PROGRAMOWANIE KWADRATOWE
|
|
- Jadwiga Sobczyk
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 PROGRAMOWANIE KWADRATOWE
2 Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2
3 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej metody rozwiązywania zadań programowania kwadratowego. Metoda zależy od postaci jaką ma zadanie. 3
4 Programowanie kwadratowe Rozpatrywany przypadek: Funkcja celu jest funkcją kwadratową. Ograniczenia są funkcjami liniowymi. 4
5 Zadanie programowania wypukłego
6 Zadanie programowania wypukłego Rys.. Funkcja wypukła Rys. 2. Funkcja wklęsła 6
7 Zadanie programowania wypukłego Rys. 3. Zbiory wypukłe Rys. 4. Zbiory niewypukłe 7
8 Zadanie programowania wypukłego Zbiór W jest wypukły, jeżeli dla dwóch dowolnych elementów a, b W, oraz dla dowolnej liczby γ z przedziału [0, ] zachodzi związek: γ a+ ( γ) b W 8
9 Zadanie programowania wypukłego Funkcja f, której dziedziną jest zbiór wypukły W, jest wypukła, jeżeli dla dowolnych argumentów a, b W i dla dowolnej liczby γ z przedziału [0, ] zachodzi związek: f ( γ a+ ( γ) b) γ f( a) + ( γ) f( b) Funkcja f jest wklęsła, jeżeli funkcja f jest wypukła 9
10 Zadanie programowania wypukłego Funkcja liniowa: n T α ( x) = p x= j= p x j j Forma kwadratowa: Funkcja kwadratowa: n n T β ( x) = x Cx= i= j= cxx ij i j T T f ( x) = p x x Cx 0
11 Zadanie programowania wypukłego Macierz C musi być: 9 Symetryczna: c ij = c ji 0 Nieujemnie określona: T xcx 0
12 Zadanie programowania wypukłego ad. 9 Jeżeli macierz C nie jest symetryczna to stosuje się podstawienie: c = ij c ij + c 2 ji wtedy: c = c ij ji 2
13 Zadanie programowania wypukłego ad. 0 Twierdzenie. Forma kwadratowa jest funkcją wypukłą wtedy i tylko wtedy, gdy macierz formy C jest nieujemnie określona. Twierdzenie 2. Funkcja f mająca pochodne cząstkowe drugiego rzędu w zbiorze wypukłym W jest wypukła w tym zbiorze wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x W macierz drugich pochodnych H(x) jest macierzą nieujemnie określoną. 3
14 Zadanie programowania wypukłego f( x) f( x) f( x)... 2 x x2 x xn x f( x) f( x) f( x) C= H( x) = x x2 x2 xn x f( x) f( x) f( x)... 2 x xn x2 xn x n 4
15 Zadanie programowania wypukłego Wartość wyznacznika macierzy C oraz wartości wszystkich minorów głównych (elementów na głównej przekątnej) tej macierzy muszą być dodatnie. 5
16 Zadanie programowania wypukłego Zadanie programowania wypukłego: f ( x) MAX g ( x) 0 g ( ) 0 m x lub: f ( x) MAX gx ( ) 0 gx ( ) g ( ) x = g ( ) m x 6
17 W postaci macierzowej: f x = p x x Cx Ax b x 0 T T ( ) MAX Zadanie programowania wypukłego n ilość zmiennych m ilość ograniczeń i warunków brzegowych p wektor funkcji liniowej C macierz formy kwadratowej A macierz współczynników ograniczeń b wektor wyrazów wolnych x wektor zmiennych decyzyjnych 7
18 Przykład 20. Zadanie programowania wypukłego Zapisać odpowiednie macierze i wektory dla zadania programowania kwadratowego, oraz sprawdzić czy macierz formy kwadratowej spełnia wymagane warunki. f( x) = 0x + 25x 0x 4x x x MAX g ( x) = 0 x 2x 0 2 g ( x) = 9 x x 0 g g 2 2 ( x) = x 0 3 ( x) = x
19 Zadanie programowania wypukłego FC : f( x, x ) = 0x + 25x 0x 4x x x MAX O: x+ 2x2 0 x + x 9 2 WB : x, x2 0 9
20 Zadanie programowania wypukłego Ograniczenia: Ax b A 2 = x x = x 2 0 b = 9 20
21 Zadanie programowania wypukłego Funkcja celu: f = T T ( x) p x x Cx MAX f( x) = 0x + 25 x (0 x + 2x x + 2 x x + x ) MAX p 0 = C = 2 2
22 Zadanie programowania wypukłego Sprawdzenie macierzy C: 9 ( c = c ) Czy jest symetryczna? Tak Czy jest nieujemnie określona? Tak wyznacznik macierzy C: detc = 6 > 0 minory główne: 0 > 0 > 0 Macierz C spełnia wymagane warunki. 22
23 Warunki Kuhna - Tuckera
24 Warunki Kuhna - Tuckera Z każdym zadaniem programowania kwadratowego można związać funkcję Lagrange a: L( x, λ) = f( x) + λg( x) lub: L( x, λ ) = f( x) + λigi( x) m i= λ i mnożniki Lagrange a 24
25 Warunki Kuhna - Tuckera Jeżeli f oraz g i mają pochodne cząstkowe można skonstruować problem Kuhna Tuckera. Składa się on z następujących warunków: 9 0 A B L( x, λ) = 0 x λg( x) = 0 g( x) 0 λ 0 25
26 Warunki Kuhna - Tuckera Twierdzenie 3. Zadanie programowania wypukłego i problem Kuhna Tuckera są sobie równoważne. 26
27 Przykład 2. Warunki Kuhna - Tuckera Utworzyć problem Kuhna Tuckera dla zadania programowania kwadratowego z Przykładu 20. FC : f( x, x ) = 0x + 25x 0x 4x x x MAX O: x+ 2x2 0 x + x 9 2 WB : x, x2 0 27
28 Warunki Kuhna - Tuckera Funkcja Lagrange a: L( x, λ) = 0x + 25x 0x 4x x x λ (0 x 2 x ) + 2 +λ (9 x x ) λ x + λ x
29 Warunki Kuhna - Tuckera Warunki Kuhna - Tuckera: 9 L = 0 20x 4x λ λ +λ = x L = 25 4x 2x 2 2 λ λ +λ = x 2 0 λ (0 x 2 x ) +λ (9 x x ) +λ x +λ x =
30 Warunki Kuhna - Tuckera Warunki Kuhna Tuckera c.d.: A g ( x) = 0 x 2x 0 2 g ( x) = 9 x x g g ( x) = x 0 3 ( x) = x B λ, λ, λ, λ
31 Metoda Wolfe a
32 Metoda Wolfe a. Zapisanie warunków Kuhna Tuckera pozwala na sformułowanie pewnego zadania zastępczego. 2. Zadanie zastępcze można rozwiązać metodą Wolfe a. 3. Na podstawie rozwiązania zadania zastępczego można określić rozwiązanie optymalne zadania programowania kwadratowego. 4. Metoda Wolfe a jest modyfikacją metody simplex. 32
33 Przykład 22. Metoda Wolfe a Sformułować zadanie zastępcze dla zadania programowania kwadratowego z Przykładu 20. Zmiana oznaczeń: Współczynniki Lagrange a dla ograniczeń Współczynniki Lagrange a dla warunków brzegowych było będzie λ i i=,..., m n yi i=,..., m n λ i i= m n+,..., m y j j =,..., n Tabela
34 Metoda Wolfe a Czyli: λ y λ2 y2 λ3 y λ4 y 2 34
35 Metoda Wolfe a Sprowadzenie ograniczeń do postaci bazowej: x + 2x + x = 0 2 x+ x2 + x 2 = 9 x, x - zmienne bilansujące 2 35
36 Metoda Wolfe a Zapisanie funkcji Lagrange a z uwzględnieniem zmiennych bilansujących: L( x, λ) = 0x + 25x 0x 4x x x [ 0 2 ] [ 9 ] + y x x x y x x x yx + yx
37 Metoda Wolfe a Wykorzystanie 9 warunku Kuhna - Tuckera: L x = 0 20x 4x y y + y = L x 2 = 25 4x 2x 2y y + y =
38 Metoda Wolfe a Wprowadzenie zmiennych sztucznych typu w: Zmienne w są wprowadzane do każdego ograniczenia zadania zastępczego, powstałego na podstawie 9 warunku Kuhna Tuckera. 20x + 4x + y + y y + w = x + 2x + 2y + y y + w = Zmienne sztuczne są wprowadzane do funkcji celu zadania zastępczego ze współczynnikiem równym. 38
39 Zadanie zastępcze: Metoda Wolfe a FC : w + w 2 MIN O: x + 2x + x = 0 2 x + x + x = x + 4x + y + y y + w = x + 2x + 2y + y y + w = WB: x, x, x, x, y, y, y, y, w, w,
40 Metoda Wolfe a Zmienne: x, y lub x, y to pary zmiennych komplementarnych. i i i i Wszystkie pary zmiennych komplementarnych w tym zadaniu: x, y 2, 2 x y x, y x 2, y2 40
41 Metoda Wolfe a warunek Kuhna Tuckera w Przykładzie 2.: λ (0 x 2 x ) +λ (9 x x ) +λ x +λ x = Gdyby uwzględnić inne oznaczenia, oraz że: x = 0 x 2x 2 x = 9 x x 2 2 to miałby on postać: yx yx yx yx = 0 4
42 Metoda Wolfe a Przypomnienie Metoda simplex z kryterium na MIN: Kryterium wejścia Zmienna z najmniejszą wartością wskaźnika optymalności. Kryterium wyjścia Zmienna, dla której iloraz elementu z wektora wyrazów wolnych przez dodatni współczynnik z kolumny zmiennej wchodzącej do bazy ma najmniejszą wartość. Kryterium optymalności Wszystkie wskaźniki optymalności muszą być nieujemne. 42
43 Różnica w metodzie Wolfe a: Metoda Wolfe a Kryterium wejścia Zmienna z najmniejszą wartością wskaźnika optymalności x k. Sprawdzenie czy jej zmienna komplementarna jest zmienną bazową. tak nie Wprowadzamy do bazy zmienną x k. 43
44 Metoda Wolfe a Czy zmienna komplementarna zmiennej x k wychodzącą z bazy? tak jest zmienną nie Wprowadzamy do bazy zmienną x k. Nie wprowadzamy do bazy zmiennej x k. Wśród pozostałych zmiennych znajdujemy zmienną o najmniejszym wskaźniku optymalności. 44
45 Przykład 23. Metoda Wolfe a Rozwiązać metodą Wolfe a zadanie programowania kwadratowego z Przykładu 20. UWAGA!!! W przypadku, gdy zmienna komplementarna zmiennej kandydującej do wejścia do bazy jest zmienną bazową pominięto fragmenty kryterium wejścia, gdzie dokonywane jest sprawdzenie, czy ta zmienna jest zmienną wychodzącą z bazy w zadaniu nie było takiego przypadku. 45
46 Metoda Wolfe a Na podstawie zadania zastępczego: Baza startowa: [ x, x, w, w ]
47 Zmienna x x 2 x x 2 y y 2 y y 2 w w 2 * * * * Wskaźnik optymalności Metoda Wolfe a Tabela
48 Metoda Wolfe a Rozwiązanie nie jest optymalne. Najmniejszy wskaźnik optymalności: x Jej zmienna komplementarna: y nie jest zmienną bazową Do bazy wchodzi: x 48
49 Metoda Wolfe a Zmienna bazowa Wektor wyrazów wolnych Kolumna współczynników dla zmiennej wchodzącej do bazy Wektor ilorazów x 0 0 x w w Tabela Z bazy wychodzi: w 49
50 Zmienna x x 2 x x 2 y y 2 y y 2 w w 2 * * * * Wskaźnik optymalności Metoda Wolfe a Tabela
51 Metoda Wolfe a Rozwiązanie nie jest optymalne. Najmniejszy wskaźnik optymalności: y Jej zmienna komplementarna: x jest zmienną bazową y nie może być wprowadzone do bazy Drugi najmniejszy wskaźnik optymalności: x2 Jej zmienna komplementarna: y nie jest zmienną bazową 2 Do bazy wchodzi: x2 5
52 Metoda Wolfe a Zmienna bazowa Wektor wyrazów wolnych Kolumna współczynników dla zmiennej wchodzącej do bazy Wektor ilorazów x x x w Tabela Z bazy wychodzi: x 52
53 Zmienna x x 2 x x 2 y y 2 y y 2 w w 2 * * * * Wskaźnik optymalności Metoda Wolfe a Tabela
54 Rozwiązanie nie jest optymalne. Najmniejszy wskaźnik optymalności: y Metoda Wolfe a Jej zmienna komplementarna: x jest zmienną bazową y nie może być wprowadzone do bazy Do bazy wchodzi: y Drugi najmniejszy wskaźnik optymalności: y2 Jej zmienna komplementarna: x jest zmienną bazową 2 y2 nie może być wprowadzone do bazy Trzeci najmniejszy wskaźnik optymalności: y Jej zmienna komplementarna: x nie jest zmienną bazową 54
55 Metoda Wolfe a Zmienna bazowa Wektor wyrazów wolnych Kolumna współczynników dla zmiennej wchodzącej do bazy Wektor ilorazów x x x w Tabela Z bazy wychodzi: x 55
56 Zmienna x x 2 x x 2 y y 2 y y 2 w w 2 * * * * Wskaźnik optymalności Metoda Wolfe a Tabela
57 Rozwiązanie nie jest optymalne. Najmniejszy wskaźnik optymalności: x Metoda Wolfe a Jej zmienna komplementarna: y jest zmienną bazową x nie może być wprowadzone do bazy Drugi najmniejszy wskaźnik optymalności: y Jej zmienna komplementarna: x nie jest zmienną bazową Do bazy wchodzi: y 57
58 Metoda Wolfe a Zmienna bazowa Wektor wyrazów wolnych Kolumna współczynników dla zmiennej wchodzącej do bazy Wektor ilorazów y 0 - x x w Tabela Z bazy wychodzi: w2 58
59 Zmienna x x 2 x x 2 y y 2 y y 2 w w 2 * * * * Wskaźnik optymalności Metoda Wolfe a Tabela
60 Metoda Wolfe a Rozwiązanie jest optymalne. Rozwiązanie zadania zastępczego: 60
61 Zmienna x x 2 x x 2 y y 2 y y 2 w w 2 * * * * Wartość zmiennej Metoda Wolfe a Tabela
62 Metoda Wolfe a Ponieważ suma zmiennych sztucznych jest równa zero (zadanie nie jest sprzeczne) to istnieje rozwiązanie zadania programowania kwadratowego: x x 2 = 0 = 5 FC : f ( x, x 2) = 00 62
63 Metoda Wolfe a Co zrobić jeżeli w zadaniu programowania kwadratowego mamy ograniczenie typu: 2x + 5x 7 2 -wprowadzamy zmienną bilansującą: 2x + 5x x = 7 2 -wprowadzamy zmienną sztuczną typu v: 2x + 5x x + v = 7 2 Zmienne sztuczne należy uwzględnić w funkcji celu zadania zastępczego. Czyli funkcja celu mogłaby wyglądać np. tak: w+ w2 + v MIN 63
64 Metoda Wolfe a Jakie zmienne należy wprowadzić do ograniczenia: wyraz wolny musi być 0: 2x + 2x 7 2 2x 2x 7 2 Należy wprowadzić zmienną bilansującą x i sztuczną v. Jakie zmienne należy wprowadzić do ograniczenia: 2x 2x 7 2 2x + 2x 7 2 Należy wprowadzić zmienną bilansującą x. 64
65 Przykład 24. Metoda Wolfe a Szybki sposób zapisania zadania zastępczego. 65
66 Metoda Wolfe a n ilość zmiennych decyzyjnych m ilość ograniczeń wraz z warunkami brzegowymi q ilość ograniczeń = m n r ilość zmiennych sztucznych typu v 66
67 Ograniczenia zapisane macierzowo: lub w postaci bazowej: Ax b Metoda Wolfe a Ax + x x + vv = b x - wektor zmiennych x x - jednostkowa macierz dla zmiennych x v - wektor zmiennych sztucznych typu v v -macierz współczynników dla zmiennych sztucznych typu v 67
68 Metoda Wolfe a Dodatkowo: yy,, w - wektory zmiennych y, y, w y, w - jednostkowe macierze dla zmiennych y i w 68
69 Metoda Wolfe a wymiary n n q n q q n q q r r macierze C y w A x p x y w x y b v v Tabela
70 Metoda Wolfe a Zapis współczynników lewej strony ograniczeń zadania zastępczego w formie macierzowej: M A x 0 0 v 0 = T C A y w 70
71 Metoda Wolfe a Zapis prawej strony ograniczeń zadania zastępczego w formie macierzowej: B b = p Wektor zmiennych: x x y Z = y v w 7
72 Dla analizowanego przykładu: Metoda Wolfe a A 2 = b 0 = 9 C 0 2 = 2 p 0 = 25 0 x = 0 0 y = 0 0 w = 0 72
73 Metoda Wolfe a M = B 0 9 = 0 25 Z T = [ x x x x y y y y w w ] T MZ = B 73
Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE 6. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 6.1
Bardziej szczegółowoMetoda simpleks. Gliwice
Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Przykład 4 Model matematyczny z Przykładu 1 sprowadzić do postaci bazowej. FC: ( ) Z x, x = 6x + 5x MAX 1 2 1 2 O: WB: 1 2
Bardziej szczegółowoMetoda Karusha-Kuhna-Tuckera
Badania operacyjne i teoria optymalizacji Poznań, 2015/2016 Plan 1 Sformułowanie problemu 2 3 Warunki ortogonalności 4 Warunki Karusha-Kuhna-Tuckera 5 Twierdzenia Karusha-Kuhna-Tuckera 6 Ograniczenia w
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE NIELINIOWE
PROGRAMOWANIE NIELINIOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTEP Zadanie programowania nieliniowego (ZPN) min f(x) g i (x) 0, h i (x) = 0, i = 1,..., m g i = 1,..., m h f(x) funkcja celu g i (x) i
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe
Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 i całkowitoliczbowe Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 Spis treści Spis treści 1 Wstęp
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Model matematyczny Cel, środki, ograniczenia Funkcja celu funkcja kryterium Zmienne decyzyjne Model optymalizacyjny Układ warunków
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE pytania kontrolne
DUALNOŚĆ 1. Podać twierdzenie o dualności 2. Jaka jest zależność pomiędzy funkcjami celu w zadaniu pierwotnym i dualnym? 3. Prawe strony ograniczeń zadania pierwotnego, w zadaniu dualnym są 4. Współczynniki
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując
Bardziej szczegółowoProgramowanie matematyczne
dr Adam Sojda Badania Operacyjne Wykład Politechnika Śląska Programowanie matematyczne Programowanie matematyczne, to problem optymalizacyjny w postaci: f ( x) max przy warunkach g( x) 0 h( x) = 0 x X
Bardziej szczegółowoMetody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia lista zadań nr 3 autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Zbiory i funkcje wypukłe Zad. 1 Pokazać, że następujące zbiory są wypukłe: a) płaszczyzna S = {x
Bardziej szczegółowoStandardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1
Standardowe zadanie programowania liniowego 1 Standardowe zadanie programowania liniowego Rozważamy proces, w którym zmiennymi są x 1, x 2,, x n. Proces poddany jest m ograniczeniom, zapisanymi w postaci
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne. te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze.
BADANIA OPERACYJNE Badania operacyjne Badania operacyjne są sztuką dawania złych odpowiedzi na te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze. T. Sayty 2 Standardowe zadanie
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3
Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Hanna Furmańczyk 14 listopada 2008 Programowanie liniowe (PL) - wszystkie ograniczenia muszą być liniowe - wszystkie zmienne muszą być ciągłe n j=1 c j
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoRozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE 2.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowoZadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik
Zadanie transportowe i problem komiwojażera Tadeusz Trzaskalik 3.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zbilansowane zadanie transportowe Rozwiązanie początkowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)
Bardziej szczegółowoAlgorytm simplex i dualność
Algorytm simplex i dualność Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 15, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 15, 2016 1 / 35 Przypomnienie 1 Wierzchołkiem wielościanu P nazywamy
Bardziej szczegółowo( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa
Standardowe zadanie PL () Należy zaplanować produkcję zakładu w pewnym tygodniu w taki sposób, aby osiągnięty zysk był maksymalny. akład może wytwarzać dwa wyroby: P i P. Ich produkcja jest limitowana
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Badania operacyjne Problem Model matematyczny Metoda rozwiązania Znaleźć optymalny program produkcji. Zmaksymalizować 1 +3 2 2 3 (1) Przy ograniczeniach 3 1 2 +2 3 7 (2) 2 1 +4 2 12 (3) 4 1 +3 2 +8 3 10
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.
Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Krzysztof Patan
Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych
Bardziej szczegółowoFunkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju
Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 6 Metoda simpleks Spis treści Wstęp Zadanie programowania liniowego Wstęp Omówimy algorytm simpleksowy, inaczej metodę simpleks(ów). Jest to stosowana w matematyce
Bardziej szczegółowoTOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu
TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu Wykład dla studentów II roku studiów II stopnia na kierunku Zarządzanie Semestr zimowy 2009/2010 Wykładowca: prof. dr hab. inż. Michał Inkielman Wykład 2 Optymalizacja
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Rozdział 10
Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe
BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe Zadanie zbilansowane Zadanie zbilansowane Przykład 1 Firma posiada zakłady wytwórcze w miastach A, B i C, oraz centra dystrybucyjne w miastach D, E, F i G. Możliwości
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy programowania liniowego
Teoretyczne podstawy programowania liniowego Elementy algebry liniowej Plan Kombinacja liniowa Definicja Kombinacja liniowa wektorów (punktów) x 1, x 2,, x k R n to wektor x R n k taki, że x = i=1 λ i
Bardziej szczegółowowszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów
KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją
Bardziej szczegółowoRozwiązanie Powyższe zadanie możemy przedstawić jako następujące zagadnienie programowania liniowego:
Zadanie Rafineria naftowa otrzymała zamówienie na dwa rodzaje specjalnych paliw węglowodorowych X oraz Y. Zamówienie opiewa na minimum 4 000 galonów paliwa X i minimum 2 400 galonów paliwa Y. Paliwa te
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 8, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 8, 2016 1 / 15 Problem diety Tabelka wit. A (µg) wit. B1 (µg) wit. C (µg) (kcal)
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a11x1 a12x2... a1nxn b1 a21x1 a22x2... a2nxn b2... an 1x1 an2x2...
Bardziej szczegółowoDefinicja problemu programowania matematycznego
Definicja problemu programowania matematycznego minimalizacja lub maksymalizacja funkcji min (max) f(x) gdzie: x 1 x R n x 2, czyli: x = [ ] x n przy ograniczeniach (w skrócie: p.o.) p.o. g i (x) = b i
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.1 Opis programów Do rozwiązania zadań programowania
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. wykład. konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30. dr inż. Grażyna Kałuża pokój
METODY NUMERYCZNE wykład dr inż. Grażyna Kałuża pokój 103 konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30 www.kwmimkm.polsl.pl Program przedmiotu wykład: 15 godzin w semestrze laboratorium: 30 godzin
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 1)
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 1) Zadanie zbilansowane Przykład 1. Zadanie zbilansowane Firma posiada zakłady wytwórcze w miastach A, B i C, oraz centra dystrybucyjne w miastach D, E, F i G. Możliwości
Bardziej szczegółowoRACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy
Bardziej szczegółowo15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a + a +... + ann b a + a +... + ann b... an + an+... + annn bn który
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12
Bardziej szczegółowoKolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w
Metoda Simpleks Jak wiadomo, problem PL z dowolną liczbą zmiennych można rozwiązać wyznaczając wszystkie wierzchołkowe punkty wielościanu wypukłego, a następnie porównując wartości funkcji celu w tych
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Bardziej szczegółowoWłasności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,
Bardziej szczegółowoBadania Operacyjne Ćwiczenia nr 2 (Materiały)
Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu liniowego Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu linowego to taki zbiór, który spełnia warunki ograniczające (funkcyjne oraz brzegowe) programu liniowego. Przy
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych
Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Wykłady z matematyki inżynierskiej JJ, 08 DEFINICJA Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to: ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 +
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Homo oeconomicus=
Bardziej szczegółowo3. Funkcje wielu zmiennych
3 Funkcje wielu zmiennych 31 Ciagłość Zanim podamy definicję ciagłości dla funkcji wielu zmiennych wprowadzimy bardzo ogólne i abstrakcyjne pojęcie przestrzeni metrycznej Przestrzeń metryczna Metryka w
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoWstęp do analizy matematycznej
Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w
Bardziej szczegółowoMETODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0
METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0 cx MAX Ax < b x > 0 Postać standardowa (kanoniczna): z = 5 x 1 + 6x 2 + 0x 3 + 0x 4 MAX
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz
Bardziej szczegółowoRozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:
Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoINTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Wprowadzenie Na czym polega interpolacja? Interpolacja polega
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoMETODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski
METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,
Bardziej szczegółowoO MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania KOMPUTEROWE SYSTEMY STEROWANIA I WSPOMAGANIA DECYZJI Rozproszone programowanie produkcji z wykorzystaniem
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 13
Bardziej szczegółowoALGORYTM SIMPLEX. B.Gładysz Badania operacyjne 2007
ALGORYTM SIMPLEX 7 Zagadnienie asortymentu produkcji Firma produkuje dwa wyroby P, P. Ograniczeniem dla produkcji są trzy surowce S, S i S.Nakłady jednostkowe surowców są następujące: S S S Zysk jednostkowy
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele
Bardziej szczegółowoBezgradientowe metody optymalizacji funkcji wielu zmiennych. informacje dodatkowe
Bezgradientowe metody optymalizacji funkcji wielu zmiennych informacje dodatkowe Wybór kierunku poszukiwań Kierunki bazowe i ich modyfikacje metody bezgradientowe. Kierunki oparte na gradiencie funkcji
Bardziej szczegółowoJak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).
Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich
Bardziej szczegółowoZagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach
Bardziej szczegółowo6. ANALIZA POST-OPTYMALIZACYJNA analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego
6. ANALIZA POST-OPTYMALIZACYJNA analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego Analiza wrażliwości est studium analizy wpływu zmian wartości różnych parametrów modelu PL na rozwiązanie optymalne. Na optymalne
Bardziej szczegółowoProgramowanie nieliniowe. Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a
Programowanie nieliniowe Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a Plan wykładu Przykład problemu z nieliniową funkcją celu Sformułowanie problemu programowania matematycznego Podstawowe definicje
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Rozwiązanie całkowitoliczbowe Założenie podzielności Warunki całkowitoliczbowości Czyste zadanie programowania
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań z listy T.Koźniewskiego
Rozwiązania zadań z listy T.Koźniewskiego 1. Podstawiamy do równań. Tylko czwarty wektor spełnia wszystkie trzy równania.. U 1 : ( + 0x 9x 4, 7x + 8x 4, x, x 4 ), U : ( x 4, 4 x 4, + x 4, x 4 ), U : (x
Bardziej szczegółowoRównania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,
Bardziej szczegółowoMetody i analiza danych
2015/2016 Metody i analiza danych Macierze Laboratorium komputerowe 2 Anna Kiełbus Zakres tematyczny 1. Funkcje wspomagające konstruowanie macierzy 2. Dostęp do elementów macierzy. 3. Działania na macierzach
Bardziej szczegółowoMetoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):
może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 13. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2018 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2018 1 /
Bardziej szczegółowoDocument: Exercise*02*-*manual /11/ :31---page1of8 INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2
Document: Exercise*02*-*manual ---2014/11/12 ---8:31---page1of8 PRZEDMIOT TEMAT KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2 Wybrane zagadnienia z
Bardziej szczegółowo= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4
17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
Bardziej szczegółowo2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Bardziej szczegółowoRozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA 3.2. Ćwiczenia komputerowe
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku
Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku Imię i nazwisko:.... ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x
Bardziej szczegółowo