Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 15. CAŁKI OZNACZONE. Egzaminy I termin poniedziałek :00 Aula B sala 12B Wydział Informatyki

Transkrypt

1 Ekoenergetyk Mtemtyk 1. Wykłd 15. CAŁKI OZNACZONE Egzminy I termin poniedziłek :00 Aul B sl 12B Wydził Informtyki Definicj (podził odcink) II termin poprwkowy czwrtek :00 WE-030 Podziłem odcink [, ] n n części, gdzie n nzywmy ziór: Stosowne oznczeni P x0 x1 x n {,,, } xk xk xk 1 - długość k-tego odcink podziłu P, gdzie 1k n ( P) mx{ x,1 k n} - średnic podziłu P * xk xk xk 1 k ( ) - punk pośredni k-tego odcink podziłu P, gdzie 1k n Definicj (cłk oznczon Riemnn) Niech funkcj f ędzie ogrniczon n przedzile [, ]. Cłkę oznczoną Riemnn z funkcji f n przedzile [, ] definiujemy wzorem n * ( ) lim ( k) ( P) 0 k1 f x dx f x x k o ile z prwej strony grnic jest włściw orz nie zleży od sposou podziłu P przedziłu [, ] ni od sposou wyoru punktów pośrednich.

2 Przyjmujemy, że f ( x) dx 0 orz f ( x) dx f ( x) dx. Funkcją dl której istnieje cłk oznczon Riemnn n [, ] nzywmy funkcją cłkowlną n [, ]. INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA CAŁKI OZNACZONEJ Pole trpezu krzywoliniowego Niech D ozncz pole trpezu krzywoliniowego ogrniczonego wykresem ciągłej nieujemnej funkcji f, osią OX orz prostymi x=, x=. Pole D trpezu krzywoliniowego jest grnicą sum pól prostokątów Dk proksymujących ten trpez, gdy średnic podziłu ( P) 0. * lim k lim ( k ) k ( ). ( P) 0 k1 ( P) 0 k1 D D f x x f x dx Gdy wykres funkcji f leży pod osią OX, wtedy przyjmujemy, że pole trpezu D jest ujemne. Twierdzenie (wrunek wystrczjący cłkowlności funkcji) Jeżeli f jest ogrniczon n przedzile [, ] i m n tym przedzile skończoną liczę punktów nieciągłości I rodzju (np.: skok lu luk ), to jest n nim cłkowln. Twierdzenie (Newton-Leiniz) Jeżeli funkcj f jest ciągł n przedzile [,, ] to f ( x) dx F( ) F( ). gdzie funkcj F ozncz dowolną funkcję pierwotną funkcji f n tym przedzile.

3 Przykłd Korzystjąc z twierdzeni Newton-Leiniz oliczyć podne cłki: ) ( x 3x 1) dx,) tg x dx, c) sin x dx. 1 0 Twierdzenie (o linowości cłki oznczonej) Jeżeli funkcje f i g są cłkowlne n [,, ] to 1) ( f ( x) g( x)) dx f ( x) dx g( x) dx; 6 2) cf ( x) dx c f ( x) dx, gdzie c. Twierdzenie (o cłkowniu przez części) METODY OBLICZANIA CAŁEK OZNACZONYCH Jeżeli funkcje f i g mją ciągłe pochodne n przedzile [,, ] to Przykłd f ( x) g '( x) dx f ( x) g '( x) f '( x) g( x) dx. Korzystjąc z twierdzeni o cłkowniu przez części oliczyć podne cłki: 3 ) x rctg xdx, ) xsin x dx. 0 0 Twierdzenie (o cłkowniu przez podstwienie) n Jeżeli 1) funkcj :[, ] [, ] m ciągłą pochodną n przedzile [, ], 2) ( ), ( ), 3) funkcj f jest ciągł n przedzile [, ] to f ( x) dx f ( ( t)) '( t) dt.

4 Przykłd Korzystjąc z twierdzeni o cłkowniu przez podstwienie oliczyć podne cłki: 1 2 ln 2 x 2 x ) x x 1 dx,) x e dx, c) e 1 dx Twierdzenie (ddytywność cłki względem przedziłów cłkowni) Jeżeli funkcj f jest cłkowln n przedzile [,, ] orz c (, ) to c f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx. c Definicj (wrtość średni funkcji) Niech f ędzie funkcją cłkowlną n przedzile [., ] Wrtością średnią funkcji f n przedzile [, ] nzywmy liczę f sr 1 f ( x) dx Uwg Wrtość średni funkcji f n przedzile [, ] jest wrtością prostokąt o podstwie -, którego pole jest równe polu trpezu krzywoliniowego ogr. wykresem funkcji f, osią OX i prostymi x=, x=

5 Przykłd Oliczyć wrtość średnią funkcji f ( x) sin x n przedzile [0, ] Twierdzenie (cłkowe o wrtości średniej funkcji) Jeżeli funkcj f jest ciągł n przedzile [,, ] to c (, ) : f f ( c),tzn. f ( x) dx ( ) f ( c). sr Fkt (cłk funkcji nieprzystej, przystej) Jeżeli funkcj f jest cłkowln n przedzile [,, ] orz jest 1) nieprzyst, to f ( x) dx 0; 2) przyst, to f ( x) dx 2 f ( x) dx; 0

6 Definicj (funkcj górnej grnicy cłkowni) Niech f ędzie funkcją cłkowlną n przedzile [, ] orz niech c [, ]. Funkcję x F( x) f ( t) dt, gdzie x [, ] nzywmy funkcją górnej grnicy cłkowni. Fkt (pole trpezu krzywoliniowego) c ZASTOSOWANIE CAŁEK NIEOZNACZONYCH W GEOMETRII 1) Niech funkcje d i g ędą ciągłe n przedzile [, ] orz niech d( x) g( x) dl kżdego x [, ]. Wtedy pole trpezu krzywoliniowego D ogrniczonego wykresmi funkcji d i g orz x=, x= wyrż się wzorem D [ g( x) d( x)] dx; 2) Niech funkcje d i g ędą ciągłe n przedzile [ pq, ] orz niech d( y) g( y) dl kżdego y [ p, q]. Wtedy pole trpezu krzywoliniowego D ogrniczonego wykresmi funkcji d i g orz y=p, y=q wyrż się wzorem q D [ g( y) d( y)] dy. p Przykłd Oliczyć pole figur geometrycznych ogrniczonych podnymi krzywymi: 2 ) y x 6x 4, y 3 x,) y 2 x, y 3 x, y 0.

7 Fkt (długość krzywej) Niech funkcj f m ciągłą pochodną n przedzile [., ] Wtedy długość krzywej {( x, f ( x)) : x [, ]} wyrż się wzorem 2 1 ( f '( x)) dx. Oliczyć długość łuku krzywej y ln cos x, 0 x. 3 Fkt (ojętość ryły orotowej) Niech funkcj nieujemn f ędzie ciągł n przedzile [., ] Pondto niech T ozncz trpez krzywoliniowy ogrniczony wykresem funkcji f, osią OX orz prostymi x=, x=. Wtedy 1) ojętość ryły V powstłej z orotu trpezu krzywoliniowego T wokół osi OX wyrż się wzorem V f 2 ( x) dx. 2) ojętość ryły V powstłej z orotu trpezu krzywoliniowego T wokół osi OY wyrż się wzorem V 2 xf ( x) dx.

8 Przykłd Oliczyć ojętość ryły powstłej z orotu podnej figury T wokół wskznej osi x 0 y xe, 0 x 4 wokół osi OX. Fkt (pole powierzchni orotowej) 1) Niech funkcj nieujemn f m ciągłą pochodną n przedzile [., ] Wtedy pole powierzchni powstłej z orotu wykresu funkcji f wokół osi OX wyrż się wzorem 2 2 f ( x) 1 ( f '( x)) dx. 2) Niech funkcj f m ciągłą pochodną n przedzile [,, ] gdzie 0. Wtedy pole powierzchni powstłej z orotu wykresu funkcji f wokół osi OY wyrż się wzorem 2 2 x 1 ( f '( x)) dx.