CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

Transkrypt

1 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I rok kdemicki 01/013 Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew Pbisek Adm Wostko

2 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Kiedy stosujemy cłkownie numeryczne? W przypdkch elementrnych oblicznie wrtości cłki oznczonej odbyw się n podstwie wzoru Newton-Leibnitz I (f ) = f (x) dx = F (b) F () Powyższy wzór możemy stosowć wtedy, gdy znn jest tzw. funkcj pierwotn F (x) spełnijąc związek: df (x) dx = f (x) Jeśli wyznczenie funkcji pierwotnej jest brdzo trudne lub niemożliwe i/lub funkcj podcłkow f (x) zdn jest w postci tblicy, to możliwe jest stosownie cłkowni numerycznego.

3 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne N czym poleg numeryczne cłkownie? Gdy przedził cłkowni jest skończony, wówczs numeryczne cłkownie poleg n zstąpieniu funkcji podcłkowej f (x) odpowiednim wielominem interpolcyjnym lub proksymcyjnym ϕ(x) zbudownym n zbiorze n + 1 węzłów o współrzędnych x i, i = 0, 1,,..., n. Wymg to wówczs cłkowni jedynie prostych funkcji bzowych z wykorzystniem wzoru n I (f ). W dlszym ciągu omówione zostną njprostsze metody cłkowni numerycznego wykorzystujące interpolcję (proksymcję) funkcji z pomocą wielominów lgebricznych. Podstwijąc w miejsce funkcji podcłkowej f (x) wielomin lgebriczny ϕ(x) = f 0 N 0 (x) + f 1 N 1 (x) + + f n N n (x) otrzymmy tzw. wzór kwdrturowy.

4 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Kwdrtur cłkowni Wzorem kwdrturowym lbo krócej kwdrturą nzywmy: I (f ) = w którym f (x) dx w i = ϕ(x) dx = n i=0 N i (x) dx, f (x i ) N i (x) dx = i = 0, 1,,..., n n w i f (x i ) = S(f ) są tzw. współczynnikmi wgowymi (wgmi). Wrtość w i określ wielkość udziłu rzędnej f i f (x i ) w wrtości cłej sumy S(f ). Dokłdność kwdrtury S(f ) jest tym większ, im mniejsz jest różnic I (f ) S(f ) nzywn błędem kwdrtury. i=0

5 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Rząd kwdrtury Njczęściej stosowną mirą dokłdności jest tzw. rząd kwdrtury. Kwdrtur S(f ) jest rzędu r, jeśli dl wszystkich wielominów W (x) stopni mniejszego od r jest I (W ) = S(W ) orz jeśli istnieje tki wielomin W (x) stopni r dl którego I (W ) S(W ). Możn wykzć, że kwdrtury interpolcyjne zbudowne n n + 1 węzłch są rzędu co njmniej n + 1.

6 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Kwdrtury dl węzłów równoodległych Njprostszymi kwdrturmi interpolcyjnymi są kwdrtury zbudowne n węzłch równoodległych, o dnych współrzędnych x i = x 0 + i h, i = 0, 1,,..., n. Niewidome współczynniki w i są obliczne z ukłdu n + 1 liniowych równń lgebricznych, które otrzymmy n podstwie kwdrtury zstosownej dl wielominów W k (x) = x k, k = 0, 1,,..., n, dl których I (W k ) = S(W k ). I (W k ) = x k dx = n i=0 w i x k i = S(W k ), k = 0, 1,,..., n skąd n i=0 w i xi k = 1 ( b k+1 k+1 ) k + 1

7 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Kwdrtury interpolcyjne ukłd równń 1 w w w n = p 0 x 0 w 0 + x 1 w 1 + x n w n = p 1 x0 w 0 + x1 w 1 + xn w n = p x0 n w 0 + x1 n w 1 + xn n w n = p n Powyższy ukłd równń możn zpisć w postci: w 0 x 0 x 1 x... x n w 1 x0 x1 x... xn w = x0 n x1 n xn... xn n w n 1 (n+1) b 1 (b ) 1 3 (b3 3 ) ) (b (n+1) (n+1) Rozwiązniem tego ukłdu lgebricznych równń liniowych są wrtości wg w i.

8 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Wzór prostokątów Wzór prostokątów Njprostszym sposobem obliczni przybliżonej wrtości S(f ) cłki oznczonej I (f ) jest zstosownie proksymcji funkcji f (x) z pomocą wielominu ϕ(x) = f (x 0 ) = const. Po podstwieniu do wzoru otrzymujemy I (f ) = f (x) dx przy czym w 0 = b. f (x) dx ϕ(x) dx f (x 0 ) dx = (b ) f (x 0 ) = S(f ). (1)

9 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Wzór prostokątów Wybór położeni węzł dl wzoru prostokątów W zleżności od wyboru położeni węzł x 0 otrzymujemy wzory: () lewych prostokątów, gdy x 0 = (b) środkowych prostokątów, gdy x 0 = ( + b)/ (c) prwych prostokątów, gdy x 0 = b

10 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Wzór trpezów Wzór trpezów Jeśli do interpolcji funkcji f (x) zstosujemy interpolcję z pomocą wielominu liniowego zbudownego n bzie Lgrnge, to otrzymmy wzór kwdrturowy, nzywny wzorem trpezów. I (f ) = f (x) dx [ ] f 0 L 1 0(x) + f 1 L 1 1(x) dx = [ f () x b b + f (b) x ] = b [ ] f () + f (b) = S(f ). b ()

11 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Wzór trpezów Wgi dl wzoru trpezów Wgi w i, i = 0, 1 występujące we wzorze trpezów możn wyznczyć rozwiązując ukłd równń: [ ] [ ] [ ] 1 1 w0 b = 1 b w 1 (b ) skąd w 0 = w 1 = 1 (b ).

12 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Wzór Simpson Wzór Simpson Zstosownie kwdrtowej interpolcji Lgrnge prowdzi do wzoru kwdrturowego: f (x) dx [ f 0 L 0 + f 1 L 1 + f L ] dx = [ (x c)(x b) f 0 ( c)( b) + f (x )(x b) 1 (c )(c b) + f (x )(x c) ] dx (b )(b c) Osttecznie kwdrtur (wzór) Simpson przyjmuje postć: f (x) dx = 1 3 h ( f f 1 + f ) = s(f ), h = b (3)

13 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Wzór Simpson Wgi dl wzoru Simpson Dl 3 węzłów równoodległych, tzn. gdy c = 0.5 ( + b) współczynniki wgowe w i, i = 0, 1, we wzorze Simpson oblicz się z ukłdu równń: c b w 0 b w 1 = 1 c b (b ) 1 w 3 (b3 3 ) Po rozwiązniu tego ukłdu otrzymmy w 0 = w = b 6, w 1 = (b ). 3

14 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Wzór Simpson Wzór Simpson f (x) dx = 1 3 h ( f f 1 + f ) = s(f ), h = b Uwg: Wzór Simpson jest jest rzędu czwrtego, co ozncz, że jest dokłdny nie tylko dl wielominów stopni drugiego, lecz tkże dl wielominów stopni trzeciego tzn. I (W 3 ) = S(W 3 ) orz I (W 4 ) S(W 4 ).

15 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Wzory Newton-Cotes Wzory Newton-Cotes Zstosownie wielominów ϕ(x) corz to wyższych stopni we wzorze kwdrturowym prowdzi do tzw. wzorów Newton-Cotes. S(W k ) = x n=b x 0= f (x) dx n w i f (x i ) = S(f ) (4) Dl wielominów ϕ(x) kolejnych stopni n wrtości współczynników wgowych w i otrzymuje się z rozwiązni ukłdu równń. i=0

16 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Wzory Newton-Cotes Zestwienie współczynników wgowych Wzory Newton-Cotes W poniższej tblicy są zestwione wrtości współczynników wgowych w i : n w 0 w 1 w w 3 w 4 w 5 m Wrtości wg występujące we wzorze (4) obliczne są według wzoru w i = w i m Uwg: Kwdrtury Newton-Cotes uzyskne przy zstosowniu wielominów interpolujących ϕ(x) stopni n > 8 ujwniją cechy nrstjcej niestbilności kwdrtury interpolcyjnej (3).

17 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Wzór Guss Do podwyższeni dokłdność wzorów kwdrturowych możn zstosowć propozycję Guss, polegjc n optymlizcji położeni n węzłów interpolcyjnych orz doborze odpowiednich wrtości współczynników wgowych. Możn przyjąć, że we wzorze: f (x) dx n w i f (x i ) (5) niewidomymi są nie tylko współczynniki wgowe w i le tkże współrzędne węzłów x i. Ztem równnie (5) zwier (n + 1) niewidomych. Kwdrtur będzie dokłdn gdy f (x) będzie wielominem co njwyżej stopni (n + 1). Wszystkie niewidome możn wyznczyć z ukłdu n + równń dl n + 1 wg w i orz n + 1 węzłów x i, i = 0, 1,, n. i=0

18 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Postć ukłdu równń dl kwdrtury Guss Dl funkcji podcłkowej f (x), któr przyjmuje postć wielominu zgodnie ze wzorem: x k dx = n i=0 otrzymujemy ukłd równń: n i=0 w i x k i, k = 0, 1,,, n + 1 w i xi k = 1 ( b k+1 k+1), k = 0, 1,,, n + 1 (6) k + 1 który jest liniowy ze względu n wgi i nieliniowy ze względu n węzły.

19 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Wzór kwdrturowy Guss w przedzile wzorcowym Odwzorownie przedziłu [, b] n osi x n unormowny przedził [ 1, 1] n pomocniczej osi ξ i odwzorownie do niego odwrotne możn opisć z pomocą wzorów: ξ = x b x = + b + b b ξ (7) co dje wygodny sposób zpisu cłki: f (x) dx = b 1 1 f ( + b + b ξ) dξ orz wzoru kwdrturowego Guss: f (x) dx b n ( + b w i f + b ξ i ). (8) i=0

20 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Oblicznie współczynników dl wzoru Guss Dl tej postci wzoru wrtości w i, ξ i możn obliczyć z ukłdu równń Przykłd: I = ξ k dξ = n w i ξi k, k = 0, 1,,..., n + 1. (9) i=0 ( α1 + α ξ + α 3 ξ + α 4 ξ 3) dξ Wynik ścisły: I = α α 3 = α 1 + 0α + 3 α 3 + 0α 4 I = w 0 f (ξ 0 ) + w 0 f (ξ 0 ) = = w 0 ( α1 + α ξ 0 + α 3 ξ 0 + α 4 ξ 3 0) + w1 ( α1 + α ξ 1 + α 3 ξ 1 + α 4 ξ 3 1) = = (w 0 + w 1 )α 1 + (w 0 ξ 0 + w 1 ξ 1 )α + (w 0 ξ 0 + w 1 ξ 1)α 3 + (w 0 ξ w 1 ξ 3 1)α 4 w 0 + w 1 = w 0 ξ 0 + w 1 ξ 1 = 0 w 0 ξ0 + w 1ξ1 = w 0 = w 1 = 1 ξ 0,1 = ±1/ 3 3 w 0 ξ0 3 + w 1ξ1 3 = 0

21 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Tblic węzłów i wg Guss n ξ i, i = 0,, n w i, i = 0,, n 0 ξ 0 = 0 w 0 = 1 ξ 0 = +1/ 3 w 0 = 1 ξ 1 = 1/ 3 w 1 = 1 ξ 0 = w 0 = 5/9 ξ 1 = 0 w 1 = 8/9 ξ = 0.6 w = 5/9 3 ξ 0 = w 0 = ξ 1 = w 1 = ξ = w = ξ 3 = w 3 = Uwg: Niezleżnie od postci funkcji f (x) 1 0 wrtości wg w i i węzłów Guss ξ i są zwsze tkie sme, 0 zleżą tylko od liczby węzłów interpolcji n.

22 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Przykłd Zstosownie wzorów kwdrturowych dl 1 przedziłu Obliczyć S(f ) = b f (x)dx gdy f (x) = 4 x x + 1 dl = 1.0, b = 1.0, co ozncz, że h = b =,. Rozwiąznie: Przykłdowy tok postępowni dwupunktow metod Guss (n = 1): f (x)dx = b 1 1 f (ξ) dξ b 1 w i f (ξ i ) = i=0 b [ f ( + b + b ) + f ( + b b )] =

23 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Przykłd Wyniki dl prezentownych wzorów Wrtość dokłdn I (f ) = Wzór Postć kwdrtury Wrtość prostokątów: lewych S(f ) = h f () = 4 środkowych S(f ) = h f ( +b ) = prwych S(f ) = h f (b) = 0 trpezów S(f ) = h [f () + f (b)] = 1 Simpson S(f ) = 1 h 3 Guss dl n = 1 S(f ) = b +b [f () + 4 f ( ) + f (b)] = i=0 w i f (ξ i ) =

24 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Kwdrtury złożone Podził przedziłu cłkowni n podprzedziły Brdzo skutecznym sposobem podwyższni dokłdności cłkowni numerycznego jest dokonnie podziłu przedziłu [, b] n podprzedziły [ j, b j ], j = 1,,..., N przy zchowniu związków: 1 =, b N = b, b i = i+1, i = 1,,..., N 1. Możn zpisć: I (f ) = f (x) dx = N j=1 j j f (x) dx = I 1 (f ) + I (f ) + + I N (f ) Kżd z cłek oznczonych I j (f ), wystepujcych we wzorze różni się od od cłek I (f ) tylko wrtościmi grnic cłkowni. Do obliczni kżdego skłdnik sumy możn posłużyć się dowolnym wzorem kwdrturowym.

25 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Wzór sumcyjny prostokątów Metod prostokątów Gdy długości wszystkich podprzedziłów [ j, b j ] są sobie równe czyli b j j = H, j = 1,..., N, H = b N, to możemy określić wzory sumcyjne. Przedził cłkowni <, b > dzielimy n N równych podprzedziłów < x 0, x 1 >, < x 1, x >, < x n 1, x n > gdzie H = (b )/N. W kżdym z nich stosujemy wzór złożony: () lewych prostokątów N f (x)dx H f (x j 1) = H (f ) 0 + f 1 + f + + f N 1 j=1 (b) środkowych (średnich) prostokątów N xj xj 1 f (x)dx H f ( ) = H (f ) 01 + f 1 + f f N 1 N j=1 gdzie f j 1 j = f ( x j 1 +x j ), j = 1,,..., N, (c) prwych prostokątów N f (x)dx H f ( ) x j) = H (f 1 + f + + f N j=1

26 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzór sumcyjny prostokątów Ilustrcj metody prostokątów lewych Wzory sumcyjne

27 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Wzór sumcyjny prostokątów Algorytm metody prostokątów 1: funkcj [pr l, pr p, pr s ] = MetodProstoktow (, b, N) : H = b N 3: pr l = pr p = pr s = 0 4: dl j = 0, 1,... N 1 wykonj 5: x l = + j H, pr l = pr l + f (x l ) 6: x p = x l + H, pr p = pr p + f (x p ) 7: x s = x l +x p, 8: koniec dl pr s = pr s + f (x s ) 9: pr l = pr l H, pr p = pr p H, pr s = pr s H 10: koniec funkcji Wywołnie funkcji: [Le, Pr, Sr] = MetodProstoktow(, b, N)

28 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Wzór sumcyjny trpezów Metod trpezów Zb f (x)dx N h i f X fn 1 0 H f (xj 1 + f (xj ) = H + f1 + f + + j=1 lub Zb f (x)dx H N 1 X 1 1 f0 + fj + fn j=1

29 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzór sumcyjny Simpson Metod Simpson Zb f (x)dx 1 H ( f0 + fn ) + 4 ( f1 + f3 + + fn 1 )+ 3 (f + f4 + + fn ), przy czym H = (xn x0 )/N i N musi być liczbą przystą. Wzory sumcyjne

30 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Zstosownie kwdrtury Guss Zstosownie kwdrtury Guss f (x)dx 1 b N N j=1 gdzie X i = x j+x j+1 + x j+1 x j ξ i lpc i=0 w i f (X i ). Tblic węzłów Guss ξ = [ , , ] Tblic wg w = [ , 0.0, ] Wywołnie funkcji: [G] = MetodGuss(, b, N, tbwg, tbwez)

31 Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Zstosownie kwdrtury Guss Przykłd podsumownie Oblicz S = Przyjmij = 5, b = 5, N = 3. f (x)dx, gdzie f (x) = 4 x x : funkcj [y] = f (x) : y = 4 x x : koniec funkcji Metod Wynik prostokątów lewych prostokątów prwych prostokątów średnich trpezów Simpson Guss 3pkt dokłdne