Analiza Matematyczna. Całka Riemanna

Transkrypt

1 Anliz Mtemtyczn. Cłk Riemnn Aleksnder Denisiuk Polsko-Jpońsk Wyższ Szkoł Technik Komputerowych Wydził Informtyki w Gdńsku ul. Brzegi Gdńsk 29 kwietni / 2

2 Cłk Riemnn Njnowsz wersj tego dokumentu dostępn jest pod dresem ØØÔ»»Ù Ö ºÔ Û Ø º ÙºÔл Ò Ù» 2 / 2

3 Definicj cłki oznczonej Niech f(x) będzie funkcj ogrniczon n skończonym przedzile [,b]. Definicj Niech dne będ punkty = x < x 1 < < x n = b. Mówimy wówczs, że określony jest podziłp n przedziłu(,b). 2. Przedziły[x i 1,x i ], gdziei = 1,2,...,n, nzwiemy przedziłmi czstkowymi podziłu. 3. Długości przedziłów[x i,x i 1 ] oznczmy przez i ( i = x i x i 1 ), mksymln z nich, (P n ) = mx nzwiemy średnic podziłup n. i=1,...,n i 3 / 2

4 Definicj cłki oznczonej, cd 4. Niech dne będ również węzły ξ i [x i 1,x i ], gdzie i = 1,...,n. SumęS(f,P n ) = n f(ξ i ) i nzwiemy sum cłkow. 5. Grnicę (o ile istnieje) n lim (Pn) i=1 oznczon (cłk Riemnn), oznczmy S(f,P n ) nzwiemy cłk f(x) dx. Funkcj f(x) nzyw się wówczs cłkowln n przedzile[,b]. 4 / 2

5 Sens geometryczny cłki oznczonej =x x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 =b ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ 4 ξ 5 Rysunek 1: Sens geometryczny cłki Riemnn 5 / 2

6 Sens geometryczny cłki oznczonej, cd Niech będzief(x) dlx [,b]. Sum cłkow, odpowidjc podziłowip n i wyborowi węzłówξ i równ jest polu figury, złożonej z prostoktów, zobcz rysunek 1. Grnic pól tkich figur, czyli cłk zgdz się z polem trpezu krzywoliniowego, i.e., obszru ogrniczonego łukiem krzywejy = f(x), odcinkiem osiox orz prostymix = ix = b. Jeżeli zś w przedzile[,b] jestf(x), to nlogiczne pole równ się f(x)dx. 6 / 2

7 Klsy funkcji cłkowlnych Twierdzenie 2. Cigł w przedzile[,b] funkcj jest cłkowln. Twierdzenie 3. Funkcj ogrniczon i cigł w przedzile[,b] z wyjtkiem co njwyżej skończonej liczby punktów jest cłkowln. Twierdzenie 4. Monotoniczn w przedzile[,b] funkcj jest cłkowln. 7 / 2

8 Sum i różnic cłek Twierdzenie 5. Niech funkcje f(x) i g(x) będ cłkowlne w przedzile[, b]. Wtedy f(x) ± g(x) będzie funkcj ( ) f(x)±g(x) dx = f(x)dx± g(x)dx. orz cłkowln Dowód. Rozwżmy sumy cłkowe: n ( S(f ±g,p n ) = f(ξi )±g(ξ i ) ) i = i=1 n = f(ξ i ) i ± i=1 i=1 n g(ξ i ) i = S(f,P n )±S(g,P n ). 8 / 2

9 Liniowość cłki względem mnożeni przez liczbę Twierdzenie 6. Niech funkcjf(x) będzie cłkowln w przedzile [, b]. Wtedy λf(x), gdzie λ R będzie funkcj λf(x)dx = λ f(x)dx. cłkowln orz Dowód. nlogicznie do twierdzeni 5 9 / 2

10 Włsności funkcji cłkowlnych Twierdzenie 7. Niech funkcje f(x) i g(x) będ cłkowlne w przedzile[, b]. Wtedy f(x) g(x) będzie funkcj cłkowln. Twierdzenie 8. Niech funkcjf(x) będzie cłkowln w przedzile [,b]. Wtedy f(x) też będzie funkcj cłkowln. Twierdzenie 9. Niech funkcjf(x) będzie cłkowln w przedzile [, b]. Wtedy f(x) będzie cłkowln w dowolnym przedzile [c,d] [,b]. 1 / 2

11 Włsności funkcji cłkowlnych, cd. Definicj 1. Umówmy się, że dl fukcjif(x), cłkowlnej w przedzile[,b] b f(x)dx = f(x)dx =. f(x)dx Twierdzenie 11. Niech funkcjf(x) będzie cłkowln w przedziłch[,c] orz[c,b]. Wtedyf(x) będzie cłkowln w przedzile[,b] orz f(x)dx = c f(x)dx+ c f(x)dx. 11 / 2

12 Oszcownie cłek Twierdzenie 12. Niech funkcjf(x) będzie cłkowln w przedzile[,b] orzf(x) przyx [,b]. Wtedy f(x)dx. Dowód. S(f,P n ) = n f(ξ i ) i. i=1 Wniosek 13. Niech funkcje f(x) i g(x) będ cłkowlne w przedzile[,b] orzf(x) g(x) przyx [,b]. Wtedy f(x)dx g(x) dx. 12 / 2

13 Oszcownie cłek, cd. Wniosek 14. Niech funkcjf(x) będzie cłkowln w przedzile [,b]. Wtedy f(x)dx f(x) dx. Twierdzenie 15. Niech funkcjf(x) będzie cłkowln w przedzile[,b],m = sup x [,b] m µ M, tkie że f(x),m = inf f(x). Wtedy µ, x [,b] f(x)dx = µ (b ). 13 / 2

14 Cłk oznczon cłk nieoznczon Twierdzenie 16. Niech funkcjf(x) będzie cigł w przedzile [,b]. Wtedy x f(t)dt jest funkcj pierwotn dlf(x). Wniosek 17. Niech funkcjf(x) będzie cigł w przedzile[,b]. Wtedy istnieje funkcj pierwotn dlf(x). Wniosek 18 (Twierdzenie ). Niech funkcj f(x) będzie cigł w przedzile[,b],f(x) będzie funkcj pierwotn. Wtedy f(x)dx = F(x) F(x) b = F(b) F(). b, gdzie użyto oznczenie Dowód. F(x) = x f(t)dt+c. 14 / 2

15 Przykłdy π 1 x n dx = xn+1 n+1 1 = 1 n+1, n 1, sinxdx = cosx π = 2, = 4rctgx 1+x 1 = 2 π. 4 dx 15 / 2

16 Zmin zmiennej w cłce oznczonej Twierdzenie 19. Niech funkcjϕ (x) będzie cigł w przedzile [α,β], funkcjϕ(x) będzie monotoniczn w tym przedzile, g(t) będzie cigł w przedzile(ϕ(α),ϕ(β)). Wtedy β α g(ϕ(t))ϕ (t)dt = ϕ(β) ϕ(α) g(x) dx. Dowód. Niech G(x) będzie funkcj pierwotn dlg(x). Wtedy G ( ϕ(t) ) będzie funkcj pierwotn dlg(ϕ(t)). 16 / 2

17 Przykłdy x 1+x 2 dx = π/2. 1+x2 = t 2xdx = dt = tdt = t3/2 2 1 = sin 3 π/2 xdx = sinx(1 cos 2 x)dx = cosx = t sinxdx = dt = (1 t 2 )dt = ( 1 3 t3 t) = / 2

18 Cłkownie przez części w cłce oznczonej Twierdzenie 2. Niech funkcjeu (x) orzv (x) będ cigłe w przedzile[,b]. Wtedy Przykłd 21. xsinx u(x)v (x)dx = u(x)v(x) b b u (x)v(x)dx. π/2 π π/2 2 xcosxdx = sinxdx = π 2 +cosx π 2 u(x) = x v (x) = cosx u (x) = 1 v(x) = sinx = = π / 2

19 Cłki niewłściwe Definicj 22 (Cłki funkcji nieogrniconych). Niech funkcjf(x) będzie cłkowln w kżdym przedzile[,b ε] (ε > ). Wtedy f(x)dx = lim ε b ε f(x)dx Definicj 23 (Cłki w przedzile nieskończonym). Niech funkcj f(x) będzie cłkowln w kżdym przedzile[,n (N > ). Wtedy N f(x)dx = lim f(x)dx N 19 / 2

20 Przykłdy cłek niewłściwych Przykłd dx x λ = { x 1 λ 1 λ 1, λ 1 lnx 1, λ = 1 = x lim 1 λ 1 ε 1 λ ε, λ 1 { 1 lim lnx 1 ε ε, λ = 1 = 1 λ, λ < 1, λ 1 + dx = rctgx 1+x 2 = lim rctgx N N = π 2 { + x 1 λ dx = 1 λ λ 1 1 x λ lnx 1, λ = 1 = { 1 λ 1, λ > 1, λ 1 2 / 2