Wzory uproszczonego mno zenia: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, (a b) 2 = a 2 2ab + b 2, a 2 b 2 = (a b) (a + b).

Transkrypt

1 Wzory uproszczonego mno zeni: ( + b) = + b + b, ( b) = b + b, b = ( b) ( + b). Dzi ni n pot ¾egch: Dl ; y R orz ; b > 0 (dl pewnych wyk dników ; y z o zeni o ; b mog¾ być os bine w zle zności od sytucji) zchodz¾ wzory: =, np = n, gdzie n N i n >, ( b) = b, b = b, y = +y, y = y, ( ) y = y. W sności logrytmów: Dl dowolnych liczb ; y > 0, c R orz dowolnych ; b > 0 i ; b 6= prwdziwe s¾ wzory: log ( y) = log + log y, log = log y log y, log ( c ) = c log, log b = log log b. Trójmin kwdrtowy: Niech f () = + b + c, gdzie 6= 0, b ¾edzie trójminem kwdrtowym. Wyró znikiem trójminu nzywmy liczb ¾e = b 4c. Postci¾ knoniczn¾ tego trójminu nzywmy postć f () = + b Je zeli > 0, to mmy postć iloczynow: ¾ 4. f () = ( ) ( ),

2 gdzie ; s¾ pierwistkmi dnego trójminu. Je zeli = 0, to mmy postć iloczynow: ¾ f () = ( 0 ), gdzie 0 jest jedynym pierwistkiem dnego trójminu. Funkcj homogr czn: Funkcj¾ homogr czn nzywmy funkcj ¾e dn¾ wzorem f () = + b c + d, gdzie c 6= 0 i d cb 6= 0. K zd¾ funkcj ¾e homogr czn¾ dje si¾e sprowdzić do postci knonicznej f () = k p + q, wykonujc ¾ dzielenie z reszt¾ licznik przez minownik. Podstwowe to zsmości trygonometryczne: Cigi: ¾ Je zeli R i > 0, to sin + cos = dl R, tg = sin cos dl 6= + k, k, ctg = cos dl 6= k, k, sin tg ctg = dl 6= k, k, sin = sin cos dl R, cos = cos sin 8 >< lim n! qn = >: lim n! n = = cos = sin dl R. 0, gdy jqj <, gdy q =, gdy q > nie istnieje, gdy q 8 < : 0, gdy < 0, gdy = 0,gdy > 0 lim np =. Je zeli n 0 dl n N i lim n! n = R, przy czym > 0, to lim np n =. n! lim np n =. n!..

3 Je zeli lim n! n =, to lim + n = e. n! n Symbole nieoznczone, to, 0 0, 0,, 00,, 0. Je zeli ( n ) jest cigiem ¾ geometrycznym o ilorzie q, to n = q n. Je zeli (S n ) jest cigiem ¾ sum cz ¾eściowych powy zszego cigu ¾ i q 6=, to Szeregi: Szereg geometryczny P n= q n S n = q. Jego sum w tym przypdku wyr z si¾e wzorem Grnic funkcji: q n jest zbie zny wtedy i tylko wtedy, gdy jqj <. S = q. sin lim!0 =, lim ( + ) = e.!0 Rchunek ró zniczkowy: Je zeli f; g s¾ funkcjmi ró zniczkowlnymi i k R, to (k f) 0 = k f 0, (f + g) 0 = f 0 + g 0, (fg) 0 = f 0 g + fg 0, 0 f = f 0 g g 0 f g g, (g f) 0 = (g 0 f) f 0. 3

4 Wzory podstwowe: c 0 = 0 dl c R, ( ) 0 = dl R, (e ) 0 = e, ( ) 0 = ln, (ln ) 0 =, (log ) 0 = ln, (sin ) 0 = cos, (cos ) 0 = sin, (tg ) 0 = cos, (ctg ) 0 = (rcsin ) 0 = sin, p, (rccos ) 0 = p, (rctg ) 0 = (rcctg ) 0 = +, +. Rchunek c kowy: Je zeli f; g s¾ c kowlne i k R, to kf () d = k f () d, (f () + g ()) d = f () d + g () d. Je zeli g jest funkcj¾ cig ¾ ¾ i f funkcj¾ klsy C, to g (f ()) f 0 () d = g (t) dt t=f(). powy zszego wzoru wynikj¾ nst¾epujce ¾ wnioski: f 0 () d = ln jf ()j, f () f 0 () p d = p f (), f () 4

5 f ( + b) d = F ( + b), gdzie F jest funkcj¾ pierwotn¾ funkcji f i R, 6= 0. Je zeli f; g s¾ funkcjmi klsy C, to f () g 0 () d = f () g () f 0 () g () d. Wzory podstwowe: d = + + C dl 6=, + d = ln jj + C, e d = e + C, cos d = sin + C, sin d = cos + C, cos d = tg + C, sin d = ctg + C, p d = rcsin + C, d = rctg + C. + Pondto przyjmujemy wzory: d p = rcsin p + C dl > 0, d + = p rctg p + C dl > 0, d p = ln + p + + C dl R. + stosowni geometryczne c ki oznczonej: Je zeli f jest funkcj¾ klsy C, to d ugość krzywej l : y = f () dl h; bi wyr z si ¾e wzorem b q jlj = + (f 0 ()) d. Je zeli f; g s¾ funkcjmi cig ymi ¾ w przedzile h; bi tkimi, ze dl (; b) zchodzi nierówność f () < g (), to pole gury S = f(; y) : b ^ f () y g ()g 5

6 wyr z si ¾e wzorem jsj = b (g () f ()) d. Je zeli f jest nieujemn¾ funkcj¾ cig ¾ ¾ n przedzile h; bi, to obj¾etość bry y obrotowej V otrzymnej przez obrót gury doko osi O wyr z si¾e wzorem P = f(; y) : b ^ 0 y f ()g jv j = b (f ()) d. Je zeli f jest funkcj¾ cig ¾ ¾ n przedzile h; bi, to pole powierzchni obrotowej S otrzymnej przez obrót krzywej doko osi O wyr z si¾e wzorem l = f(; y) : b ^ y = f ()g jsj = b q jf ()j + (f 0 ()) d. 6