VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona

Transkrypt

1 VI. Rchunek cłkowy. Cłk nieoznczon Niech F : I R i f : I R będą funkcjmi określonymi n pewnym przedzile I R. Definicj. Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I, gdy F (x) = f(x) dl x I. Zuwżmy, że jeżeli F jest funkcją pierwotną funkcji f, to dl dowolnej stłej C R (F (x) + C) = F (x) + = f(x). Ztem F + C jest inną funkcją pierwotną tej smej funkcji f n przedzile I. Co więcej, jeśli F i F 2 są dwiem różnymi funkcjmi pierwotnymi tej smej funkcji f n przedzile I, to (F 2 (x) F (x)) = F 2(x) F (x) = f(x) f(x) =. Ale z powyższego i z włsności pochodnej wynik, że funkcj F 2 F jest stł, tzn. F 2 (x) F (x) = C dl pewnej stłej C R, czyli F 2 (x) = F (x) + C. Podsumowując, wyrżenie F (x) + C, gdzie F jest ustloną funkcją pierwotną funkcji f, C jest dowolną stłą rzeczywistą, jest ogólną postcią funkcji pierwotnej funkcji f, czyli funkcji któr m pochodną równą f(x). Definicj 2. Wyrżenie F (x) + C nzywmy cłką nieoznczoną funkcji f, co zpisujemy f(x) = F (x) + C. Uwg 7. Symbol f(x) nie jest jednoznczny. Kżd funkcj m nieskończenie wiele funkcji pierwotnych różniących się o stłą. Ztem symbol f(x) nleży rozumieć jko ustloną funkcję pierwotną funkcji f z dokłdnością do dodnej dowolnej stłej C, zwnej stłą cłkowni. Twierdzenie. Kżd funkcj ciągł w przedzile I posid w tym przedzile funkcję pierwotną. Inczej mówiąc kżd funkcj ciągł posid cłkę nieoznczoną. Przykłd. Funkcj F (x) = 3 x3, x R jest funkcją pierwotn funkcji f(x) = x 2, x R, gdyż F (x) = 3 3x3 = x 2 dl x R. Ztem piszemy x 2 = 3 x3 + C. Przykłd 2. Funkcją pierwotną funkcji f(x) = x, x > n przedzile I = (, + ) jest funkcj F (x) = ln x, gdyż dl x (, + ) F (x) = x. Symbol wprowdził mtemtyk i filozof niemiecki Gottfried Leibniz (646 76). Jest to stylizown liter S od łcińskiego słow summ, czyli sum.

2 VI. Rchunek cłkowy Rozwżmy funkcję F 2 (x) = ln( x), x <. Poniewż dl x (, ) F 2(x) = x ( ) = x, więc funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I 2 = (, ) jest funkcj F 2 (x) = ln( x) = ln x. Ob te fkty zpisuje się trdycyjnie jednym wzorem cłkowym (choć nieprecyzyjnie, gdyż w różnych przedziłch mogą występowć różne stłe cłkowni C) = ln x + C. x Cłki nieoznczone niektórych funkcji = C tg x = ln cos x + C = x + C ctg x = ln sin x + C x = 2 x2 + C x = ln x + C sin 2 x = ctg x + C cos 2 x = tg x + C = x 2 x + C = 2 +x 2 rctg x + C x = 2 x + C = x ln x x+ + C x α = α+ xα+ + C, α + x 2 = x 2 + x ln x + x C e x = e x + C x 2 = x 2 x rcsin x + C x = ln x + C, >, sin x = cos x + C cos x = sin x + C +x 2 x 2 = ln x + + x 2 + C = rcsin x + C ln x = x ln x x + C Przy cłkowniu wielu funkcji korzystmy z nstępujących twierdzeń Twierdzenie 2. Jeżeli funkcje f i g posidją funkcje pierwotne, to funkcje f + g i f g orz λ f, gdzie λ R, posidją funkcje pierwotne i (f(x) ) + g(x) = f(x) + g(x), (f(x) ) g(x) = f(x) g(x), λf(x) = λ f(x). Przykłd 3. (x 2 ) 2 = (x 4 2x 2 + ) = x 4 2 x 2 + = 5 x5 2 3 x3 + x + C. Twierdzenie 3 (o cłkowniu przez części). Jeżeli funkcje f i g są różniczkowlne w przedzile I, to f(x)g (x) = f(x)g(x) f (x)g(x). 5

3 VI. Rchunek cłkowy Przykłd 4. xe x = f(x) = x, g (x) = e x = xe x f (x) =, g(x) = e x e x = xe x e x + C. Twierdzenie 4 (o cłkowniu przez podstwienie). Niech I orz J będą przedziłmi. Jeżeli: ) funkcj ω : J I jest różniczkowln w przedzile J, 2) funkcj F : I R jest funkcją pierwotną funkcji f : I R, tzn. 2 f(t)dt = F (t) + C, to funkcj F ω jest funkcją pierwotną funkcji f ω ω, tzn. f ( ω(x) ) ω (x) = F (ω(x)) + C. Przykłd 5. ln x x = ln x x = t = ln x, dt = x = tdt = 2 t2 + C = 2 (ln x)2 + C. Włsność 4. Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f w przedzile I. Wówczs f(x + b) = F (x + b) + C. W szczególności: f(x) = F (x) + C orz f(x + b) = F (x + b) + C. Przykłd 6. sin 2x = 2 cos 2x + C orz sin(x 3) = cos(x 3) + C. Włsność 5. Jeśli f jest funkcją różnoczkowlną w przedzile I, to ) przy złożeniu, że f(x) dl x I 2) przy złożeniu, że f(x) > dl x I f (x) = ln f(x) + C, f(x) f (x) f(x) = 2 f(x) + C. Przykłd 7. 2x x 2 + = ln x2 + + C = ln(x 2 + ) + C orz 2x x 2 + = 2 x C. 2 Wzór n cłkownie przez podstwienie podje się też w wygodnej postci f ( ω(x) ) ω (x) = f(t)dt, gdzie po prwej stronie wprowdzono nową zmienną cłkowni t = ω(x). Po obliczeniu cłki po prwej stronie nleży podstwić z t funkcję ω(x). 52

4 VI. Rchunek cłkowy Twierdzenie 5. Cłkę z funkcji wymiernej R wyzncz się rozbijjąc R n sumę ułmków prostych i wielominu. Sprowdz sie w ten sposób obliczenie cłki z funkcji wymiernej do obliczeni sumy cłek z wielominu i ułmków prostych czyli funkcji wymiernych postci A (x + ) n orz Ax + B (x 2 + px + q) m, gdzie p 2 4q <. Korzystmy przy tym również ze wzoru rekurencyjnego ( + x 2 ) n = x 2n 3 2n 2 ( + x 2 + ) n 2n 2 ( + x 2 ) n. Przykłd 8. ( (x )x = x ) = x x x = ln x ln x + C = ln x x + C. 2. Cłk oznczon Niech f będzie funkcją określoną i ogrniczoną n przedzile domkniętym, b, przy czym < b. Podzielmy przedził, b n n przedziłów dowolnie wybrnymi punktmi x, x 2,..., x n zkłdjąc, że = x < x < x 2 <... < x n < x n = b. Podził ten oznczmy symbolem P n. Długość przedziłu x i, x i oznczmy x i = x i x i, i =, 2,..., n. Długość njdłuższego z odcinków podziłu P n oznczmy przez δ n i nzywmy średnicą podziłu P n. Z kżdego przedziłu x i, x i wybiermy dowolny punkt t i x i, x i, nstępnie tworzymy nstępującą sumę zwną sumą cłkową Riemnn S n = f(t ) x + f(t 2 ) x f(t n ) x n. Łtwo zuwżyć, że jeżeli m f(x) M dl x, b, to m(b ) S n M(b ). Możemy tworzyć różne podziły dnego przedziłu, b. Ciąg tkich podziłów (P n ) nzywmy ciągiem normlnym podziłów przedziłu, b, gdy lim n δ n =. Definicj 3. Jeżeli ciąg sum cłkowych (S n ) jest zbieżny do tej smej grnicy włściwej przy kżdym (wyznczjącym ją) ciągu normlnym podziłów (P n ) przedziłu, b, to grnicę tę nzywmy cłką oznczoną Riemnn funkcji f w przedzile, b i oznczmy symbolem b f(x). Funkcję, któr posid cłkę oznczoną nzywmy funkcją cłkowlną w przedzile, b. Dodtkowo, jeśli > b przyjmujemy jeśli = b, to przyjmujemy b f(x) = b f(x) =. f(x), Twierdzenie 6. Kżd funkcj ciągł w przedzile, b jest w tym przedzile cłkowln. Twierdzenie 7. Kżd funkcj ogrniczon w przedzile, b i mjąc w nim tylko skończoną liczbę punktów nieciągłości jest cłkowln. 53

5 VI. Rchunek cłkowy Twierdzenie 8. Kżd funkcj monotoniczn i ogrniczon jest cłkowln. Twierdzenie 9. Jeżeli funkcje f i g są cłkowlne w przedzile, b orz λ R, to funkcje f + g, f g, λf, f g są cłkowlne w przedzile, b. Pondto b b ( ) b f(x) + g(x) = f(x) + ( ) b f(x) g(x) = f(x) b b b ( ) b λf(x) = λ f(x). g(x), g(x), Twierdzenie. Jeżeli funkcj f jest cłkowln w przedzile, b orz c, b, to b f(x) = c f(x) + b c f(x). Twierdzenie. Jeżeli funkcje f i g są cłkowlne w przedzile, b i f(x) g(x) dl kżdego x, b, to b f(x) b g(x). Twierdzenie 2 (Podstwowe twierdzenie rchunku cłkowego). Niech f :, b R i niech F :, b R będzie funkcją ciągłą w przedzile domkniętym, b. Jeśli F jest funkcją pierwotną funkcji f w przedzile otwrtym (, b), to b f(x) = F (b) F (). Uwg 8. Powyższe twierdzenie dje zwizek między cłką oznczoną cłką nieoznczoną (funkcją pierwotną). Często prwą stronę powyższego wzoru zpisujemy w postci [ F (x) ] b lbo w postci F (x) b lbo też [ F (x) ] x=b. Ztem powyższy wzór możn npisć jko x= b f(x) = [ F (x) ] b. Przykłd 9. Przykłd. x = x 2 = [ 2 3 x 3 2 ] = 2 3 = 2 3. π Przykłd. Dl dowolnego b > sin x = [ cos x ] π = cos π ( cos ) = ( ) + = 2. b x = [ ln x ] b = ln b ln = ln b = ln b. Stąd też inn definicj liczby e jko jedynej liczby rzeczywistej b o tej włsności, że b x =. 54

6 VI. Rchunek cłkowy 3. Interpretcj geometryczn cłki oznczonej Riemnn Niech f i g będą funkcjmi cłkowlnymi w przedzile domkniętym, b. Cłk oznczon m prostą interpretcję geometryczną w prostokątnym ukłdzie współrzędnych. Twierdzenie 3. Jeżeli f(x) g(x) dl kżdego x, b, to pole P obszru płskiego określonego ukłdem nierówności x b, równ się cłce oznczonej f(x) y g(x) b ( g(x) f(x) ). Przykłd 2. Pole obszru opisnego ukłdem nierówności x, jest równe x 2 y x 2 ( x 2 (x 2 ) ) = (2 2x 2 ) = [ 2x 2 3 x3] = (2 2 3 ) ( ) = Przykłd 3. Obliczymy pole koł o promieniu r > i środku w punkcie S = (, ). Jest to figur opisn w prostokątnym ukłdzie współrzędnych nierównościmi r x r, Ztem pole koł jest równe r r r 2 x 2 y r 2 x 2. ( r 2 x 2 ( r 2 x 2 ) ) r = 2 r 2 x 2 = [ x r 2 x 2 + r 2 rcsin x ] r r r = = ( + r 2 rcsin ) ( + r 2 rcsin( )) = r 2 π 2 r2 ( π 2 ) = πr2, gdyż wrtość rcsin = π 2 orz rcsin( ) = π 2. Przykłd 4. Pole obszru opisnego nierównościmi x, jest równe r x 2 y x ( x x 2 ) = [ 2 3 x x3] = ( ) ( ) = 3. Przykłd 5. Pole obszru opisnego nierównościmi x, y +x 2 jest równe ( ) = [ rctg x ] +x 2 = rctg rctg( ) = π 4 ( π 4 ) = π 2. 55

7 VI. Rchunek cłkowy 4. Inne zstosownie cłki oznczonej Twierdzenie 4. Jeżeli funkcj f m ciągłą pochodną f w przedzile, b, to długość łuku krzywej n płszczyźnie opisnej równniem y = f(x) dl x, b, wyrż się wzorem L = b + ( f (x) ) 2. Przykłd 6. Obliczymy długość tk zwnej krzywej łńcuchowej, tzn. krzywej, której ksztłt przyjmują n przykłd druty telegrficzne roziągnięte miedzy słupmi lub mosty ugięte pod włsnym ciężrem. Krzyw t m równnie y = 2 (ex + e x ), x,, gdzie >. Niech f(x) = 2 (ex + e x ), x,. Wtedy f (x) = 2 (ex e x ), więc długość krzywej łńcuchowej wynosi L = + ( f (x) ) 2 = + ( 2 (ex e x ) ) 2 = 4 e2x e 2x = ( = 2 ex + 2 e x) 2 ( = 2 e x + e x) = [ ( 2 e x e x)] = ( 2 e e ) 2( e e ) = e e. Twierdzenie 5. Niech f będzie funkcją posidjącą ciągłą pochodną w przedzile, b i tką, że f(x) dl wszystkich x, b. Jeżeli F jest figurą płską określoną nierównościmi x b, y f(x), to obrcjąc figurę F dookoł osi x otrzymujemy figurę G, której: ) objętość V wyrż się wzorem V = π 2) pole powierzchni bocznej S wyrż się wzorem S = 2π b b ( f(x) ) 2, f(x) + ( f (x) ) 2. Przykłd 7. Obliczymy objętość figury powstłej przez obrót krzywej y = x dl x, b. V = π b ( x) 2 = π b x = π [ 2 x2] b = πb

8 VI. Rchunek cłkowy 5. Cłk niewłściw Niech f :, b) R będzie funkcją cłkowlną w kżdym przedzile domkniętym, β, gdzie < β < b; istnieje więc cłk () I(β) = β f(x) dl kżdego β < b. Punkt b nzywć będziemy punktem osobliwym funkcji f, jeżeli lbo b = +, więc przedził, b) jest nieskończony, lbo b jest liczb skończoną, lecz funkcj f nie jest ogrniczon w otoczeniu punktu b. Jeżeli b jest punktem osobliwym funkcji f i cłk () dąży do określonej grnicy, gdy β b, to grnicę tę nzywmy cłką niewłściwą funkcji f n przedzile, b) i oznczmy przez b f(x). Mmy więc b β f(x) = lim f(x). β b Cłk niewłściw nie istnieje, jeśli nie istnieje t grnic. Anlogicznie określmy cłkę niewłściwą funkcji f określonej w przedzile (, b, gdy jest punktem osobliwym, tj. lbo =, lbo funkcj f nie jest ogrniczon w otoczeniu punktu. Zkłdjąc, że funkcj jest cłkowln w kżdym przedzile α, b, gdzie < α < b, przyjmujemy b f(x) = lim α b α f(x). Przykłd 8. Funkcj f(x) = x 2 m w przedzile, + ) cłkę niewłściwą równą, gdyż + x 2 = β lim β + x 2 = ( lim ) β + β + =. Przykłd 9. Cłk niewłściw funkcji f(x) = x w przedzile (, nie istnieje, bo x = lim α α x = lim (ln ln α) = +. α Jeżeli funkcj f m w przedzile (, b) więcej punktów osobliwych (lecz skończoną ilość), dzielimy przedził cłkowni n części mjące po jednym punkcie osobliwym n początku lub n końcu przedziłu, obliczmy cłki niewłściwe w tych przedziłch i sumę otrzymnych cłek (jeśli wszystkie istnieją) nzywmy cłką niewłściwą funkcji f w przedzile (, b). Przykłd x 2 = + + x 2 + = lim ( rctg α) + lim α + x 2 = lim α α β + (rctg β) = π 2 + π 2 = π. β + x 2 + lim β + + x 2 = 57