Definicja pochodnej Niech będzie funkcją określoną w pewnym przedziale i niech będzie punktem wewnętrznym tego przedziału. Liczbę dowolną, ale taką, że nazywamy przyrostem argumentu, a różnicę nazywamy przyrostem funkcji, który w punkcie odpowiada przyrostowi argumentu. Stosunek funkcji w punkcie dla przyrostu argumentu. 0nazywamy ilorazem różnicowym Pochodną funkcji w punkcie nazywamy granicę ilorazu różnicowego w punkcie gdy przyrost argumentu dąży do zera: lim lim slajd 1 Geometryczny sens pochodnej Niech, i, będą dwoma punktami krzywej. Jeśli 0 to i prosta zwana sieczną krzywej, ma współczynnikkątowytan!. Załóżmy, że istnieje pochodna funkcji w punkcie. Jeżeli 0, to i sieczna dąży do położenia granicznego, którym jest prosta przechodząca przez i mająca współczynnik kątowy tan#. To graniczne położenie siecznej nazywamy styczną do krzywej w punkcie, a punkt nazywamy punktem styczności. slajd 2
Geometryczny sens pochodnej $! # slajd 3 Podstawowe wzory %&'() * 0 * 1 * 1 * 1-0, 1.0 / * 2 1 * ' 12 * 2 / 3 * 2 3 4 5 6 * 2 6 1 678 log ; * 2 <=; ln * 2 > * > dlaprzypomnienia:> lim slajd 4 1? 1 2 1 1 @2,718281828459
Działanie na funkcjach i ich pochodnych (1): F * * F (2): F * * F (3): F * * F F (4): H * I H H* H 5 slajd 5 Ekstremum funkcji jednej zmiennej Jeśli funkcja osiąga swą wartość największą dla zbioru J w punkcie wewnętrznym zbioru J, to funkcja ma w tym punkcie maksimum. Jeśli funkcja osiąga swą wartość najmniejszą dla zbioru J w punkcie wewnętrznym zbioru J, to funkcja ma w tym punkcie minimum. Warunek konieczny ekstremum funkcji (twierdzenie Fermata): Jeśli funkcja ma w punkcie ekstremum i jest w tym punkcie różniczkowalna,tojejpochodnawtympunkciejestrównazeru: * 0. Warunek wystarczający ekstremum funkcji: Jeślifunkcja mawotoczeniupunktu pochodną,którajest: -dodatniawlewostronnymsąsiedztwiepunktu ; -równazerowpunkcie ; -ujemnawprawostronnymsąsiedztwiepunktu ; tofunkcja mawpunkcie maksimumwłaściwe. slajd 6
Pochodne wyższych rzędów Jeśli funkcja ma w pewnym przedziale pochodną * to z kolei pochodna ta może mieć w pewnym punkcie tego przedziału swoją pochodną: * L lim K L którą nazywamy pochodną drugiego rzędu funkcji w pewnym punkcie i oznaczamy symbolami: Lagrange a: * Leibniza: MN O MP NP analogicznie dla pochodnych wyższych rzędów: Lagrange a: ** 1 Leibniza: MQ O MP QP MR O MP RP slajd 7 Ekstremum funkcji z użyciem drugiej pochodnej Jeśli * 0oraz ** 0,to: funkcja mawpunkcie ekstremumwłaściwe,przyczymjestto: - minimum,jeśli ** -0 - maksimum,jeśli **.0 slajd 8
Pochodne cząstkowe funkcji dwóch zmiennych Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu Niechbędzie funkcją określoną w pewnym kole zawartym w przestrzenis / i niech,$,,$,,$$ będą punktami tego koła. Różnice,$,$ oraz,$$,$ nazywamy przyrostami funkcji w punkcie, $ odpowiadającymi przyrostowi pierwszej zmiennej, względnie $ drugiej zmiennej. $$ $ $ slajd 9 Pochodne cząstkowe funkcji dwóch zmiennych Ilorazy,T,T U,TT,T nazywamy ilorazami różnicowymi funkcji w punkcie, $. T 0 U $ 0 Granicę pierwszego ilorazu gdy 0nazywamy pochodną cząstkową funkcji w punkcie, $ względem pierwszej zmiennej i oznaczamy: V,$,$ V analogicznie: V V$ T,$$,$ $ slajd 10
Pochodne cząstkowe drugiego rzędu,$ V/,$,$ V / TT,$ V/ T,$$ T,$ V$ / T $ T,$ V/,$$,$ VV$ T $ T,$ V/ T,$ T,$ V$V TwierdzenieSchwarza: T,$ T,$ slajd 11 Ekstremum funkcji dwóch zmiennych Warunek konieczny Jeśli funkcja,$ ma w punkcie,$ ekstremum i jest w tym punkcie różniczkowalna, to obie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w tym punkciesąrównezero,tj.: W W,$ W WT,$ 0 Warunek wystarczający slajd 12 Jeśli funkcja, $ ma obie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu równe zero w danym punkcie tj.: T 0 a wyznacznik macierzy pochodnych cząstkowych drugiego rzędu funkcji, $ jest w tym punkcie dodatni, tj.: W T -0to funkcja ta ma w punkcie T TT ekstremum właściwe. Charakter tego ekstremum zależy od znaku drugich pochodnych czystych w punkcie :Y -0, TT -0 ZU'UZ[Z.0, TT. 0 Z\(UZ[Z