Analiza matematyczna i algebra liniowa Całka oznaczona

Transkrypt

1 Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Cłk oznczon Wojciech Kotłowski Instytut Informtyki Politechniki Poznńskiej emil: imię.nzwisko@cs.put.poznn.pl pok. 2 (CW) tel. (61) konsultcje: piątek 15:10-16:40 Sljdy dostępne pod dresem: / 15

2 Cłkownie funkcji wymiernych Funkcj wymiern Funkcją wymierną nzywmy funkcję: W (x) = L(x) M(x), gdzie L(x) i M(x) to wielominy. Wyróżnimy: Funkcję wymierną włściwą, jeżeli stopień L(x) jest mniejszy niż stopień M(x). Funkcję wymierną niewłściwą, jeżeli stopień L(x) jest większy niż stopień M(x). Kżdą funkcję wymierną niewłściwą możn przeksztłcić n sumę wielominu i funkcji wymiernej włściwej. 2 / 15

3 Cłkownie funkcji wymiernych Ułmek prosty I rodzju W (x) = A (x + ) n. Cłkujemy przed podstwienie t = x +. Ułmek prosty II rodzju W (x) = P x + Q (x 2 + px + q) n, przy czym = p 2 4q < 0 (nie możn rozłożyć minownik n czynniki). Pokżemy tylko prę szczególnych przypdków. Kżdą funkcję wymierną d się przedstwić w postci sumy ułmków prostych. 3 / 15

4 Cłkownie funkcji wymiernych Ułmek prosty II rodzju W (x) = Q x 2 + q. Podstwienie t = x/ q, orz użycie wzoru: dt = rctg t + C. 1 + t2 4 / 15

5 Cłkownie funkcji wymiernych Ułmek prosty II rodzju W (x) = Q x 2 + px + q. Podstwienie t = x + p 2, i sprowdzmy do poprzedniej postci 5 / 15

6 Cłkownie funkcji wymiernych Ułmek prosty II rodzju Podstwienie t = x 2 + q. W (x) = P x (x 2 + q) n. 6 / 15

7 Podził odcink Definicj Dzielimy odcinek [, b] n n części: [x 0, x 1 ], [x 1, x 2 ],..., [x n 1, x n ], gdzie = x 0 < x 1 <... < x n = b. Długość k-tego odcink oznczmy x k. W kżdym przedzile [x k 1, x k ] wybiermy też punkt pośredni x k. Tką procedurę podziłu oznczymy przez P, δ(p) będzie njwiększą z długości przedziłu x k (1 k n). Przykłd (n = 7): = x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b = x7 x x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = δ(p)

8 Podził odcink Definicj Dzielimy odcinek [, b] n n części: [x 0, x 1 ], [x 1, x 2 ],..., [x n 1, x n ], gdzie = x 0 < x 1 <... < x n = b. Długość k-tego odcink oznczmy x k. W kżdym przedzile [x k 1, x k ] wybiermy też punkt pośredni x k. Tką procedurę podziłu oznczymy przez P, δ(p) będzie njwiększą z długości przedziłu x k (1 k n). Przykłd (n = 7): x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b = x7 x x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = δ(p) 7 / 15

9 Sum cłkow Definicj Sumą cłkową funkcji f dl podziłu P nzywmy liczbę: n f(x k ) x k. k=1 Sum cłkow to przybliżenie pol pod wykresem f n odcinku [, b]. Uwg: pole pod wykresem ujemnej części f (tj. tm gdzie f(x) < 0) liczone jest ze znkiem minus! 8 / 15

10 Sum cłkow przykłd y f(x) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 b x 9 / 15

11 Sum cłkow przykłd f(x f(x 9 ) 8 ) f(x f(x 7 ) 6 ) f(x 5 ) f(x 4 ) f(x 3 ) f(x 2 ) y f(x) f(x 1 ) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 b x 9 / 15

12 Sum cłkow przykłd y f(x f(x 9 ) 8 ) f(x f(x 7 ) 6 ) f(x 5 ) f(x 4 ) f(x 3 ) f(x 2 ) n f(x k ) x k k=1 f(x) f(x 1 ) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 b x 9 / 15

13 Cłk oznczon Riemnn Definicj Niech f będzie ogrniczon n przedzile [, b]. Cłką oznczoną Riemnn z funkcji f n przedzile [, b] nzywmy liczbę: n f(x)dx = lim f(x k ) x k, δ(p) 0 k=1 o ile grnic po prwej stronie istnieje i nie zleży od podziłu odcink P. Cłk oznczon Riemnn jest polem pod wykresem f n odcinku [, b]. Uwg: pole pod wykresem ujemnej części f (tj. tm gdzie f(x) < 0) liczone jest ze znkiem minus! 10 / 15

14 Sum cłkow przykłd y n f(x k ) x k, δ(p) = 0.5 k=1 f(x) b x 11 / 15

15 Sum cłkow przykłd y n f(x k ) x k, δ(p) = 0.25 k=1 f(x) b x 11 / 15

16 Sum cłkow przykłd y n f(x k ) x k, δ(p) = 0.1 k=1 f(x) b x 11 / 15

17 Sum cłkow przykłd y n f(x k ) x k, δ(p) = 0.05 k=1 f(x) b x 11 / 15

18 Sum cłkow przykłd y f(x)dx f(x) b x 11 / 15

19 Sum cłkow przykłd y 1 + 2π 0 sin xdx = π 2π x 1 12 / 15

20 Twierdzenie Newton-Leibniz Twierdzenie Jeżeli funkcj jest ciągł n przedzile [, b], to: gdzie F jest funkcją pierwotną f. f(x)dx = F (b) F (). Będziemy często używć oznczeni: F (x) = F (b) F (). b 13 / 15

21 Twierdzeni o cłkch oznczonych Cłkownie przez części f(x)g (x)dx = f(x)g(x) b b f (x)g(x)dx Cłkownie przez podstwienie f(x)dx = gdzie φ(α) = i φ(β) = b. β α f(φ(t))φ (t)dt, 14 / 15

22 Twierdzeni o cłkch oznczonych Liniowość cłki oznczonej cf(x)dx = c f(x)dx. ( ) b f(x) + g(x) dx = f(x)dx + g(x)dx. Addytywność względem przedziłu cłkowni f(x)dx = c f(x)dx = f(x)dx + b c f(x)dx. f(x)dx, 15 / 15