Wykład 3: Transformata Fouriera

Transkrypt

1 Rchunek prwdopodobieństw MAP64 Wydził Elektroniki, rok kd. 28/9, sem. letni Wykłdowc: dr hb. A. Jurlewicz Wykłd 3: Trnsformt Fourier Złóżmy, że f(t) jest określon n R, ogrniczon, okresow o okresie 2T i spełni wrunki Dirichlet. Oznczmy ω = π T. Wtedy f(t) = n= c n e in ωt, gdzie c n = ω T T f(t)e in ωt dt. () Możemy zpisć to w postci f(t) = ω T n= T f(s)e in ωs ds e in ωt lub gdzie f(t) = F (n ω) = n= T T F (n ω) ω, f(s)e in ω(s t) ds W grnicy, przy T, równowżnie ω +, tzn. gdy funkcj f(t) przestje być okresow, zchodzi: Twierdzenie cłkowe Fourier: Dl dowolnego t przy złożenich, że: f(t) = dω f(s)e iω(s t) ds f(t) jest bezwzględnie cłkowln n R, czyli (tzn. cłk t jest zbieżn) f(t) dt < f(t) spełni wrunki Dirichlet n dowolnym przedzile ogrniczonym. Inny zpis pokzuje nlogię do (): f(t) = Stąd ide trnsformty Fourier. c(ω)e iωt dω, gdzie c(ω) = f(s)e iωs ds

2 Definicj. Niech f(t) będzie funkcją określoną n R. Trnsformtą Fourier funkcji f(t) nzywmy funkcję zespoloną ˆf(ω) = f(t)e iωt dt = Inne oznczenie: ˆf(ω) = F(f(t))(ω). f(t) cos(ωt)dt i f(t) sin(ωt)dt, ω R. Populrn interpretcj: t - czs (lub długość fli), ω - częstotliwość (lub liczb flow)) ˆf(ω)- widmo (chrkterystyk widmow, gęstość widmow) funkcji f(t), ˆf(ω) - widmo mplitudowe, θ(ω) = Arg( ˆf(ω)), rgument główny z przedziłu [ π, π] - widmo fzowe Fkt. Jeżeli f(t) jest bezwzględnie cłkowln n R, to trnsformt Fourier funkcji f(t) jest dobrze określon. Wynik to z tego, że f(t)e iωt = f(t). Uwg. Jeżeli f(t) jest funkcją przystą, to Jeżeli f(t) jest funkcją nieprzystą, to Przykłdy do zd. 2. ˆf(ω) = 2 f(t) cos(ωt)dt. ˆf(ω) = 2i f(t) sin(ωt)dt. 2

3 Podstwowe włsności trnsformty Fourier: Złóżmy, że f(t), g(t) są określone n R i bezwzględnie cłkowlne n R () ˆf(ω) f(t) dt <, ztem ˆf(ω) to funkcj ogrniczon (2) ˆf(ω) to funkcj ciągł (dowód wymg zwnsownych metod) (3) liniowość Dl dowolnych α, β R, dl h(t) = αf(t) + βg(t) mmy Dowód: ĥ(ω) = h(t)e iωt dt = α ĥ(ω) = α ˆf(ω) + βĝ(ω) f(t)e iωt dt + β (4) przesunięcie w czsie Dl dowolnego R, dl h(t) = f(t + ) mmy ĥ(ω) = e iω ˆf(ω) g(t)e iωt dt = α ˆf(ω) + βĝ(ω) Dowód: ĥ(ω)= f(t + )e iωt dt= s=t+ ds=dt t s = f(s)e iω(s ) ds = e iω f(s)e iωs ds=e iω ˆf(ω) (5) modulcj Dl dowolnego R, dl h(t) = f(t)e it mmy Dowód: ĥ(ω)= f(t)e it e iωt dt = ĥ(ω) = ˆf(ω + ) f(s)e i(ω+)t ds = ˆf(ω + ) (6) sklownie Dl dowolnego, dl h(t) = f(t) mmy ĥ(ω) = ˆf ( ) ω Dowód: Dl > mmy ĥ(ω)= f(t)e iωt dt= s=t ds=dt t s = f(s)e i ω s ds = ( ) ˆf ω Dl < mmy ĥ(ω)= f(t)e iωt dt= s=t ds=dt t s = f(s)e i ω s ds = ( ) ˆf ω = ( ) ˆf ω Przykłdy do zd. 2.2 ()-(d) 3

4 (7) pochodn w spektrum Jeżeli h(t) = tf(t) jest bezwzględnie cłkowln n R (tzn. to istnieje ciągł pochodn ˆf (ω) = d dω ˆf(ω) orz ˆf (ω) = f(t)( it)e iωt dt = iĥ(ω) tf(t) dt < ), Jeżeli h m (t) = t m f(t), m N, jest bezwzględnie cłkowln n R (tzn. t m f(t) dt < ), to istnieje ciągł pochodn ˆf (m) (ω) = dm dω ˆf(ω) orz m (8) pochodn w czsie ˆf (m) (ω) = f(t)( it) m e iωt dt = ( i) m ĥ m (ω) Jeżeli f (t) = d f(t) jest ciągł orz bezwzględnie cłkowln n R dt (tzn. f (t) dt < ), to f (ω) = iω ˆf(ω) Jeżeli f (m) (t) = dm f(t), m N, jest ciągł orz dtm f (r) (t) dt < dl kżdego < r m, to Przykłdy do zd. 2.2 (e)-(g) f (m) (ω) = (iω) m ˆf(ω) Tbel: Włsności trnsformty Fourier h(t) ĥ(ω) Uwgi liniowość αf(t) + βg(t) α ˆf(ω) + βĝ(ω) przesunięcie w czsie f(t + ) e iω ˆf(ω) modulcj f(t)e it ˆf(ω + ) sklownie f(t) ˆf ( ) ω pochodn w spektrum ( i) m t m f(t) ˆf (m) (ω) m N pochodn w czsie f (m) (t) (iω) m ˆf(ω) m N splot (f g)(t) ˆf(ω) ĝ(ω) 4

5 Jednoznczność przeksztłceni Fourier Trnsformt Fourier F : f(t) ˆf(ω) to odwzorownie z jednej rodziny funkcji w drugą. Twierdzenie. Jeżeli f(t), g(t) są bezwzględnie cłkowlne n R orz f(t) = g(t) dl prwie wszystkich t (tzn. zbiór {t : f(t) g(t)} jest skończony lbo nieskończony przeliczlny, lbo nieprzeliczlny o długości (mierze Lebesgue ), jk np. zbiór Cntor), to ˆf(ω) = ĝ(ω) dl kżdego ω. N odwrót, jeżeli f(t), g(t) są bezwzględnie cłkowlne n R orz ˆf(ω) = ĝ(ω) dl kżdego ω, to f(t) = g(t) dl prwie wszystkich t. Odwrotn trnsformt Fourier. Z twierdzeni cłkowego Fourier wynik, że jeżeli f(t) jest bezwzględnie cłkowln n R i spełni wrunki Dirichlet n dowolnym odcinku ogrniczonym, to dl dowolnego t f(t) = ˆf(ω)e iωt dω. (2) Po prwej stronie mmy tzw. odwrotną trnsformtę Fourier funkcji ˆf(ω). W ogólnym przypdku zchodzi Twierdzenie. Jeżeli f(t) i ˆf(ω) są bezwzględnie cłkowlne n R, to równość (2) zchodzi dl prwie wszystkich t. Przykłdy do zd. 2.3, 2.4 5

6 Splot funkcji: Definicj. Złóżmy, że f 2 (t), g 2 (t) są bezwzględnie cłkowlne n R. Definiujemy nową funkcję - splot funkcji f i g: Uwg. h(t) = (f g)(t) def = f(s)g(t s)ds. Przy podnych złożenich splot f g jest dobrze określony dl wszystkich t. (W ogólnym przypdku wystrczy, że f(t), g(t) są bezwzględnie cłkowlne n R, i wtedy splot jest dobrze określony dl prwie wszystkich t.) Włsności splotu funkcji: () przemienność f g = g f Dowód: (f g)(t)= f(s)g(t s)ds= t s=u ds=du s u = f(t u)g(u)( du) = (g f)(t) (2) łączność f (g h) = (f g) h (3) f (g + h) = f g + f h (cf) g = c(f g), c R Twierdzenie. Jeżeli f(t) i g(t) są bezwzględnie cłkowlne n R, to h(t) = (f g)(t) jest bezwzględnie cłkowln n R orz ĥ(ω) = ˆf(ω) ĝ(ω) Szkic dowodu: Cłkowlność ( h wynik z twierdzeni ) Fubiniego. ( ) ĥ(ω)= f(s)g(t s)ds e iωt dt tw.fubiniego = f(s) g(t s)e iωt dt ds = ( ) = f(s)e iωs g(u)e iωu dt ds = ˆf(ω) ĝ(ω) Przykłdy do zd. 2.5, 2.6 6

7 Funkcj delt Dirc δ(t) Definicj (nieformln): Delt Dirc δ(t) to funkcj spełnijąc wrunki: dl t δ(t) = dl t = δ(t)dt = Pul Dirc wprowdził nieformlnie tki obiekt w mechnice kwntowej w 928 r. Ścisłą i poprwną definicję podł teori dystrybucji w ltch 4-tych i 5-tych XX wieku. Intuicje: δ(t) reprezentuje nieskończenie wielki impuls pojwijący się w chwili t = i trwjący nieskończenie krótko, przy czym efekt dziłni tego impulsu (mierzony cłką po cłej prostej) jest jednostkowy. Inn interpretcj: δ(t) reprezentuje msę jednostkową skupioną w punkcie. Konstrukcj delty Dirc: dl t > n Bierzemy ciąg impulsów prostokątnych p n (t) = n dl t 2 n Zuwżmy, że p n (t)dt = n 2 2 n = dl kżdego n. Deltę Dirc definiujemy jko grnicę δ(t) = lim n p n (t). Wtedy (nieformlnie) mmy δ(t)dt = lim n p n (t)dt =. n/2 p n (t) 5 n= n=2 n= n= pole= /n /n 7

8 Włsności delty Dirc: () Jeśli f(t) jest cigł w punkcie t =, to (Jest to jedn z lterntywnych definicji delty Dirc.) (2) f(t)δ(t ) = f()δ(t ) dl dowolnego R (3) Jeśli f(t) jest cigł w punkcie t =, to (4) f(t) δ(t ) = f(s)δ(t s)ds = f(t ) f(t)δ(t)dt = f(). f(t)δ(t )dt = f(). (5) t δ(s )ds = χ(t ), dl t gdzie χ(t) = dl t > (funkcj Hevyside ). (6) δ(t + b) = ( δ t + b ) dl dowolnych, b R funkcj Hevyside χ(t) Uwg: δ(t), R, to funkcj spełnijąc wrunki: dl t δ(t) = orz δ(t)dt =. dl t = Trnsformt Fourier delty Dirc: Z włsności () mmy ˆδ(ω) = e iω. (Zuwżmy, że ˆp n (ω) = 2 n 2 n cos(ωt)dt = n sin(ωt) ω Stąd lim n ˆp n(ω) = = ˆδ(ω) dl kżdego ω.) t= n = sin ( ω ) n t= ω n dl ω, ˆp n () = Dl f(t) mmy ztem ˆf(ω) = δ(ω) (z trnsformty odwrotnej). 8

9 Tbel: Trnsformty Fourier podstwowych funkcji f(t) e t dl t dl t < ˆf(ω) + iω e t 2 + ω 2 e t2 dl t dl t > dl t dl pozostłych t 2 sin(ω) ω πe ω2 4 dl ω 2 dl ω = i( e iω ) ω dl ω dl ω = δ(ω) δ(t) 9