R o promieniu r > 0: S 0, r = 0 r, 0 + r\{ 0 } 2. Sąsiedztwo lewostronne 0 R o promieniu

Bardziej szczegółowo

Równania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010

Równania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010 WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna

Bardziej szczegółowo

Indeksowane rodziny zbiorów

Indeksowane rodziny zbiorów Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T

Bardziej szczegółowo

Matematyka I. BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 2

Matematyka I. BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 2 Matematyka I BJiOR Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 2 Definicja funkcji przypomnienie Definicja Dla danych dwóch niepustych zbiorów X, Y przypisanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu

Bardziej szczegółowo

10. arccos 3 + 4x, 11. tg sin cos x, 12. arcctg x ctg 2x, arcsin(2x 1) arcsin 2x 1, 21. sin2 x 2 1,

10. arccos 3 + 4x, 11. tg sin cos x, 12. arcctg x ctg 2x, arcsin(2x 1) arcsin 2x 1, 21. sin2 x 2 1, . Nawiasy Dopisz nawiasy jak w przykªadzie: ln cos 4 + = ln((cos(4)) ) +. sin,. ln 3 +, 3. tg ctg, 4. sin, 5. log 3 4, 6. arcsin sin, 7. tg 4 3, 8. log, 9. cos +3, 0. arccos 3 + 4,. tg sin cos,. arcctg

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji. Seminarium dyplomowe powtórzenie wiadomości. Jan Kowalski. 22 maja Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Ciągłość funkcji. Seminarium dyplomowe powtórzenie wiadomości. Jan Kowalski. 22 maja Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Seminarium dyplomowe powtórzenie wiadomości Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 22 maja 2013 1 Podstawowe definicje i fakty 2 funkcji w punkcie Definicja Niech f będzie funkcją określoną na zbiorze

Bardziej szczegółowo

sin x 1+cos 2x. 3. Znajd¹ okres podstawowy funkcji: 6) f(x) = cos(4πx + 2), 8) f(x) = cos 2 x, 9) f(x) = tg πx 4) f 1 ([1, 9]), 5) f ([ 1, 1]),

sin x 1+cos 2x. 3. Znajd¹ okres podstawowy funkcji: 6) f(x) = cos(4πx + 2), 8) f(x) = cos 2 x, 9) f(x) = tg πx 4) f 1 ([1, 9]), 5) f ([ 1, 1]), WBiA In»ynieria rodowiska Matematyka wiczenia. Wyja±nij poj cia: funkcja dziedzina dziedzina naturalna przeciwdziedzina zbiór warto±ci iniekcja suriekcja bijekcja funkcja nie)rosn ca nie)malej ca wkl sªa

Bardziej szczegółowo

Lista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykªadnicza

Lista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykªadnicza Lista - Kilka bardzo prostych funkcji Logarytm i funkcja wykªadnicza Naszkicuj wykresy funkcji: y = sgn x oraz y = x sgn x; b) y = x oraz y = x ; c) y = x x Przedstaw w jednym ukªadzie wspóªrz dnych wykresy

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Funkcje, ich granice i ciągłość

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Funkcje, ich granice i ciągłość Zadania z analizy matematycznej - sem II Funkcje ich granice i ciągłość Zadanie 1 Wyznaczyć i naszkicować dziedziny naturalne podanych funkcji: a f y = 2 y 3 25 2 +y 2 16 b g y = ln1 2 y 2 c h y = ln 2

Bardziej szczegółowo

WBiA Architektura i Urbanistyka. 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: Które z iloczynów: A 2 B, AB 2, BA 2, B 2 3, B = 1 2 0

WBiA Architektura i Urbanistyka. 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: Które z iloczynów: A 2 B, AB 2, BA 2, B 2 3, B = 1 2 0 WBiA Architektura i Urbanistyka Matematyka wiczenia 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: 1) 2A + C 2) A C T ) B A 4) B C T 5) A 2 B T 1 0 2 dla A = 1 2 1 1 0 B = ( 1 2 1 0 1 ) C = 1 2 1 0 2 1 0 1 2. Które

Bardziej szczegółowo

Lista 1 - Funkcje elementarne

Lista 1 - Funkcje elementarne Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji. 27 grudnia Granica funkcji

Granica funkcji. 27 grudnia Granica funkcji 27 grudnia 2011 Punkty skupienia Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < 0. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy

Bardziej szczegółowo

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy. Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta

Bardziej szczegółowo

4. Granica i ciągłość funkcji

4. Granica i ciągłość funkcji 4. Granica i ciągłość funkcji W niniejszym rozdziale wprowadzamy pojęcie granicy funkcji, definiujemy funkcje ciągłe i omawiamy ich podstawowe własności. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej

Bardziej szczegółowo

1 Granice funkcji wielu zmiennych.

1 Granice funkcji wielu zmiennych. AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica

Bardziej szczegółowo

Matematyka dla studentów kierunku Projetowanie Architektury Wn trz i Otoczenia. Jolanta Rosiak

Matematyka dla studentów kierunku Projetowanie Architektury Wn trz i Otoczenia. Jolanta Rosiak Matematyka dla studentów kierunku Projetowanie Architektury Wn trz i Otoczenia Jolanta Rosiak 3 grudnia 2018 2 Geometria analityczna w przestrzeni Przestrzeni R 3 nazywamy zbiór wszystkich uporz dkowanych

Bardziej szczegółowo

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a

Bardziej szczegółowo

ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±

ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno± ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m

Bardziej szczegółowo

Wektory w przestrzeni

Wektory w przestrzeni Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem

Bardziej szczegółowo

f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x

f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x Iloraz różnicowy Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Niech x oznacza przyrost argumentu x może być ujemny!). Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi: y =

Bardziej szczegółowo

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009. Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametru gªadko±ci przy u»yciu falek splajnowych

Estymacja parametru gªadko±ci przy u»yciu falek splajnowych Estymacja parametru gªadko±ci przy u»yciu falek splajnowych Politechnika Gda«ska Wydziaª Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Wisªa, 3-7.12.2012 Przestrze«Biesowa Przestrze«Biesowa B s p,q, 1 p,

Bardziej szczegółowo