XI. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Całka podwójna Całka podwójna po prostokącie. Oznaczenia:

Transkrypt

1 XI. Rhunek łkowy funkji wielu zmiennyh. 1. Cłk podwójn Cłk podwójn po prostokąie. Oznzeni: P = {(x, y) R 2 : x b, y d} = [, b] [, d] - prostokąt n płszzyźnie, f(x, y) - funkj określon i ogrnizon n P, p - podził prostokąt P n n prostokątów P 1, P 2,..., P n, P i - i-ty prostokąt, i = 1,..., n, P i - pole i-tego prostokąt, i = 1,..., n, (ξ i, η i ) - dowolny punkt prostokąt P i, f(ξ i, η i ) P i - objętość prostopdłośinu, którego podstwą jest prostokąt P i, S := S(f, p) = n i=1 f(ξ i, η i ) P i - sum pośredni, δ = δ(p) - średni podziłu p, tzn. njdłuższ z przekątnyh δ i prostokątów P i, tzn. δ = mx 1 i n δ i. Weźmy terz iąg podziłów {p k } prostokąt P. ostjemy wtedy iąg średni {δ k } orz iąg sum pośrednih {S k }. efinij 1.1. Ciąg {p k } podziłów prostokąt P nzywmy normlnym, jeśli lim δ k = 0. k 1

2 efinij 1.2. Jeżeli dl kżdego normlnego iągu {p k } podziłów prostokąt P odpowidjąy mu iąg sum pośrednih S k = S(f, p k ) jest zbieżny zwsze do tej smej grniy niezleżnie od doboru punktów pośrednih, to grnię tę nzywmy łką podwójną funkji f po prostokąie P i oznzmy symbolem f(x, y) dx dy, tzn. P P f(x, y) dx dy = lim δk 0 S(f, p k). O funkji f mówimy wtedy, że jest łkowln po prostokąie P. Uwg. (interpretj geometryzn) Jeżeli f(x, y) 0 dl (x, y) P, to P f(x, y) dx dy przedstwi objętość bryły V ogrnizonej płszzyznmi z = 0, x =, x = b, y =, y = d orz powierzhnią z = f(x, y) dl (x, y) P, tj. V = f(x, y) dx dy. P Fkt 1.3. Funkj iągł n prostokąie P jest n nim łkowln. Fkt 1.4. (włsnośi łek podwójnyh) Nieh funkje f i g będą łkowlne po prostokąie P, α, β R, P = P 1 P 2, gdzie P 1, P 2 są dowolnymi prostokątmi o rozłąznyh wnętrzh. Wtedy (i) P (α f(x, y) + β g(x, y)) dx dy = P f(x, y) dx dy + P g(x, y) dx dy, (ii) P f(x, y) dx dy = P 1 f(x, y) dx dy + P 2 f(x, y) dx dy. 2

3 Twierdzeni 1.5. (o zminie łki podwójnej n łki iterowne) Jeżeli funkj f jest iągł n prostokąie P = [, b] [, d], to ( d ) d ( ) f(x, y) dx dy = f(x, y) dy dx = f(x, y) dx [,b] [,d] dy. Piszemy również d ( d ( ) f(x, y) dy ) f(x, y) dx dx = dy = d dx dy d f(x, y) dy, f(x, y) dx. Powyższe łki nzywmy łkmi iterownymu funkji f po prostokąie P = [, b] [, d]. Przykłd Oblizymy łki z podnyh funkji f po wskznyh prostokąth () f(x, y) = x 2 + xy + y 2 + 3, P = [0, 2] [1, 2], [ (b) f(x, y) = sin(x + y), P = π 4, π ] [ 0, π ]. 4 4 Twierdzenie 1.6. Jeżeli f(x, y) = g(x) h(y) orz funkje g i h są iągłe odpowiednio n [, b] orz [, d], to ( ) ( d ) f(x, y) dx dy = g(x) dx h(y) dy. [,b] [,d] Przykłd Oblizymy łki:. [ 1,2] [0,1] xy(x + y) dx dy, b. [0,1] [0,1] e x+y dx dy. 3

4 1.2. Cłk podwójn w dowolnym obszrze. Złóżmy, że funkj f(x, y) jest określon i ogrnizon w dowolnym ogrnizonym zbiorze E R 2. Poniewż E jest ogrnizony to istnieje prostokąt P tki, że E P. Określmy nową funkję f 0 (x, y) określoną i ogrnizoną w prostokąie P w nstępująy sposób: { f(x, y), gdy (x, y) E f 0 (x, y) := 0, gdy (x, y) P \ E. efiniujemy f(x, y) dx dy = E P f 0 (x, y) dx dy Cłk podwójn w obszrze normlnym. efinij 1.7. (obszrów normlnyh względem osi ukłdu współrzędnyh) (i) Obszr domknięty nzywmy obszrem normlnym względem osi Ox, jeżeli możn go zpisć w posti = {(x, y) R 2 : x b, g(x) y h(x)}, gdzie funkje g i h są iągłe n przedzile [, b] orz g(x) < h(x) dl x (, b). (ii) Obszr domknięty nzywmy obszrem normlnym względem osi Oy, jeżeli możn go zpisć w posti = {(x, y) R 2 : y d, p(y) x q(y)}, gdzie funkje p i q są iągłe n przedzile [, d] orz p(y) < q(y) dl y (, d). 4

5 Przykłd Nrysujemy i opiszemy obszry ogrnizone krzywymi:. y = x 2, y = x; b. x 2 + y 2 = 1;. y = 1, y = x, y = 2x, x > 0. x Twierdzenie 1.8. (i) Jeżeli funkj f jest iągł n obszrze domkniętym i normlnym względem osi Ox = {(x, y) R 2 : x b, g(x) y h(x)}, to f(x, y) dx dy = ( ) h(x) f(x, y) dy g(x) dx =: dx h(x) g(x) f(x, y) dy. (ii) Jeżeli funkj f jest iągł n obszrze domkniętym i normlnym względem osi Oy = {(x, y) R 2 : y d, p(y) x q(y)}, to f(x, y) dx dy = d ( ) q(y) f(x, y) dx dy =: p(y) d dy q(y) p(y) f(x, y) dx. Przykłd Oblizymy łkę z funkji f(x, y) = (x y)e y po obszrze ogrnizonym krzywymi: x = 0, x = 2, 2y = x, y = 2x. Przykłd Oblizymy łkę z funkji f(x, y) = xy po obszrze ogrnizonym krzywymi: x = 0, x = π, y = sin x, y = 0. 5

6 Przykłd Oblizymy łkę podwójną (x2 xy) dx dy, gdzie = {(x, y) R 2 : y x, y 3x x 2 }. Przykłd Oblizymy łkę podwójną y dx dy, gdzie = {(x, y) R 2 : x r sin y, y 2 2, x 0}. 6

7 1.4. Zmin zmiennyh w łe podwójnej. efinij 1.9. Nieh E i będą obszrmi odpowiednio n płszzyznh Ouv i Oxy. Przeksztłeniem obszru E w obszr nzywmy funkję Φ : E określoną wzorem gdzie (u, v) E. efiniujemy (x, y) = Φ(u, v) = (ϕ 1 (u, v), ϕ 2 (u, v)), Φ(E) := {(x, y) R 2 : x = ϕ 1 (u, v), y = ϕ 2 (u, v), (u, v) E}. Przykłd (współrzędne biegunowe) Nieh ρ, ϕ oznzją współrzędne biegunowe punktu (x, y), gdzie ϕ [0, 2π] - mir kąt między dodtnią zęśią osi Ox promieniem wodząym punktu P, ρ 0 - odległość punktu P od pozątku ukłdu współrzędnyh. Zhodzą zleżnośi Φ : x = ρ os ϕ, y = ρ sin ϕ. Przeksztłenie Φ, które punktowi (ρ, ϕ) przyporządkowuje punkt (x, y) określone powyższymi wzormi nzywmy przeksztłeniem biegunowym. Przykłdy opisu obszrów we współrzędnyh biegunowyh. Koło o środku w punkie (0, 0) i promieniu r > 0 E = {(ρ, ϕ) : 0 ρ r, 0 ϕ 2π}, Wyinek koł o środku w punkie (0, 0) i promieniu r > 0 E = {(ρ, ϕ) : 0 ρ r, α ϕ β}, 7

8 Pierśień kołowy o środku w punkie (0, 0), promieniu wewnętrznym r > 0 i zewnętrznym R E = {(ρ, ϕ) : r ρ R, 0 ϕ 2π}, Koło o środku w punkie (r, 0) i promieniu r > 0 E = {(ρ, ϕ) : π 2 ϕ π } 2, 0 ρ 2r os ϕ, Koło o środku w punkie (0, r) i promieniu r > 0 E = {(ρ, ϕ) : 0 ϕ π, 0 ρ 2r sin ϕ}. efinij (jkobinu) Jkobinem przeksztłeni Φ(u, v) = (ϕ 1 (u, v), ϕ 2 (u, v)) nzywmy funkję określoną nstępująo J Φ(u, v) := ϕ 1 u ϕ 2 u ϕ 1 v ϕ 2 v. Przykłd (jkobin przeksztłeni biegunowego) Sprwdzimy, że jkobin przeksztłeni biegunowego Φ(ρ, ϕ) = (ρ os ϕ, ρ sin ϕ) jest równy ρ. 8

9 Twierdzenie (o zminie zmiennyh w łe podwójnej) Złóżmy, że spełnione są nstępująe wrunki: (i) przeksztłenie Φ : x = ϕ 1 (u, v), y = ϕ 2 (u, v) odwzorowuje w sposób wzjemnie jednoznzny wnętrze obszru E płszzyzny Ouv n pewien obszr płszzyzny Oxy; (ii) funkje ϕ 1, ϕ 2 mją iągłe pohodne ząstkowe pierwszego rzędu w pewnym zbiorze otwrtym zwierjąym obszr E; (iii) funkj f(x, y) jest iągł n obszrze ; (iv) jkobin J Φ jest różny od zer wewnątrz obszru E. Wówzs f(x, y) dx dy = E f(ϕ 1 (u, v), ϕ 2 (u, v)) J Φ(u, v) du dv. Uwg. Przy zminie zmiennyh n współrzędne biegunowe w łe podwójnej otrzymmy: f(x, y) dx dy = f(ρ os ϕ, ρ sin ϕ) ρ dρ dϕ. E Przykłd Oblizymy łkę podwójną e (x2 +y 2) dx dy, gdzie jest obszrem ogrnizonym krzywą x 2 + y 2 = 2. Przykłd Oblizymy łkę podwójną dx dy x 2 +y 2 1, gdzie jest obszrem ogrnizonym krzywymi x 2 + y 2 = 9, x 2 + y 2 = 25. 9

10 1.5. Zstosownie łek podwójnyh w geometrii. 1. Pole obszru regulrnego R 2 wyrż się wzorem = dx dy. Przykłd Oblizymy pole obszru ogrnizonego krzywymi x = y 2 i x = Objetość bryły V R 3 położonej nd obszrem regulrnym R 2 i ogrnizonej z dołu i z góry odpowiednio wykresmi funkji z = f(x, y) i z = g(x, y), tj. wyrż się wzorem V = {(x, y, z) : (x, y), f(x, y) z g(x, y)}, V = [g(x, y) f(x, y)] dx dy. Przykłd Oblizymy objętość bryły V ogrnizonej powierzhnimi x 2 + y 2 + z 2 = 9 i x 2 + y 2 = Pole płt Σ, który jest wykresem funkji z = f(x, y), gdzie (x, y), wyrż się wzorem Σ = 1 + (f x ) 2 + (f y ) 2 dx dy, przy złożeniu, że f x i f y są iągłe n R 2. Przykłd Oblizymy pole zęśi powierzhni z = f(x, y) = 8 2x 2y odiętej powierzhnimi x = 0, y = 0, z = 0. 10