Równania różniczkowe zwyczajne. 1 Rozwiązywanie równań różniczkowych pierwszego rzędu

Transkrypt

1 Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 13 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 17 maja 2018r. Równania różniczkowe zwyczajne 1 Rozwiązywanie równań różniczkowych pierwszego rzędu 1.1 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielających się Zadanie 1. Rozwiąż równania: a) 2x 2 y = y b) x 2 +(y ) 2 = 1 c) x 2 = sin 1 x d) sin 2 x+ ( ) 2 = 1 e) sin x = y cos x f) sin x = y cos x g) = 2xy2 x 2 h) cos y = 3 sin y(5 cos3 x 3 cos x) i) (1 + x 2 )xy = 1 + y2 j) xy = (x + a)(b + y) k) tgx sin 2 y + cos 2 xctgy = 0 Zadanie 2. Znajdż rozwiązanie szczególne równania spełniające dany warunek początkowy: { y a) = e y cos(2x) y(0) = 0 { y e) = 2xy 2 x 2 y y(x 0 ) = y 0 b) { y = 2x y y(1) = 1 c) { y = (2y + 1)ctgx y( π 4 ) = 1 2 d) { y = e y+x+1 y(0) = Równanie jednorodne Zadanie 3. Znajdź rozwiązania następujących równań różniczkowych jednorodnych: a) y = x+y x x = 0 b) = 2xy x 2 y 2 c) x 2 = x2 +xy +y 2 d) x 2 +y 2 = 2xy e) y(ln y ln x) f) xy + y + x = 0 g) xy cos y x = y cos y x x h) x + 2 xy = y 1.3 Równanie różniczkowe liniowe pierwszego rzędu Zadanie 4. Stosując metodę Lagrange a uzmienniania stałej rozwiąż następujące równania różniczkowe liniowe: a) y xy = e x2 b) xy y = 2x 3 c) y sin x + y cos x = sin (2x) d) (2x + 1)y + y = x e) x = ln x y + 1 Zadanie 5. Stosując metodę podstawienia y = u(x) v(x) rozwiąż następujące równania liniowe: a) y tgx y = 2 sin x b) xy + y = ln x + 1 1

2 Zadanie 6. Stosując metodę przewiwania (zwaną też metodą współczynników nieoznaczonych) rozwiąż następujące równania różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach: a) y 2y = 2e 3x b) y 6y = 2e 4x c) y = 2y + 3e 2x d) y 4y = 2e 4x e) + 2y = x2 f) + 7y = x2 11x + 9 g) y + y = x 3 + x 2 + x + 1 h) + y = 5 sin 3x 4 2 i) y y = 5 2 sin x + 2 cos x j) y + 2y = xe x k) y 2y = 6(cos 2x sin 2x)e 4x l) y + y = 2x cos x m) y + 3y = x 2 cos 3x n) + y = (2x2 + 6x + 6)e x + 4e 3x o) y + y = (x + 1) sin 3x + 3x cos 3x + x xe x Zadanie 7. Stosując metodę czynnika całkującego rozwiąż następujące równania liniowe: a) y y x = x cos x b) y + 5x 4 y = x 4 c) ty + e t ty = 0 Zadanie 8. Wyznacz rozwiązania podanych zagadnień początkowych oraz określ przedziały, w ktroych są określone. a) y sin x y = 1, y( 5 2 π) = 0 b) y + 5t 4 y = t Równanie Bernoulliego Zadanie 9. Stosując metodę podstawienia z = y 1 α, rozwiąż następujące równania Bernoulliego: a) y + x 1 x 2 y = x y b) y y x = 1 2y e) xy + 6y = 3x 3 y 4 c) + xy = xy3 d) (x 2 2xy y 2 ) + y2 = 0 Zadanie 10. Stosując metodę podstawienia y = u(x)v(x), rozwiąż równania Bernoulliego: a) y y x = y2 x 2 b) xy + y = y 2 ln x Zadanie 11. Scałkuj podane równania różniczkowe i znajdź krzywe całkowe przechodzące przez wskazane punkty: a) y 2xy = 2x 3 y 2, punkt (0, 1) b) 2y + yctgx = 8 y cos3 x, punkt ( π 2, 1) 1.5 Równanie zupełne, czynnik całkujący Zadanie 12. Rozwiąż następujące równania: a) e x (1 + e y ) + e y (1 + e x ) = 0 b) (x + ln y) + (1 + x y + sin y) = 0 c) x y x 2 +y 2 + x+y = 0 d) x(x 2 +y 2 4)+y(x 2 +y 2 +4) = 0 e) xy+1 x 2 +y 2 y + 2y x y 2 = 0 Zadanie 13. Rozwiąż problem początkowy (3x 2 + 6xy 2 ) + (6x 2 y + 4y 3 ) = 0, y(1) = 0. 2

3 Zadanie 14. Stosując metodę czynnika całkującego rozwiąż równania: a) x 2 + y x = 0 b) (x2 + y 2 + 2x) + 2y = 0 c) (x sin y + y cos y) + (x cos y y sin y) = 0 d) (xy 2 + y) x = 0 e) 2xtgy + (x 2 2 sin y) = 0 2 Równania różniczkowe rzędu drugiego 2.1 Równania różniczkowe rzędu drugiego sprowadzane do równań rzędu pierwszego - równania typów y = f(x), F (x, y, y ) = 0, F (y, y, y ) = 0, jednorodne F (x, y, y, y ) = 0 Zadanie 15. Rozwiąż równania: a) y = 1 1+x 2 b) y = x + sin x c) y = sin x cos x Zadanie 16. Rozwiąż równania: a) y = 1 (y ) 2 b) y = y tgx + sin 2x c) y = y + e x d) (1 + x)y = y e) xy y ln y x = 0 f) (1 + x2 )y + 2xy = x 3 g) y = x(y ) 2 Zadanie 17. Rozwiąż równania: a) y 3 y + 1 = 0 b) y + 6y(y ) 3 = 0 c) y = y d) y = (y ) 3 ln y e) 2yy + (y ) 2 = 0 f) y = f(y) g) 2yy = (y ) 2 + y 2 Zadanie 18. Wykorzystując podstawienie y(x) = e u(x) lub y (x) = y(x)z(x) rozwiąż następiujące równania różniczkowe jednorodne względem y, y, y : a) xyy + x(y ) 2 yy = 0 b) 2yy + 2(y ) 2 + y 2 = 0 c) yy (y ) 2 = 15y 2 x d) 2yy 3(y ) 2 = 4y 2 Zadanie 19. Rozwiąż równania przy danym warunku początkowym: a) y = y, y(0) = 1, y (0) = 0 b) xy + y = 2x, y(1) = 1, y (1) = Równanie różniczkowe liniowe rzędu drugiego Zadanie 20. Sprawdź, że podane funkcje y 1, y 2 tworzą w zadanym przedziale układ fundamentalny wskazanyc równań liniowych jednorodnych. Podaj rozwiązania tychże równań przy zadanaych warunkach początkowych. 3

4 a) y 1 (x) = x, y 2 (x) = 1 x, (0, + ); 2x2 y + 2xy y = 0, y(1) = 1, y (1) = 1 b) y 1 1, y 2 (x) = x 2, (, 0); xy y = 0, y( 1) = 1, y ( 1) = 4 c) y 1 (x) = x 2 1, y 2 (x) = x, R; y 2x x 2 +1 y + 2 x 2 +1 y = 0, y(0) = 2, y (0) = 1 Zadanie 21. Korzystając z meto uzmienniania stałych wyznacz rozwiązanie ogólne równania liniowego niejednorodnego x 2 y 2y = x 2 jeśli funkcje y 1 = 1 x, y 2 = x 2 stanowią układ fundamentalny odpowiadającego mu równania liniowego jednorodnego. 2.3 Równanie różniczkowe liniowe rzędu drugiego o stałych współczynnikach Zadanie 22. Rozwiąż następujące równania różniczkowe liniowe jednorodne: a) y = 0 b) y + y = 0 c) y 2y = 0 d) y 4y = 0 e) y + y + y = 0 f) y + 2y + y = 0 Zadanie 23. Stosując metodę uzmienniania stałej rozwiąż następujące równania różniczkowe liniowe a) y 7y +12y = x b) y +y 2y = 4x c) y 3y +2y = sin (e x ) d) y 4y +5y = e2x cos x e) 2y 8y + 8y = 16x 3 72x Zadanie 24. Stosując metodę przewiwań rozwiąż następujące równania różniczkowe liniowe a) y + 3y + 2y = sin 2x + 2 cos 2x b) y 6y + 9y = 2x 2 x + 3 c) y y 20y = 2e x d) y y = 2x cos x + e x e) y + 4y = x + x cos 2x f) y + y 2y = 3e x g) y + 4y = 4x sin 2x h) y 2y + y = 6xe x Zadanie 25. Rozwiąż zagadnienia brzegowe: a) y + y = 0, y(0) = 1, y( π 2 ) = 0 b) y = A( x2 a x), y(0) = 0, y(a) = 0 3 Równanie różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Zadanie 26. a) Sprawdź, że funkcje y 1 = e x, y 2 = e 2x, y 3 = e 3x tworzą układ fundamentalny rozwiązań równania liniowego jednorodnego y 6y + 11y 6y = 0. b) Sprawdź, czy funkcje y 1 = 1, y 2 = e x, y 3 = 2e x, y 4 = 6e x będace całkami równania y (4) + y 2y = 0 tworzą układ fundamentalny rozwiązań. 4

5 Zadanie 27. Rozwiąż następujące równania różniczkowe liniowe jednorodne: a) y 2y 5y + 6 = 0 b) y + 8y = 0 c) y (4) + 2y + 3y + 2y + y = 0 d) y (4) 2y + 2y 2y + y = 0 e) y (6) + y = 0 f) y (4) y = 0 g) y 5y + 8y 4y = 0 Zadanie 28. Stosując metodę uzmienniania stałej rozwiąż następujące równania różniczkowe liniowe a) y + y = x b) y 3y + 3y y = e x c) y 4y = (2x 1)e 2x Zadanie 29. Stosując metodę przewiwań rozwiąż następujące równania różniczkowe liniowe a) y 3y + 3y y = e x b) 2y 6y = 36x c) y (4) + 5y + 4y = 3 sin x d) 4y + y = 3e x + 2 sin x 2 e) y + y = 6x 2 e x f) y 6y + 11y 6y = cos 2 x sin 2 x g) y (4) + 4y + 8y + 16y + 16 = 128e 2x + 9 cos x 12 sin x h) y (5) + y = x 2 + 2xe x 1 i) 4y 4y + y y = 3e x Zadanie 30. Rozwiąż zagadnienia początkowe: a) y y = 0, y(2) = 1, y (2) = 0, y (2) = 0 b) 2y 6y = 36x + 4e x, y(0) = 1, y (0) = 1, y (0) = 0 Zadanie 31. Rozwiąż zagadnienia brzegowe: a) y + y = 2x, y(0) = 1, y( π 2 ) = π2 4 1, y(π) = π2 + 1 b) y + y = 0, y(0) = 0, y( π ) = 1, y(2π) = 2 2 5