1 Rachunek zdań 3. 2 Funkcje liczbowe 6

Spis treści 1 Rchunek zdń 3 2 Funkcje liczbowe 6 3 Ciągi liczbowe 9 3.1 Grnic włściw ciągu 10 3.2 Grnic niewłściw ciągu 11 3.3 Grnice pewnych ciągów 12 4 Grnice funkcji 13 4.1 Podstwowe definicje 13 4.2 Twierdzeni o grnicch funkcji 15 4.3 Asymptoty funkcji 16 5 Ciągłość funkcji 18 5.1 Podstwowe definicje 18 5.2 Dziłni n funkcjch ciągłych 19 5.3 Twierdzeni o funkcjch ciągłych 20 6 Rchunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 21 6.1 Podstwowe definicje 21 6.2 Twierdzeni o pochodnej funkcji 22 6.3 Interpretcj geometryczn pochodnej funkcji 23 6.4 Różniczk funkcji 24 6.5 Pochodne wyższych rzędów 24 6.6 Twierdzeni o wrtości średniej 25 6.7 Reguł de L Hospitl 26 6.8 Rozwinięcie Tylor funkcji 26 6.9 Ekstrem funkcji 26 6.10 Punkty przegięci funkcji 29 1

6.11 Bdnie przebiegu zmienności funkcji 31 7 Rchunek cłkowy funkcji jednej zmiennej 32 7.1 Podstwowe definicje 32 7.2 Twierdzeni o cłkch nieoznczonych 33 7.3 Cłkownie funkcji wymiernych 34 7.4 Cłkownie funkcji niewymiernych 34 7.5 Cłkownie funkcji trygonometrycznych 35 7.6 Cłki oznczone 36 7.7 Twierdzeni o cłkch oznczonych 37 7.8 Cłki niewłściwe 38 7.9 Zstosownie cłek oznczonych 40 8 Indeks 43 2

1 Rchunek zdń Definicj 1.1 Zdniem w logice nzywmy wypowiedź oznjmującą i sensowną, tj. tką, której w rmch dnej nuki możn przypisć ocenę prwdziwości lbo fłszu i tylko jedną z tych dwóch ocen. Ocenę prwdziwości oznczmy cyfrą 1, ocenę fłszu cyfr 0. Zdni oznczmy litermi p, q, r,.... Definicj 1.2 Literę, któr może oznczć dowolne zdnie (z zkresu dnej nuki) nzywmy zmienną zdniową. Definicj 1.3 Spójniki logiczne (funktory): 1. nie 2. i 3. lub 4. implikuje 5. jest równowżne Definicj 1.4 Zdnie złożone w logice tworzymy ze zdń skłdowych z pomocą spójników logicznych. Definicj 1.5 Prwem rchunku zdń (tutologią) nzywmy wyrżenie, które stje się zdniem prwdziwym, gdy w miejscch zmiennych zdniowych podstwimy dowolne zdni. Przykłdowe tutologie: 1. prwo podwójnego zprzeczeni ( p) p 2. prwo wyłączonego środk p ( p) 3

3. prwo sprzeczności [p ( p)] 4. łączność koniunkcji p (q r) (p q) r 5. łączność lterntywy p (q r) (p q) r 6. rozdzielność koniunkcji względem lterntywy p (q r) (p q) (p r) 7. rozdzielność lterntywy względem koniunkcji p (q r) (p q) (p r) 8. prwo przechodniości implikcji [(p q) (q r)] (p r) 9. prwo kontrpozycji p q ( q p) 10. prwo zprzeczeni implikcji (p q) [p ( q)] 11. prwo zprzeczeni lterntywy (p q) [( p) ( q)] 12. prwo zprzeczeni koniunkcji (p q) [( p) ( q)] 4

13. prwo Dunst-Scotus p (p q) 5

2 Funkcje liczbowe Definicj 2.1 Niech zbiory X, Y R będą niepuste. Funkcją określoną n zbiorze X o wrtościch w zbiorze Y nzywmy przyporządkownie kżdemu elementowi x X dokłdnie jednego elementu y Y i oznczmy przez f : X Y Wrtość funkcji f w punkcie x oznczmy przez f(x). Definicj 2.2 Niech f : X Y. Zbiór X nzywmy dziedziną funkcji f i oznczmy symbolem D f. Zbiór Y nzywmy przeciwdziedziną funkcji f zbiór { y Y : x Df y = f(x) } nzywmy zbiorem wrtości. Definicj 2.3 jeżeli Definicj 2.4 Funkcje f : D f Y orz g : D g Y są równe, D f = D g x Df f(x) = g(x) Wykresem funkcji f : X Y nzywmy zbiór { (x, y) R 2 : x X, y = f(x) } Definicj 2.5 Funkcj f odwzorowuje zbiór X n zbiór Y, jeżeli Piszemy wtedy f : X y Y x X f(x) = y. n Y. Definicj 2.6 Funkcję f : X Y nzywmy okresową, jeżeli T >0 x X x + T X f(x + T ) = f(x) 6

Liczbę T nzywmy okresem funkcji f. Jeżeli istnieje njmniejszy okres funkcji f, to nzywmy go okresem podstwowym. Definicj 2.7 Funkcję f : X Y nzywmy przystą, jeżeli x X x X f( x) = f(x) Definicj 2.8 Funkcję f : X Y nzywmy nieprzystą, jeżeli x X x X f( x) = f(x) Definicj 2.9 Funkcj f jest ogrniczon z dołu n zbiorze A D f, jeżeli m R x A f(x) m. Definicj 2.10 Funkcj f jest ogrniczon z góry n zbiorze A D f, jeżeli M R x A f(x) M. Definicj 2.11 Funkcj f jest ogrniczon n zbiorze A D f, jeżeli m,m R x A m f(x) M. Definicj 2.12 Funkcj f jest rosnąc n zbiorze A D f, jeżeli x1,x 2 A [x 1 < x 2 = f(x 1 ) < f(x 2 )]. Definicj 2.13 Funkcj f jest mlejąc n zbiorze A D f, jeżeli x1,x 2 A [x 1 < x 2 = f(x 1 ) > f(x 2 )]. Definicj 2.14 Funkcj f jest niemlejąc n zbiorze A D f, jeżeli x1,x 2 A [x 1 < x 2 = f(x 1 ) f(x 2 )]. Definicj 2.15 Funkcj f jest nierosnąc n zbiorze A D f, jeżeli 7

x1,x 2 A [x 1 < x 2 = f(x 1 ) f(x 2 )]. Definicj 2.16 Niech f : X Y orz g : Z W, gdzie Y Z. Złożeniem funkcji g i f nzywmy funkcję g f : X W określoną wzorem: (g f)(x) = g(f(x)). Definicj 2.17 Funkcj f jest różnowrtościow n zbiorze A D f, jeżeli x1,x 2 A [x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 )]. Definicj 2.18 Niech funkcj f : X n Y będzie różnowrtościow. Funkcję odwrotną do funkcji f nzywmy funkcję f 1 : Y X spełnijącą wrunek: gdzie x X, y Y. f 1 (y) = x y = f(x) Twierdzenie 2.1 Niech funkcj f : X n Y będzie różnowrtościow. Wtedy x X f 1 (f(x)) = x orz y Y f(f 1 (y)) = y Definicj 2.19 1. Funkcję odwrotną do funkcji sinus obciętej do przedziłu π 2, π 2 nzywmy rcus sinus i oznczmy przez rcsin. 2. Funkcję odwrotną do funkcji cosinus obciętej do przedziłu 0, π nzywmy rcus cosinus i oznczmy przez rccos. 3. Funkcję odwrotną do funkcji tngens obciętej do przedziłu π 2, π 2 nzywmy rcus tngens i oznczmy przez rctg. 4. Funkcję odwrotną do funkcji cotngens obciętej do przedziłu 0, π nzywmy rcus cotngens i oznczmy przez rcctg. 8

3 Ciągi liczbowe Definicj 3.1 Ciągiem nzywmy funkcję f : N R. Wrtość tej funkcji dl liczby nturlnej n N będziemy nzywć n-tym wyrzem ciągu i oznczć przez n, tzn. f(n) = n. Sm ciąg oznczć będziemy symbolem ( n ). Definicj 3.2 Ciąg ( n ) jest ogrniczony z dołu, jeżeli m R n N n m. Definicj 3.3 Ciąg ( n ) jest ogrniczony z góry, jeżeli M R n N n M. Definicj 3.4 Ciąg ( n ) jest ogrniczony, jeżeli m,m R n N m n M. Definicj 3.5 Ciąg ( n ) jest rosnący, jeżeli n N n < n+1. Definicj 3.6 Ciąg ( n ) jest mlejący, jeżeli n N n > n+1. Definicj 3.7 Ciąg ( n ) jest niemlejący, jeżeli n N n n+1. Definicj 3.8 Ciąg ( n ) jest nierosnący, jeżeli 9

n N n n+1. 3.1 Grnic włściw ciągu Definicj 3.9 zpisujemy jeżeli Ciąg ( n ) jest zbieżny do grnicy włściwej R, co n lub lim n n =, ɛ>0 n0 N n>n0 n < ɛ Twierdzenie 3.1 Jeżeli ciągi ( n ), (b n ) są zbieżne do grnicy włściwej, to 1. lim ( n + b n ) = lim n + lim n n 2. lim ( n b n ) = lim n lim n n 3. lim ( n b n ) = lim n lim n n 4. lim n ( n bn ) = lim n lim n n 5. lim n (c n ) = c lim n n n b n n b n n b n b n, o ile lim n b n 0 Twierdzenie 3.2 grnicę. Twierdzenie 3.3 jest ogrniczony. Jeżeli ciąg jest zbieżny, to m dokłdnie jedną Jeżeli ciąg jest zbieżny do grnicy włściwej, to Twierdzenie 3.4 lim n = 0 lim n = 0 n n Twierdzenie 3.5 lim n n = = lim n n = 10

Twierdzenie 3.6 to lim n ( n b n ) = 0. Twierdzenie 3.7 (o trzech ciągch)jeżeli ciągi ( n ), (b n ), (c n ) spełniją wrunki: Jeżeli lim n n = 0 orz ciąg (b n ) jest ogrniczony, 1. n0 N n n0 n b n c n 2. lim n = lim c n = b, n n to lim b n = b. n Twierdzenie 3.8 jest zbieżny. Jeżeli ciąg jest monotoniczny i ogrniczony, to 3.2 Grnic niewłściw ciągu Definicj 3.10 Ciąg ( n ) m grnicę niewłściwej (odpowiednio do ), co zpisujemy jeżeli lim n = (odp. lim n = ), n n A R n0 N n>n0 n > A (odp. A R n0 N n>n0 n < A) Twierdzenie 3.9 Jeżeli ciągi ( n ), (b n ) spełniją wrunki: 1. n0 N n n0 n b n 2. lim n = (odpowiednio lim b n = ) n n to lim b n = (odp. lim n = ) n n Definicj 3.11 Wyrżeni [ [ ], [0 ],, ] [ ] 0, [1 ], [ 0 0], [ 0] 0 nzywmy wyrżenimi nieoznczonymi. Ich wrtości zleżą od postci ciągów je tworzących. 11

3.3 Grnice pewnych ciągów Twierdzenie 3.10 Ciąg e n = ( 1 + 1 n) n jest rosnący i ogrniczony. Twierdzenie 3.11 ( lim 1 + 1 n n n) = e, gdzie e 2, 718281828459045 Twierdzenie 3.12 lim n n = 0 dl ( 1, 1) = 1 dl = 1 = dl (1, ) nie istnieje dl (, 1 Twierdzenie 3.13 1. lim n n n = 1 2. lim n n = 1 dl > 0 12

4 Grnice funkcji 4.1 Podstwowe definicje Definicj 4.1 1. Sąsiedztwem lewostronnym punktu x 0 R nzywmy przedził S (x 0 ) = (x 0 δ, x 0 ) dl dowolnego δ > 0. 2. Sąsiedztwem prwostronnym punktu x 0 R nzywmy przedził S + (x 0 ) = (x 0, x 0 + δ) dl dowolnego δ > 0. 3. Sąsiedztwem punktu x 0 R nzywmy przedził S(x 0 ) = (x 0 δ, x 0 ) (x 0, x dl dowolnego δ > 0. Definicj 4.2 1. Sąsiedztwem nzywmy przedził S( ) = (, ) dl dowolnego R. 2. Sąsiedztwem nzywmy przedził S( ) = (, ) dl dowolnego R. Definicj 4.3 Niech x 0 R orz niech funkcj f będzie określon dl pewnego sąsiedztw S(x 0 ). Liczb g jest grnicą włściwą funkcji f w punkcie x 0, co zpisujemy lim x x0 f(x) = g, jeżeli (xn ) S(x 0 ) lim x n = x 0 = lim f(x n ) = g n n Definicj 4.4 Niech x 0 R orz niech funkcj f będzie określon dl pewnego sąsiedztw lewostronnego S (x 0 ). Liczb g jest grnicą włściwą lewostronną funkcji f w punkcie x 0, co zpisujemy lim x x 0 jeżeli (xn ) S (x 0 ) lim x n = x 0 = lim f(x n ) = g n n f(x) = g, 13

Definicj 4.5 Niech x 0 R orz niech funkcj f będzie określon dl pewnego sąsiedztw prwostronnego S + (x 0 ). Liczb g jest grnicą włściwą prwostronną funkcji f w punkcie x 0, co zpisujemy lim x x + 0 f(x) = g, jeżeli (xn ) S + (x 0 ) lim x n = x 0 = lim f(x n ) = g n n Definicj 4.6 Niech x 0 R orz niech funkcj f będzie określon dl pewnego sąsiedztw S(x 0 ). Funkcj f m grnicę niewłściwą w punkcie x 0, co zpisujemy lim x x0 f(x) =, jeżeli (xn ) S(x 0 ) lim x n = x 0 = lim f(x n ) = n n Definicj 4.7 Niech x 0 R orz niech funkcj f będzie określon dl pewnego sąsiedztw S(x 0 ). Funkcj f m grnicę niewłściwą w punkcie x 0, co zpisujemy lim x x0 f(x) =, jeżeli (xn ) S(x 0 ) lim x n = x 0 = lim f(x n ) = n n Twierdzenie 4.1 Funkcj f m w punkcie x 0 grnicę włściwą (niewłściwą) wtedy i tylko wtedy, gdy lim x x 0 f(x) = lim x x + 0 f(x). Wspóln wrtość grnic jednostronnych jest wtedy grnicą funkcji f. Twierdzenie 4.2 Jeżeli 1. lim x n = x 0, gdzie x n x 0 dl kżdego n R, orz lim f(x n n n) = g 2. lim x n = x 0, gdzie x n x 0 dl kżdego n R, orz lim f(x n n n) = g 3. g g, to grnic lim x x0 f(x) nie istnieje (włściw lub niewłściw). 14

Definicj 4.8 Niech funkcj f będzie określon dl pewnego sąsiedztw S( ). Liczb g jest grnicą włściwą funkcji f w, co zpisujemy lim f(x) = g, jeżeli x Definicj 4.9 (xn ) S( ) lim x n = = lim f(x n ) = g n n Niech funkcj f będzie określon dl pewnego sąsiedztw S( ). Liczb g jest grnicą włściwą funkcji f w, co zpisujemy Definicj 4.10 lim f(x) = g, jeżeli x (xn ) S( ) lim x n = = lim f(x n ) = g n n Niech funkcj f będzie określon dl pewnego sąsiedztw S( ). Funkcj f m w grnicę niewłściwą, co zpisujemy lim x f(x) =, jeżeli (xn ) S( ) Twierdzenie 4.3 Jeżeli 1. lim x n = orz lim f(x n n n) = g 2. lim x n = orz lim f(x n n n) = g 3. g g, lim x n = = lim f(x n ) = n n to grnic lim x f(x) nie istnieje (włściw lub niewłściw). 4.2 Twierdzeni o grnicch funkcji Twierdzenie 4.4 Jeżeli funkcje f i g mją grnice włściwe w punkcie x 0, to 1. lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x) x x0 x x0 x x0 2. lim (f(x) g(x)) = lim f(x) lim g(x) x x0 x x0 x x0 15

3. lim (cf(x)) = c lim f(x), gdzie c R x x0 x x0 4. lim (f(x) g(x)) = lim f(x) lim g(x) x x0 x x0 x x0 f(x) 5. lim x x0 g(x) = lim x x 0 f(x) lim x x 0 g(x) 6. lim x x0 f(x) g(x) = Twierdzenie 4.5 to (, o ile lim g(x) 0 x x 0 lim f(x) x x 0 ) lim x x 0 g(x) Jeżeli funkcje f i g spełniją wrunki: 1. lim x x0 f(x) = y 0 2. f(x) y 0 dl kżdego x S(x 0 ) 3. lim y y0 g(y) = q lim g(f(x)) = q x x 0 Twierdzenie 4.6 Twierdzenie 4.7 sin x lim x 0 x = 1 lim x 1 x 0 x = ln, > 0 Twierdzenie 4.8 pewnym otoczeniu S(x 0 ), to Jeżeli istnieje funkcj odwrotn do funkcji g w lim f(x) = lim x x 0 t g(x 0 ) f(g 1 (t)) 4.3 Asymptoty funkcji Definicj 4.11 funkcji f, jeżeli Prost x = jest symptotą pionową lewostronną lim f(x) = lbo lim f(x) = x x 16

Definicj 4.12 funkcji f, jeżeli Prost x = jest symptotą pionową prwostronną Definicj 4.13 lim f(x) = lbo lim f(x) = x + x + Prost jest symptotą pionową obustronną funkcji, jeżeli jest symptotą pionową prwostronną i lewostronną. Definicj 4.14 funkcji f, jeżeli Prost y = b jest symptotą poziomą lewostronną lim f(x) = b x Definicj 4.15 funkcji f, jeżeli Definicj 4.16 Prost y = b jest symptotą poziomą prwostronną lim f(x) = b x Prost jest symptotą poziomą obustronną funkcji, jeżeli jest symptotą poziomą prwostronną i lewostronną. Definicj 4.17 funkcji f, jeżeli Prost y = x+b jest symptotą ukośną lewostronną lim [f(x) (x + b)] = 0 x Definicj 4.18 Prost y = x + b jest symptotą ukośną prwostronną funkcji f, jeżeli Twierdzenie 4.9 lim [f(x) (x + b)] = 0 x Prost y = x + b jest symptotą ukośną prwostronną (lewostronną) funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy f(x) = lim x x ( = lim x f(x) x orz orz b = lim x [f(x) x] b = lim [f(x) x] x ) 17

5 Ciągłość funkcji 5.1 Podstwowe definicje Definicj 5.1 1. Otoczeniem lewostronnym punktu x 0 R nzywmy przedził O (x 0 ) = (x 0 δ, x 0 ] dl dowolnego δ > 0. 2. Otoczeniem prwostronnym x 0 R nzywmy przedził O + (x 0 ) = [x 0, x 0 + dl dowolnego δ > 0. 3. Otoczeniem punktu x 0 R nzywmy przedził O(x 0 ) = (x 0 δ, x 0 + δ) dl dowolnego δ > 0. Definicj 5.2 Niech x 0 R orz niech funkcj f będzie określon dl pewnego otoczeni O(x 0 ). Funkcj f jest ciągł w punkcie x 0, jeżeli lim f(x) = f(x 0 ) x x 0 Definicj 5.3 Niech x 0 R orz niech funkcj f będzie określon dl pewnego otoczeni lewostronnego O (x 0 ). Funkcj f jest lewostronnie ciągł w punkcie x 0, jeżeli lim x x 0 f(x) = f(x 0 ) Definicj 5.4 Niech x 0 R orz niech funkcj f będzie określon dl pewnego otoczeni prwostronnego O + (x 0 ). Funkcj f jest prwostronnie ciągł w punkcie x 0, jeżeli lim x x + 0 f(x) = f(x 0 ) 18

Twierdzenie 5.1 Niech x 0 R orz niech funkcj f będzie określon dl pewnego otoczeni O(x 0 ). Funkcj f jest ciągł w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy jest lewostronnie i prwostronnie ciągł w x 0. Definicj 5.5 kżdym punkcie tego zbioru. Definicj 5.6 Funkcj jest ciągł n zbiorze, jeżeli jest ciągł w Niech x 0 R orz niech funkcj f będzie określon dl pewnego otoczeni O(x 0 ). Funkcj f m w punkcie x 0 nieciągłość I rodzju, jeżeli istnieją grnice skończone lim x x 0 lim x x 0 f(x) f(x 0 ) lub lim x x + 0 f(x), lim x x + 0 f(x) f(x 0 ) f(x) orz Definicj 5.7 Niech x 0 R orz niech funkcj f będzie określon dl pewnego otoczeni O(x 0 ). Funkcj f m w punkcie x 0 nieciągłość II rodzju, jeżeli co njmniej jedn z grnic lim x x 0 istnieje lub jest niewłściw. f(x), lim x x + 0 f(x) nie 5.2 Dziłni n funkcjch ciągłych Twierdzenie 5.2 Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie x 0, to ciągłe są w punkcie x 0 tkże funkcje: f + g, f g, f g orz funkcj f g, o ile g(x 0) 0. Twierdzenie 5.3 Jeżeli 1. funkcj f jest ciągł w punkcie x 0 2. funkcj g jest ciągł w punkcie y 0 = f(x 0 ) to funkcj złożon g f jest ciągł w punkcie x 0. Twierdzenie 5.4 Funkcje elementrne są ciągłe w swoich dziedzinch. 19

5.3 Twierdzeni o funkcjch ciągłych Twierdzenie 5.5 (Weierstrss) Jeżeli funkcj jest ciągł n przedzile [, b], to jest n tym przedzile ogrniczon. Twierdzenie 5.6 (Drboux) Jeżeli funkcj f jest ciągł n przedzile [, b] orz spełni wrunek f() < f(b), to w (f(),f(b)) c (,b) f(c) = w Wniosek 5.1 (Drboux) Jeżeli funkcj f jest ciągł n przedzile [, b] orz spełni wrunek f() f(b) < 0, to c (,b) f(c) = 0 20

6 Rchunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 6.1 Podstwowe definicje Definicj 6.1 Niech x 0 R orz niech funkcj f będzie określon dl pewnego otoczeni O(x 0 ). Ilorzem różnicowym funkcji f w punkcie x 0 odpowidjącym przyrostowi x zmiennej niezleżnej, gdzie x 0 orz x 0 + x O(x 0 ), nzywmy liczbę f(x 0 + x) f(x 0 ) x Definicj 6.2 Niech x 0 R orz niech funkcj f będzie określon dl pewnego otoczeni O(x 0 ). Pochodną włściwą funkcji f w punkcie x 0 nzywmy grnicę włściwą f f(x 0 + x) f(x 0 ) (x 0 ) = lim x 0 x Definicj 6.3 Niech x 0 R orz niech funkcj f będzie określon dl pewnego lewostronnego otoczeni O (x 0 ). Pochodną lewostronną włściwą funkcji f w punkcie x 0 nzywmy grnicę włściwą f (x 0 ) = f(x 0 + x) f(x 0 ) lim x 0 x Definicj 6.4 Niech x 0 R orz niech funkcj f będzie określon dl pewnego prwostronnego otoczeni O + (x 0 ). Pochodną prwostronną włściwą funkcji f w punkcie x 0 nzywmy grnicę włściwą f +(x 0 ) = lim x 0 + f(x 0 + x) f(x 0 ) x 21

Twierdzenie 6.1 wtedy, gdy Funkcj m pochodn w punkcie x 0 wtedy i tylko f (x 0 ) = f +(x 0 ) Twierdzenie 6.2 to jest w tym punkcie ciągł. Definicj 6.5 Jeżeli funkcj m pochodną włściwą w punkcie, Funkcj m pochodną włściwą n zbiorze, jeżeli m pochodn w kżdym punkcie tego zbioru. Definicj 6.6 Niech f będzie ciągł w punkcie x 0. Funkcj m pochodną niewłściwą w punkcie x 0, jeżeli f(x 0 + x) f(x 0 ) lim x 0 x = ± 6.2 Twierdzeni o pochodnej funkcji Twierdzenie 6.3 punkcie x 0, to 1. [f + g] (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ) 2. [cf] (x 0 ) = cf (x 0 ), gdzie c R Jeżeli funkcje f i g mją pochodne włściwe w 3. [f g] (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ) [ ] 4. f g (x0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ) [g(x 0, o ile g(x )] 2 0 ) 0 Twierdzenie 6.4 Jeżeli to 1. funkcj f m pochodną włściwą w punkcie x 0 2. funkcj g m pochodną włściwą w punkcie f(x 0 ) (g f) (x 0 ) = g (f(x 0 )) f (x 0 ) Twierdzenie 6.5 Jeżeli funkcj f m nstępujące włsności: 22

to 1. jest ciągł w otoczeniu O(x 0 ) 2. jest mlejąc lub rosnąc n otoczeniu O(x 0 ) 3. m pochodną włściwą f (x 0 ) (f 1 ) (y 0 ) = 1 f (x 0 ), gdzie y 0 = f(x 0 ) 6.3 Interpretcj geometryczn pochodnej funkcji Definicj 6.7 Niech x 0 R orz niech funkcj f będzie określon dl pewnego otoczeni O(x 0 ). Prost jest styczną do wykresu funkcji f w punkcie (x 0, f(x 0 )), jeżeli jest grnicznym położeniem siecznych funkcji f przechodzących przez punkty (x 0, f(x 0 )), (x, f(x)), gdy x x 0. Interpretcj geometryczn pochodnej funkcji Jeżeli α ozncz kąt między styczną do wykresu funkcji f w punkcie (x 0, f(x 0 )) i dodtnią półosią Ox, to f (x 0 ) = tgα Jeżeli α + orz α oznczją odpowiednio kąty między prwą i lewą stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x 0, f(x 0 )) dodtnią półosią Ox, to f +(x 0 ) = tgα + orz f (x 0 ) = tgα Twierdzenie 6.6 Równnie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x 0, f(x 0 )) m postć: y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) 23

6.4 Różniczk funkcji Definicj 6.8 Niech funkcj f m pochodn włściwą w punkcie x 0. Różniczką funkcji f w punkcie x 0 nzywmy funkcję df zmiennej x = x x 0 określoną wzorem df( x) = f (x 0 ) x Twierdzenie 6.7 Jeżeli funkcj f m pochodną włściwą w punkcie x 0, to f(x 0 + x) f(x 0 ) + f (x 0 ) x Błąd jki popełnimy zstępując przyrost funkcji f = f(x 0 + x) f(x 0 ) jej różniczką df = f (x 0 ) x, dąży szybciej do zer niż przyrost zmiennej niezleżnej x, tzn. f df lim x 0 x = 0 6.5 Pochodne wyższych rzędów Definicj 6.9 x 0 definiujemy rekurencyjnie: 1. f (1) (x 0 ) = f (x 0 ) Pochodną włściwą n-tego rzędu funkcji f w punkcie 2. f (n) (x 0 ) = [ f (n 1)] (x0 ) dl n 2 Dodtkowo przyjmujemy, że f (0) (x 0 ) = f(x 0 ). Twierdzenie 6.8 (Leibniz) Jeżeli funkcje f i g mją pochodne włściwe n-tego rzędu w punkcie x 0, to n ( ) n (f g) (n) (x 0 ) = f (n k) (x 0 ) g (k) (x 0 ) k k=0 24

6.6 Twierdzeni o wrtości średniej Twierdzenie 6.9 (Rolle ) Jeżeli funkcj f: 1. jest ciągł n [, b] 2. m pochodną włściwą lub niewłściwą n (, b) 3. f() = f(b) to istnieje punkt c (, b) tki, że f (c) = 0 Twierdzenie 6.10 1. jest ciągł n [, b] (Lgrnge ) Jeżeli funkcj f 2. m pochodną włściwą lub niewłściwą n (, b) to istnieje punkt c (, b) tki, że f (c) = Wnioski z tw. Lgrnge f(b) f() b Wniosek 6.1 Jeżeli funkcj f spełni wrunek to jest stł n przedzile (, b). x (,b) f (x) = 0, Wniosek 6.2 Jeżeli funkcj f spełni wrunek to jest rosnąc n przedzile (, b). x (,b) f (x) > 0, Wniosek 6.3 Jeżeli funkcj f spełni wrunek x (,b) f (x) < 0, to jest mlejąc n przedzile (, b). 25

6.7 Reguł de L Hospitl Twierdzenie 6.11 to Jeżeli funkcje f i g spełniją wrunki: 1. lim f(x) = lim g(x) = 0 lub lim f(x) = lim g(x) = x x0 x x0 x x0 x x0 f 2. istnieje grnic lim (x) x x0 g (x), f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x) 6.8 Rozwinięcie Tylor funkcji Twierdzenie 6.12 (wzór Tylor z resztą Lgrnge ) Niech x 0 R orz niech funkcj f będzie określon dl pewnego otoczeni O(x 0 ). Jeżeli funkcj f m w otoczeniu O(x 0 ) n-tą pochodną, to dl kżdego x O(x 0 ) istnieje punkt c tki, że zchodzi równość f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 +... + 1! 2! + f (n 1) (x 0 ) (n 1)! (x x 0) n 1 + f n (c) (x x 0 ) n, n! gdzie c = x 0 + θ(x x 0 ), 0 < θ < 1. 6.9 Ekstrem funkcji Definicj 6.10 Funkcj f m w punkcie x 0 R minimum loklne, jeżeli istnieje sąsiedztwo S(x 0 ) tkie, że x S(x0 ) f(x) f(x 0 ) Definicj 6.11 Funkcj f m w punkcie x 0 R mksimum loklne, jeżeli istnieje sąsiedztwo S(x 0 ) tkie, że x S(x0 ) f(x) f(x 0 ) 26

Definicj 6.12 Funkcj f m w punkcie x 0 R minimum loklne włściwe, jeżeli istnieje sąsiedztwo S(x 0 ) tkie, że x S(x0 ) f(x) > f(x 0 ) Definicj 6.13 Funkcj f m w punkcie x 0 R mksimum loklne włściwe, jeżeli istnieje sąsiedztwo S(x 0 ) tkie, że x S(x0 ) f(x) < f(x 0 ) Definicj 6.14 Liczb m R jest njmniejszą wrtością funkcji n zbiorze A D f, jeżeli x0 A f(x 0 ) = m orz x A f(x) m Definicj 6.15 Liczb M R jest njwiększą wrtością funkcji n zbiorze A D f, jeżeli x0 A f(x 0 ) = M orz x A f(x) M Twierdzenie 6.13 (Fermt) Jeżeli funkcj f spełni wrunki: to 1. m ekstremum loklne w x 0 2. istnieje f (x 0 ) f (x 0 ) = 0 Twierdzenie 6.14 Funkcj może mieć ekstrem loklne tylko w punktch, w których jej pochodn równ się zero lbo w punktch, w których jej pochodn nie istnieje. Twierdzenie 6.15 Jeżeli funkcj f spełni wrunki: 1. f (x 0 ) = 0 2. istnieje sąsiedztwo lewostronne S (x 0 ) i prwostronne S + (x 0 ) tkie, że 27

x S (x 0 ) f (x) > 0 orz x S+ (x 0 ) f (x) < 0 to w punkcie x 0 m mksimum loklne włściwe. Twierdzenie 6.16 Jeżeli funkcj f spełni wrunki: 1. f (x 0 ) = 0 2. istnieje sąsiedztwo lewostronne S (x 0 ) i prwostronne S + (x 0 ) tkie, że x S (x 0 ) f (x) < 0 orz x S+ (x 0 ) f (x) > 0 to w punkcie x 0 m minimum loklne włściwe. Twierdzenie 6.17 Jeżeli funkcj f spełni wrunki: 1. f (x 0 ) = f (x 0 ) =... = f (n 1) (x 0 ) = 0 2. f (n) (x 0 ) < 0 3. n jest liczbą przystą, gdzie n 2 to w punkcie x 0 m mksimum loklne włściwe. Twierdzenie 6.18 Jeżeli funkcj f spełni wrunki: 1. f (x 0 ) = f (x 0 ) =... = f (n 1) (x 0 ) = 0 2. f (n) (x 0 ) > 0 3. n jest liczbą przystą, gdzie n 2 to w punkcie x 0 m minimum loklne włściwe. Twierdzenie 6.19 Jeżeli funkcj f spełni wrunki: 1. f (x 0 ) = f (x 0 ) =... = f (n 1) (x 0 ) = 0 2. f (n) (x 0 ) 0 3. n jest liczbą nieprzystą, gdzie n 3 to w punkcie x 0 nie m ekstremum loklnego. 28

6.10 Punkty przegięci funkcji Definicj 6.16 Funkcj f jest wklęsł n przedzile (, b), jeżeli dl dowolnych x 1, x, x 2 spełnijących nierówność < x 1 < x < x 2 < b zchodzi Definicj 6.17 f(x) f(x 1 ) + f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 (x x 1 ) Funkcj f jest wypukł n przedzile (, b), jeżeli dl dowolnych x 1, x, x 2 spełnijących nierówność < x 1 < x < x 2 < b zchodzi Definicj 6.18 f(x) f(x 1 ) + f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 (x x 1 ) Funkcj f jest ściśle wklęsł n przedzile (, b), jeżeli dl dowolnych x 1, x, x 2 spełnijących nierówność < x 1 < x < x 2 < b zchodzi f(x) > f(x 1 ) + f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 (x x 1 ) Definicj 6.19 Funkcj f jest ściśle wypukł n przedzile (, b), jeżeli dl dowolnych x 1, x, x 2 spełnijących nierówność < x 1 < x < x 2 < b zchodzi f(x) < f(x 1 ) + f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 (x x 1 ) Twierdzenie 6.20 Jeżeli funkcj f spełni wrunek x (,b) f (x) > 0, to jest ściśle wypukł n przedzile (, b). Twierdzenie 6.21 Jeżeli funkcj f spełni wrunek x (,b) f (x) < 0, 29

to jest ściśle wklęsł n przedzile (, b). Definicj 6.20 Niech x 0 R orz niech funkcj f będzie określon dl pewnego otoczeni O(x 0 ). Niech funkcj f m pochodną n O(x 0 ). Punkt (x 0, f(x 0 )) jest punktem przegięci funkcji f, jeżeli istnieje sąsiedztwo lewostronne S (x 0 ) i prwostronne S + (x 0 ) tkie, że f jest ściśle wypukł n S (x 0 ) orz ściśle wklęsł n S + (x 0 ) lbo odwrotnie. Twierdzenie 6.22 Jeżeli funkcj f spełni wrunki: 1. (x 0, f(x 0 )) jest punktem przegięci 2. istnieje f (x 0 ) to f (x 0 ) = 0 Twierdzenie 6.23 Funkcj może mieć punkty przegięci tylko w punktch, w których jej drug pochodn równ się zero lbo w punktch, w których t pochodn nie istnieje. Twierdzenie 6.24 Jeżeli funkcj f spełni wrunki: 1. f (x 0 ) = 0 2. istnieją sąsiedztw lewostronne S (x 0 ) i prwostronne S + (x 0 ) tkie, że x S (x 0 ) f (x) > 0 orz x S+ (x 0 ) f (x) < 0 lub x S (x 0 ) f (x) < 0 orz x S+ (x 0 ) f (x) > 0 to punkt (x 0, f(x 0 )) jest punktem przegięci funkcji f. Twierdzenie 6.25 Jeżeli funkcj f spełni wrunki: 1. f (x 0 ) = f (x 0 ) =... = f (n 1) (x 0 ) = 0 2. f (n) (x 0 ) 0 3. n jest liczbą nieprzystą, gdzie n 3 30

to punkt (x 0, f(x 0 )) jest punktem przegięci funkcji f. Twierdzenie 6.26 Jeżeli funkcj f spełni wrunki: 1. f (x 0 ) = f (x 0 ) =... = f (n 1) (x 0 ) = 0 2. f (n) (x 0 ) 0 3. n jest liczbą przystą, gdzie n 4 to punkt (x 0, f(x 0 )) nie jest punktem przegięci funkcji f. 6.11 Bdnie przebiegu zmienności funkcji 1. Dziedzin funkcji. 2. Podstwowe włsności funkcji: przystość lub nieprzystość okresowość punkty przecięci wykresu z osimi Ox i Oy ciągłość 3. Grnice lub wrtości funkcji n końcch dziedziny. 4. Asymptoty funkcji. 5. Pierwsz pochodn funkcji: dziedzin pochodnej przedziły monotoniczności funkcji ekstrem funkcji grnice lub wrtości funkcji n końcch dziedziny pochodnej 6. Drug pochodn funkcji: dziedzin drugiej pochodnej przedziły wklęsłości i wypukłości funkcji punkty przegięci 7. Tbelk. 8. Wykres funkcji. 31

7 Rchunek cłkowy funkcji jednej zmiennej 7.1 Podstwowe definicje Definicj 7.1 Funkcj F jest funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I, jeżeli x I F (x) = f(x) Twierdzenie 7.1 przedzile I. Wtedy Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f n 1. G(x) = F (x) + C, gdzie C R, jest funkcją pierwotną funkcji f n I 2. kżdą funkcję pierwotną funkcji f n I możn przedstwić w postci F (x) + C, gdzie C R Twierdzenie 7.2 funkcję pierwotną n tym przedzile. Definicj 7.2 Jeżeli funkcj jest ciągł n przedzile, to m Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I. Cłką nieoznczoną funkcji f n przedzile I nzywmy zbiór funkcji {F (x) + C : C R} Cłkę nieoznczoną funkcji f oznczmy przez f(x)dx Niech funkcj f m funkcję pierwotną n prze- [ x I f(x)dx] = f(x) Niech funkcj f m funkcję pierwotną n prze- Twierdzenie 7.3 dzile I. Wtedy Twierdzenie 7.4 dzile I. Wtedy 32

x I f (x)dx = f(x) + C, gdzie C R. 1. 0dx = C 2. x α dx = xα+1 α + 1, 1 3. dx = ln x + C x 4. 5. 6. x dx = x ln + C e x dx = e x + C α 1 sin xdx = cos x + C 8. cos xdx = sin x + C 1 9 cos 2 dx = tgx + C x 1 10. sin 2 dx = ctgx + C x 1 11. 2dx = rctgx + C 12. 1 + x 1 dx = rcsin x + C 1 x 2 7.2 Twierdzeni o cłkch nieoznczonych Twierdzenie 7.5 Jeżeli funkcje f i g mją funkcje pierwotne, to 1. (f(x) + g(x)) dx = f(x)dx + g(x)dx 2. (f(x) g(x)) dx = f(x)dx g(x)dx 3. (cf(x)) dx = c f(x)dx, gdzie c R Twierdzenie 7.6 (o cłkowniu przez części) Jeżeli funkcje u i v mją ciągłe pochodne, to u(x)v (x)dx = u(x)v(x) u (x)v(x)dx Twierdzenie 7.7 (o cłkowniu przez podstwienie) Jeżeli 1. funkcj f : I R jest ciągł n przedzile I 2. funkcj g : J I m ciągłą pochodną n przedzile I, 33

to f(x)dx = f(g(t))g (t)dt = F (g(t)) + C, gdzie F jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f. 7.3 Cłkownie funkcji wymiernych Twierdzenie 7.8 (cłkownie ułmków prostych pierwszego rodzju) Adx x + b = A ln x + b + C Adx (x + b) n = A (n 1)(x + b) n 1 + C Twierdzenie 7.9 dx x 2 + 2 = 1 rctgx dx (x 2 + 1) n = x 2n 3 2(n 1)(x 2 n 1 + + 1) 2n 2 Twierdzenie 7.10 (cłkownie ułmków prostych drugiego rodzju) P x + Q (x 2 + px + q) ndx =P 2 + C, gdzie > 0 dx (x 2 n 1 + C, n 2 + 1) + 2x + p (x 2 + px + q) ) ndx+ ( Q P p 2 dx (x 2 + px + q) n 7.4 Cłkownie funkcji niewymiernych Twierdzenie 7.11 dx 2 x = rcsin x + C, gdzie > 0 2 dx x2 + k = ln x + x 2 + k + C, gdzie k 0 2 x 2 dx = x 2 x 2 2 + 2 2 rcsin x + C, > 0 34

x2 + k = x x2 + k + k 2 2 ln x + x 2 + k + C, k 0 Twierdzenie 7.12 (metod współczynników nieoznczonych) W n (x) x2 + bx + c dx = W n 1(x) dx x 2 + bx + c + α x2 + bx + c 7.5 Cłkownie funkcji trygonometrycznych Twierdzenie 7.13 sin n xdx = 1 n sinn 1 x cos x + n 1 n cos n xdx = 1 n cosn 1 x sin x + n 1 n Definicj 7.3 sin n 2 xdx, n 2 cos n 2 xdx, n 2 Funkcję, którą możn przedstwić w postci ilorzu wielominów dwóch zmiennych, nzywmy funkcją wymierną dwóch zmiennych. Twierdzenie 7.14 Niech R(u, v) będzie funkcją wymierną dwóch zmiennych. Wówczs do obliczni cłek postci R(sin x, cos x)dx w zleżności od wrunków jkie spełni funkcj R, stosuje się podstwieni: 1. R( u, v) = R(u, v), t = cos x sin x = 1 t 2 dx = dt 1 t 2 2. R(u, v) = R(u, v), t = sin x cos x = 1 t 2 dx = dt 1 t 2 35

3. R( u, v) = R(u, v), t = tgx sin x = t 1 + t 2 4. R - dowoln funkcj, cos x = 1 1 + t 2 dx = dt 1 + t 2 t = tg x 2 sin x = 2t 1 + t 2 cos x = 1 t2 1 + t 2 dx = 2dt 1 + t 2 7.6 Cłki oznczone Definicj 7.4 Podziłem odcink [, b] n n części, gdzie n N, nzywmy zbiór P = {x 0, x 1,..., x n }, gdzie = x 0 < x 1 <... < x n = b. Definicj 7.5 Niech funkcj f będzie ogrniczon n przedzile [, b] orz niech P będzie podziłem tego przedziłu. Sumą cłkową funkcji f odpowidjącą podziłowi P orz punktom pośrednim ξ k, gdzie ξ k [x k 1, x k ] orz 1 k n, tego podziłu nzywmy liczbę n S = f(ξ k ) x k, gdzie x k = x k x k 1 k=1 Definicj 7.6 Niech funkcj f będzie ogrniczon n przedzile [, b]. Cłkę oznczoną Riemnn z funkcji f n przedzile [, b] definiujemy wzorem b f(x)dx = lim δ(p ) 0 n f(ξ k ) x k, gdzie δ(p ) = mx 1 k n { x k}, o ile po prwej stronie znku równości grnic jest włściw orz nie zleży od sposobu podziłów P przedziłu k=1 36

[, b] ni od sposobów wyboru punktów pośrednich ξ k. Pondto przyjmujemy f(x)dx = 0 orz b f(x)dx = f(x)dx dl < b b Twierdzenie 7.15 Jeżeli funkcj f jest ogrniczon n przedzile [, b] i m n tym przedzile skończoną liczbę nieciągłości I rodzju, to jest n nim cłkowln. Twierdzenie 7.16 (Newton - Leibniz) Jeżeli funkcj f jest ciągł n przedzile [, b], to b f(x)dx = F (b) F (), gdzie F ozncz dowolną funkcje pierwotną funkcji f n tym przedzile. 7.7 Twierdzeni o cłkch oznczonych Twierdzenie 7.17 [, b], to 1. 2. 3. b Jeżeli funkcje f i g są cłkowlne n przedzile (f(x) + g(x))dx = b f(x)dx + b g(x)dx b (f(x) g(x))dx = b f(x)dx b g(x)dx b cf(x)dx = c b f(x)dx, gdzie c R Twierdzenie 7.18 mją ciągłe pochodne n przedzile [, b], to b (o cłkowniu przez części) Jeżeli funkcje u i v u(x)v (x)dx = [u(x)v(x)] b b u (x)v(x)dx 37

Twierdzenie 7.19 (o cłkowniu przez podstwienie) Jeżeli 1. funkcj f : [, b] R jest ciągł n przedzile [, b] 2. funkcj g : [α, β] [, b] m ciągłą pochodną n przedzile [α, β], 3. g(α) =, g(β) = b to b β f(x)dx = f(g(t))g (t)dt α Twierdzenie 7.20 Niech funkcj f będzie cłkowln n przedzile [, b] orz niech funkcj g różni się od funkcji f tylko w skończonej liczbie punktów tego przedziłu. Wtedy funkcj g jest tkże cłkowln n przedzile [, b] orz b g(x)dx = b f(x)dx Twierdzenie 7.21 [, b] orz c [, b], to Jeżeli funkcj f jest cłkowln n przedzile b f(x)dx = c f(x)dx + b f(x)dx c 7.8 Cłki niewłściwe Twierdzenie 7.22 Niech funkcj f będzie określon n przedzile [, ). Cłkę niewłściwą I rodzju funkcji f n [, ) definiujemy wzorem: T f(x)dx = lim f(x)dx T 38

Jeżeli grnic jest włściw, to mówimy, że cłk jest zbieżn. Jeżeli grnic jest równ lub, to mówimy, że cłk jest rozbieżn odpowiednio do lub. W pozostłych przypdkch mówimy, że cłk jest rozbieżn. Twierdzenie 7.23 Niech funkcj f będzie określon n przedzile (, b]. Cłkę niewłściwą I rodzju funkcji f n (, b] definiujemy wzorem: Twierdzenie 7.24 b f(x)dx = b lim f(x)dx T T Niech funkcj f będzie określon n przedzile (, ). Cłkę niewłściwą I rodzju funkcji f n (, ) definiujemy wzorem: f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx, gdzie jest dowoln liczbą rzeczywistą. Twierdzenie 7.25 Niech funkcj f określon n przedzile (, b] będzie nieogrniczon n prwostronnym sąsiedztwie S + (). Cłkę niewłściwą II rodzju funkcji f n (, b] definiujemy wzorem: b b f(x)dx = lim ɛ 0 + +ɛ f(x)dx Twierdzenie 7.26 Niech funkcj f określon n przedzile [, b) będzie nieogrniczon n lewostronnym sąsiedztwie S (b). Cłkę niewłściwą II rodzju funkcji f n [, b) definiujemy wzorem: b f(x)dx = lim ɛ 0 + b ɛ f(x)dx 39

Twierdzenie 7.27 Niech funkcj f określon n zbiorze [, c) (c, b] będzie nieogrniczon n sąsiedztwie S (c), S + (c). Cłkę niewłściwą II rodzju funkcji f n [, b] definiujemy wzorem: b f(x)dx = c f(x)dx + b f(x)dx c 7.9 Zstosownie cłek oznczonych Twierdzenie 7.28 1. Niech funkcje f i g będą ciągłe n przedzile [, b] orz niech f(x) g(x) dl kżdego x [, b]. Wtedy pole trpezu krzywoliniowego ogrniczonego wykresmi funkcji f i g orz prostymi x =, x = b wyrż się wzorem: b P = [g(x) f(x)]dx 2. Niech funkcje k i h będą ciągłe n przedzile [c, d] orz niech k(y) h(y) dl kżdego y [c, d]. Wtedy pole trpezu krzywoliniowego ogrniczonego wykresmi funkcji k i h orz prostymi y = c, y = d wyrż się wzorem: d P = [h(y) k(y)]dy c Twierdzenie 7.29 Niech funkcj f m ciągłą pochodną n przedzile [, b]. Wtedy długość krzywej {(x, f(x)) : x [, b]} wyrż się wzorem: L = b 1 + [f (x)] 2 dx 40

Twierdzenie 7.30 1. Niech funkcj nieujemn f będzie ciągł n przedzile [, b] orz niech T ozncz trpez krzywoliniowy ogrniczony wykresem funkcji f, osią Ox orz prostymi x =, x = b. Wtedy objętość bryły powstłej z obrotu trpezu krzywoliniowego T wokół osi Ox wyrż się wzorem: V = π b f 2 (x)dx 2. Niech funkcj nieujemn f będzie ciągł n przedzile [, b] orz niech T ozncz trpez krzywoliniowy ogrniczony wykresem funkcji f, osią Ox orz prostymi x =, x = b. Wtedy objętość bryły powstłej z obrotu trpezu krzywoliniowego T wokół osi Oy wyrż się wzorem: V = 2π b xf(x)dx Twierdzenie 7.31 1. Niech funkcj nieujemn f m ciągłą pochodną n przedzile [, b]. Wtedy pole powierzchni powstłej z obrotu wykresu funkcji f wokół osi Ox wyrż się wzorem: L = 2π b f(x) 1 + [f (x)] 2 dx 2. Niech funkcj nieujemn f m ciągłą pochodną n przedzile [, b]. Wtedy pole powierzchni powstłej z obrotu wykresu funkcji f wokół osi Oy wyrż się wzorem: 41

b L = 2π x 1 + [f (x)] 2 dx 42

8 Indeks symptot funkcji pionow 17 lewostronn 16 prwostronn 17 poziom 17 lewostronn 17 prwostronn 17 ukośn lewostronn 17 prwostronn 17 c cłk nieoznczon 32 niewłściw II rodzju 39 I rodzju 38 Riemnn 36 ciąg 9 mlejący 9 niemlejący 9 nierosnący 9 ogrniczony 9 z dołu 9 z góry 9 rosnący 9 zbieżny 10 d Drboux, twierdzenie 20 dziedzin funkcji 6 f Fermt, twierdzenie 27 funkcj 6 ciągł 18 lewostronnie 18 prwostronnie 18 dziedzin 6 grnic włściw 13 ilorz różnicowy 21 mksimum loklne 26 włściwe 27 mlejąc 7 minimum loklne 26 włściwe 27 njmniejsz wrtość 27 njwiększ wrtość 27 niemlejąc 7 nieprzyst 7 nierosnąc 7 odwrotn 8 ogrniczon 7 z dołu 7 z góry 7 okresow 6 przyst 7 pierwotn 32 pochodn 21 n - tego rzędu 24 lewostronn 21 niewłściw 22 prwostronn 21 43

przeciwdziedzin 6 punkt przegięci 30 rosnąc 7 różniczk 24 różnowrtościow 8 wklęsł 29 ściśle 29 wykres 6 wypukł 29 ściśle 29 zbiór wrtości 6 funkcje cyklometryczne 8 funktor 3 g grnic ciągu niewłściw 11 włściw 10 grnic funkcji lewostronn 13 niewłścw 14 prwostronn 14 grnic włściw funkcji 13 i ilorz różnicowy funkcji 21 l Lgrnge, twierdzenie 25 Leibniz, twierdzenie 24 m mksimum loklne funkcji 26 włściwe 27 minimum loklne funkcji 26 włściwe 27 n njmniejsz wrtość funkcji 27 njwiększ wrtość funkcji 27 nieciągłość II rodzju 19 I rodzju 19 o otoczenie punktu 18 lewostronne 18 prwostronne 18 p pochodn funkcji n - tego rzędu 24 lewostronn 21 niewłściw 22 prwostronn 21 włściw 21 podził odcink 36 przeciwdziedzin funkcji 6 punkt przegięci funkcji 30 r reguł de L Hospitl 26 Rolle, twierdzenie 25 różniczk funkcji 24 s spójnik logiczny 3 styczn 23 sum cłkow 36 sąsiedztwo punktu 13 lewostronne 13 prwostronne 13 44

t tutologi 3 Tylor, wzór 26 twierdzenie Drboux 20 Fermt 27 Lgrnge 25 Leibniz 24 o trzech ciągch 11 Rolle 25 Weierstrss 20 w Weierstrss, twierdzenie 20 wykres funkcji 6 wyrżeni nieoznczone 11 wzór Tylor 26 z zbiór wrtości funkcji 6 zdnie 3 zmienn zdniow 3 złożenie funkcji 8 45